Jednotný 6-polytop - Uniform 6-polytope

Grafy tří pravidelný a související jednotné polytopy

6-simplexní				Zkrácený 6-simplex				Rektifikovaný 6-simplex
Cantellated 6-simplex						Runcinated 6-simplex
Sterilovaný 6-simplex						Pentellated 6-simplex
6-orthoplex				Zkrácený 6-orthoplex				Rektifikovaný 6-orthoplex
Cantellated 6-orthoplex				Runcinated 6-orthoplex				Sterilizovaný 6-orthoplex
Kanylovaná 6 kostka						Runcinated 6-cube
Sterilizovaná 6 kostka						Pentellated 6-cube
6 kostek				Zkrácená 6 kostka				Rektifikovaná 6 kostka
6-demicube				Zkrácená 6-demicube				Cantellated 6-demicube
Runcinated 6-demicube						Sterikovaná 6demikuba
221						122
Zkrácené 221						Zkrácený 122

v šest-dimenzionální geometrie, a jednotný polypeton^[1][2] (nebo jednotný 6-mnohostěn) je šestrozměrný jednotný polytop. Jednotný polypeton je vrchol-tranzitivní, a všechno fazety jsou jednotné 5-polytopes.

Kompletní sada konvexní uniformní polypeta nebyl stanoven, ale většina může být vyrobena jako Wythoffovy konstrukce z malé sady skupiny symetrie. Tyto stavební operace jsou reprezentovány obměny z prsteny z Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy. Každá kombinace alespoň jednoho kruhu na každé připojené skupině uzlů v diagramu vytváří jednotný 6-polytop.

Nejjednodušší uniformní polypeta jsou běžné polytopy: 6-simplexní {3,3,3,3,3} 6 kostek (hexeract) {4,3,3,3,3} a 6-orthoplex (hexacross) {3,3,3,3,4}.

Historie objevů

• Pravidelné polytopy: (konvexní tváře)
  • 1852: Ludwig Schläfli prokázal ve svém rukopisu Theorie der vielfachen Kontinuität že existují přesně 3 běžné polytopy z 5 nebo více rozměry.
• Konvexní semiregular polytopes: (Různé definice před Coxeterem jednotný kategorie)
  • 1900: Thorold Gosset vyjmenoval ve své publikaci seznam neprismatických semiregulárních konvexních polytopů s pravidelnými fazetami (konvexní pravidelné polytery) Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí.^[3]
• Konvexní jednotné polytopy:
  • 1940: Hledání bylo systematicky rozšířeno o H.S.M. Coxeter ve své publikaci Pravidelné a polopravidelné polytopy.
• Neregulární uniformní hvězdné polytopy: (podobně jako nekonvexní uniformní mnohostěn )
  • Pokračující: Tisíce nekonvexních uniformních polypeta jsou známy, ale většinou nepublikované. Předpokládá se, že seznam není úplný, a neexistuje odhad, jak dlouho bude úplný seznam, i když je v současné době známo více než 10 000 konvexních a nekonvexních uniformních polypeta, zejména 923 se symetrií 6 simplex. Mezi zúčastněné výzkumné pracovníky patří Jonathan Bowers, Richard Klitzing a Norman Johnson.^[4]

Jednotné 6-polytopes podle základních Coxeter skupin

Jednotné 6-polytopy s reflexní symetrií mohou být generovány těmito čtyřmi Coxeterovými skupinami, představovanými permutacemi prstenců Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy.

Existují čtyři základní skupiny reflexní symetrie, které generují 153 jedinečných uniformních 6-polytopů.

#	Skupina coxeterů		Coxeter-Dynkinův diagram
1	A6	[3,3,3,3,3]
2	B6	[3,3,3,3,4]
3	D6	[3,3,3,31,1]
4	E6	[32,2,1]
		[3,32,2]

Coxeter-Dynkinův diagram korespondence mezi rodinami a vyšší symetrie v diagramech. Uzly stejné barvy v každém řádku představují identická zrcadla. Černé uzly nejsou v korespondenci aktivní.

Jednotné hranolové rodiny

Jednotný hranol

Existuje 6 kategorických jednotný hranoly založené na jednotné 5-polytopes.

#	Skupina coxeterů			Poznámky
1	A5A1	[3,3,3,3,2]		Hranolová rodina založená na 5-simplexní
2	B5A1	[4,3,3,3,2]		Hranolová rodina založená na 5 kostek
3a	D5A1	[32,1,1,2]		Hranolová rodina založená na 5-demicube

#	Skupina coxeterů			Poznámky
4	A3Já2(p) A1	[3,3,2, s, 2]		Hranolová rodina založená na čtyřboká -p-gonal duoprismy
5	B3Já2(p) A1	[4,3,2, s, 2]		Hranolová rodina založená na krychlový -p-gonal duoprismy
6	H3Já2(p) A1	[5,3,2, s, 2]		Hranolová rodina založená na dodekahedrál -p-gonal duoprismy

Jednotný duoprism

Existuje 11 kategorických jednotný duoprismatic rodiny polytopů založené na Kartézské výrobky nízkodimenzionálních jednotných polytopů. Pět je vytvořeno jako produkt a jednotný 4-polytop s pravidelný mnohoúhelník a šest je tvořeno součinem dvou jednotná mnohostěna:

#	Skupina coxeterů			Poznámky
1	A4Já2(p)	[3,3,3,2, p]		Rodina založená na 5článková -p-gonal duoprisms.
2	B4Já2(p)	[4,3,3,2, p]		Rodina založená na tesseract -p-gonal duoprisms.
3	F4Já2(p)	[3,4,3,2, p]		Rodina založená na 24článková -p-gonal duoprisms.
4	H4Já2(p)	[5,3,3,2, p]		Rodina založená na 120 buněk -p-gonal duoprisms.
5	D4Já2(p)	[31,1,1, 2, p]		Rodina založená na demitesseract -p-gonal duoprisms.

#	Skupina coxeterů			Poznámky
6	A32	[3,3,2,3,3]		Rodina založená na čtyřboká duoprismy.
7	A3B3	[3,3,2,4,3]		Rodina založená na čtyřboká -krychlový duoprismy.
8	A3H3	[3,3,2,5,3]		Rodina založená na čtyřboká -dodekahedrál duoprismy.
9	B32	[4,3,2,4,3]		Rodina založená na krychlový duoprismy.
10	B3H3	[4,3,2,5,3]		Rodina založená na krychlový -dodekahedrál duoprismy.
11	H32	[5,3,2,5,3]		Rodina založená na dodekahedrál duoprismy.

Jednotný triaprism

Existuje jedna nekonečná rodina jednotný triaprismatické rodiny polytopů konstruované jako a Kartézské výrobky tří pravidelných polygonů. Každá kombinace alespoň jednoho kruhu na každé připojené skupině vytváří jednotný hranolový 6-polytop.

#	Skupina coxeterů			Poznámky
1	Já2(p) já2(Qi2(r)	[p, 2, q, 2, r]		Rodina založená na p, q, r-gonal triprismech

Výčet konvexních uniformních 6-polytopů

• Simplexní rodina: A₆ [3⁴] -
  • 35 uniformních 6-polytopů jako permutací prstenců ve skupinovém diagramu, včetně jednoho regulárního:
    1. {3⁴} - 6-simplexní -
• Hypercube /orthoplex rodina: B₆ [4,3⁴] -
  • 63 uniformních 6-polytopů jako permutací prstenců ve skupinovém diagramu, včetně dvou pravidelných forem:
    1. {4,3³} — 6 kostek (hexeract) -
    2. {3³,4} — 6-orthoplex, (hexacross) -
• Demihypercube D₆ rodina: [3^3,1,1] -
  • 47 uniformních 6-polytopů (16 jedinečných) jako permutace prstenů ve skupinovém diagramu, včetně:
    1. {3,3^2,1}, 1₂₁ 6-demicube (demihexeract) - ; také jako h {4,3³},
    2. {3,3,3^1,1}, 2₁₁ 6-orthoplex - , poloviční symetrická forma .
• E₆ rodina: [3^3,1,1] -
  • 39 uniformních 6-polytopů (16 jedinečných) jako permutace prstenů ve skupinovém diagramu, včetně:
    1. {3,3,3^2,1}, 2₂₁ -
    2. {3,3^2,2}, 1₂₂ -

Tyto základní rodiny generují 153 neprismatických konvexních uniformních polypeta.

Kromě toho existuje 105 jednotných 6-polytopních konstrukcí založených na hranolech jednotné 5-polytopes: [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [5,3,3,3,2], [3^2,1,1,2].

Kromě toho existuje nekonečně mnoho jednotných 6-polytopů založených na:

1. Duoprismové hranolové rodiny: [3,3,2, p, 2], [4,3,2, p, 2], [5,3,2, p, 2].
2. Duoprism rodiny: [3,3,3,2, p], [4,3,3,2, p], [5,3,3,2, p].
3. Rodina triaprismů: [p, 2, q, 2, r].

A₆ rodina

Existuje 32 + 4−1 = 35 formulářů, odvozených označením jednoho nebo více uzlů Coxeter-Dynkinův diagram Níže je uvedeno všech 35. Jsou pojmenováni Norman Johnson ze stavebních operací Wythoff po běžném 6-simplexu (heptapeton). Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny v závorkách pro křížové odkazy.

A₆ rodina má symetrii řádu 5040 (7 faktoriál ).

Souřadnice jednotných 6-polytopů se 6-simplexní symetrií mohou být generovány jako permutace jednoduchých celých čísel v 7-prostoru, vše v hyperplanech s normální vektor (1,1,1,1,1,1,1).

#	Coxeter-Dynkin	Johnson systém pojmenování Bowersovo jméno a (zkratka)	Základní bod	Počty prvků
				5	4	3	2	1	0
1		6-simplexní heptapeton (hop)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		Rektifikovaný 6-simplex usměrněný heptapeton (ril)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		Zkrácený 6-simplex zkrácený heptapeton (do)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Birectified 6-simplex usměrněný heptapeton (bril)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		Cantellated 6-simplex malý kosočtverečný heptapeton (sril)	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		Bitruncated 6-simplex bitruncated heptapeton (batal)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Cantitruncated 6-simplex velký kosočtverečný heptapeton (gril)	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		Runcinated 6-simplex malý prizmatický heptapeton (spil)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Bicantellated 6-simplex malý birhombated heptapeton (sabril)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Runcitruncated 6-simplex prismatotruncated heptapeton (patal)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		Tritruncated 6-simplex tetradecapeton (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Runcicantellated 6-simplex prismatorhombated heptapeton (pril)	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		Bicantitruncated 6-simplex velký birhombated heptapeton (gabril)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Runcicantitruncated 6-simplex velký prizmatický heptapeton (gapil)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		Sterilovaný 6-simplex malý celulární heptapeton (šupina)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Birircinovaný 6-simplex malý biprismato-tetradecapeton (sibpof)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Steritruncated 6-simplex cellitruncated heptapeton (catal)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Stericantellated 6-simplex celistvý heptapeton (cral)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Biruncitruncated 6-simplex biprismatorhombated heptapeton (bapril)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Stericantitruncated 6-simplex celligreatorhombated heptapeton (cagral)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		Steriruncinovaný 6-simplex celliprismated heptapeton (copal)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		Steriruncitruncated 6-simplex celliprismatotruncated heptapeton (captal)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Steriruncicantellated 6-simplex celliprismatorhombated heptapeton (kopril)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Biruncicantitruncated 6-simplex skvělý biprismato-tetradecapeton (gibpof)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Steriruncicantitruncated 6-simplex skvělý celeptický heptapeton (gacal)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Pentellated 6-simplex malý teri-tetradecapeton (zaměstnanci)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Pentitruncated 6-simplex teracelovaný heptapeton (tocal)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		Penticantellated 6-simplex teriprismated heptapeton (topal)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Penticantitruncated 6-simplex terigreatorhombated heptapeton (togral)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Pentiruncitruncated 6-simplex tericellirhombated heptapeton (tocral)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		Pentiruncicantellated 6-simplex teriprismatorhombi-tetradecapeton (taporf)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Pentiruncicantitruncated 6-simplex terigreatoprismovaný heptapeton (tagopal)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Pětistupňový jednostranný provoz tericellitrunki-tetradecapeton (tactaf)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Pentistericantitruncated 6-simplex tericeligreatorhombated heptapeton (tacogral)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		Omnitruncated 6-simplex skvělý teri-tetradecapeton (gotaf)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

B₆ rodina

Existuje 63 formulářů založených na všech permutacích Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy s jedním nebo více kroužky.

B₆ rodina má symetrii řádu 46080 (6 faktoriál x 2⁶).

Jsou pojmenováni Norman Johnson ze stavebních operací Wythoff na běžném 6-krychli a 6-orthoplexu. Pro křížové odkazy jsou uvedena jména Bowers a názvy zkratek.

