Osmiúhelník - Octagon

Pravidelný osmiúhelník
Pravidelný osmiúhelník
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	8
Schläfliho symbol	{8}, t {4}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.8), objednat 2 × 8
Vnitřní úhel (stupňů )	135°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, an osmiúhelník (z řecký ὀκτάγωνον oktágōnon„osm úhlů“) je osmistranný polygon nebo 8-gon.

A pravidelný osmiúhelník má Schläfliho symbol {8} ^[1] a může být také konstruován jako kvaziregulát zkrácen náměstí, t {4}, který střídá dva typy hran. Zkrácený osmiúhelník, t {8} je a hexadekagon, {16}. 3D analogem osmiúhelníku může být kosočtverec s trojúhelníkovými plochami, jako jsou nahrazené hrany, pokud považujeme osmiúhelník za zkrácený čtverec.

Vlastnosti obecného osmiúhelníku

Úhlopříčky zeleného čtyřúhelníku mají stejnou délku a jsou navzájem kolmé

Součet všech vnitřních úhlů libovolného osmiúhelníku je 1080 °. Stejně jako u všech polygonů je celkový úhel 360 °.

Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců tvoří čtyřúhelník, který je jak ekvidiagonální a ortodiagonální (tj. jehož úhlopříčky mají stejnou délku a jsou navzájem kolmé).^{[2]:Vr. 9}

The střední osmiúhelník referenčního osmiúhelníku má svých osm vrcholů ve středech po stranách referenčního osmiúhelníku. Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách středního osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců samy tvoří vrcholy čtverce.^[2]:Vr.10

Pravidelný osmiúhelník

A pravidelný osmiúhelník je uzavřená postava se stranami stejné délky a vnitřními úhly stejné velikosti. Má osm řádků reflexní symetrie a rotační symetrie řádu 8. Pravidelný osmiúhelník je reprezentován Schläfliho symbol {8}. Interní úhel na každém vrcholu pravidelného osmiúhelníku je 135° (${ displaystyle scriptstyle { frac {3 pi} {4}}}$ radiány ). The středový úhel je 45 ° (${ displaystyle scriptstyle { frac { pi} {4}}}$ radiány).

Plocha

Plocha pravidelného osmiúhelníku o délce strany A darováno

${ displaystyle A = 2 cot { frac { pi} {8}} a ^ {2} = 2 (1 + { sqrt {2}}) a ^ {2} simeq 4,828 , a ^ { 2}.}$

Z hlediska circumradius R, oblast je

${ displaystyle A = 4 sin { frac { pi} {4}} R ^ {2} = 2 { sqrt {2}} R ^ {2} simeq 2.828 , R ^ {2}.}$

Z hlediska apothem r (viz také vepsaná postava ), oblast je

${ displaystyle A = 8 tan { frac { pi} {8}} r ^ {2} = 8 ({ sqrt {2}} - 1) r ^ {2} simeq 3,314 , r ^ { 2}.}$

Ty poslední dva koeficienty držák hodnotu pi, oblast jednotkový kruh.

The plocha a pravidelný osmiúhelník lze vypočítat jako a zkrácen náměstí.

Oblast může být také vyjádřena jako

${ displaystyle , ! A = S ^ {2} -a ^ {2},}$

kde S je rozpětí osmiúhelníku nebo druhá nejkratší úhlopříčka; a A je délka jedné ze stran nebo základen. To se snadno osvědčí, když vezmeme osmiúhelník, nakreslíme čtverec zvenčí (ujistíme se, že se čtyři z osmi stran překrývají se čtyřmi stranami čtverce) a poté vezmeme rohové trojúhelníky (ty jsou 45–45–90 trojúhelníků ) a umístí je s pravými úhly směřujícími dovnitř, tvořící čtverec. Okraje tohoto čtverce mají délku základny.

Vzhledem k délce strany Arozpětí S je

${ displaystyle S = { frac {a} { sqrt {2}}} + a + { frac {a} { sqrt {2}}} = (1 + { sqrt {2}}) a cca 2.414a.}$

Rozpětí se tedy rovná poměr stříbra krát strana, a.

Oblast je pak jak je uvedeno výše:

${ displaystyle A = ((1 + { sqrt {2}}) a) ^ {2} -a ^ {2} = 2 (1 + { sqrt {2}}) a ^ {2} přibližně 4,828 a ^ {2}.}$

Vyjádřeno z hlediska rozpětí, oblast je

${ displaystyle A = 2 ({ sqrt {2}} - 1) S ^ {2} přibližně 0,828S ^ {2}.}$

Další jednoduchý vzorec pro tuto oblast je

${ displaystyle A = 2aS.}$

Častěji rozpětí S je známa a délka stran, A, je třeba určit, jako při řezání čtvercového kusu materiálu do pravidelného osmiúhelníku. Z výše uvedeného

${ displaystyle a přibližně S / 2,414.}$

Dvě koncové délky E na každé straně (délky nohou trojúhelníků (na obrázku zelené) zkrácené od čtverce), stejně jako ${ displaystyle e = a / { sqrt {2}},}$ lze vypočítat jako

${ displaystyle , ! e = (S-a) / 2.}$

Circumradius a inradius

The circumradius pravidelného osmiúhelníku, pokud jde o délku strany A je^[3]

${ displaystyle R = left ({ frac { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} {2}} right) a,}$

a inradius je

${ displaystyle r = left ({ frac {1 + { sqrt {2}}} {2}} right) a.}$

(to je polovina poměr stříbra krát strana Anebo poloviční rozpětí S)

Úhlopříčky

Pravidelný osmiúhelník, pokud jde o délku strany A, má tři různé typy úhlopříčky:

• Krátká úhlopříčka;
• Střední úhlopříčka (nazývaná také rozpětí nebo výška), což je dvojnásobek délky inradius;
• Dlouhá úhlopříčka, což je dvojnásobek délky obvodového poloměru.

Vzorec pro každou z nich vyplývá ze základních principů geometrie. Zde jsou vzorce pro jejich délku:^{[Citace je zapotřebí ]}

• Krátká úhlopříčka: ${ displaystyle a { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}$ ;
• Střední úhlopříčka: ${ displaystyle (1 + { sqrt {2}}) a}$ ; (poměr stříbra krát a)
• Dlouhá úhlopříčka: ${ displaystyle a { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}}}$ .

Konstrukce a základní vlastnosti

sestavení pravidelného osmiúhelníku složením listu papíru

Pravidelný osmiúhelník v daném circumcircle může být sestaven následovně:

1. Nakreslete kružnici a průměr AOE, kde O je střed a A, E jsou body na kruhovém kruhu.
2. Nakreslete další průměr GOC, kolmo na AOE.
3. (Všimněte si mimochodem, že A, C, E, G jsou vrcholy čtverce).
4. Nakreslete půlící čáry pravých úhlů GOA a EOG, čímž vytvoříte další dva průměry HOD a FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H jsou vrcholy osmiúhelníku.

Osmiúhelník v daném kruhu

Osmiúhelník v dané délce strany, animace
(Konstrukce je velmi podobná konstrukci z hexadekagon v dané délce strany.)

Pravidelný osmiúhelník lze sestrojit pomocí a rovná hrana a a kompas, jako 8 = 2³, a síla dvou:

Konstrukce osmihranu Meccano.

Pravidelný osmiúhelník lze sestavit pomocí Meccano pruhy. Potřebujeme dvanáct pruhů velikosti 4, tři pruhy velikosti 5 a dva pruhy velikosti 6.

Každá strana pravidelného osmiúhelníku subtenduje polovinu pravého úhlu ve středu kruhu, který spojuje jeho vrcholy. Jeho plochu lze tedy vypočítat jako součet 8 rovnoramenných trojúhelníků, což vede k výsledku:

${ displaystyle { text {Area}} = 2a ^ {2} ({ sqrt {2}} + 1)}$

pro osmiúhelník strany A.

Standardní souřadnice

Souřadnice vrcholů pravidelného osmiúhelníku se středem v počátku as délkou strany 2 jsou:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Pitva

8 kostek projekce	Disekce 24 kosočtverců
	Pravidelný	Isotoxální

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[4]Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný osmiúhelník, m= 4 a lze jej rozdělit na 6 kosodélníků, přičemž jeden příklad je uveden níže. Tento rozklad lze vidět jako 6 z 24 tváří v a Petrie polygon projekční rovina tesseract. Seznam (sekvence A006245 v OEIS ) definuje počet řešení jako 8, podle 8 orientací této jedné pitvy. Tyto čtverce a kosodélníky se používají v Obklady Ammann – Beenker.

Členitý pravidelný osmiúhelník

Tesseract

4 kosočtverce a 2 čtverečky

Šikmý osmiúhelník

Pravidelný šikmý osmiúhelník viděný jako hrany a čtvercový antiprism, symetrie D_4d, [2⁺, 8], (2 * 4), řád 16.

A šikmý osmiúhelník je zkosit mnohoúhelník s 8 vrcholy a hranami, ale neexistující ve stejné rovině. Vnitřek takového osmiúhelníku není obecně definován. A šikmý cik-cak osmiúhelník má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

A pravidelný šikmý osmiúhelník je vrchol-tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý osmiúhelník a je vidět na vrcholech a bočních okrajích čtvercový antiprism se stejným D_4d, [2⁺, 8] symetrie, řád 16.

Petrie polygony

Pravidelný zkosený osmiúhelník je Petrie polygon pro tyto vyšší dimenzionální pravidelné a jednotné polytopy, zobrazeno v tomto zkosení ortogonální projekce v A₇, B₄a D.₅ Coxeterovy roviny.

A7	D5	B4
7-simplexní	5-demicube	16 buněk	Tesseract

Symetrie

Symetrie

11 symetrií pravidelného osmiúhelníku. Řádky odrazů jsou modré přes vrcholy, fialové přes hrany a ve středu jsou uvedeny pořadí gyrace. Vrcholy jsou vybarveny polohou symetrie.

The pravidelný osmiúhelník má Dih₈ symetrie, pořadí 16. Existují 3 dihedrální podskupiny: Dih₄, Dih₂a Dih₁a 4 cyklické podskupiny: Z₈, Z₄, Z₂a Z₁, z čehož poslední nevyplývá žádná symetrie.

Příklad osmiúhelníků podle symetrie

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

Na pravidelném osmiúhelníku je 11 odlišných symetrií. John Conway označuje plnou symetrii jako r16.^[5] Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (p pro svislice) Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy. Plná symetrie regulárního tvaru je r16 a není označena žádná symetrie a1.

Nejběžnější osmiúhelníky s vysokou symetrií jsou p8, an isogonal osmiúhelník konstruovaný čtyřmi zrcadly může střídat dlouhé a krátké hrany a d8, an isotoxální osmiúhelník konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou duální navzájem a mají polovinu pořadí symetrie pravidelného osmiúhelníku.

Každá symetrie podskupiny umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné tvary. Pouze g8 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Použití osmiúhelníků

Osmiboký půdorys, Skalní dóm.

Osmiboký tvar se používá jako designový prvek v architektuře. The Skalní dóm má charakteristický osmiboký plán. The Tower of the Winds v Aténách je dalším příkladem osmiboké struktury. Osmiboký plán byl také v církevní architektuře, jako je Katedrála svatého Jiří v Addis Abebě, Bazilika San Vitale (v Ravenně v Itálii), Castel del Monte (Apulie, Itálie), Křtitelnice ve Florencii, Kostel Zum Friedefürsten (Německo) a řada osmiboké kostely v Norsku. Centrální prostor v Katedrála v Cáchách, karolínský Palatinová kaple, má pravidelný osmiboký půdorys. Použití osmiúhelníků v kostelech zahrnuje také menší konstrukční prvky, jako je osmihranný apsida z Katedrála Nidaros.

Architekti jako John Andrews využili osmiboká podlahová dispozice v budovách k funkčnímu oddělení kancelářských prostor od stavebních služeb, zejména Ústředí Intelsat ve Washingtonu, Kanceláře Callam v Canbeře a kanceláře Octagon v Parramatta, Austrálie.

Jiná použití

• 

  Deštníky často mají osmiboký obrys.

• 

  Známý Bucharský koberec design zahrnuje osmiboký motiv „sloní nohy“.

• 

  Ulice a blok rozložení Barcelona je Příklad okres je založen na nepravidelných osmiúhelnících

• 

  Janggi používá osmihranné kusy.

• 

  japonský loterijní stroje často mají osmiboký tvar.

• 

  Stopka použito v Angličtina - mluvící země, stejně jako ve většině Evropské země

• 

  Ikona stopky s rukou uprostřed.

• 

  Trigramy Taoista bagua jsou často uspořádány osmiboká

• 

  Slavný osmiboký zlatý pohár z Vrak lodi Belitung

• 

  Třídy v Shimer College se tradičně konají kolem osmibokých stolů

• 

  The Labyrint remešské katedrály s kvazi-osmibokým tvarem.

• 

  Pohyb analogová páčka (y) Řadič Nintendo 64, Ovladač GameCube, Wii Nunchuk a Klasický ovladač je omezen otočenou osmihrannou oblastí, což umožňuje hůlce pohybovat se pouze v osmi různých směrech.

Odvozené údaje

• 

  The zkrácený čtvercový obklad má kolem každého vrcholu 2 osmiúhelníky.
  

• 

  An osmiboký hranol obsahuje dvě osmihranné tváře.
  

• 

  An osmiboký antiprism obsahuje dvě osmihranné tváře.
  

• 

  The zkrácený cuboctahedron obsahuje 6 osmibokých ploch.
  

• 

  The omnitruncated kubický plástev
  

Související polytopy

The osmiúhelník, jako zkrácen náměstí, je první v řadě zkrácených hyperkrychle:

Zkrácené hyperkrychle

obraz								...
název	Osmiúhelník	Zkrácená kostka	Zkrácený tesseract	Zkrácená 5 kostka	Zkrácená 6 kostka	Zkrácená 7 kostka	Zkrácená 8 kostka
Coxeterův diagram
Vrcholová postava	() v ()	() v {}	() v {3}	() v {3,3}	() v {3,3,3}	() v {3,3,3,3}	() v {3,3,3,3,3}

Jako rozšířený čtverec, je také první v řadě rozšířených hyperkrychlí:

Rozšířené hyperkrychle

							...
Osmiúhelník	Rhombicuboctahedron	Runcinovaný tesseract	Sterilizovaná 5 kostka	Pentellated 6-cube	Hexikovaná 7 kostka	Heptellovaná 8 kostka

Viz také

• Bazén nárazníku
• Octagon dům
• Osmiboké číslo
• Octagram
• Octahedron, 3D tvar s osmi tvářemi.
• Oktogon, hlavní křižovatka v Budapešť, Maďarsko
• Rub el Hizb (také známý jako Al Quds Star a jako Octa Star)
• Vyhlazený osmiúhelník

Reference

externí odkazy

• Kalkulačka osmiúhelníku
• Definice a vlastnosti osmiúhelníku S interaktivní animací