Trojúhelníkový obkladový plástev - Triangular tiling honeycomb

Trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	{3,6,3} h {6,3,6} h {6,3[3]} ↔ {3[3,3]}
Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{3,6}
Tváře	trojúhelník {3}
Postava hrany	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	šestihranný obklad
Dvojí	Self-dual
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]] ${ displaystyle { overline {PP}} _ {3}}$, [3[3,3]]
Vlastnosti	Pravidelný

The trojúhelníkový obkladový plástev je jedním z 11 paracompaktních pravidelných doplňování prostoru mozaikování (nebo voštiny ) v hyperbolický 3-prostor. To se nazývá paracompact protože to má nekonečno buňky a vrcholové postavy, se všemi vrcholy jako ideální body v nekonečnu. Má to Schläfliho symbol {3,6,3}, složený z trojúhelníkové obklady buňky. Každá hrana plástve je obklopena třemi buňkami a každý vrchol je ideální, kde se tam setkává nekonečně mnoho buněk. Své vrchol obrázek je šestihranný obklad.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Symetrie

Podskupiny [3,6,3] a [6,3,6]

Má dvě konstrukce s nižší reflexní symetrií, jako střídal objednávka 6 šestihranný obklad voštinový, ↔ , a jako z , který střídá 3 typy (barvy) trojúhelníkových naklonění kolem každého okraje. v Coxeterova notace, demontáž 3. a 4. zrcadla, [3,6,3^*] vytvoří nový Skupina coxeterů [3^[3,3]], index podskupiny 6. Základní doména je šestkrát větší. Podle Coxeterova diagramu jsou v nové základní doméně 3 kopie prvního původního zrcadla: ↔ .

Související obklady

Je to podobné jako u 2D hyperboliku apeirogonální obklady nekonečného řádu, {∞, ∞}, s nekonečnými apeirogonálními plochami a se všemi vrcholy na ideální ploše.

Související voštiny

Trojúhelníkový obkladový plást je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jeden z jedenácti paracompaktních voštin.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují devět jednotných voštin v [3,6,3] Skupina coxeterů rodiny, včetně této pravidelné formy i bitruncated forma, t_1,2{3,6,3}, se vším komolý šestihranný obklad fazety.

[3,6,3] rodinné voštiny

{3,6,3}	r {3,6,3}	t {3,6,3}	rr {3,6,3}	t0,3{3,6,3}	2t {3,6,3}	tr {3,6,3}	t0,1,3{3,6,3}	t0,1,2,3{3,6,3}

Plástev je také součástí řady polychora a voštiny s trojúhelníkovým hranové postavy.

{3,str, 3} polytopy
Prostor	S3		H3
Formulář	Konečný		Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
{3,str,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
obraz
Buňky	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vrchol postava	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Rektifikovaný voštinový trojúhelníkový obklad

Rektifikovaný voštinový trojúhelníkový obklad
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	r {3,6,3} h2{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔ ↔ ↔
Buňky	r {3,6} {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]] ${ displaystyle { overline {PP}} _ {3}}$, [3[3,3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The usměrněný trojúhelníkový obkladový plást, , má trihexagonal obklady a šestihranný obklad buňky s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Symetrie

Nižší symetrie tohoto plástu může být konstruována jako a cantic order-6 hexagonal tiling honeycomb, ↔ . Druhá konstrukce s nižším indexem je ↔ .

Zkrácený trojúhelníkový obkladový plástev

Zkrácený trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t {3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {3,6} {6,3}
Tváře	šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	čtyřstěn
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3] ${ displaystyle { overline {V}} _ {3}}$, [3,3,6]
Vlastnosti	Pravidelný

The komolý trojúhelníkový obkladový plástev, , je forma nižší symetrie šestihranný obkladový plástev, . Obsahuje šestihranný obklad fazety s a čtyřboká vrchol obrázek.

Bitunový trojúhelníkový obkladový plástev

Bitunový trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	2t {3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} dodekagon {12}
Vrcholová postava	tetragonální disphenoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Y}} _ {3}}$, [[3,6,3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hranový-tranzitivní, buněčný-tranzitivní

The bitunovaný trojúhelníkový obkladový plástev, , má komolý šestihranný obklad buňky s a tetragonální disphenoid vrchol obrázek.

Kanálovitý trojúhelníkový obkladový plástev

Kanálovitý trojúhelníkový obkladový plást
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	rr {3,6,3} nebo t0,2{3,6,3} s2{3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	rr {6,3} r {6,3} {}×{3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	klín
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated trojúhelníkové obklady plástev, , má rhombitrihexagonal obklady, trihexagonal obklady, a trojúhelníkový hranol buňky s a klín vrchol obrázek.

Symetrie

Může být také konstruován jako cantic snub trojúhelníkové obklady plástev, , polosymetrický tvar se symetrií [3⁺,6,3].

Cantitruncated trojúhelníkový obkladový plástev

Cantitruncated trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	tr {3,6,3} nebo t0,1,2{3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {6,3} t {6,3} {}×{3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated triangular tiling honeycomb, , má zkrácené trihexagonální obklady, komolý šestihranný obklad, a trojúhelníkový hranol buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Runcinated trojúhelníkové obklady plástev

Runcinated trojúhelníkové obklady plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,3{3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	{3,6} {}×{3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	šestihranný antiprism
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Y}} _ {3}}$, [[3,6,3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The runcinovaný trojúhelníkový obkladový plástev, , má trojúhelníkové obklady a trojúhelníkový hranol buňky s a šestihranný antiprism vrchol obrázek.

Runcitruncated trojúhelníkový obkladový plástev

Runcitruncated trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t0,1,3{3,6,3} s2,3{3,6,3}
Coxeterovy diagramy
Buňky	t {3,6} rr {3,6} {}×{3} {}×{6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3,6,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated trojúhelníkový obkladový plástev, , má šestihranný obklad, rhombitrihexagonal obklady, trojúhelníkový hranol, a šestihranný hranol buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Symetrie

Může být také konstruován jako runcicantic snub trojúhelníkový obklad voštinový, , polosymetrický tvar se symetrií [3⁺,6,3].

Všesměrový trojúhelníkový obkladový plástev

Všesměrový trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,1,2,3{3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {3,6} {}×{6}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	fylický disfenoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Y}} _ {3}}$, [[3,6,3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The všestranný trojúhelníkový obkladový plást, , má zkrácené trihexagonální obklady a šestihranný hranol buňky s a fylický disfenoid vrchol obrázek.

Runcisnub trojúhelníkový obkladový plástev

Runcisnub trojúhelníkový obkladový plástev
Typ	Paracompact scaliform voštinový
Schläfliho symbol	s3{3,6,3}
Coxeterův diagram
Buňky	r {6,3} {} x {3} {3,6} tricup
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Y}} _ {3}}$, [3+,6,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The runcisnub trojúhelníkové obklady plástev, , má trihexagonal obklady, trojúhelníkové obklady, trojúhelníkový hranol, a trojúhelníková kopule buňky. to je vrchol-tranzitivní, ale ne jednotný, protože obsahuje Johnson solidní trojúhelníková kopule buňky.

Viz také

• Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
• Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
• Paracompact jednotné voštiny

Reference

• Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
• Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
• Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN  0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
  • N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů