Pravidelný dvanáctistěn - Regular dodecahedron - Wikipedia

Pravidelný dvanáctistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Platonická pevná látka
Elementy	F = 12, E = 30 PROTI = 20 (χ = 2)
Tváře po stranách	12{5}
Conwayova notace	D
Schläfliho symboly	{5,3}
Konfigurace obličeje	V3.3.3.3.3
Wythoffův symbol	3 | 2 5
Coxeterův diagram
Symetrie	Jáh, H3, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]+, (532)
Reference	U23, C26, Ž5
Vlastnosti	pravidelný, konvexní
Dihedrální úhel	116,56505 ° = arccos (-1⁄√5)
5.5.5 (Vrcholová postava )	Pravidelný dvacetistěn (duální mnohostěn )
Síť

Animace sítě složeného pravidelného (pětiúhelníkového) dvanáctistěnu

3D model pravidelného dvanáctistěnu

A pravidelný dvanáctistěn nebo pětiúhelníkový dvanáctistěn je dvanáctistěn to je pravidelný, který se skládá z 12 pravidelný pětiúhelníkový tváře, po třech setkání vrchol. Je to jeden z pěti Platonické pevné látky. Má 12 ploch, 20 vrcholů, 30 okrajů a 160 úhlopříček (60 čelní úhlopříčky, 100 vesmírné úhlopříčky ).^[1] To je reprezentováno Schläfliho symbol {5,3}.

Rozměry

Pokud je délka hrany pravidelného dvanáctistěnu „${ displaystyle a}$“, poloměr a ohraničená koule (ten, který se dotýká pravidelného dvanáctistěn ve všech vrcholech) je

${ displaystyle r_ {u} = a { frac { sqrt {3}} {4}} vlevo (1 + { sqrt {5}} vpravo) přibližně 1,401 , 258 , 538 cdot a }$ OEIS: A179296

a poloměr vepsané koule (tečna každé tváři pravidelného dodekaedru) je

${ displaystyle r_ {i} = a { frac {1} {2}} { sqrt {{ frac {5} {2}} + { frac {11} {10}} { sqrt {5} }}} přibližně 1,113 , 516 , 364 cdot a}$

zatímco midradius, který se dotýká středu každého okraje, je

${ displaystyle r_ {m} = a { frac {1} {4}} vlevo (3 + { sqrt {5}} vpravo) přibližně 1,309 , 016 , 994 cdot a}$

Tato množství lze také vyjádřit jako

${ displaystyle r_ {u} = a , { frac { sqrt {3}} {2}} phi}$

${ displaystyle r_ {i} = a , { frac { phi ^ {2}} {2 { sqrt {3- phi}}}}}$

${ displaystyle r_ {m} = a , { frac { phi ^ {2}} {2}}}$

kde ϕ je Zlatý řez.

Všimněte si, že vzhledem k pravidelnému dvanáctistěnu o délce hrany jedna r_u je poloměr opsané koule o a krychle délky hrany ϕ, a r_i je apothem pravidelného pětiúhelníku o délce hrany ϕ.

Plocha a objem

The plocha povrchu A a objem PROTI pravidelného dvanáctistenu o délce hrany A jsou:

${ displaystyle { displaystyle A = 3 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} a ^ {2} přibližně 20 645 , 728 , 807a ^ {2}}}$

${ displaystyle V = { frac {1} {4}} (15 + 7 { sqrt {5}}) a ^ {3} přibližně 7 663 , 118 , 9606a ^ {3}}$

Navíc povrchová plocha a objem pravidelného dvanáctistěnu souvisí s Zlatý řez. Dvanáctistěn s délkou hrany jedné jednotky má vlastnosti:^[2]

${ displaystyle { displaystyle A = { frac {15 varphi} { sqrt {3- varphi}}}}}$

${ displaystyle { displaystyle V = { frac {5 varphi ^ {3}} {6-2 varphi}}}}$

Projekce dvourozměrné symetrie

The pravidelný dvanáctistěn má dvě speciální ortogonální projekce, na střed, na vrcholy a pětiúhelníkové tváře odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce

Na střed	Vrchol	Okraj	Tvář
obraz
Projektivní symetrie	[[3]] = [6]	[2]	[[5]] = [10]

v perspektivní projekce, při pohledu na pětiúhelníkový obličej lze pravidelný dvanáctistěn považovat za lineárně ohraničený Schlegelův diagram nebo stereografická projekce jako sférický mnohostěn. Tyto projekce se také používají při zobrazování čtyřrozměrných 120 buněk, pravidelný 4-dimenzionální polytop, postavený ze 120 dodecahedra, promítání do 3 rozměrů.

