Skupina tapet - Wallpaper group

Příklad Egyptský design se skupinou tapet str4m

A skupina tapet (nebo skupina rovinné symetrie nebo rovinná krystalografická skupina) je matematická klasifikace dvojrozměrného opakujícího se vzoru na základě symetrie ve vzoru. Takové vzorce se často vyskytují v architektura a dekorativní umění, speciálně v textil a dlaždice stejně jako tapeta na zeď.

Nejjednodušší skupina tapet, skupina str1, platí, když neexistuje jiná symetrie než skutečnost, že se vzor opakuje v pravidelných intervalech ve dvou rozměrech, jak je znázorněno v části níže na str.

Zvažte následující příklady vzorů s více formami symetrie:

• 

  Příklad A: Hadřík, Tahiti
• 

  Příklad B: Okrasná malba, Ninive, Asýrie
• 

  Příklad C: Malované porcelán, Čína

Příklady A a B mít stejnou skupinu tapet; to se nazývá str4m v IUC notace a *442 v orbifold notace. Příklad C má jinou skupinu tapet, tzv str4G nebo 4*2 . Skutečnost, že A a B mít stejnou skupinu tapet znamená, že mají stejnou symetrii, bez ohledu na detaily návrhů, zatímco C má jinou sadu symetrií navzdory povrchním podobnostem.

Počet skupin symetrie závisí na počtu dimenzí ve vzorech. Skupiny tapet se vztahují na dvourozměrný případ, který je složitější mezi jednoduššími vlysové skupiny a trojrozměrný vesmírné skupiny. Jemné rozdíly mohou umístit podobné vzory do různých skupin, zatímco vzory, které se velmi liší ve stylu, barvě, měřítku nebo orientaci, mohou patřit do stejné skupiny.

A důkaz že existuje pouze 17 odlišných skupiny takových rovinných symetrií nejprve provedl Evgraf Fedorov v roce 1891^[1] a poté nezávisle odvozeny pomocí George Pólya v roce 1924.^[2] Důkaz, že je seznam skupin tapet úplný, přišel až poté, co byl proveden mnohem těžší případ vesmírných skupin. Sedmnáct možných skupin tapet je uvedeno níže v § Sedmnáct skupin.

Symetrie vzorů

A symetrie vzoru je, volně řečeno, způsob transformace vzoru tak, aby vypadal po transformaci přesně stejně. Například, translační symetrie je přítomen, když vzor může být přeloženo (jinými slovy posunuté) určitou konečnou vzdálenost a vypadají beze změny. Přemýšlejte o vodorovném posunutí sady svislých pruhů o jeden pruh. Vzor se nezmění. Přesně řečeno, skutečná symetrie existuje pouze ve vzorcích, které se přesně opakují a pokračují neomezeně dlouho. Sada pouze, řekněme, pěti pruhů nemá translační symetrii - při posunutí proužek na jednom konci „zmizí“ a nový proužek je „přidán“ na druhém konci. V praxi se však klasifikace aplikuje na konečné vzory a malé nedokonalosti lze ignorovat.

Tady jsou relevantní typy transformací Izometrie euklidovské roviny. Například:

• Kdybychom posun příklad B jedna jednotka napravo, takže každý čtverec pokrývá čtverec, který k němu původně sousedil, pak je výsledný vzor přesně to samé jako vzor, ​​kterým jsme začali. Tento typ symetrie se nazývá a překlad. Příklady A a C jsou podobné, až na to, že nejmenší možné posuny jsou v úhlopříčných směrech.
• Kdybychom otáčet se příklad B ve směru hodinových ručiček o 90 °, kolem středu jednoho ze čtverců, opět získáme přesně stejný vzor. Tomu se říká a otáčení. Příklady A a C také mají 90 ° rotace, i když to vyžaduje trochu více vynalézavosti k nalezení správného středu otáčení pro C.
• Můžeme také převrátit příklad B přes vodorovnou osu, která vede napříč obrazem. Tomu se říká a odraz. Příklad B má také odrazy přes svislou osu a přes dvě úhlopříčné osy. Totéž lze říci o A.

Příklad C je odlišný. Má pouze odrazy ve vodorovném a svislém směru, ne přes diagonální osy. Pokud překlopíme diagonální čáru, uděláme to ne získat stejný vzor zpět; co my dělat get je původní vzor posunutý o určitou vzdálenost. To je jeden z důvodů, proč skupina tapet A a B se liší od skupiny tapet v C.

Další transformací je „Glide“, kombinace reflexe a translace rovnoběžná s linií reflexe.

Klouzavý odraz bude mapovat sadu levé a pravé stopy do sebe

Formální definice a diskuse

Matematicky je skupina tapet nebo rovinná krystalografická skupina typem topologicky diskrétní skupina z izometrie euklidovské roviny který obsahuje dva lineárně nezávislé překlady.

Dva takové izometrické skupiny jsou stejného typu (stejné skupiny tapet), pokud jsou totéž až po afinní transformaci roviny. Tak např. posun roviny (tedy posun zrcadel a středů otáčení) nemá vliv na skupinu tapet. Totéž platí pro změnu úhlu mezi překladovými vektory za předpokladu, že nepřidá ani neodstraní žádnou symetrii (to je pouze v případě, že neexistují žádná zrcadla a žádná klouzavé odrazy, a rotační symetrie je nanejvýš v pořadí 2).

Na rozdíl od v trojrozměrný případ, můžeme ekvivalentně omezit afinní transformace na ty, které zachovávají orientace.

Z věty o Bieberbachovi vyplývá, že všechny skupiny tapet se liší i jako abstraktní skupiny (na rozdíl od např. vlysové skupiny, z nichž dva jsou izomorfní s Z).

2D vzory s dvojitou translační symetrií lze kategorizovat podle jejich skupina symetrie typ.

Izometrie euklidovské roviny

Izometrie euklidovské roviny spadají do čtyř kategorií (viz článek Euklidovská rovina izometrie Pro více informací).

• Překlady, označeno T_proti, kde proti je vektor v R². To má za následek posunutí aplikované roviny přemístění vektor proti.
• Rotace, označeno R_C,θ, kde C je bod v rovině (střed otáčení) a θ je úhel natočení.
• Úvahynebo zrcadlové izometrie, označeno F_L, kde L je line in R². (F je pro „převrácení“). To má za následek odrážení roviny v přímce L, volal osa odrazu nebo související zrcadlo.
• Klouzavé odrazy, označeno G_L,d, kde L je line in R² a d je vzdálenost. Jedná se o kombinaci odrazu v linii L a překlad L na dálku d.

Podmínka nezávislých překladů

Podmínka lineárně nezávislých překladů znamená, že existují lineárně nezávislé vektory proti a w (v R²) tak, že skupina obsahuje obojí T_proti a T_w.

Účelem této podmínky je rozlišit skupiny tapet od vlysové skupiny, které mají překlad, ale ne dva lineárně nezávislé, a z dvourozměrné diskrétní skupiny bodů, které nemají vůbec žádné překlady. Jinými slovy, skupiny tapet představují vzory, které se opakují dva odlišné směry, na rozdíl od vlysových skupin, které se opakují pouze podél jedné osy.

(Tuto situaci je možné zobecnit. Mohli bychom například studovat diskrétní skupiny izometrií Rⁿ s m lineárně nezávislé překlady, kde m je celé číslo v rozsahu 0 ≤m ≤ n.)

Podmínka diskrétnosti

Podmínka diskrétnosti znamená, že pro každý překlad existuje nějaké pozitivní reálné číslo ε T_proti ve skupině vektor proti má délku alespoň ε (samozřejmě kromě případu, že proti je nulový vektor, ale podmínka nezávislých překladů tomu brání, protože jakákoli sada, která obsahuje nulový vektor, je podle definice lineárně závislá, a proto je zakázána).

Účelem této podmínky je zajistit, aby skupina měla kompaktní základní doménu, nebo jinými slovy, „buňku“ nenulové konečné oblasti, která se opakuje rovinou. Bez této podmínky bychom mohli mít například skupinu obsahující překlad T_X pro každého racionální číslo X, což by neodpovídalo žádnému rozumnému tapetovému vzoru.

Jedním důležitým a netriviálním důsledkem podmínky diskrétnosti v kombinaci s podmínkou nezávislých překladů je, že skupina může obsahovat pouze rotace řádů 2, 3, 4 nebo 6; to znamená, že každá rotace ve skupině musí být rotace o 180 °, 120 °, 90 ° nebo 60 °. Tato skutečnost je známá jako krystalografická věta o omezení, a lze jej zobecnit na případy vyšší dimenze.

Poznámky pro skupiny tapet

Krystalografická notace

Krystalografie má 230 vesmírné skupiny rozlišit, mnohem více než 17 skupin tapet, ale mnoho symetrií ve skupinách je stejných. Můžeme tedy použít podobnou notaci pro oba druhy skupin, jako pro Carl Hermann a Charles-Victor Mauguin. Příklad celého názvu tapety ve stylu Hermann-Mauguin (také nazývaný IUC notace ) je str31m se čtyřmi písmeny nebo číslicemi; obvyklejší je zkrácené jméno jako cmm nebo str.

U skupin tapet začíná celá notace buď str nebo C, pro primitivní buňka nebo a buňka zaměřená na obličej; tyto jsou vysvětleny níže. Následuje číslice, n, označující nejvyšší řád rotační symetrie: 1krát (žádný), 2krát, 3krát, 4krát nebo 6krát. Další dva symboly označují symetrie vzhledem k jedné translační ose vzoru, označované jako „hlavní“; pokud je zrcadlo kolmé na translační osu, zvolíme tuto osu jako hlavní (nebo pokud jsou dvě, jedna z nich). Symboly jsou buď m, Gnebo 1, pro zrcadlo, klouzavý odraz nebo žádný. Osa zrcadlového nebo klouzavého odrazu je pro první písmeno kolmá na hlavní osu a je rovnoběžná nebo nakloněná o 180 ° /n (když n > 2) pro druhé písmeno. Mnoho skupin zahrnuje další symetrie implikované danými. Krátká notace obsahuje číslice nebo znak m to lze odvodit, pokud to nezanechává záměnu s jinou skupinou.

Primitivní buňka je minimální oblast opakovaná mřížovými překlady. Všechny kromě dvou skupin symetrie tapet jsou popsány s ohledem na primitivní osy buněk, základ souřadnic pomocí vektorů translace mřížky. Ve zbývajících dvou případech je popis symetrie s ohledem na centrované buňky, které jsou větší než primitivní buňka, a proto mají vnitřní opakování; směry jejich stran se liší od směrů překladových vektorů překlenujících primitivní buňku. Hermann-Mauguinova notace pro krystal vesmírné skupiny používá další typy buněk.

Příklady

• str2 (str2): Primitivní buňka, 2násobná symetrie rotace, žádná zrcadla ani klouzavé odrazy.
• str4gm (str4mm): Primitivní buňka, čtyřnásobná rotace, klouzavý odraz kolmý k hlavní ose, osa zrcadlení pod úhlem 45 °.
• C2mm (C2mm): Centrovaná buňka, 2násobná rotace, zrcadlové osy kolmé i rovnoběžné s hlavní osou.
• str31m (str31m): Primitivní buňka, 3násobná rotace, osa zrcadlení při 60 °.

Zde jsou všechna jména, která se liší krátkou a úplnou notací.

Krystalografické krátké a plné názvy

Krátký	odpoledne	str	cm	pmm	pmg	pgg	cmm	str4m	str4G	str6m
Úplný	str1m1	str1G1	C1m1	str2mm	str2mg	str2např	C2mm	str4mm	str4gm	str6mm

Zbývající jména jsou str1, str2, str3, str3m1, str31m, str4, a str6.

Orbifold notace

Orbifold notace pro skupiny tapet, které prosazuje John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), není založen na krystalografii, ale na topologii. Složíme nekonečné periodické obklady roviny do její podstaty, an orbifold, pak to popište několika symboly.

• Číslice, n, označuje střed n-násobná rotace odpovídající kuželovému bodu na orbifoldu. Podle krystalografické věty o omezení n musí být 2, 3, 4 nebo 6.
• Hvězdička, *, označuje zrcadlovou symetrii odpovídající hranici orbifoldu. Interaguje s číslicemi následovně:
  1. Číslice dříve * označit centra čisté rotace (cyklický ).
  2. Číslice po * označit středy otáčení se zrcadly skrz ně, odpovídající "rohům" na hranici orbifoldu (vzepětí ).
• Přes, ×, nastává, když je přítomen klouzavý odraz a označuje křížovou čepici na orbifoldu. Čistá zrcadla kombinují s mřížkovým překladem a vytvářejí klouzání, ale ta jsou již zohledněna, takže je nezaznamenáváme.
• Symbol „žádná symetrie“, Ó, stojí samostatně a naznačuje, že máme pouze mřížkové překlady bez jiné symetrie. Orbifold s tímto symbolem je torus; obecně symbol Ó označuje rukojeť na orbifold.

Uvažujme skupinu označenou v krystalografické notaci cmm; v Conwayově zápisu to bude 2*22. The 2 před * říká, že máme 2-násobné rotační centrum bez zrcadla. The * sám říká, že máme zrcadlo. První 2 po * říká, že máme dvojnásobné otočné centrum na zrcadle. Finále 2 říká, že máme nezávislé druhé 2-násobné rotační centrum na zrcadle, které není duplikátem prvního pod symetrií.

Skupina označená pgg bude 22×. Máme dvě čistá 2násobná otočná centra a osu klouzavého odrazu. Porovnejte to s pmg Conway 22*, kde krystalografická notace zmiňuje skluz, ale ten, který je implicitní v ostatních symetrii orbifold.

Coxeter je závorka notace je také zahrnuta na základě reflexe Skupiny coxeterů, a upraveno o plus horní indexy počítající s rotacemi, nesprávné otáčení a překlady.

Proč je přesně sedmnáct skupin

Orbifold lze považovat za polygon s obličejem, hranami a vrcholy, které lze rozložit a vytvořit tak možná nekonečnou sadu polygonů, které obkládají buď koule, letadlo nebo hyperbolická rovina. Když roztáhne letadlo, dá skupinu tapet a když roztáhne kouli nebo hyperbolickou rovinu, dá buď a skupina sférické symetrie nebo Hyperbolická skupina symetrie. Typ prostoru, který má polygonová dlaždice, lze zjistit výpočtem Eulerova charakteristika, χ = PROTI − E + F, kde PROTI je počet rohů (vrcholů), E je počet hran a F je počet tváří. Pokud je Eulerova charakteristika kladná, má orbifold eliptickou (sférickou) strukturu; pokud je nula, má parabolickou strukturu, tj. skupinu tapet; a pokud je záporná, bude mít hyperbolickou strukturu. Když je vyjmenována celá sada možných orbifoldů, zjistí se, že pouze 17 má Eulerovu charakteristiku 0.

Když se orbifold replikuje symetricky, aby vyplnil rovinu, jeho funkce vytvoří strukturu vrcholů, hran a ploch polygonů, které musí být v souladu s Eulerovou charakteristikou. Při obrácení procesu můžeme přiřadit čísla k vlastnostem orbifold, ale zlomky, spíše než celá čísla. Protože orbifold sám je kvocient celého povrchu skupinou symetrie, orbifold Eulerova charakteristika je kvocient povrchové Eulerovy charakteristiky podle objednat skupiny symetrie.

Orbifoldova Eulerova charakteristika je 2 minus součet hodnot prvků, přiřazených následovně:

• Číslice n bez nebo před * se počítá jako (n − 1)/n.
• Číslice n po * se počítá jako (n − 1)/2n.
• * I × se počítají jako 1.
• „Žádná symetrie“ ° se počítá jako 2.

U skupiny tapet musí být součet pro charakteristiku nulový; součet prvků tedy musí být 2.

Příklady

• 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
• 3*3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
• 4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
• 22×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Nyní se výčet všech skupin tapet stává věcí aritmetiky, výpis všech řetězců funkcí s hodnotami součtu 2.

Řetězce funkcí s jinými součty nejsou nesmysly; znamenají nerovinné obklady, které zde nejsou diskutovány. (Když je Eulerova charakteristika oběžného kruhu záporná, je obklad hyperbolický; když pozitivní, sférický nebo špatný ).

Průvodce rozpoznáváním skupin tapet

Chcete-li zjistit, která skupina tapet odpovídá danému designu, můžete použít následující tabulku.^[3]

Viz také tento přehled s diagramy.

Sedmnáct skupin

Každá ze skupin v této části má dva diagramy buněčné struktury, které je třeba interpretovat následovně (je to důležitý tvar, nikoli barva):

	střed otáčení řádu dva (180 °).
	střed otáčení řádu tři (120 °).
	střed otáčení řádu čtyři (90 °).
	střed otáčení řádu šest (60 °).
	osa odrazu.
	osa klouzavého odrazu.

Na diagramech na pravé straně jsou různé třídy ekvivalence prvků symetrie barevně (a rotovány) odlišně.

The hnědá nebo žlutá oblast označuje a základní doména, tj. nejmenší část vzoru, která se opakuje.

Schémata vpravo ukazují buňku mříž odpovídá nejmenším překladům; ti nalevo někdy ukazují větší plochu.

Skupina str1 (o)

Příklad a schéma pro str1

Buněčné struktury pro str1 mřížkovým typem

Šikmý			Šestihranný
Obdélníkový		Kosočtverečný		Náměstí

• Orbifold podpis: Ó
• Coxeterova notace (obdélníková): [∞⁺,2,∞⁺] nebo [∞]⁺×[∞]⁺
• Mříž: šikmá
• Skupina bodů: C₁
• Skupina str1 obsahuje pouze překlady; nedochází k žádným rotacím, odrazům nebo klouzavým odrazům.