#	Coxeter-Dynkinův diagram	Schläfliho symbol	Jména	Počty prvků
				5	4	3	2	1	0
36		t0{3,3,3,3,4}	6-orthoplex Hexacontatetrapeton (gee)	64	192	240	160	60	12
37		t1{3,3,3,3,4}	Rektifikovaný 6-orthoplex Rektifikovaný hexacontatetrapeton (hadr)	76	576	1200	1120	480	60
38		t2{3,3,3,3,4}	Usměrněný 6-orthoplex Birectified hexacontatetrapeton (chlubit se)	76	636	2160	2880	1440	160
39		t2{4,3,3,3,3}	Usměrněná 6 kostka Birectified hexeract (brox)	76	636	2080	3200	1920	240
40		t1{4,3,3,3,3}	Rektifikovaná 6 kostka Rektifikovaný hexeract (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41		t0{4,3,3,3,3}	6 kostek Hexeract (sekera)	12	60	160	240	192	64
42		t0,1{3,3,3,3,4}	Zkrácený 6-orthoplex Zkrácený hexacontatetrapeton (značka)	76	576	1200	1120	540	120
43		t0,2{3,3,3,3,4}	Cantellated 6-orthoplex Malý kosočtverečný hexacontatetrapeton (srog)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		t1,2{3,3,3,3,4}	Bitruncated 6-orthoplex Bitruncated hexacontatetrapeton (botag)					1920	480
45		t0,3{3,3,3,3,4}	Runcinated 6-orthoplex Malý prizmatický hexacontatetrapeton (spog)					7200	960
46		t1,3{3,3,3,3,4}	Bicantellated 6-orthoplex Malý birhombated hexacontatetrapeton (siborg)					8640	1440
47		t2,3{4,3,3,3,3}	Tritruncated 6-cube Hexeractihexacontitetrapeton (xog)					3360	960
48		t0,4{3,3,3,3,4}	Sterilizovaný 6-orthoplex Malý celulární hexacontatetrapeton (scag)					5760	960
49		t1,4{4,3,3,3,3}	Biruncinovaná 6 kostka Malý biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (sobpoxog)					11520	1920
50		t1,3{4,3,3,3,3}	Bicantellated 6-cube Malý birhombated hexeract (saborx)					9600	1920
51		t1,2{4,3,3,3,3}	Bitruncated 6-cube Bitrunkovaný hexeract (botox)					2880	960
52		t0,5{4,3,3,3,3}	Pentellated 6-cube Malý teri-hexeractihexacontitetrapeton (stoxog)					1920	384
53		t0,4{4,3,3,3,3}	Sterilizovaná 6 kostka Malý celulární hexeract (scox)					5760	960
54		t0,3{4,3,3,3,3}	Runcinated 6-cube Malý prizmatický hexeract (spox)					7680	1280
55		t0,2{4,3,3,3,3}	Kanylovaná 6 kostka Malý kosočtverec hexeract (srox)					4800	960
56		t0,1{4,3,3,3,3}	Zkrácená 6 kostka Zkrácený hexeract (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		t0,1,2{3,3,3,3,4}	Cantitruncated 6-orthoplex Velký kosočtverec hexacontatetrapeton (grog)					3840	960
58		t0,1,3{3,3,3,3,4}	Runcitruncated 6-orthoplex Prismatotruncated hexacontatetrapeton (potag)					15840	2880
59		t0,2,3{3,3,3,3,4}	Runcicantellated 6-orthoplex Prismatorhombated hexacontatetrapeton (prog)					11520	2880
60		t1,2,3{3,3,3,3,4}	Bicantitruncated 6-orthoplex Velký birhombated hexacontatetrapeton (gaborg)					10080	2880
61		t0,1,4{3,3,3,3,4}	Steritunovaný 6-orthoplex Cellitruncated hexacontatetrapeton (catog)					19200	3840
62		t0,2,4{3,3,3,3,4}	Stericantellated 6-orthoplex Cellirhombated hexacontatetrapeton (skalní útvar)					28800	5760
63		t1,2,4{3,3,3,3,4}	Biruncit obíhá 6-orthoplex Biprismatotruncated hexacontatetrapeton (boprax)					23040	5760
64		t0,3,4{3,3,3,3,4}	Steriruncinovaný 6-orthoplex Celliprismated hexacontatetrapeton (copog)					15360	3840
65		t1,2,4{4,3,3,3,3}	Biruncitová 6 kostka Biprismatotruncated hexeract (boprag)					23040	5760
66		t1,2,3{4,3,3,3,3}	Bicantitruncated 6-cube Velký birhombated hexeract (gaborx)					11520	3840
67		t0,1,5{3,3,3,3,4}	Pentitunovaný 6-orthoplex Teritruncated hexacontatetrapeton (tacox)					8640	1920
68		t0,2,5{3,3,3,3,4}	Penticantellated 6-orthoplex Terirhombated hexacontatetrapeton (tapox)					21120	3840
69		t0,3,4{4,3,3,3,3}	Steriruncinovaná 6 kostka Celliprismated hexeract (copox)					15360	3840
70		t0,2,5{4,3,3,3,3}	Pentikanálová 6 kostka Terirhombated hexeract (topag)					21120	3840
71		t0,2,4{4,3,3,3,3}	Stericantellated 6-kostka Celirhombated hexeract (crax)					28800	5760
72		t0,2,3{4,3,3,3,3}	Runcicantellated 6-kostka Prismatorhombated hexeract (prox)					13440	3840
73		t0,1,5{4,3,3,3,3}	Pentitunovaná 6 kostka Teritruncated hexeract (tacog)					8640	1920
74		t0,1,4{4,3,3,3,3}	Steritunizovaná 6 kostka Cellitruncated hexeract (catax)					19200	3840
75		t0,1,3{4,3,3,3,3}	Runcitruncated 6-cube Prismatotruncated hexeract (potax)					17280	3840
76		t0,1,2{4,3,3,3,3}	Cantitruncated 6-cube Velký kosočtverec hexeract (grox)					5760	1920
77		t0,1,2,3{3,3,3,3,4}	Runcicantitunikovaný 6-orthoplex Skvělý prizmatický hexacontatetrapeton (gopog)					20160	5760
78		t0,1,2,4{3,3,3,3,4}	Stericantitruncated 6-orthoplex Celligreatorhombated hexacontatetrapeton (cagorg)					46080	11520
79		t0,1,3,4{3,3,3,3,4}	Steriruncitrunited 6-orthoplex Celliprismatotruncated hexacontatetrapeton (captog)					40320	11520
80		t0,2,3,4{3,3,3,3,4}	Steriruncicantellated 6-orthoplex Celliprismatorhombated hexacontatetrapeton (coprag)					40320	11520
81		t1,2,3,4{4,3,3,3,3}	Biruncicantitununková 6 kostka Skvělý biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog)					34560	11520
82		t0,1,2,5{3,3,3,3,4}	Penticantitruncated 6-orthoplex Terigreatorhombated hexacontatetrapeton (togrig)					30720	7680
83		t0,1,3,5{3,3,3,3,4}	Pentiruncit obíhal 6-orthoplex Teriprismatotruncated hexacontatetrapeton (tocrax)					51840	11520
84		t0,2,3,5{4,3,3,3,3}	Pentiruncicantellated 6-krychle Teriprismatorhombi-hexeractihexacontitetrapeton (tiprixog)					46080	11520
85		t0,2,3,4{4,3,3,3,3}	Steriruncicantellated 6-kostka Celliprismatorhombated hexeract (coprix)					40320	11520
86		t0,1,4,5{4,3,3,3,3}	Pentisteritová 6 kostka Tericelli-hexeractihexacontitetrapeton (tactaxog)					30720	7680
87		t0,1,3,5{4,3,3,3,3}	Pentiruncitobíhá 6 kostka Teriprismatotruncated hexeract (tocrag)					51840	11520
88		t0,1,3,4{4,3,3,3,3}	Steriruncitruncated 6-cube Celliprismatotruncated hexeract (captix)					40320	11520
89		t0,1,2,5{4,3,3,3,3}	Penticantitruncated 6-cube Terigreatorhombated hexeract (togrix)					30720	7680
90		t0,1,2,4{4,3,3,3,3}	Stericantitruncated 6-cube Celligreatorhombated hexeract (cagorx)					46080	11520
91		t0,1,2,3{4,3,3,3,3}	Runcicantitunikovaná 6 kostka Velký prizmatický hexeract (gippox)					23040	7680
92		t0,1,2,3,4{3,3,3,3,4}	Steriruncicantitunový 6-orthoplex Skvělý celulární hexacontatetrapeton (gocog)					69120	23040
93		t0,1,2,3,5{3,3,3,3,4}	Pentiruncicantitunikovaný 6-orthoplex Terigreatoprismated hexacontatetrapeton (tagpog)					80640	23040
94		t0,1,2,4,5{3,3,3,3,4}	Pentistericantitunited 6-orthoplex Tericelligreatorhombated hexacontatetrapeton (tecagorg)					80640	23040
95		t0,1,2,4,5{4,3,3,3,3}	Pentistericantitununcated 6-cube Tericelligreatorhombated hexeract (tocagrax)					80640	23040
96		t0,1,2,3,5{4,3,3,3,3}	Pentiruncicantitununková 6 kostka Terigreatoprismovaný hexeract (neštovice)					80640	23040
97		t0,1,2,3,4{4,3,3,3,3}	Steriruncicantitruncated 6-cube Skvělý celulární hexeract (gocax)					69120	23040
98		t0,1,2,3,4,5{4,3,3,3,3}	Omnitruncated 6-cube Skvělý teri-hexeractihexacontitetrapeton (gotaxog)					138240	46080