Projekce	Ortogonální projekce	Perspektivní projekce
		Schlegelův diagram	Stereografická projekce
Pravidelný dvanáctistěn
Dodecaplex (120 buněk )

Sférické obklady

Pravidelný dvanáctistěn může být také reprezentován jako a sférické obklady.

Ortografická projekce	Stereografická projekce

Kartézské souřadnice

Souřadnice vrcholů:
	Oranžové vrcholy leží na (± 1, ± 1, ± 1) a tvoří kostku (tečkované čáry).
	Zelené vrcholy leží na (0, ±ϕ, ±1/ϕ) a na obdélníku vytvořte obdélník yz-letadlo.
	Modré vrcholy leží na (±1/ϕ, 0, ±ϕ) a na obdélníku vytvořte obdélník xz-letadlo.
	Růžové vrcholy leží na (±ϕ, ±1/ϕ, 0) a vytvořte obdélník na xy-letadlo.
Vzdálenost mezi sousedními vrcholy je 2/ϕa vzdálenost od počátku k libovolnému vrcholu je √3. ϕ = 1 + √5/2 je zlatý řez.

Následující Kartézské souřadnice definujte 20 vrcholů pravidelného dodekaedru se středem v počátku a vhodně zmenšeného a orientovaného:^[3]

(±1, ±1, ±1)

(0, ±ϕ, ±1/ϕ)

(±1/ϕ, 0, ±ϕ)

(±ϕ, ±1/ϕ, 0)

kde ϕ = 1 + √5/2 je Zlatý řez (také psáno τ) ≈ 1,618. Délka hrany je 2/ϕ = √5 − 1. The circumradius je√3.

Fazetové rovnice

Podobně jako symetrie vrcholů souřadnic, rovnice dvanácti aspektů pravidelného dodekaedru také zobrazují symetrii ve svých koeficientech:

X ± ano = ±ϕ²

y ± .z = ±ϕ²

z ± ϕx = ±ϕ²

Vlastnosti

• The vzepětí úhel pravidelného dvanáctistěnu je 2arktan (ϕ) nebo přibližně 116.565° (kde znovu ϕ = 1 + √5/2, Zlatý řez ). OEIS: A137218 Všimněte si, že tečna úhlu vzepětí je přesně −2.
• Pokud má původní pravidelný dvanáctistěn délku hrany 1, je jeho duální dvacetistěnu má délku hrany ϕ.
• Pokud je pět platonických pevných látek vytvořeno se stejným objemem, má pravidelný dvanáctistěn nejkratší hrany.
• Má 43 380 sítě.
• Počet barevných map pravidelných tváří dvanáctistěnů je 4.
• Vzdálenost mezi vrcholy na stejné ploše, které nejsou spojeny hranou, je ϕ násobek délky hrany.
• Pokud dva okraje sdílejí společný vrchol, pak středy těchto okrajů tvoří trojúhelník 36-72-72 se středem těla.

Geometrické vztahy

The pravidelný dvanáctistěn je třetí v nekonečné sadě zkrácený lichoběžník který může být sestaven zkrácením dvou axiálních vrcholů a pětiúhelníkový lichoběžník.

The stellations z pravidelného dvanáctistěnu tvoří tři ze čtyř Kepler – Poinsotův mnohostěn.

A opraveno pravidelný dvanáctistěn tvoří icosidodecahedron.

Pravidelný dvanáctistěn má ikosahedrální symetrie Já_h, Skupina coxeterů [5,3], objednávka 120, s abstraktní skupinovou strukturou A₅ × Z₂.

Vztah k normálnímu dvacetistěnu

Když je pravidelný dvanáctistěn zapsán do a koule, zaujímá více objemu koule (66,49%) než ikosahedron zapsaný do stejné koule (60,55%).

Pravidelný dvanáctistěn s délkou hrany 1 má více než tři a půlnásobek objemu ikosahedronu se stejnými délkami hran (7,663 ... ve srovnání s 2,181 ...), což je poměr přibližně 3.51246117975nebo přesně: 3/5(3ϕ + 1) nebo (1.8ϕ + 0.6).

