Order-5 šestihranný obkladový plástev - Order-5 hexagonal tiling honeycomb
Order-5 šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Perspektivní projekce Pohled od středu města Poincaré model disku | |
Typ | Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | {6,3,5} |
Coxeter-Dynkinovy diagramy | ↔ |
Buňky | {6,3} |
Tváře | šestiúhelník {6} |
Postava hrany | Pentagon {5} |
Vrcholová postava | dvacetistěnu |
Dvojí | Order-6 dodecahedral honeycomb |
Skupina coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Pravidelný |
V oblasti hyperbolická geometrie, objednávka 5 šestihranný obkladový plástev vzniká jako jeden z 11 pravidelné paracompaktní voštiny v trojrozměrném hyperbolický prostor. to je paracompact protože má buňky složený z nekonečného počtu tváří. Každá buňka se skládá z a šestihranný obklad jehož vrcholy leží na a horosféra, plochá rovina v hyperbolickém prostoru, která se blíží jedinému ideální bod v nekonečnu.
The Schläfliho symbol šestihranného obkladového pláště řádu 5 je {6,3,5}. Od té doby šestihranný obklad je {6,3}, tento plást má pět takových šestihranných obkladů, které se setkávají na každém okraji. Od Schläfliho symbolu dvacetistěnu je {3,5} vrchol obrázek tohoto plástve je dvacetistěn. V každém vrcholu této voštiny se tedy setkává 20 hexagonálních obkladů.[1]
A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.
Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.
Symetrie
Konstrukce s nižší symetrií indexu 120, [6, (3,5)*], existuje s regulárním dodekahedrál základní domény a icosahedral Coxeter-Dynkinův diagram se 6 větvemi axiálního nekonečného řádu (ultraparalelní).
snímky
Šestihranný obkladový plást řádu 5 je podobný 2D hyperbolickému pravidelnému paracompactu objednávka 5 apeirogonal obklady, {∞, 5}, s pěti apeirogonal tváře se setkávají kolem každého vrcholu.
Související polytopy a voštiny
Voštinový šestihranný obklad řádu 5 je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jeden z 11, které jsou paracompact.
11 paracompact pravidelných voštin | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
Existují 15 jednotných voštin v [6,3,5] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy a jejího pravidelného dvojího, objednávka 6 dodekahedrální plástev.
{6,3,5} | r {6,3,5} | t {6,3,5} | rr {6,3,5} | t0,3{6,3,5} | tr {6,3,5} | t0,1,3{6,3,5} | t0,1,2,3{6,3,5} |
---|---|---|---|---|---|---|---|
{5,3,6} | r {5,3,6} | t {5,3,6} | rr {5,3,6} | 2t {5,3,6} | tr {5,3,6} | t0,1,3{5,3,6} | t0,1,2,3{5,3,6} |
Šestihranný obkladový plást řádu 5 má příbuzný střídání plástev, zastoupený ↔ , s dvacetistěnu a trojúhelníkové obklady buňky.
Je součástí posloupnosti pravidelných hyperbolických voštin ve tvaru {6,3, p}, s šestihranný obklad fazety:
{6,3, p} voštiny | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | H3 | ||||||||||
Formulář | Paracompact | Nekompaktní | |||||||||
název | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3,∞} | ||||
Coxeter | |||||||||||
obraz | |||||||||||
Vrchol postava {3, str} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3,∞} |
Je také součástí posloupnosti běžná polychora a voštiny s icosahedral vrcholové postavy:
{p, 3,5} polytopy | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | S3 | H3 | |||||
Formulář | Konečný | Kompaktní | Paracompact | Nekompaktní | |||
název | {3,3,5} | {4,3,5} | {5,3,5} | {6,3,5} | {7,3,5} | {8,3,5} | ... {∞,3,5} |
obraz | |||||||
Buňky | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} |
Opravený šestihranný obkladový plást s objednávkou 5
Opravený šestihranný obkladový plást s objednávkou 5 | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symboly | r {6,3,5} nebo t1{6,3,5} |
Coxeterovy diagramy | ↔ |
Buňky | {3,5} r {6,3} nebo h2{6,3} |
Tváře | trojúhelník {3} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | pětiúhelníkový hranol |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vertex-transitive, edge-transitive |
The opravená objednávka-5 šestihranný obkladový plástev, t1{6,3,5}, má dvacetistěnu a trihexagonal obklady fazety, s a pětiúhelníkový hranol vrchol obrázek.
Je to podobné jako u 2D hyperboliku čtvercový obklad nekonečného řádu, r {∞, 5} s pětiúhelníkovými a apeirogonálními tvářemi. Všechny vrcholy jsou na ideálním povrchu.
Prostor | S3 | H3 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Formulář | Konečný | Kompaktní | Paracompact | Nekompaktní | ||
název | r {3,3,5} | r {4,3,5} | r {5,3,5} | r {6,3,5} | r {7,3,5} | ... r {∞, 3,5} |
obraz | ||||||
Buňky {3,5} | r {3,3} | r {4,3} | r {5,3} | r {6,3} | r {7,3} | r {∞, 3} |
Zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 5
Zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 5 | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t {6,3,5} nebo t0,1{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | {3,5} t {6,3} |
Tváře | trojúhelník {3} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | pětiboká pyramida |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 5, t0,1{6,3,5}, má dvacetistěnu a komolý šestihranný obklad fazety, s a pětiboká pyramida vrchol obrázek.