Příklady skupiny str1

• 

  Generováno počítačem
• 

  Středověký stěna plenkování

Oba překlady (strany buňky) mohou mít různé délky a mohou tvořit libovolný úhel.

Skupina str2 (2222)

Příklad a schéma pro str2

Buněčné struktury pro str2 mřížkovým typem

Šikmý			Šestihranný
Obdélníkový		Kosočtverečný		Náměstí

• Orbifold podpis: 2222
• Coxeterova notace (obdélníková): [∞, 2, ∞]⁺
• Mříž: šikmá
• Skupina bodů: C₂
• Skupina str2 obsahuje čtyři středy otáčení řádu dva (180 °), ale žádné odrazy ani klouzavé odrazy.

Příklady skupiny str2

• 

  Generováno počítačem
• 

  Tkanina, Sandwichovy ostrovy (Havaj )
• 

  Mat, na které Egyptský král stál
• 

  Egyptská rohož (detail)
• 

  Strop an Egyptský hrobka
• 

  Drátěný plot, USA

Skupina odpoledne (**)

Příklad a schéma pro odpoledne

Buněčná struktura pro odpoledne

Horizontální zrcadla	Vertikální zrcadla

• Orbifold podpis: **
• Coxeterova notace: [∞, 2, ∞⁺] nebo [∞⁺,2,∞]
• Mřížka: obdélníková
• Skupina bodů: D₁
• Skupina odpoledne nemá žádné rotace. Má odrazové osy, všechny jsou rovnoběžné.

Příklady skupiny odpoledne

(První tři mají svislou osu symetrie a poslední dva mají jinou úhlopříčnou.)

• 

  Generováno počítačem
• 

  Šaty postavy v a hrobka na Biban el Moluk, Egypt
• 

  Egyptský hrobka, Thebes
• 

  Strop a hrobka v Gourně, Egypt. Osa odrazu je diagonální
• 

  indický zámečnické práce na Skvělá výstava v roce 1851. To je téměř odpoledne (ignorování krátkých diagonálních čar mezi motivy oválek, které to dělají str1 )

Skupina str (××)

Příklad a schéma pro str

Buněčné struktury pro str

Vodorovné kluzáky	Svislé kluzáky
Obdélníkový

• Orbifold podpis: ××
• Coxeterova notace: [(∞, 2)⁺,∞⁺] nebo [∞⁺,(2,∞)⁺]
• Mřížka: obdélníková
• Skupina bodů: D₁
• Skupina str obsahuje pouze klouzavé odrazy a jejich osy jsou všechny rovnoběžné. Neexistují žádné rotace ani odrazy.

Příklady skupiny str

• 

  Generováno počítačem
• 

  Mat s vzor rybí kosti na kterých Egyptský král stál
• 

  Egyptská rohož (detail)
• 

  Dlažba s vzor rybí kosti v Salzburg. Osa klouzavého odrazu probíhá na severovýchod - jihozápad
• 

  Jedno z barvení urážet čtvercové obklady; klouzavé odrazové čáry jsou ve směru vlevo nahoře / vpravo dole; ignorování barev existuje mnohem více symetrie než jen str, pak je str4G (viz obrázek pro tento obrázek se stejně barevnými trojúhelníky)^[4]

Bez podrobností uvnitř klikatých pásů je rohož pmg; s podrobnostmi, ale bez rozdílu mezi hnědou a černou to je pgg.

Dlažba je ignorována zvlněnými okraji dlaždic pgg.

Skupina cm (*×)

Příklad a schéma pro cm

Buněčná struktura pro cm

Horizontální zrcadla	Vertikální zrcadla
Kosočtverečný

• Orbifold podpis: *×
• Coxeterova notace: [∞⁺,2⁺, ∞] nebo [∞, 2⁺,∞⁺]
• Mříž: kosočtverečná
• Skupina bodů: D₁
• Skupina cm neobsahuje žádné rotace. Má odrazové osy, všechny rovnoběžné. Existuje alespoň jeden klouzavý odraz, jehož osa je ne osa odrazu; je v polovině mezi dvěma sousedními paralelními osami odrazu.
• Tato skupina platí pro symetricky rozložené řádky (tj. V řadě je posun na polovinu vzdálenosti překladu uvnitř řádků) stejných objektů, které mají osu symetrie kolmou na řádky.

Příklady skupiny cm

• 

  Generováno počítačem
• 

  Šaty z Amun, z Abu Simbel, Egypt
• 

  Dado z Biban el Moluk, Egypt
• 

  Bronz plavidlo v Nimroud, Asýrie
• 

  Spandrils z oblouky, Alhambra, Španělsko
• 

  Soffitt arch Alhambra, Španělsko
• 

  Peršan gobelín
• 

  indický zámečnické práce na Skvělá výstava v roce 1851
• 

  Šaty postavy v a hrobka na Biban el Moluk, Egypt

Skupina pmm (*2222)

Příklad a schéma pro pmm

Buněčná struktura pro pmm

obdélníkový	náměstí

• Orbifold podpis: *2222
• Coxeterova notace (obdélníková): [∞, 2, ∞] nebo [∞] × [∞]
• Coxeterova notace (čtverec): [4,1⁺, 4] nebo [1⁺,4,4,1⁺]
• Mřížka: obdélníková
• Skupina bodů: D₂
• Skupina pmm má odrazy ve dvou kolmých směrech a čtyři středy otáčení řádu dva (180 °) umístěné v průsečících os odrazu.

