Isohedral postava - Isohedral figure
v geometrie, a polytop dimenze 3 (a mnohostěn ) nebo vyšší je isohedrální nebo tvář-tranzitivní když všechny jeho tváře jsou stejní. Přesněji řečeno, všechny tváře nesmí být pouze shodný ale musí být tranzitivní, tj. musí ležet uvnitř stejného oběžná dráha symetrie. Jinými slovy, pro všechny tváře A a B, musí existovat symetrie celý objem rotací a odrazů, které mapují A na B. Z tohoto důvodu jsou konvexní isohedrální mnohostěny tvary, které vytvoří spravedlivé kostky.[1]
Isohedrální mnohostěny se nazývají isohedra. Mohou být popsány svými konfigurace obličeje. Forma, která je isohedrální a má pravidelné vrcholy, je také hrana tranzitivní (isotoxal) a říká se o něm quasiregular dvojí: někteří teoretici považují tyto údaje za skutečně kvaziregulární, protože sdílejí stejné symetrie, ale to není obecně přijímáno. Isohedron má dokonce počet tváří.[2]
Mnohostěn, který je isohedrální, má a duální mnohostěn to je vrchol-tranzitivní (isogonal). The Katalánština pevné látky, bipyramidy a lichoběžník jsou všechny isohedral. Jsou to duály izogonu Archimédovy pevné látky, hranoly a antiprismy, resp. The Platonické pevné látky, které jsou buď duální, nebo duální s jiným platonickým tělesem, jsou vrcholné, hranové a obličejově přechodné (izogonální, izotoxální a izohedrální). Mnohostěn, který je isohedral a isogonal je řekl, aby byl ušlechtilý.
Poznámka: ne všechny isozonohedry[3] jsou isohedrální.[4] Příklad: a kosočtverečný dvacetistěn je isozonohedron, ale ne isohedron.[5]
Příklady
| Konvexní | Konkávní | ||
|---|---|---|---|
 The šestihranný bipyramid, V4.4.6 je a nepravidelný příklad isohedral mnohostěn. |  Isohedral Káhirské pětiúhelníkové obklady, V3.3.4.3.4 |  The kosočtverečný dodekahedrální plástev je příkladem izohedrálního (a izochorického) pláště vyplňujícího prostor. |  Topologické čtvercové obklady zkreslené do spirálovitých tvarů H. |
Třídy isohedra podle symetrie
| Tváře | Tvář konfigurace | Třída | název | Symetrie | Objednat | Konvexní | Koplanární | Nekonvexní |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | V33 | Platonický | čtyřstěn tetragonální disphenoid kosočtverečný disphenoid | Td, [3,3], (*332) D2d, [2+,2], (2*) D2, [2,2]+, (222) | 24 4 4 4 |    | ||
| 6 | V34 | Platonický | krychle trigonální lichoběžník asymetrický trigonální lichoběžník | Óh, [4,3], (*432) D3d, [2+,6] (2*3) D3 [2,3]+, (223) | 48 12 12 6 |    | ||
| 8 | V43 | Platonický | osmistěn náměstí bipyramid kosočtverečný bipyramid náměstí scalenohedron | Óh, [4,3], (*432) D4h,[2,4],(*224) D2h,[2,2],(*222) D2d,[2+,4],(2*2) | 48 16 8 8 |       |  | |
| 12 | V35 | Platonický | pravidelný dvanáctistěn pyritohedron tetartoid | Jáh, [5,3], (*532) Th, [3+,4], (3*2) T, [3,3]+, (*332) | 120 24 12 |    |   |   |
| 20 | V53 | Platonický | pravidelný dvacetistěn | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  | ||
| 12 | V3.62 | Katalánština | triakis čtyřstěn | Td, [3,3], (*332) | 24 |  |   |  |
| 12 | V (3,4)2 | Katalánština | kosočtverečný dvanáctistěn deltoidní dvanáctistěn | Óh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) | 48 24 |    |  |   |
| 24 | V3.82 | Katalánština | triakis octahedron | Óh, [4,3], (*432) | 48 |  |   | |
| 24 | V4.62 | Katalánština | tetrakis hexahedron | Óh, [4,3], (*432) | 48 |   |   |   |
| 24 | V3.43 | Katalánština | deltoidní icositetrahedron | Óh, [4,3], (*432) | 48 |   |    |  |
| 48 | V4.6.8 | Katalánština | disdyakis dodecahedron | Óh, [4,3], (*432) | 48 |  |    |   |
| 24 | V34.4 | Katalánština | pětiúhelníkový icositetrahedron | O, [4,3]+, (432) | 24 |  | ||
| 30 | V (3,5)2 | Katalánština | kosočtverečný triacontahedron | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  | ||
| 60 | V3.102 | Katalánština | triakis icosahedron | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  |     | |
| 60 | V5.62 | Katalánština | pentakis dodecahedron | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  |      | |
| 60 | V3.4.5.4 | Katalánština | deltoidní hexekontahedron | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  |  |  |
| 120 | V4.6.10 | Katalánština | disdyakis triacontahedron | Jáh, [5,3], (*532) | 120 |  |    |    |
| 60 | V34.5 | Katalánština | pětiúhelníkový hexekontahedron | Já, [5,3]+, (532) | 60 |  | ||
| 2n | V33.n | Polární | lichoběžník asymetrický lichoběžník | Dnd, [2+,2n], (2*n) Dn, [2,n]+, (22n) | 4n 2n |     | ||
| 2n 4n | V42.n V42.2n V42.2n | Polární | pravidelný n-bipyramid isotoxal 2n-bipyramid 2n-scalenohedron | Dnh, [2,n], (*22n) Dnh, [2,n], (*22n) Dnd, [2+,2n], (2*n) | 4n |    |        |
k-prostorová postava
Mnohostěn (nebo polytop obecně) je k-edohedral pokud obsahuje k tváře v jeho základní doméně symetrie.[6]
Podobně a k-oblouková dlažba má k oddělené oběžné dráhy symetrie (a mohou obsahovat m pro některé různé tváře m < k).[7]
A monohedrální mnohostěn nebo monohedral obklady (m = 1) má shodné plochy, ať už přímé nebo reflexní, které se vyskytují v jedné nebo více polohách symetrie. An r- katedrála mnohostěn nebo obklady mají r typy obličejů (nazývané také dihedrální, trihedrální pro 2 resp. 3).[8]
Zde jsou některé příklady k-isohedrálních mnohostěnů a obkladů, jejichž tváře jsou zbarveny jejich k pozice symetrie:
| 3-isohedral | 4-isohedral | isohedrální | 2-isohedral |
|---|---|---|---|
| (2-hedral) pravidelné tváře mnohostěn | Monohedral mnohostěn | ||
 |  |  |  |
| The kosočtverec má 1 typ trojúhelníku a 2 typy čtverců | The pseudo-rhombicuboctahedron má 1 typ trojúhelníku a 3 typy čtverců. | The deltoidní icositetrahedron má s 1 typem obličeje. | The pseudo-deltový ikositetrahedron má 2 typy obličejů stejného tvaru. |
| 2-isohedral | 4-isohedral | Isohedral | 3-isohedral |
|---|---|---|---|
| (2-hedral) pravidelné obklady | Monohedral obklady | ||
 |  |  |  |
| The Pythagorovy obklady má 2 velikosti čtverců. | Tento 3 uniformní obklady má 3 typy trojúhelníků stejného tvaru a 1 typ čtverce. | The vzor rybí kosti má 1 typ obdélníkového obličeje. | Tento pětiúhelníkové obklady má 3 typy nepravidelných pětiúhelníkových ploch stejného tvaru. |
Související pojmy
A buněčně tranzitivní nebo izochorický postava je n-polytop (n > 3) nebo plástev to má své buňky shodné a přechodné. V trojrozměrných plástech je catoptrické voštiny, duály k jednotným plástům jsou izochorické. Ve 4rozměrech byly izochorické polytopy vyjmenovány až na 20 buněk.[9]
A fazeta-tranzitivní nebo izotopový postava je a n-rozměrné polytopes nebo plástev, s jeho fazety ((n−1)-tváře ) shodné a přechodné. The dvojí z izotop je isogonal polytop. Podle definice je tato izotopová vlastnost společná pro duály jednotné polytopy.
- Izotopová dvourozměrná postava je isotoxální (hrana-tranzitivní).
- Izotopová trojrozměrná postava je isohedrální (face-transitive).
- Izotopová 4-dimenzionální postava je izochorický (buňkově tranzitivní).
Viz také
Poznámky
- ^ McLean, K. Robin (1990), „Dungeons, draci a kostky“, Matematický věstník, 74 (469): 243–256, doi:10.2307/3619822, JSTOR 3619822.
- ^ Grünbaum (1960)
- ^ Weisstein, Eric W. "Isozonohedron". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-26.
- ^ Weisstein, Eric W. "Isohedron". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-21.
- ^ Weisstein, Eric W. „Kosočtverečný kosočtverec“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-21.
- ^ Socolar, Joshua E. S. (2007). „Šestihranné parketové obklady: k-Isohedral Monotiles s libovolně velké k" (opravené PDF). Matematický zpravodaj. 29: 33–38. arXiv:0708.2663. doi:10.1007 / bf02986203. S2CID 119365079. Citováno 2007-09-09.
- ^ Craig S. Kaplan. „Úvodní teorie obkladů pro počítačovou grafiku“. 2009. Kapitola 5 „Isohedral Tilings“. p. 35.
- ^ Obklady a vzory, str.20, 23
- ^ http://www.polytope.net/hedrondude/dice4.htm
Reference
- Peter R. Cromwell, Mnohostěn, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, str. 367 Přechodnost
externí odkazy
- Olshevsky, Georgi. "Izotop". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Weisstein, Eric W. "Isohedral obklady". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Isohedron". MathWorld.
- isohedra 25 tříd isohedra s konečným počtem stran
- Dice Design ve společnosti The Dice Lab
