Petrie polygon - Petrie polygon
v geometrie, a Petrie polygon pro běžný mnohostěn z n rozměry je a zkosit mnohoúhelník ve kterém každý (n - 1) po sobě jdoucí strany (ale ne n) patří k jednomu z fazety. The Petrie polygon a pravidelný mnohoúhelník je samotný regulární polygon; to a pravidelný mnohostěn je zkosit mnohoúhelník tak, že každé dva po sobě jdoucí boční (ale ne tři) patří k jednomu z tváře.[1] Polygony Petrie jsou pojmenovány pro matematika Johna Flinderse Petrieho.
Pro každý běžný mnohostěn existuje ortogonální projekce na rovinu tak, aby se z jednoho Petrieho polygonu stal a pravidelný mnohoúhelník se zbytkem promítacího interiéru. Dotyčné letadlo je Coxeterovo letadlo z skupina symetrie polygonu a počet stran, h, je Číslo coxeteru z Skupina coxeterů. Tyto polygony a promítané grafy jsou užitečné při vizualizaci symetrické struktury výškových pravidelných polytopů.
Petrieho polygony lze definovat obecněji pro všechny vložený graf. Tvoří tváře dalšího vložení stejného grafu, obvykle na jiný povrch, nazývaného Petrie dual.[2]
Dějiny
John Flinders Petrie (1907–1972) byl jediným synem Egyptolog Flinders Petrie. Narodil se v roce 1907 a jako školák ukázal pozoruhodný příslib matematických schopností. V obdobích intenzivního soustředění mohl odpovídat na otázky o komplikovaných čtyřrozměrných objektech vizualizace jim.
Nejprve si všiml důležitosti pravidelných zkosených polygonů, které se objevují na povrchu pravidelných mnohostěnů a vyšších polytopů. Coxeter vysvětlil v roce 1937, jak on a Petrie začali rozšiřovat klasický předmět pravidelného mnohostěnu:
- Jednoho dne v roce 1926 mi J. F. Petrie s velkým vzrušením řekl, že objevil dva nové pravidelné polyedry; nekonečný, ale bez falešných vrcholů. Když moje nedůvěra začala ustupovat, popsal mi je: jeden skládající se ze čtverců, šest u každého vrcholu, a jeden skládající se z šestiúhelníků, čtyři u každého vrcholu.[3]
V roce 1938 Petrie spolupracoval s Coxeter, Patrick du Val a H.T. Flather k výrobě Padesát devět Icosahedra ke zveřejnění.[4]Uvědomil si geometrické možnosti šikmých polygonů používaných Petrie, Coxeter je pojmenoval po svém příteli, když psal Pravidelné Polytopes.
Myšlenka na Petrieho polygony byla později rozšířena na semiregular polytopes.
Petrieho polygony pravidelné mnohostěny
The pravidelné duální, {str,q} a {q,str}, jsou obsaženy ve stejném promítaném Petrieho polygonu. Na obrázcích duální sloučeniny napravo je vidět, že jejich Petrieho polygony mají obdélníkové průniky v bodech, kde se hrany dotýkají společného midsphere.
Náměstí | Šestiúhelník | Decagon | ||
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
čtyřstěn {3,3} | krychle {4,3} | osmistěn {3,4} | dvanáctistěn {5,3} | dvacetistěnu {3,5} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
na střed | na střed | na obličej | na obličej | na střed |
PROTI:(4,0) | PROTI:(6,2) | PROTI:(6,0) | PROTI:(10,10,0) | PROTI:(10,2) |
Polygony Petrie jsou vnějškem těchto ortogonálních projekcí. |
Petrieho polygony Kepler – Poinsotův mnohostěn jsou šestiúhelníky {6} a dekagramy {10/3}.
Šestiúhelník | Dekagram | ||
---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
gD {5,5/2} | sD {5,5/2} | gI {3,5/2} | gsD {5/2,3} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Nekonečné pravidelné zkosené polygony (apeirogon ) lze také definovat jako Petrieho polygony pravidelných naklonění, které mají úhly 90, 120 a 60 stupňů jejich čtvercových, šestihranných a trojúhelníkových ploch.
Nekonečné pravidelné zkosené polygony také existují jako Petrieho polygony pravidelných hyperbolických obkladů, jako objednávka-7 trojúhelníkové obklady, {3,7}:
Petrieho polygon pravidelné polychory (4-polytopes)
Petrieho polygon pro běžnou polychoru {str, q ,r} lze také určit.