Příklady skupiny pmm

• 

  2D obraz mřížky plot, USA (ve 3D existuje další symetrie)
• 

  Mumie pouzdro uložené v Louvre
• 

  Mumie pouzdro uložené v Louvre. Byl by typ str4m až na neodpovídající zbarvení

Skupina pmg (22*)

Příklad a schéma pro pmg

Buněčné struktury pro pmg

Horizontální zrcadla	Vertikální zrcadla

• Orbifold podpis: 22*
• Coxeterova notace: [(∞, 2)⁺, ∞] nebo [∞, (2, ∞)⁺]
• Mřížka: obdélníková
• Skupina bodů: D₂
• Skupina pmg má dva středy otáčení řádu dva (180 °) a odrazy pouze v jednom směru. Má klouzavé odrazy, jejichž osy jsou kolmé k osám odrazu. Středy otáčení leží na osách klouzavého odrazu.

Příklady skupiny pmg

• 

  Generováno počítačem
• 

  Tkanina, Sandwichovy ostrovy (Havaj )
• 

  Strop Egyptský hrobka
• 

  Podlahové dlaždice Praha, Česká republika
• 

  Mísa z Kerma
• 

  Balení Pentagonu

Skupina pgg (22×)

Příklad a schéma pro pgg

Buněčné struktury pro pgg mřížkovým typem

Obdélníkový	Náměstí

• Orbifold podpis: 22×
• Coxeterova notace (obdélníková): [((∞, 2)⁺,(∞,2)⁺)]
• Coxeterova notace (čtverec): [4⁺,4⁺]
• Mřížka: obdélníková
• Skupina bodů: D₂
• Skupina pgg obsahuje dva středy otáčení řádu dva (180 °) a klouzavé odrazy ve dvou kolmých směrech. Středy otáčení nejsou umístěny na klouzavých odrazových osách. Neexistují žádné odrazy.

Příklady skupiny pgg

• 

  Generováno počítačem
• 

  Bronz plavidlo v Nimroud, Asýrie
• 

  Chodník v Budapešť, Maďarsko

Skupina cmm (2*22)

Příklad a schéma pro cmm

Buněčné struktury pro cmm mřížkovým typem

Kosočtverečný	Náměstí

• Orbifold podpis: 2*22
• Coxeterova notace (kosočtverečná): [∞, 2⁺,∞]
• Coxeterova notace (čtverec): [(4,4,2⁺)]
• Mříž: kosočtverečná
• Skupina bodů: D₂
• Skupina cmm má odrazy ve dvou kolmých směrech a rotaci řádu dva (180 °), jehož střed je ne na ose odrazu. Má také dvě rotace, jejichž středy jsou na ose odrazu.
• Tato skupina je často vidět v každodenním životě, protože nejběžnější uspořádání cihly v cihlové budově (běžící svazek ) využívá tuto skupinu (viz příklad níže).

Rotační symetrie řádu 2 se středy otáčení ve středech po stranách kosočtverce je důsledkem dalších vlastností.

Vzor odpovídá každé z následujících možností:

• symetricky rozložené řady stejných dvojnásobně symetrických objektů
• šachovnicový vzor dvou střídajících se obdélníkových dlaždic, z nichž každá je sama o sobě dvojnásobně symetrická
• šachovnicový vzor střídavě 2krát rotačně symetrické obdélníkové dlaždice a její zrcadlový obraz

Příklady skupiny cmm

• 

  Generováno počítačem
• 

  jeden z 8 polopravidelné mozaikování
• 

  Předměstský cihlový zeď pomocí běžící svazek dohoda, USA
• 

  Strop Egyptský hrobka. Ignorování barev, to by bylo str4G
• 

  Egyptský
• 

  Peršan gobelín
• 

  Egyptský hrobka
• 

  turečtina jídlo
• 

  Kompaktní balení dvou velikostí kruhu
• 

  Další kompaktní balení dvou velikostí kruhu
• 

  Další kompaktní balení dvou velikostí kruhu

Skupina str4 (442)

Příklad a schéma pro str4

Buněčná struktura pro str4

• Orbifold podpis: 442
• Coxeterova notace: [4,4]⁺
• Mříž: čtvercová
• Skupina bodů: C₄
• Skupina str4 má dva středy otáčení řádu čtyři (90 °) a jeden střed otáčení řádu dva (180 °). Nemá žádné odrazy ani klouzavé odrazy.

Příklady skupiny str4

A str4 na vzor lze pohlížet jako na opakování v řadách a sloupcích stejných čtvercových dlaždic se čtyřnásobnou rotační symetrií. Také to lze považovat za šachovnice vzor dvou takových dlaždic, faktor ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ menší a otočené o 45 °.

• 

  Generováno počítačem
• 

  Strop Egyptský hrobka; ignorování barev to je str4, v opačném případě str2
• 

  Strop Egyptský hrobka
• 

  Překryté vzory
• 

  Frieze Alhambra, Španělsko. Vyžaduje důkladnou kontrolu, aby se zjistilo, proč nejsou žádné odrazy
• 

  Vídeňská hůl
• 

  Renesanční kamenina
• 

  Pythagorovy obklady
• 

  Generováno z fotografie

Skupina str4m (*442)

Příklad a schéma pro str4m

Buněčná struktura pro str4m

• Orbifold podpis: *442
• Coxeterova notace: [4,4]
• Mříž: čtvercová
• Skupina bodů: D₄
• Skupina str4m má dva středy otáčení řádu čtyři (90 °) a odrazy ve čtyřech odlišných směrech (vodorovný, svislý a úhlopříčný). Má další klouzavé odrazy, jejichž osy nejsou odrazovými osami; rotace řádu dva (180 °) jsou vycentrovány v průsečíku klouzavých odrazových os. Všechny středy otáčení leží na osách odrazu.

To odpovídá přímé mřížce řádků a sloupců se stejnými čtverci se čtyřmi osami odrazu. Také to odpovídá a šachovnice vzor dvou takových čtverců.

