Šikmý mnohoúhelník - Skew polygon
v geometrie, a zkosit mnohoúhelník je polygon jejichž vrcholy nejsou všechny koplanární. Šikmé polygony musí mít alespoň čtyři vrcholy. The interiér povrch (nebo plocha) takového polygonu není jednoznačně definován.
Šikmé nekonečné mnohoúhelníky (apeirogony) mají vrcholy, které nejsou všechny kolineární.
A cik-cak šikmý mnohoúhelník nebo antiprismatický polygon[1] má vrcholy, které se střídají ve dvou rovnoběžných rovinách, a proto musí být rovnoměrné.
Pravidelné zkosené mnohoúhelníky ve 3 rozměrech (a pravidelné šikmé apeirogony ve dvou rozměrech) jsou vždy klikaté.
Antiprismatický zkosený mnohoúhelník ve třech rozměrech
A pravidelný zkosený mnohoúhelník je isogonal se stejnými délkami hran. Ve 3 dimenzích je pravidelný zkosený mnohoúhelník a cik-cak zkosení (nebo antiprismatic polygon), přičemž vrcholy se střídají mezi dvěma rovnoběžnými rovinami. Boční hrany n-antiprism může definovat pravidelný zkosení 2n-gon.
Pravidelný šikmý n-gon může mít Schläfliho symbol {p} # {} jako směs a pravidelný mnohoúhelník {p} a ortogonální úsečka { }.[2] Operace symetrie mezi sekvenčními vrcholy je klouzavý odraz.
Příklady jsou uvedeny na jednotném čtvercovém a pětiúhelníkovém antiprism. The hvězdné antiprismy také generovat pravidelné zkosené polygony s různým pořadím připojení horních a spodních polygonů. Vyplněné horní a dolní mnohoúhelníky jsou nakresleny z důvodu strukturální jasnosti a nejsou součástí zkosených mnohoúhelníků.
Šikmé náměstí | Šikmý šestiúhelník | Šikmý osmiúhelník | Šikmý dekagon | Šikmý dodekagon | ||
{2}#{ } | {3}#{ } | {4}#{ } | {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } | {6}#{ } |
s {2,4} | s {2,6} | s {2,8} | s {2,10} | sr {2,5 / 2} | s {2,10 / 3} | s {2,12} |
Běžný složený zkosení 2n-gon může být podobně sestrojen přidáním druhého zkoseného polygonu rotací. Ty sdílejí stejné vrcholy jako hranolová sloučenina antiprismů.
Šikmé čtverce | Šikmé šestiúhelníky | Šikmé dekagony | |
Dva {2} # {} | Tři {2} # {} | Dva {3} # {} | Dva {5/3} # {} |
Petrie polygony jsou pravidelné šikmé polygony definované v pravidelných mnohostěnech a polytopech. Například pět Platonické pevné látky mají 4-, 6- a 10stranné pravidelné zkosené polygony, jak je vidět na těchto obrázcích ortogonální projekce s červenými okraji kolem příslušných projektivní obálky. Čtyřstěn a osmistěn zahrnují všechny vrcholy v jejich příslušných klikatých zkosených polygonech a lze je považovat za digonální a trojúhelníkový.
Pravidelný zkosený mnohoúhelník jako vrcholná postava pravidelného zkoseného mnohostěnu
A pravidelný zkosený mnohostěn má pravidelné mnohoúhelníkové tváře a pravidelný zkosený mnohoúhelník vrchol obrázek.
Tři nekonečné pravidelné zkosené mnohostěny jsou vyplňování prostoru ve 3-prostoru; ostatní existují ve 4-prostoru, někteří v rámci jednotné 4-polytopes.
{4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
---|---|---|
Pravidelný zkosený šestiúhelník {3}#{ } | Pravidelný šikmý čtverec {2}#{ } | Pravidelný zkosený šestiúhelník {3}#{ } |
Isogonal šikmé polygony ve třech rozměrech
An isogonal zkosit mnohoúhelník je zkosený mnohoúhelník s jedním typem vrcholu, spojeným dvěma typy hran. Isogonal šikmé polygony se stejnou délkou hrany lze také považovat za quasiregular. Je to podobné jako cik-cak šikmý polygon, který existuje ve dvou rovinách, kromě toho, že umožňuje jedné hraně přejít do opačné roviny a druhé hraně zůstat ve stejné rovině.