![]() {3,3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5článková 5 stran PROTI:(5,0) | ![]() {3,3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 16 buněk 8 stran PROTI:(8,0) | ![]() {4,3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() tesseract 8 stran PROTI:(8,8,0) |
![]() {3,4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 24článková 12 stran PROTI:(12,6,6,0) | ![]() {5,3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 120 buněk 30 stran PROTI:((30,60)3,603,30,60,0) | ![]() {3,3,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 600 buněk 30 stran V: (30,30,30,30,0) |
Petrieho polygonové projekce pravidelných a uniformních polytopů
Petrieho polygonové projekce jsou užitečné pro vizualizaci polytopů dimenze čtyři a vyšší.
Hyperkrychle
A hyperkrychle dimenze n má Petrieho polygon o velikosti 2n, což je také počet jeho fazety.
Takže každý z (n−1) - kostky tvořící jeho povrch má n-1 strany Petrieho polygonu mezi jeho okraji.
Hyperkrychle | ||
---|---|---|
Petrie z 1 kostky digon vypadá stejně jako 1 kostka. Ale 1-kostka má jednu hranu, zatímco digon má dvě.
(Pro n= 1 první a druhá polovina jsou dva odlišné, ale shodné okraje digonu.)
| ||
Náměstí | Krychle | Tesseract |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Neredukovatelné rodiny polytopů
Tato tabulka představuje Petrieho polygonové projekce 3 běžných rodin (simplexní, hyperkrychle, orthoplex ) a výjimečná Lieova skupina En které generují semiregulární a jednotné polytopy pro rozměry 4 až 8.
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Květen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Poznámky
- ^ Kaleidoskopy: Vybrané spisy H. S. M. Coxetera, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Definice: papír 13, Diskrétní skupiny generované odrazy, 1933, s. 161)
- ^ Gorini, Catherine A. (2000), Geometrie v práci, Poznámky MAA, 53, Cambridge University Press, str. 181, ISBN 9780883851647
- ^ H.S.M. Coxeter (1937) „Pravidelný šikmý mnohostěn ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy“, Proceedings of the London Mathematical Society (2) 43: 33 až 62
- ^ H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) Padesát devět Icosahedra, University of Toronto studia, matematická řada 6: 1–26
- ^ http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf
Reference
- Coxeter, H. S. M. (1947, 63, 73) Pravidelné Polytopes, 3. vyd. New York: Dover, 1973. (bod 2.6 Petrie Polygons s. 24–25 a kapitola 12, s. 213–235, Zobecněný polygon Petrie )
- Coxeter, H.S.M. (1974) Pravidelné složité polytopy. Oddíl 4.3 Vlajky a orthoschémy, Oddíl 11.3 Petrieho polygony
- Ball, W. W. R. a H. S. M. Coxeter (1987) Matematické rekreace a eseje, 13. vyd. New York: Dover. (str. 135)
- Coxeter, H. S. M. (1999) Krása geometrie: Dvanáct esejů, Dover Publications LCCN 99-35678
- Peter McMullen, Egon Schulte (2002) Abstraktní pravidelné Polytopes, Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0
- Steinberg, Robert,NA POČET STRAN PETRIE POLYGON
Viz také
Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Rodina | An | Bn | Já2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | |||||||
Pravidelný mnohoúhelník | Trojúhelník | Náměstí | p-gon | Šestiúhelník | Pentagon | |||||||
Jednotný mnohostěn | Čtyřstěn | Octahedron • Krychle | Demicube | Dodecahedron • Dvacetistěnu | ||||||||
Jednotný 4-polytop | 5článková | 16 buněk • Tesseract | Demitesseract | 24článková | 120 buněk • 600 buněk | |||||||
Jednotný 5-mnohostěn | 5-simplexní | 5-orthoplex • 5 kostek | 5-demicube | |||||||||
Jednotný 6-polytop | 6-simplexní | 6-orthoplex • 6 kostek | 6-demicube | 122 • 221 | ||||||||
Jednotný 7-polytop | 7-simplexní | 7-orthoplex • 7 kostek | 7-demicube | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Jednotný 8-polytop | 8-simplexní | 8-orthoplex • 8 kostek | 8-demicube | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Jednotný 9-polytop | 9-simplexní | 9-orthoplex • 9 kostek | 9-demicube | |||||||||
Jednotný 10-polytop | 10-simplexní | 10-orthoplex • 10 kostek | 10-demicube | |||||||||
Jednotný n-polytop | n-simplexní | n-orthoplex • n-krychle | n-demicube | 1k2 • 2k1 • k21 | n-pětiúhelníkový mnohostěn | |||||||
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin |
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Petrie polygon“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Hypercube graphs“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Cross polytope graphs". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „24článkový graf“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „120článkový graf“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "600článkový graf". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Gosset graph 3_21“. MathWorld.