Příklady skupiny str4m

Příklady zobrazené s nejmenšími vodorovnými a svislými překlady (jako na obrázku):

• 

  Generováno počítačem
• 

  jeden ze 3 pravidelné mozaikování
• 

  Demiregular obklady s trojúhelníky; ignorování barev, to je str4m, v opačném případě C2m
• 

  jeden z 8 polopravidelné mozaiky (ignoruje také barvu, s menšími překlady)
• 

  Ornamentální malba, Ninive, Asýrie
• 

  Odtok bouře, USA
• 

  Egyptský mumie případ
• 

  Peršan prosklené dlaždice
• 

  Kompaktní balení dvou velikostí kruhu

Příklady zobrazené s nejmenší úhlopříčkou překladů:

• 

  šachovnice
• 

  Tkanina, Otaheite (Tahiti )
• 

  Egyptský hrobka
• 

  Katedrála v Bourges
• 

  Jídlo z krocan, Osmanský doba

Skupina str4G (4*2)

Příklad a schéma pro str4G

Buněčná struktura pro str4G

• Orbifold podpis: 4*2
• Coxeterova notace: [4⁺,4]
• Mříž: čtvercová
• Skupina bodů: D₄
• Skupina str4G má dvě středy otáčení řádu čtyři (90 °), které jsou navzájem zrcadlovým obrazem, ale má odrazy pouze ve dvou směrech, které jsou kolmé. Existují rotace řádu dva (180 °), jejichž středy jsou umístěny na průsečících os odrazu. Má klouzavé odrazové osy rovnoběžné s osami odrazu, mezi nimi, a také s nimi v úhlu 45 °.

A str4G na vzor lze pohlížet jako na šachovnice vzor kopií čtvercové dlaždice se čtyřnásobnou rotační symetrií a její zrcadlový obraz. Alternativně na něj lze pohlížet (posunutím poloviny dlaždice) jako šachovnicový vzor kopií vodorovně a svisle symetrické dlaždice a její 90 ° otočené verze. Všimněte si, že ani jeden neplatí pro obyčejný šachovnicový vzor černých a bílých dlaždic, toto je skupina str4m (s diagonálními translačními buňkami).

Příklady skupiny str4G

• 

  Koupelna linoleum, USA
• 

  Malované porcelán, Čína
• 

  Fly screen, USA
• 

  Malba, Čína
• 

  jedno z barvení urážet čtvercové obklady (viz také na str)

Skupina str3 (333)

Příklad a schéma pro str3

Buněčná struktura pro str3

• Orbifold podpis: 333
• Coxeterova notace: [(3,3,3)]⁺ nebo [3^[3]]⁺
• Mříž: šestihranný
• Skupina bodů: C₃
• Skupina str3 má tři různé středy otáčení řádu tři (120 °), ale žádné odrazy ani klouzavé odrazy.

Představte si a mozaikování roviny s rovnostrannými trojúhelníky stejné velikosti, přičemž strany odpovídají nejmenším překladům. Poté je polovina trojúhelníků v jedné orientaci a druhá polovina vzhůru nohama. Tato skupina tapet odpovídá případu, že všechny trojúhelníky stejné orientace jsou stejné, zatímco oba typy mají rotační symetrii řádu tři, ale tyto dva typy nejsou stejné, vzájemný zrcadlový obraz každého jiný a ne oba symetrické (pokud jsou dva stejné my máme str6, pokud jsou navzájem zrcadlovým obrazem, který máme str31m, pokud jsou oba symetrické, máme str3m1; pokud platí dva ze tří, pak i třetí a máme str6m). Pro daný obrázek jsou možné tři z těchto mozaikování, každý s rotačními středy jako vrcholy, tj. Pro jakoukoli mozaikování jsou možné dva posuny. Pokud jde o obrázek: vrcholy mohou být červené, modré nebo zelené trojúhelníky.

Ekvivalentně si představte mozaikování roviny s pravidelnými šestiúhelníky se stranami rovnými nejmenší translační vzdálenosti dělené √3. Pak tato skupina tapet odpovídá případu, že všechny šestiúhelníky jsou stejné (a ve stejné orientaci) a mají rotační symetrii řádu tři, zatímco nemají žádnou symetrii zrcadlového obrazu (pokud mají rotační symetrii řádu šest, máme str6, pokud jsou symetrické vzhledem k hlavním úhlopříčkám, které máme str31m, pokud jsou symetrické vzhledem k přímkám kolmým na strany, které máme str3m1; pokud platí dva ze tří, pak i třetí a máme str6m). Pro daný obrázek jsou možné tři z těchto mozaikování, každá s jednou třetinou středů otáčení jako středy šestiúhelníků. Pokud jde o obrázek: středy šestiúhelníků mohou být červené, modré nebo zelené trojúhelníky.

Příklady skupiny str3

• 

  Generováno počítačem
• 

  jeden z 8 polopravidelné mozaiky (ignorování barev: str6); překladové vektory jsou otočeny trochu doprava ve srovnání se směry v podkladové hexagonální mřížce obrazu
• 

  Uliční chodník v Zakopane, Polsko
• 

  Obklady v Alhambra, Španělsko (a celá zeď ); ignoruje všechny barvy str3 (ignoruje pouze barvy hvězd str1 )

Skupina str3m1 (*333)

Příklad a schéma pro str3m1

Buněčná struktura pro str3m1

• Orbifold podpis: *333
• Coxeterova notace: [(3,3,3)] nebo [3^[3]]
• Mříž: šestihranný
• Skupina bodů: D₃
• Skupina str3m1 má tři různé středy otáčení řádu tři (120 °). Má odrazy na třech stranách rovnostranného trojúhelníku. Střed každé rotace leží na ose odrazu. Existují další klouzavé odrazy ve třech odlišných směrech, jejichž osy jsou umístěny na půli cesty mezi sousedními paralelními odrazovými osami.

