Čtvercové obklady - Square tiling - Wikipedia

Čtvercové obklady

Typ	Pravidelné obklady
Konfigurace vrcholů	4.4.4.4 (nebo 4⁴)
Konfigurace obličeje	V4.4.4.4 (nebo V4⁴)
Schläfli symbol (y)	{4,4} {∞}×{∞}
Symbol (y) Wythoff	4 \| 2 4
Coxeterův diagram
Symetrie	p4m, [4,4], (*442)
Rotační symetrie	p4, [4,4]⁺, (442)
Dvojí	self-dual
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, tvář-tranzitivní

v geometrie, čtvercové obklady, čtvercová mozaikování nebo čtvercová mřížka je pravidelné obkládání Euklidovské letadlo. Má to Schläfliho symbol z {4,4}, což znamená, že má 4 čtverce kolem každého vrchol.

Conway nazval to a čtverylka.

The vnitřní úhel čtverce je 90 stupňů, takže čtyři čtverce v bodě tvoří celých 360 stupňů. Je to jeden z tři pravidelné náklony letadla. Další dva jsou trojúhelníkové obklady a šestihranný obklad.

Jednotná barviva

Existuje 9 odlišných jednotné barvy čtvercového obkladu. Pojmenování barev podle indexů na 4 čtvercích kolem vrcholu: 1111, 1112 (i), 1112 (ii), 1122, 1123 (i), 1123 (ii), 1212, 1213, 1234. (i) případy mají jednoduchý odraz symetrie a (ii) klouzavost reflexní symetrie. Tři lze vidět ve stejné doméně symetrie jako redukovaná zbarvení: 1112_i od 1213, 1123_i z roku 1234 a 1112_ii sníženo z 1123_ii.

9 jednotných barev
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (* 442)		p4m (* 442)		pmm (* 2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (* 2222)		cmm (2 * 22)

Související mnohostěny a obklady

Tento obklad je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti pravidelných mnohostěnů a obkladů, zasahujících do hyperbolická rovina: {4, p}, p = 3,4,5 ...

*n42 mutace symetrie pravidelných naklonění: {4,n} proti t E
Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Tento obklad je také topologicky příbuzný jako součást posloupnosti pravidelných mnohostěnů a obkladů se čtyřmi plochami na vrchol, počínaje osmistěn, s Schläfliho symbol {n, 4} a Coxeterův diagram , přičemž n postupuje do nekonečna.

*n42 mutace symetrie pravidelných naklonění: {n,4} proti t E
Sférické		Euklidovský	Hyperbolické obklady

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

*n42 mutací symetrie kvaziregulárních duálních obkladů: V(4.n)²
Symetrie * 4n2 [n, 4]	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact	Nekompaktní
Symetrie * 4n2 [n, 4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Obklady Konf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

*n42 mutace symetrie rozšířených obkladů: n.4.4.4 proti t E
Symetrie [n, 4], (*n42)	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie [n, 4], (*n42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Rozšířený čísla
Konfigurace	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Kosočtverečný čísla konfigurace	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Wythoffovy konstrukce ze čtvercových obkladů

Jako jednotná mnohostěna je jich osm jednotné obklady to může být založeno na běžných čtvercových obkladech.

Kreslení dlaždic zbarvených červeně na původní tváře, žluté na původních vrcholech a modré podél původních okrajů, všech 8 forem je odlišných. S identickým zpracováním tváří však existují pouze tři topologicky odlišné formy: čtvercové obklady, zkrácený čtvercový obklad, urážet čtvercové obklady.

Jednotné obklady založené na symetrii čtvercových obkladů proti t E
Symetrie: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t {4,4}	r {4,4}	t {4,4}	{4,4}	rr {4,4}	tr {4,4}	sr {4,4}	s {4,4}
Jednotné duály


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Topologicky ekvivalentní obklady

An isogonal variace se dvěma typy tváří, považovaná za a urážet čtvercové obklady s trange páry kombinovanými do kosočtverců.

Topologické čtvercové obklady lze provádět s konkávními plochami a více než jednou hranou sdílenou mezi dvěma plochami. Tato variace má sdílené 3 hrany.

jiný čtyřúhelník mohou být vytvořeny obklady, které jsou topologicky ekvivalentní čtvercovým obkladům (4 čtverce kolem každého vrcholu).

2-isohedral variace s kosočtverečnými tvářemi

Isohedral obklady mají identické tváře (tranzitivita obličeje ) a vrchol-tranzitivita, existuje 18 variant, přičemž 6 je označeno jako trojúhelníky, které se nespojují od okraje k okraji, nebo jako čtyřúhelník se dvěma kolineárními hranami. Uvedená symetrie předpokládá, že všechny tváře mají stejnou barvu.^[1]

Isohedral čtyřúhelníkové obklady
Náměstí p4m, (* 442)	Obdélník pmm, (* 2222)	Rovnoběžník p2, (2222)	Rovnoběžník pmg, (22 *)	Kosočtverec cmm, (2 * 22)


Lichoběžník cmm, (2 * 22)	Čtyřúhelník pgg, (22 ×)	papírový drak pmg, (22 *)	Čtyřúhelník pgg, (22 ×)	Čtyřúhelník p2, (2222)

Degenerujte čtyřúhelníky nebo trojúhelníky bez hran od hrany
Rovnoramenný pmg, (22 *)	Rovnoramenný pgg, (22 ×)		Scalene pgg, (22 ×)		Scalene p2, (2222)

Kruhové balení

Čtvercový obklad lze použít jako a kruhové balení, umístění kruhů se stejným průměrem do středu každého bodu. Každý kruh je v kontaktu s dalšími 4 kruhy v balení (líbání číslo ).^[2] Hustota balení je π / 4 = 78,54% pokrytí. Kruhové obaly mají 4 jednotné barvy.

Související pravidelné komplexní apeirogony

K dispozici jsou 3 pravidelné komplexní apeirogony, sdílení vrcholů čtvercového obkladu. Pravidelné komplexní apeirogony mají vrcholy a hrany, kde hrany mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p {q} r jsou omezeny: 1 /str + 2/q + 1/r = 1. Hrany mají str vrcholy a vrcholové postavy jsou r-gonal.^[3]

Self-dual	Duální

4 {4} 4 nebo	2 {8} 4 nebo	4 {8} 2 nebo

Viz také

Reference

^ Obklady a vzory, ze seznamu 107 isohedrálních obkladů, str.473-481
^ Order in Space: Kniha designových zdrojů, Keith Critchlow, str. 74-75, kruhový vzor 3
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, str.111-112, str. 136.

Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, tabulka II: Pravidelné voštiny
Klitzing, Richarde. „2D euklidovské obklady o4o4x - dřep - O1“.
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. str
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Kapitola 2.1: Pravidelné a rovnoměrné obklady, str. 58-65)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

externí odkazy

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Obklady a vzory, ze seznamu 107 isohedrálních obkladů, str.473-481

[Critchlow-2] Order in Space: Kniha designových zdrojů, Keith Critchlow, str. 74-75, kruhový vzor 3

[3] Coxeter, Regular Complex Polytopes, str.111-112, str. 136.

[1]

[2]

[3]