Pravidelný dvanáctistěn má 12 tváří a 20 vrcholů, zatímco běžný dvacetistěn má 20 tváří a 12 vrcholů. Oba mají 30 okrajů.

Vztah k vnořené krychli

Kostka může být vložena do pravidelného dvanáctistěn, připevněného k osmi jeho ekvidistantních vrcholů, v pěti různých pozicích.^[4] Ve skutečnosti se pět kostek může překrývat a blokovat uvnitř pravidelného dvanáctistěnu, což má za následek směs pěti kostek.

Poměr okraje pravidelného dvanáctistěnku k okraji krychle vložené uvnitř takového pravidelného dvanáctistěnku je 1:ϕ, nebo (ϕ − 1) : 1.

Poměr objemu pravidelného dodekaedru k objemu krychle vložené uvnitř takového pravidelného dodekaedru je 1:2/2 + ϕnebo 1 + ϕ/2 : 1 nebo (5 +√5) : 4.

Například vložená krychle s objemem 64 (a délkou hrany 4) se vnoří do pravidelného dvanáctistěnu o objemu 64 + 32ϕ (a délka hrany 4ϕ − 4).

Rozdíl v objemu mezi obklopujícím pravidelným dvanáctistěnem a uzavřenou krychlí je tedy vždy poloviční oproti objemu krychleϕ.

Z těchto poměrů jsou odvozeny jednoduché vzorce pro objem pravidelného dvanáctistěnu s délkou hrany A z hlediska zlaté střední cesty:

PROTI = (aϕ)³ · 1/4(5 + √5)

PROTI = 1/4(14ϕ + 8)A³

Vztah ke zlatému obdélníku

Zlaté obdélníky poměru (ϕ + 1): 1 a ϕ : 1 také dokonale zapadá do běžného dvanáctistěnu.^[5] V poměru k tomuto zlatému obdélníku je hrana uzavřené krychle ϕ, když je dlouhá délka obdélníku ϕ + 1 (nebo ϕ²) a krátká délka je 1 (hrana sdílená s pravidelným dvanáctistěnem).

Kromě toho střed každé tváře pravidelného dodekaedru tvoří tři protínající se zlaté obdélníky.^[6]

Vztah k 6-krychli a kosočtverečnému triacontahedronu

Projekce 6-demikry do pravidelné dodekahedrální obálky

Lze jej promítnout do 3D z 6-dimenzionálního 6-demicube pomocí stejných základních vektorů, které tvoří trup kosočtverečný triacontahedron z 6 kostek. Zde je uvedeno včetně 12 vnitřních vrcholů, které nejsou spojeny vnějšími hranami trupu o délce 6D √2, tvoří a pravidelný dvacetistěn.

Základní vektory 3D projekce [u,proti,w] používané jsou:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)

proti = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)

w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Historie a použití

Roman dodecahedron

Všesměrový zdroj zvuku

Pravidelné dvanáctistěnné objekty našly několik praktických aplikací a hrály také roli ve výtvarném umění a ve filozofii.

Iamblichus tvrdí, že Hippasus Pytagorejec zahynul v moři, protože se chlubil tím, že nejprve prozradil „kouli s dvanácti pětiúhelníky“.^[7] v Theaetetus Platónovým dialogem dokázal Platón dokázat, že existuje jen pět stejných pravidelných těles; tito později stali se známí jako platonické pevné látky. Timaeus (asi 360 př. n. l.), jako osobnost Platónova dialogu, spojuje další čtyři platonické pevné látky se čtyřmi klasické prvky a dodává, že existuje pátý solidní vzor, ​​který, ačkoli je běžně spojován s pravidelným dvanáctistěnem, nikdy jako takový není přímo zmiňován; „tento Bůh použil při vymezení vesmíru.“^[8] Aristoteles také předpokládal, že nebesa jsou vyrobena z pátého prvku, který nazval aithêr (éter v latině, éter v americké angličtině).