Jako pro str3, si představte mozaikování roviny s rovnostrannými trojúhelníky stejné velikosti, přičemž strany odpovídají nejmenším překladům. Poté je polovina trojúhelníků v jedné orientaci a druhá polovina vzhůru nohama. Tato skupina tapet odpovídá případu, že všechny trojúhelníky stejné orientace jsou stejné, zatímco oba typy mají rotační symetrii řádu tři a oba jsou symetrické, ale oba nejsou stejné a zrcadlový obraz toho druhého není stejný. Pro daný obrázek jsou možné tři z těchto mozaikování, z nichž každá má středy rotace jako vrcholy. Pokud jde o obrázek: vrcholy mohou být červené, tmavě modré nebo zelené trojúhelníky.

Příklady skupiny str3m1

• 

  jeden ze 3 pravidelné mozaikování (ignorování barev: str6m)
• 

  další pravidelné mozaikování (ignorování barev: str6m)
• 

  jeden z 8 polopravidelné mozaikování (ignorování barev: str6m)
• 

  Peršan prosklené dlaždice (ignorování barev: str6m)
• 

  Peršan ornament
• 

  Malování, Čína (viz podrobný obrázek)

Skupina str31m (3*3)

Příklad a schéma pro str31m

Buněčná struktura pro str31m

• Orbifold podpis: 3*3
• Coxeterova notace: [6,3⁺]
• Mříž: šestihranný
• Skupina bodů: D₃
• Skupina str31m má tři různá středy otáčení řádu tři (120 °), z nichž dva jsou navzájem zrcadlovým obrazem. Má odrazy ve třech odlišných směrech. Má alespoň jednu rotaci, jejíž střed dělá ne leží na ose odrazu. Existují další klouzavé odrazy ve třech odlišných směrech, jejichž osy jsou umístěny na půli cesty mezi sousedními paralelními odrazovými osami.

Jako pro str3 a str3m1, si představte mozaikování roviny s rovnostrannými trojúhelníky stejné velikosti, přičemž strany odpovídají nejmenším překladům. Poté je polovina trojúhelníků v jedné orientaci a druhá polovina vzhůru nohama. Tato skupina tapet odpovídá případu, že všechny trojúhelníky stejné orientace jsou stejné, zatímco oba typy mají rotační symetrii řádu tři a jsou navzájem zrcadlovým obrazem, ale nejsou samy symetrické a nejsou stejné. Pro daný obrázek je možná pouze jedna taková mozaikování. Pokud jde o obrázek: vrcholy mohou ne být tmavě modré trojúhelníky.

Příklady skupiny str31m

• 

  Peršan prosklené dlaždice
• 

  Malované porcelán, Čína
• 

  Malování, Čína
• 

  Kompaktní balení dvou velikostí kruhu

Skupina str6 (632)

Příklad a schéma pro str6

Buněčná struktura pro str6

• Orbifold podpis: 632
• Coxeterova notace: [6,3]⁺
• Mříž: šestihranný
• Skupina bodů: C₆
• Skupina str6 má jeden střed otáčení řádu šest (60 °); dva středy rotace řádu tři (120 °), které jsou navzájem obrazy pod rotací 60 °; a tři středy rotace řádu dva (180 °), které jsou také navzájem obrazy pod rotací 60 °. Nemá žádné odrazy ani klouzavé odrazy.

Na vzorek s touto symetrií lze pohlížet jako na mozaikování roviny se stejnými trojúhelníkovými dlaždicemi s C₃ symetrie, nebo ekvivalentně, mozaikování roviny se stejnými šestiúhelníkovými dlaždicemi s C₆ symetrie (s hranami dlaždic nemusí být nutně součástí vzoru).

Příklady skupiny str6

• 

  Generováno počítačem
• 

  Pravidelné mnohoúhelníky
• 

  Obložení stěn, Alhambra, Španělsko
• 

  Peršan ornament

Skupina str6m (*632)

Příklad a schéma pro str6m

Buněčná struktura pro str6m

• Orbifold podpis: *632
• Coxeterova notace: [6,3]
• Mříž: šestihranný
• Skupina bodů: D₆
• Skupina str6m má jeden střed otáčení řádu šest (60 °); má dva středy rotace řádu tři, které se liší pouze o rotaci 60 ° (nebo ekvivalentně 180 °), a tři řádu dva, které se liší pouze rotací 60 °. Má také odrazy v šesti odlišných směrech. Existují další klouzavé odrazy v šesti odlišných směrech, jejichž osy jsou umístěny na půli cesty mezi sousedními rovnoběžnými odrazovými osami.

Na vzorek s touto symetrií lze pohlížet jako na mozaikování roviny se stejnými trojúhelníkovými dlaždicemi s D₃ symetrie, nebo ekvivalentně, mozaikování roviny se stejnými šestiúhelníkovými dlaždicemi s D₆ symetrie (s hranami dlaždic nemusí být nutně součástí vzoru). Nejjednodušší příklady jsou tedy a trojúhelníková mříž s nebo bez spojovacích vedení a a šestihranný obklad s jednou barvou pro obrys šestiúhelníků a jednou pro pozadí.

Příklady skupiny str6m

• 

  Generováno počítačem
• 

  jeden z 8 polopravidelné mozaikování
• 

  další polopravidelná mozaikování
• 

  další polopravidelná mozaikování
• 

  Peršan prosklené dlaždice
• 

  Královské šaty, Khorsabad, Asýrie; to je téměř str6m (ignorování vnitřních částí květin, které to dělají cmm )
• 

  Bronz plavidlo v Nimroud, Asýrie
• 

  byzantský mramor chodník, Řím
• 

  Malované porcelán, Čína
• 

  Malované porcelán, Čína
• 

  Kompaktní balení dvou velikostí kruhu
• 

  Další kompaktní balení dvou velikostí kruhu

Příhradové typy

Je jich pět mříž typy nebo Bravais svazy, což odpovídá pěti možným skupinám tapet samotné mřížky. Skupina tapet vzoru s touto mřížkou translační symetrie nemůže mít více, ale může mít menší symetrii než samotná mřížka.

• V 5 případech rotační symetrie řádu 3 nebo 6 se jednotková buňka skládá ze dvou rovnostranných trojúhelníků (hexagonální mřížka, sama str6m). Tvoří kosočtverec s úhly 60 ° a 120 °.
• Ve 3 případech rotační symetrie řádu 4 je buňka čtverec (čtvercová mřížka sama o sobě str4m).
• V 5 případech odrazu nebo klouzavého odrazu, ale ne v obou, je buňkou obdélník (samotná obdélníková mřížka) pmm). Lze jej také interpretovat jako středovou kosočtverečnou mříž. Zvláštní případy: čtverec.
• Ve 2 případech odrazu kombinovaného s klouzavým odrazem je buňka kosočtverec (kosočtverečná mřížka sama o sobě cmm). Lze jej také interpretovat jako středovou obdélníkovou mříž. Zvláštní případy: čtvercový, šestihranný jednotkový článek.
• V případě pouze rotační symetrie řádu 2 a v případě jiné symetrie než translační je buňka obecně rovnoběžník (rovnoběžníková nebo šikmá mřížka, sama o sobě str2). Zvláštní případy: obdélník, čtverec, kosočtverec, šestihranná jednotková buňka.

Skupiny symetrie

Aktuální skupina symetrie by měl být odlišen od skupiny tapet. Skupiny tapet jsou kolekce skupin symetrie. Existuje 17 těchto sbírek, ale pro každou sbírku existuje nekonečně mnoho skupin symetrie ve smyslu skutečných skupin izometrií. Ty závisí, kromě skupiny tapet, na řadě parametrů pro překladové vektory, orientaci a pozici os odrazu a středů otáčení.

Počet stupně svobody jsou:

• 6 pro str2
• 5 pro pmm, pmg, pgg, a cmm
• 4 pro zbytek.

V rámci každé skupiny tapet jsou však všechny skupiny symetrie algebraicky izomorfní.

Některé izomorfismy skupiny symetrie:

• str1: Z²
• odpoledne: Z × D_∞
• pmm: D_∞ × D_∞.

Dependence of wallpaper groups on transformations

• The wallpaper group of a pattern is invariant under isometries and uniform scaling (transformace podobnosti ).
• Translational symmetry is preserved under arbitrary bijective afinní transformace.
• Rotational symmetry of order two ditto; this means also that 4- and 6-fold rotation centres at least keep 2-fold rotational symmetry.
• Reflection in a line and glide reflection are preserved on expansion/contraction along, or perpendicular to, the axis of reflection and glide reflection. It changes str6m, str4G, a str3m1 do cmm, str3m1 do cm, a str4m, depending on direction of expansion/contraction, into pmm nebo cmm. A pattern of symmetrically staggered rows of points is special in that it can convert by expansion/contraction from str6m na str4m.

Note that when a transformation decreases symmetry, a transformation of the same kind (the inverse) obviously for some patterns increases the symmetry. Such a special property of a pattern (e.g. expansion in one direction produces a pattern with 4-fold symmetry) is not counted as a form of extra symmetry.

Change of colors does not affect the wallpaper group if any two points that have the same color before the change, also have the same color after the change, and any two points that have different colors before the change, also have different colors after the change.

If the former applies, but not the latter, such as when converting a color image to one in black and white, then symmetries are preserved, but they may increase, so that the wallpaper group can change.

Web demo and software

Several software graphic tools will let you create 2D patterns using wallpaper symmetry groups. Usually you can edit the original tile and its copies in the entire pattern are updated automatically.

• MadPattern, a free set of Adobe Illustrator templates that support the 17 wallpaper groups
• Tess, a shareware tessellation program for multiple platforms, supports all wallpaper, frieze, and rosette groups, as well as Heesch tilings.
• Kali, online graphical symmetry editor Applet Java (not supported by default in browsers).
• Kali, free downloadable Kali for Windows and Mac Classic.
• Inkscape, a volný, uvolnit editor vektorové grafiky, supports all 17 groups plus arbitrary scales, shifts, rotates, and color changes per row or per column, optionally randomized to a given degree. (Vidět [1] )
• SymmetryWorks is a commercial plugin for Adobe Illustrator, supports all 17 groups.
• Wallpaper Symmetry is a free online Javascript drawing tool supporting the 17 groups. The hlavní strana has an explanation of the wallpaper groups, as well as drawing tools and explanations for the other planar symmetry groups také.

Viz také

• Seznam skupin planární symetrie (summary of this page)
• Aperiodické obklady
• Krystalografie
• Skupina vrstev
• Matematika a umění
• M. C. Escher
• Skupina bodů
• Skupiny symetrie v jedné dimenzi
• Mozaikování

Poznámky

Reference

• Gramatika ornamentu (1856), autor Owen Jones. Many of the images in this article are from this book; it contains many more.
• John H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Skupiny, kombinatorika a geometrie, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
• John H. Conway, Heidi Burgiel and Chaim Goodman-Strauss (2008): Symetrie věcí. Worcester MA: A.K. Peters. ISBN  1-56881-220-5.
• Branko Grünbaum and G. C. Shephard (1987): Obklady a vzory. New York: Freeman. ISBN  0-7167-1193-1.
• Pattern Design, Lewis F. Day

externí odkazy

• International Tables for Crystallography Volume A: Space-group symmetry by the International Union of Crystallography
• The 17 plane symmetry groups by David E. Joyce
• Introduction to wallpaper patterns by Chaim Goodman-Strauss and Heidi Burgiel
• Popis by Silvio Levy
• Example tiling for each group, with dynamic demos of properties
• Overview with example tiling for each group
• Escher Web Sketch, a java applet with interactive tools for drawing in all 17 plane symmetry groups
• Burak, a Java applet for drawing symmetry groups.
• A JavaScript app for drawing wallpaper patterns
• Circle-Pattern on Roman Mosaics in Greece
• Seventeen Kinds of Wallpaper Patterns the 17 symmetries found in traditional Japanese patterns.
• Baloglou, George (2002). "An elementary, purely geometrical classification of the 17 planar crystallographic groups (wallpaper patterns)". Citováno 2018-07-22.