Bitrunkovaný šestihranný obkladový plást s objednávkou 5
Bitrunkovaný šestihranný obkladový plást s objednávkou 5 | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | 2t {6,3,5} nebo t1,2{6,3,5} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | t {3,6} t {3,5} |
Tváře | Pentagon {5} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | digonal disphenoid |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The bitruncated order-5 hexagonal tiling honeycomb, t1,2{6,3,5}, má šestihranný obklad a zkrácený dvacetistěn fazety, s a digonal disphenoid vrchol obrázek.
Cantellated order-5 hexagonal tiling honeycomb
Cantellated order-5 hexagonal tiling honeycomb | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | rr {6,3,5} nebo t0,2{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | r {3,5} rr {6,3} {} x {5} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | klín |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantellated order-5 hexagonal tiling honeycomb, t0,2{6,3,5}, má icosidodecahedron, rhombitrihexagonal obklady, a pětiúhelníkový hranol fazety, s a klín vrchol obrázek.
Cantitruncated objednávka 5 šestihranný obkladový plástev
Cantitruncated objednávka 5 šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | tr {6,3,5} nebo t0,1,2{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | t {3,5} tr {6,3} {} x {5} |
Tváře | náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | zrcadlový sfénoid |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantitruncated order-5 hexagonal tiling honeycomb, t0,1,2{6,3,5}, má zkrácený dvacetistěn, zkrácené trihexagonální obklady, a pětiúhelníkový hranol fazety, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.
Runcinated order-5 hexagonal tiling honeycomb
Runcinated order-5 hexagonal tiling honeycomb | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,3{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | {6,3} {5,3} {} x {6} {} x {5} |
Tváře | náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | nepravidelný trojúhelníkový antiprism |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcinated order-5 hexagonal tiling honeycomb, t0,3{6,3,5}, má dvanáctistěn, šestihranný obklad, pětiúhelníkový hranol, a šestihranný hranol fazety, s nepravidelným trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.
Runcitruncated objednávka 5 šestihranný obkladový plástev
Runcitruncated objednávka 5 šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,1,3{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | t {6,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {12} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcitruncated objednávka-5 šestihranný obkladový plástev, t0,1,3{6,3,5}, má komolý šestihranný obklad, rhombicosidodecahedron, pětiúhelníkový hranol, a dodecagonal hranol buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.
Runcicantellated order-5 hexagonal tiling honeycomb
The runcicantellated order-5 hexagonal tiling honeycomb je stejný jako runcitruncated order-6 dodecahedral honeycomb.
Omnitruncated order-5 hexagonal tiling honeycomb
Omnitruncated order-5 hexagonal tiling honeycomb | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,1,2,3{6,3,5} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | tr {6,3} tr {5,3} {} x {10} {} x {12} |
Tváře | náměstí {4} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | nepravidelný čtyřstěn |
Skupiny coxeterů | , [5,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The omnitruncated order-5 hexagonal tiling honeycomb, t0,1,2,3{6,3,5}, má zkrácené trihexagonální obklady, zkrácený icosidodecahedron, desetiboký hranol, a dodecagonal hranol fazety, s nepravidelným čtyřboká vrchol obrázek.
Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 5
Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 5 | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev Semiregular plástev |
Schläfliho symbol | h {6,3,5} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | {3[3]} {3,5} |
Tváře | trojúhelník {3} |
Vrcholová postava | zkrácený dvacetistěn |
Skupiny coxeterů | , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vertex-transitive, edge-transitive, quasiregular |
The střídaný šestihranný obkladový plást řádu 5, h {6,3,5}, ↔ , má trojúhelníkové obklady a dvacetistěnu fazety, s a zkrácený dvacetistěn vrchol obrázek. Je to quasiregular plástev.
Kantický objednávkový šestihranný obkladový plástev
Kantický objednávkový šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | h2{6,3,5} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | h2{6,3} t {3,5} r {5,3} |
Tváře | trojúhelník {3} Pentagon {5} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | trojúhelníkový hranol |
Skupiny coxeterů | , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantic order-5 hexagonal tiling honeycomb, h2{6,3,5}, ↔ , má trihexagonal obklady, zkrácený dvacetistěn, a icosidodecahedron fazety, s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.
Runcic order-5 šestihranný obkladový plástev
Runcic order-5 šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | h3{6,3,5} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | {3[3]} rr {5,3} {5,3} {} x {3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} |
Vrcholová postava | trojúhelníková kopule |
Skupiny coxeterů | , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcic order-5 šestihranný obkladový plástev, h3{6,3,5}, ↔ , má trojúhelníkové obklady, rhombicosidodecahedron, dvanáctistěn, a trojúhelníkový hranol fazety, s a trojúhelníková kopule vrchol obrázek.
Runcicantic order-5 hexagonální obkladový plástev
Runcicantic order-5 hexagonální obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | h2,3{6,3,5} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | h2{6,3} tr {5,3} t {5,3} {} x {3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10} |
Vrcholová postava | obdélníkový pyramida |
Skupiny coxeterů | , [5,3[3]] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcicantic order-5 šestihranný obkladový plástev, h2,3{6,3,5}, ↔ , má trihexagonal obklady, zkrácený icosidodecahedron, zkrácený dvanáctistěn, a trojúhelníkový hranol fazety, s a obdélníkový pyramida vrchol obrázek.
Viz také
- Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
- Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
- Paracompact jednotné voštiny
Reference
- ^ Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
- Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
- Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
- Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů