Tesseractic plástev - Tesseractic honeycomb

Tesseractic plástev
Perspektivní projekce 3x3x3x3 červeno-modré šachovnice.
Typ	Pravidelný 4-prostorový plástev Jednotný 4-plástev
Rodina	Hyperkubický plástev
Schläfliho symboly	{4,3,3,4} t0,4{4,3,3,4} {4,3,31,1} {4,4}2 {4,3,4} x {∞} {4,4} x {∞}2 {∞}4
Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy
4 tváře	{4,3,3}
Typ buňky	{4,3}
Typ obličeje	{4}
Postava hrany	{3,4} (osmistěn )
Vrcholová postava	{3,3,4} (16 buněk )
Skupiny coxeterů	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$, [4,3,3,4] ${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$, [4,3,31,1]
Dvojí	self-dual
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, tvář-tranzitivní, buněčně tranzitivní, 4-tvář-tranzitivní

v čtyřrozměrný euklidovská geometrie, tesseractic voštinový je jedním ze tří pravidelný vyplňování prostoru mozaikování (nebo voštiny ), reprezentováno Schläfliho symbol {4,3,3,4} a vytvořeno pomocí 4-dimenzionálního balení tesseract fazety.

Své vrchol obrázek je 16 buněk. V každé krychli se setkávají dva tesseracty buňka, po čtyřech se scházejí náměstí tvář, osm se setkává na každém okraj a po šestnácti se scházejí vrchol.

Je to obdoba čtvercové obklady, {4,4}, letadla a kubický plástev, {4,3,4}, ze 3 mezer. To vše je součástí hyperkubický plástev rodina mozaikování formy {4,3, ..., 3,4}. Teselace v této rodině jsou Self-dual.

Souřadnice

Vrcholy této voštiny lze umístit do 4prostoru ve všech celočíselných souřadnicích (i, j, k, l).

Balení koule

Jako všechny běžné hyperkubické voštiny, tesseraktický plástev odpovídá a koule balení koulí o průměru o délce hrany se středem na každém vrcholu nebo (dvojitě) místo toho zapsaných v každé buňce. V hyperkubický plást 4 rozměrů, 3-koule se středem na vrchol a 3-koule s nápisem na buňce se vejdou najednou a vytvoří jedinečnou pravidelnou centrovaný na tělo mřížka stejně velkých koulí (v libovolném počtu rozměrů). Protože tesseract je radiálně rovnostranný, v díře mezi 16 kuličkami se středem 3 vrcholů je přesně dost prostoru pro další 3 koule o průměru o délce hrany. (Tento 4-dimenzionální těleso se středem kubické mřížky je ve skutečnosti spojení dvou tesseractic voštin, ve dvou polohách.)

Toto je stejné nejhustší známé pravidelné balení 3 koulí s líbání číslo 24, který je také vidět na dalších dvou pravidelných mozaikování 4-prostoru, na 16článkový plástev a 24článkový plástev. Každá 3 sféra vepsaná do tesseractu líbá okolní skořápku 24 3 koulí, 16 na vrcholech tesseractu a 8 vepsaných do sousedních tesseracts. Těchto 24 polibků je vrcholy 24 buněk poloměru (a délky hrany) 1/2.

Stavby

Existuje mnoho různých Wythoffovy konstrukce tohoto plástve. Nejsymetrickější forma je pravidelný, s Schläfliho symbol {4,3,3,4}. Další forma má dvě střídání tesseract fazety (jako šachovnice) se symbolem Schläfli {4,3,3^1,1}. Konstrukce Wythoff s nejnižší symetrií má kolem každého vrcholu 16 typů fazet a hranolový Schläfliho symbol produktu {∞}⁴. Jeden může být vyroben sterilizující další.

Související polytopy a mozaikování

[4,3,3,4], , Skupina coxeterů generuje 31 permutací jednotných mozaikování, 21 s odlišnou symetrií a 20 s odlišnou geometrií. The rozšířený tesseractic honeycomb (také známý jako sterilizovaný tesseractic honeycomb) je geometricky identický s tesseractic voštinou. Tři ze symetrických voštin jsou sdíleny v rodině [3,4,3,3]. Dvě alternace (13) a (17) a čtvrtina tesseractic (2) se opakují v jiných rodinách.

C4 voštiny
Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
[4,3,3,4]:		×1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
[[4,3,3,4]]		×2	(1), (2), (13), 18 (6), 19, 20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]] ↔ [(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×6	14, 15, 16, 17

[4,3,3^1,1], , Skupina coxeterů generuje 31 permutací jednotných mozaikování, 23 s odlišnou symetrií a 4 s odlišnou geometrií. Existují dvě alternované formy: alternace (19) a (24) mají stejnou geometrii jako 16článkový plástev a potlačit 24článkový plástev resp.

B4 voštiny
Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
[4,3,31,1]:		×1	5, 6, 7, 8
<[4,3,31,1]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	9, 10, 11, 12, 13, 14, (10), 15, 16, (13), 17, 18, 19
[3[1+,4,3,31,1]] ↔ [3[3,31,1,1]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	1, 2, 3, 4
[(3,3)[1+,4,3,31,1]] ↔ [(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×12	20, 21, 22, 23

The 24článkový plástev je podobný, ale kromě vrcholů u celých čísel (i, j, k, l) má vrcholy u polovičních celých čísel (i + 1/2, j + 1/2, k + 1/2, l + 1 / 2) pouze lichá celá čísla. Je napůl naplněný tělo centrované kubické (šachovnice, ve které červené 4 kostky mají středový vrchol, ale černé 4 kostky ne).

The tesseract může provádět pravidelné mozaikování 4 koule, se třemi tesseracty na obličej, se Schläfliho symbolem {4,3,3,3}, nazývaným an objednávka-3 tesseractic voštinový. Je topologicky ekvivalentní běžnému polytopu penteract v 5-prostoru.

Tesseract může udělat pravidelnou mozaikování 4-dimenzionální hyperbolický prostor, s 5 tesseracty kolem každé tváře, se Schläfliho symbolem {4,3,3,5}, nazývaným an objednávka 5 tesseractic voštinový.

Usměrněný tesseractic voštinový

A usměrněný tesseractic voštinový, , obsahuje všechny rektifikované 16článkové (24článková ) fazety a je Voronoi mozaikování z D₄^* mříž. Fazety mohou být identicky zbarveny ze zdvojnásobení ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$× 2, [[4,3,3,4]] symetrie, střídavě zbarvená od ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$, [4,3,3,4] symetrie, tři barvy z ${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$, [4,3,3^1,1] symetrie a 4 barvy z ${displaystyle {ilde {D}} _ {4}}$, [3^1,1,1,1] symetrie.

Viz také

Pravidelné a jednotné voštiny ve 4 mezerách:

• 16článkový plástev
• 24článkový plástev
• 5článkový plástev
• Zkrácený 5článkový plástev
• Omnitruncated 5-cell honeycomb

Reference

• Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8 str. 296, tabulka II: Pravidelné voštiny
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Úplný seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb) - Model 1
• Klitzing, Richarde. „4D euklidovské mozaiky“. x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o, x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x ∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3 x4o3 x4o3 x4 x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o * b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${displaystyle {ilde {A}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${displaystyle {ilde {B}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {D}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ / ${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ / ${displaystyle {ilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Jednotné obklady	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Šestihranný
E3	Jednotný konvexní plástev	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Jednotný 4-plástev	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24článkový plástev
E5	Jednotný 5 voštin	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Jednotný 6 voštin	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Jednotný 7 voštin	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Jednotný 8 voštin	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Jednotný 9-plástev	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
En-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21