Architektonická a catoptrická mozaikování - Architectonic and catoptric tessellation

13 architektonických nebo catoptrických mozaikování, zobrazených jako uniformní buněčná centra, a catoptrické buňky, uspořádaných jako násobky nejmenší buňky nahoře.

v geometrie, John Horton Conway definuje architektonické a catoptrické mozaiky jako jednotné mozaikování (nebo voštiny ) euklidovského 3-prostoru a jejich duální, jako trojrozměrný analog platonického, archimédského a katalánského obkladu roviny. Jednotné číslo vrchol obrázek z architektonické mozaikování je dvojí z buňka z catoptric mozaikování. The krychle je jedinou platonickou (pravidelnou) mozaikou 3prostoru a je samo-duální. Existují i další jednotné voštiny konstruované jako hranolové komíny (a jejich duály), které jsou z těchto kategorií vyloučeny.

Páry architektonické a catoptrické mozaiky jsou uvedeny níže s jejich skupina symetrie. Tyto mozaiky představují pouze čtyři symetrie vesmírné skupiny, a také vše v rámci kubický krystalový systém. Mnoho z těchto mozaikování lze definovat ve více skupinách symetrie, takže v každém případě je vyjádřena nejvyšší symetrie.

Čj.^[1] indexy	Symetrie	Architektonická mozaikování			Catoptric mozaikování
Čj.^[1] indexy	Symetrie	název Coxeterův diagram obraz	Vrcholová postava obraz	Buňky	název	Buňka	Čísla vrcholů
J_11,15 A₁ Ž₁ G₂₂ δ₄	nc [4,3,4]	Cubille	Octahedron,		Cubille	Krychle,
J_12,32 A₁₅ Ž₁₄ G₇ t₁δ₄	nc [4,3,4]	Cuboctahedrille	Kvádr,		Oblátový osmistěn	Rovnoramenný čtvercový bipyramid	,
J₁₃ A₁₄ Ž₁₅ G₈ t_0,1δ₄	nc [4,3,4]	Zkrácený kubil	Rovnoramenný čtvercová pyramida		Pyramidille	Rovnoramenný čtvercová pyramida	,
J₁₄ A₁₇ Ž₁₂ G₉ t_0,2δ₄	nc [4,3,4]	2-RCO-trille	Klín		Čtvrtletní zploštělý osmistěn	irr. Trojúhelníkový bipyramid	, ,
J₁₆ A₃ Ž₂ G₂₈ t_1,2δ₄	před naším letopočtem [[4,3,4]]	Zkrácený osmistěn	Tetragonální disphenoid		Oblátový čtyřstěn	Tetragonální disphenoid
J₁₇ A₁₈ Ž₁₃ G₂₅ t_0,1,2δ₄	nc [4,3,4]	n-tCO-trille	Zrcadlo sfénoid		Trojúhelníkový pyramidille	Zrcadlo sfénoid	, ,
J₁₈ A₁₉ Ž₁₉ G₂₀ t_0,1,3δ₄	nc [4,3,4]	1-RCO-trille	Lichoběžníkový pyramida		Čtverec čtvercový pyramidille	Irr. pyramida	, , ,
J₁₉ A₂₂ Ž₁₈ G₂₇ t_0,1,2,3δ₄	před naším letopočtem [[4,3,4]]	b-tCO-trille	Fylický disfenoid		Osmá pyramidille	Fylický disfenoid	,
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄	fc [4,3^1,1]	Tetroctahedrille nebo	Cuboctahedron,		Dodecahedrille nebo	Kosočtverečný dvanáctistěn,	,
J_22,34 A₂₁ Ž₁₇ G₁₀ h₂δ₄	fc [4,3^1,1]	zkrácený tetraoktaedrille nebo	Obdélníková pyramida		Napůl zploštělý osmistěn nebo	kosočtverečný pyramida	, ,
J₂₃ A₁₆ Ž₁₁ G₅ h₃δ₄	fc [4,3^1,1]	3-RCO-trille nebo	Zkrácená trojúhelníková pyramida		Čtvrtletí	irr. trojúhelníkový bipyramid
J₂₄ A₂₀ Ž₁₆ G₂₁ h_2,3δ₄	fc [4,3^1,1]	f-tCO-trille nebo	Zrcadlený sfénoid		Poloviční pyramidille	Zrcadlený sfénoid
J_25,33 A₁₃ Ž₁₀ G₆ qδ₄	d [[3^[4]]]	Zkrácený čtyřstěn nebo	Rovnoramenný trojúhelníkový hranol		Oblátská kubila	Trigonální lichoběžník

Symetrie

Jedná se o čtyři z 35 kubických vesmírných skupin

Tyto čtyři skupiny symetrie jsou označeny jako:

Označení	Popis	vesmírná skupina Mezinárodní symbol	Geometrický notace^[2]	Coxeter notace	Fibrifold notace
před naším letopočtem	bikubická symetrie nebo rozšířená kubická symetrie	(221) Im3m	I43	[[4,3,4]]	8°:2
nc	normální kubická symetrie	(229) Pm3m	P43	[4,3,4]	4⁻:2
fc	napůl kubická symetrie	(225) Fm3m	F43	[4,3^1,1] = [4,3,4,1⁺]	2⁻:2
d	diamantová symetrie nebo rozšířená čtvrtkubická symetrie	(227) Fd3m	F_d4_n3	[[3^[4]]] = [[1⁺,4,3,4,1⁺]]	2⁺:2

Reference

^ Pro křížové odkazy na architektonické tělesa jsou uvedeny seznamové indexy z Andreini (1-22), ŽIlliams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) a Grünbaum (1-28). Názvy coxeters jsou založeny na δ₄ jako kubický plástev, hδ₄ jako střídaný kubický plástev a qδ₄ jako čtvrt kubický plástev.
^ Hestenes, David; Holt, Jeremy (2007-02-27). „Krystalografické vesmírné skupiny v geometrické algebře“ (PDF). Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing LLC. 48 (2): 023514. doi:10.1063/1.2426416. ISSN 1089-7658.

Krystalografie kvazikrystalů: koncepty, metody a struktury Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), s. 54-55. 12 balení 2 nebo více uniformních mnohostěnů s kubickou symetrií

Další čtení

Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). „21. Pojmenování archimedovských a katalánských mnohostěnů a obkladů“. Symetrie věcí. A K Peters, Ltd. str. 292–298. ISBN 978-1-56881-220-5.
Inchbald, Guy (červenec 1997). "Archimédův plástev dualů". Matematický věstník. Leicester: Matematická asociace. 81 (491): 213–219. doi:10.2307/3619198. JSTOR 3619198. [1]
Branko Grünbaum, (1994) Jednotné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4, 49 - 56.
Norman Johnson (1991) Jednotné Polytopes, Rukopis
A. Andreini, (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, ser. 3, 14 75–129. PDF [2]
George Olshevsky, (2006) Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis PDF [3]
Pearce, Peter (1980). Struktura v přírodě je strategie pro design. MIT Press. 41–47. ISBN 9780262660457.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H. S. M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [4]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] Viz str. 318 [5]

[1] Pro křížové odkazy na architektonické tělesa jsou uvedeny seznamové indexy z Andreini (1-22), ŽIlliams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) a Grünbaum (1-28). Názvy coxeters jsou založeny na δ₄ jako kubický plástev, hδ₄ jako střídaný kubický plástev a qδ₄ jako čtvrt kubický plástev.

[2] Hestenes, David; Holt, Jeremy (2007-02-27). „Krystalografické vesmírné skupiny v geometrické algebře“ (PDF). Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing LLC. 48 (2): 023514. doi:10.1063/1.2426416. ISSN 1089-7658.

[1]

[2]