Isogonal šikmé polygony mohou být definovány na rovnostranných n-gonal hranoly, střídavě po okraji jedné strany polygonu, a pohybující se mezi polygony. Například na vrcholech krychle. Vrcholy se střídají mezi horním a dolním čtvercem s červenými okraji mezi stranami a modrými okraji podél každé strany.
Osmiúhelník | Dodekagon | Icosikaitetragon | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Krychle, čtvercová úhlopříčka | Krychle | Překřížená kostka | Šestihranný hranol | Šestihranný hranol | Šestihranný hranol | Kroucený hranol |
Pravidelné zkosené polygony ve čtyřech rozměrech
Ve 4 rozměrech může mít pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholy na a Clifford torus a související a Cliffordův posun. Na rozdíl od zig-zag šikmých polygonů mohou šikmé polygony ve dvojitých rotacích obsahovat lichý počet stran.
The Petrie polygony z běžné 4-polytopes definovat pravidelné zkosené polygony. The Číslo coxeteru pro každého coxeter skupina symetrie vyjadřuje, kolik stran má Petrie polygon. To je 5 stran pro a 5článková, 8 stran pro a tesseract a 16 buněk, 12 stran pro a 24článková a 30 stran pro a 120 buněk a 600 buněk.
Při kolmém promítnutí na Coxeterovo letadlo, tyto pravidelné zkosené polygony vypadají jako pravidelné polygonové obálky v rovině.
A4, [3,3,3] | B4, [4,3,3] | F4, [3,4,3] | H4, [5,3,3] | ||
---|---|---|---|---|---|
Pentagon | Osmiúhelník | Dodekagon | Triacontagon | ||
5článková {3,3,3} | tesseract {4,3,3} | 16 buněk {3,3,4} | 24článková {3,4,3} | 120 buněk {5,3,3} | 600 buněk {3,3,5} |
The n-n duoprismy a duální duopyramidy mít také 2n-Gonal Petrie polygons. (The tesseract je 4-4 duoprism, a 16 buněk je 4-4 duopyramid.)
Šestiúhelník | Decagon | Dodekagon | |||
---|---|---|---|---|---|
3-3 duoprism | 3-3 duopyramid | 5-5 duoprism | 5-5 duopyramid | 6-6 duoprism | 6-6 duopyramid |
Viz také
- Petrie polygon
- Čtyřúhelník # Šikmý čtyřúhelník
- Pravidelný zkosený mnohostěn
- Šikmý apeirohedron (nekonečný zkosený mnohostěn)
- Šikmé čáry
Reference
- McMullen, Peter; Schulte, Egon (prosinec 2002), Abstraktní pravidelné Polytopes (1. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
- Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. „Šikmé polygony (sedlové polygony)“ §2.2
- Coxeter, H.S.M .; Pravidelné složité polytopy (1974). Kapitola 1. Pravidelné mnohoúhelníky, 1.5. Pravidelné polygony v rozměrech n, 1.7. Cikcak a antiprismatické polygony, 1.8. Spirálové mnohoúhelníky. 4.3. Vlajky a orthoschémata, 11.3. Petrie polygony
- Coxeter, H. S. M. Petrie Polygons. Pravidelné Polytopes, 3. vyd. New York: Dover, 1973. (bod 2.6 Petrie Polygons s. 24–25 a kapitola 12, s. 213–235, Zobecněný polygon Petrie)
- Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. (1. vydání, 1957) 5.2 Petrieho polygon {p, q}.
- John Milnor: Na celkovém zakřivení uzlů, Ann. Matematika. 52 (1950) 248–257.
- J.M. Sullivan: Křivky konečného celkového zakřivení, ArXiv: math.0606007v2