Pravidelné dodekahedry byly používány jako kostky a pravděpodobně také jako věštecká zařízení. Během Helénistická éra, malý, dutý bronz Roman dodecahedra byly vyrobeny a byly nalezeny v různých římských ruinách v Evropě. Jejich účel není jistý.

v Umění 20. století, dodecahedra se objeví v díle M. C. Escher, jako jsou jeho litografie Plazi (1943) a Gravitace (1952). v Salvador dali malba Svátost poslední večeře (1955), místnost je dutý pravidelný dvanáctistěn. Gerard Caris celé své umělecké dílo založil na pravidelném dvanáctistěnu a pětiúhelníku, který je prezentován jako nové umělecké hnutí vytvořené jako pětiúhelník.

Horolezecká stěna skládající se ze tří dodekahedrálních kusů

V moderní hry na hrdiny Pravidelný dvanáctistěn se často používá jako dvanáctistranný nástroj, jeden z nejběžnějších mnohostěnné kostky.

Pohlcující média Společnost zabývající se výrobou kamer vyrobila kameru Dodeca 2360, první 360 ° kameru s plným pohybem, která pořizuje video ve vysokém rozlišení ze všech směrů současně rychlostí více než 100 milionů pixelů za sekundu nebo 30 snímků za sekundu.^{[propagační jazyk ]} Je založen na pravidelném dvanáctistěnu.^{[Citace je zapotřebí ]}

The Megaminx twisty puzzle, spolu s jeho větším a menším řádem analogů, je ve tvaru pravidelného dodecahedron.

V dětském románu Fantom Tollbooth, pravidelný dvanáctistěn se jeví jako postava v zemi matematiky. Každá z jeho tváří má jiný výraz - např. šťastný, naštvaný, smutný - který podle potřeby otočí dopředu, aby odpovídal jeho náladě.

V přírodě

Fosilní coccolithophore

Ho-Mg-Zn kvazikrystal

Fosilní coccolithophore Braarudosphaera bigelowii (viz obrázek), jednobuněčné pobřeží fytoplankton řasa, má plášť uhličitanu vápenatého s pravidelnou dodekaedrickou strukturou o průměru přibližně 10 mikrometrů.^[9]

Nějaký kvazikrystaly mají dodekaedrický tvar (viz obrázek). Některé běžné krystaly jako např granát a diamant také se říká, že vykazují „dodekahedrál“ zvyk, ale toto tvrzení ve skutečnosti odkazuje na kosočtverečný dvanáctistěn tvar.^[10]

Tvar vesmíru

Pro globální geometrii vesmíru byly navrženy různé modely. Navíc k primitivní geometrie, tyto návrhy zahrnují Poincaré dodecahedral prostor, pozitivně zakřivený prostor skládající se z pravidelného dvanáctistěn, jehož protilehlé tváře odpovídají (s malým kroucením). Toto navrhl Jean-Pierre Luminet a kolegové v roce 2003,^[11][12] a optimální orientace na obloze pro model byla odhadnuta v roce 2008.^[13]

v Bertrand Russell Povídka z roku 1954 „Matematikova noční můra: Vize profesora Squarepunta,“ řekla číslo 5: „Jsem počet prstů na ruce. Vyrábím pětiúhelníky a pentagramy. A pro mě ale nemohla existovat dodekahedra; a, jak každý ví, vesmír je dvanáctistěn. Takže, ale pro mě by nemohl existovat žádný vesmír. “

Vesmírná výplň s kostkou a bilunabirotundou

Pravidelná dodecahedra vyplňuje prostor kostky a bilunabirotundae (Johnson solidní 91), v poměru 1 ku 1 ku 3.^[14][15] Samotná dodekahedra tvoří mřížku od okraje k okraji pyritohedra. Bilunabirotundae vyplňují kosočtverečné mezery. Každá kostka splňuje šest bilunabirotundae ve třech orientacích.

Blokový model

Mřížka dodekahedry

6 bilunabirotundae kolem krychle

Související mnohostěny a obklady

Pravidelný dvanáctistěn je topologicky příbuzný řadě naklonění od vrchol obrázek n³.

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {n,3} proti t E
Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Pravidelný dvanáctistěn lze transformovat pomocí a zkrácení sekvence do jeho dvojí, dvacetistěn:

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {31,1}	t {3,4} t {31,1}	{3,4} {31,1}	rr {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h2{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {31,1}
		=	=	=				= nebo	= nebo	=
Duals na uniformní mnohostěn
V43	V3.82	V (3,4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Pravidelný dvanáctistěn je členem posloupnosti jinak nejednotných mnohostěnů a obkladů složených z pětiúhelníků s konfigurace obličeje (V3.3.3.3.n). (Pro n > 6, sekvence se skládá z naklonění hyperbolické roviny.) Tyto tvář-tranzitivní postavy mají (n32) rotační symetrie.

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Uspořádání vrcholů

Pravidelný dvanáctistěn sdílí svůj uspořádání vrcholů se čtyřmi nekonvexní uniformní mnohostěn a tři uniformní mnohostěnné sloučeniny.

Pět kostky zapadají dovnitř, s jejich hranami jako úhlopříčkami tváří pravidelného dodekaedru a dohromady tvoří pravidelný polyedrická sloučenina z pěti kostek. Vzhledem k tomu, že dva čtyřstěny se vejdou na alternativní vrcholy krychle, pět a deset čtyřstěnů se vejde také do běžného dvanáctistěnu.

Velký hvězdný dvanáctistěn	Malý ditrigonal icosidodecahedron	Ditrigonal dodecadodecahedron	Velký ditrigonal icosidodecahedron
Sloučenina pěti kostek	Sloučenina pěti čtyřstěnů	Sloučenina deseti čtyřstěnů

Stellations

3 stellations pravidelného dvanáctistěnu jsou všechny pravidelné (nekonvexní ) mnohostěn: (Kepler – Poinsotův mnohostěn )

	0	1	2	3
Stelace	Pravidelný dvanáctistěn	Malý hvězdný dvanáctistěn	Velký dvanáctistěn	Velký hvězdný dvanáctistěn
Fazetový diagram

Dodecahedral graf

Pravidelný dodecahedron graf
A Hamiltonovský cyklus ve dvanáctistěnu.
Vrcholy	20
Hrany	30
Poloměr	5
Průměr	5
Obvod	5
Automorfismy	120 (A5 × Z2)[16]
Chromatické číslo	3
Vlastnosti	Hamiltonian, pravidelný, symetrický, vzdálenost-pravidelná, vzdálenost-tranzitivní, 3-vrchol připojený, rovinný graf
Tabulka grafů a parametrů

The kostra dodecahedron (vrcholy a hrany) tvoří a graf. Je to jeden z 5 Platonické grafy, každý jeho kostra Platonická pevná látka.

Tento graf lze také zkonstruovat jako zobecněný Petersenův graf G(10,2). Vysoký stupeň symetrie polygonu se replikuje ve vlastnostech tohoto grafu, což je vzdálenost-tranzitivní, vzdálenost-pravidelná, a symetrický. The automorfická skupina má řád 120. Vrcholy mohou být barevný se 3 barvami, stejně jako okraje, a průměr je 5.^[17]

Dodekahedrální graf je Hamiltonian - existuje cyklus obsahující všechny vrcholy. Ve skutečnosti tento název pochází z a matematická hra vynalezl v roce 1857 William Rowan Hamilton, icosian hra. Cílem hry bylo najít a Hamiltonovský cyklus podél okrajů dvanáctistěnu.

Ortogonální projekce

Viz také

• 120 buněk, a běžný polychoron (4D polytop, jehož povrch tvoří 120 dodekaedrických buněk)
• Braarudosphaera bigelowii - Ve tvaru dvanáctistěny coccolithophore (A jednobuněčný fytoplankton řasy ).
• Dodecahedrane (molekula)
• Pentakis dodecahedron
• Utlumit dvanáctistěn
• Zkrácený dvanáctistěn

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pravidelný dodekedron". MathWorld.
• Klitzing, Richarde. "3D konvexní uniformní mnohostěn o3o5x - laň".
• Upravitelná tisknutelná síť dvanáctistěn s interaktivním 3D zobrazením
• Jednotná mnohostěna
• Mnohostěn Origami - Modely vyrobené s modulárním Origami
• Dodecahedron - 3D model, který funguje ve vašem prohlížeči
• Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
  • VRML #Pravidelný dvanáctistěn
• K.J.M. MacLean, Geometrická analýza pěti platonických těles a dalších polopravidelných mnohostěnů
• Dodecahedron 3D vizualizace
• Stella: Polyhedron Navigator: Software použitý k vytvoření některých obrázků na této stránce.
• Jak vyrobit dvanáctistěn z kostky polystyrenu
• Řecké, indické a čínské prvky - teorie sedmi prvků