D₆ rodina

D₆ rodina má symetrii řádu 23040 (6 faktoriál x 2⁵).

Tato rodina má 3 × 16−1 = 47 wythoffovských jednotných polytopů, generovaných značením jednoho nebo více uzlů D₆ Coxeter-Dynkinův diagram. Z nich 31 (2 × 16-1) se opakuje od B₆ rodina a 16 jsou pro tuto rodinu jedinečné. Níže je uvedeno 16 jedinečných formulářů. Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny pro křížové odkazy.

#	Coxeterův diagram	Jména	Základní bod (Střídavě podepsáno)	Počty prvků						Circumrad
				5	4	3	2	1	0
99	=	6-demicube Hemihexeract (hax)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0.8660254
100	=	Kantická 6 kostka Zkrácený hemihexeract (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	=	Runcic 6 kostek Malý kosočtverečný hemihexeract (sirhax)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1.9364916
102	=	Sterická 6 kostka Malý prizmatický hemihexeract (sophax)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1.6583123
103	=	Pentická 6 kostka Malý celulární demihexeract (sochax)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1.3228756
104	=	Runcicantic 6 kostek Velký kosočtverečný hemihexeract (girhax)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920	3.2787192
105	=	Stericantic 6 kostek Prismatotruncated hemihexeract (pithax)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2.95804
106	=	Steriruncic 6-kostka Prismatorhombated hemihexeract (prohax)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920	2.7838821
107	=	Pentikantická 6 kostka Cellitruncated hemihexeract (cathix)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920	2.5980761
108	=	Pentiruncic 6-krychle Cellirhombated hemihexeract (crohax)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920	2.3979158
109	=	Pentisterická 6 kostka Celliprismated hemihexeract (cophix)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2.1794496
110	=	Steriruncicantická 6 kostka Velký prizmatický hemihexeract (gophax)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4.0926762
111	=	Pentiruncicantická 6 kostka Celligreatorhombated hemihexeract (cagrohax)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3.7080991
112	=	Pentisterikantická 6 kostka Celliprismatotruncated hemihexeract (capthix)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3.4278274
113	=	Pentisteriruncic 6-krychle Celliprismatorhombated hemihexeract (caprohax)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3.2787192
114	=	Pentisteriruncicantic 6-krychle Skvělý celulární hemihexeract (gochax)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4.5552168

E₆ rodina

Existuje 39 formulářů založených na všech permutacích Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy s jedním nebo více kroužky. Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny pro křížové odkazy. The E₆ rodina má symetrii řádu 51 840.

#	Coxeterův diagram	Jména	Počty prvků
			5 tváří	4 tváře	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
115		221 Icosiheptaheptacontidipeton (jak)	99	648	1080	720	216	27
116		Opraveno 221 Rektifikovaný icosiheptaheptacontidipeton (rojak)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Zkrácené 221 Zkrácený icosiheptaheptacontidipeton (tojak)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Cantellated 221 Malý kosočtverec icosiheptaheptacontidipeton (sirjak)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinated 221 Malý demiprismovaný icosiheptaheptacontidipeton (shopjak)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Demifikovaný icosiheptaheptacontidipeton (hejak)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 221 Bitruncated icosiheptaheptacontidipeton (botajik)						2160
122		Demirectified icosiheptaheptacontidipeton (harjak)						1080
123		Cantitruncated 221 Velký kosočtverečný ikonosheptaheptacontidipeton (girjak)						4320
124		Runcitruncated 221 Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		Steritruncated 221 Cellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (catjak)						2160
126		Demitruncated icosiheptaheptacontidipeton (hotjak)						2160
127		Runcicantellated 221 Demiprismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (haprojak)						6480
128		Malý demirhombated icosiheptaheptacontidipeton (shorjak)						4320
129		Malý hranolovitý icosiheptaheptacontidipeton (spojak)						4320
130		Tritruncated icosiheptaheptacontidipeton (titajak)						4320
131		Runcicantitruncated 221 Velký demiprismovaný icosiheptaheptacontidipeton (ghopjak)						12960
132		Stericantitruncated 221 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		Velký demirhombated icosiheptaheptacontidipeton (ghorjak)						8640
134		Prismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (potjak)						12960
135		Demicellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (hictijik)						8640
136		Prismatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (projak)						12960
137		Velký prizmatický ikonosheptaheptacontidipeton (gapjak)						25920
138		Demicelligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (hocgarjik)						25920

#	Coxeterův diagram	Jména	Počty prvků
			5 tváří	4 tváře	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
139	=	122 Pentacontatetrapeton (mo)	54	702	2160	2160	720	72
140	=	Opraveno 122 Rektifikovaný pentacontatetrapeton (beran)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	=	Usměrněný 122 Birectified pentacontatetrapeton (barm)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	=	Trirectified 122 Trirectified pentacontatetrapeton (trim)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	=	Zkrácený 122 Zkrácený pentacontatetrapeton (tim)					13680	1440
144	=	Bitruncated 122 Bitruncated pentacontatetrapeton (bitem)						6480
145	=	Tritruncated 122 Tritruncated pentacontatetrapeton (titam)						8640
146	=	Cantellated 122 Malý kosočtverečný pentacontatetrapeton (SRAM)						6480
147	=	Cantitruncated 122 Velký kosočtverečný pentacontatetrapeton (gram)						12960
148	=	Runcinated 122 Malý prizmatický pentacontatetrapeton (spam)						2160
149	=	Bicantellated 122 Malý birhombated pentacontatetrapeton (sabrim)						6480
150	=	Bicantitruncated 122 Velký birhombated pentacontatetrapeton (gabrim)						12960
151	=	Runcitruncated 122 Prismatotruncated pentacontatetrapeton (patom)						12960
152	=	Runcicantellated 122 Prismatorhombated pentacontatetrapeton (ples)						25920
153	=	Omnitruncated 122 Velký prizmatický pentacontatetrapeton (gopam)						51840

Non-Wythoffian 6-Polytopes

V 6 dimenzích a výše existuje nekonečné množství neythoffovských konvexů jednotné polytopy jako kartézský součin z Velký antiprism ve 4 rozměrech a pravidelný mnohoúhelník ve 2 rozměrech. Dosud není prokázáno, zda jich je nebo není více.

Pravidelné a jednotné voštiny

Coxeter-Dynkinův diagram korespondence mezi rodinami a vyšší symetrie v diagramech. Uzly stejné barvy v každém řádku představují identická zrcadla. Černé uzly nejsou v korespondenci aktivní.

Existují čtyři základní afinity Skupiny coxeterů a 27 prizmatických skupin, které generují pravidelné a jednotné mozaikování v 5prostoru:

#	Skupina coxeterů		Coxeterův diagram	formuláře
1	${displaystyle {ilde {A}} _ {5}}$	[3[6]]		12
2	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{5}}$	[4,33,4]		35
3	${displaystyle {ilde {B}} _ {5}}$	[4,3,31,1] [4,33,4,1+]		47 (16 nových)
4	${displaystyle {ilde {D}} _ {5}}$	[31,1,3,31,1] [1+,4,33,4,1+]		20 (3 nové)

Pravidelné a jednotné voštiny zahrnují:

• ${displaystyle {ilde {A}} _ {5}}$ Existuje 12 jedinečných jednotných voštin, včetně:
  • 5-simplexní plástev
  • Zkrácený voštinový plást 5-simplex
  • Omnitruncated 5-simplex plástev
• ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{5}}$ K dispozici je 35 jednotných voštin, včetně:
  • Pravidelný hypercube plástev euklidovského 5-prostoru, 5-krychlový plástev, se symboly {4,3³,4}, =
• ${displaystyle {ilde {B}} _ {5}}$ Existuje 47 jednotných voštin, 16 nových, včetně:
  • Uniformu střídaný plást hypercube, 5-demikubický plástev, se symboly h {4,3³,4}, = =
• ${displaystyle {ilde {D}} _ {5}}$, [3^1,1,3,3^1,1]: K dispozici je 20 jedinečných permutací s kruhy a 3 nové. Coxeter volá první a čtvrtina 5-kubický plástev, se symboly q {4,3³,4}, = . Další dva nové jsou = , = .

Hranolové skupiny

#	Skupina coxeterů		Coxeter-Dynkinův diagram
1	${displaystyle {ilde {A}} _ {4}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[5],2,∞]
2	${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,31,1,2,∞]
3	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2,∞]
4	${displaystyle {ilde {D}} _ {4}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[31,1,1,1,2,∞]
5	${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2,∞]
6	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2,∞,2,∞]
7	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,31,1,2,∞,2,∞]
8	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[4],2,∞,2,∞]
9	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,∞,2,∞,2,∞]
10	${displaystyle {ilde {H}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,∞,2,∞,2,∞]
11	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,∞,2,∞,2,∞]
12	${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
13	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,3[3],2,∞]
14	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,4,4,2,∞]
15	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[3[3],2,6,3,2,∞]
16	${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,4,4,2,∞]
17	${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,6,3,2,∞]
18	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$X${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,6,3,2,∞]
19	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[3[4],2,3[3]]
20	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[4,31,1,2,3[3]]
21	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$X${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$	[4,3,4,2,3[3]]
22	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[3[4],2,4,4]
23	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[4,31,1,2,4,4]
24	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$X${displaystyle {ilde {B}} _ {2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[3[4],2,6,3]
26	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[4,31,1,2,6,3]
27	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{3}}$X${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$	[4,3,4,2,6,3]

Pravidelné a jednotné hyperbolické voštiny

Neexistují žádné kompaktní hyperbolické Coxeterovy skupiny 6. úrovně, skupiny, které mohou generovat voštiny se všemi konečnými fazetami a konečné vrchol obrázek. Existují však 12 nekompaktních hyperbolických Coxeterových skupin 6. úrovně, z nichž každá generuje jednotné voštiny v 5prostoru jako permutace prstenců Coxeterových diagramů.

Hyperbolické nekompaktní skupiny

${displaystyle {ar {P}} _ {5}}$ = [3,3[5]]: ${displaystyle {widehat {AU}} _ {5}}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${displaystyle {widehat {AR}} _ {5}}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:

${displaystyle {ar {S}} _ {5}}$ = [4,3,32,1]: ${displaystyle {ar {O}} _ {5}}$ = [3,4,31,1]: ${displaystyle {ar {N}} _ {5}}$ = [3,(3,4)1,1]:

${displaystyle {ar {U}} _ {5}}$ = [3,3,3,4,3]: ${displaystyle {ar {X}} _ {5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${displaystyle {ar {R}} _ {5}}$ = [3,4,3,3,4]:

${displaystyle {ar {Q}} _ {5}}$ = [32,1,1,1]: ${displaystyle {ar {M}} _ {5}}$ = [4,3,31,1,1]: ${displaystyle {ar {L}} _ {5}}$ = [31,1,1,1,1]:

Poznámky ke konstrukci Wythoff pro jednotné 6-polytopes

Konstrukce reflexního 6-dimenzionálního jednotné polytopy jsou prováděny prostřednictvím Wythoffova konstrukce proces, a zastoupeny prostřednictvím a Coxeter-Dynkinův diagram, kde každý uzel představuje zrcadlo. Uzly jsou vyzváněny, což naznačuje, která zrcadla jsou aktivní. Celá sada generovaných jednotných polytopů je založena na jedinečných permutacích prstencových uzlů. Jednotné 6-polytopes jsou pojmenovány ve vztahu k běžné polytopy v každé rodině. Některé rodiny mají dva pravidelné konstruktory, a proto mohou mít dva způsoby, jak je pojmenovat.

Zde jsou k dispozici hlavní operátoři pro konstrukci a pojmenování jednotných 6-polytopů.

Prizmatické formy a rozdvojené grafy mohou používat stejnou notaci zkrácení indexování, ale kvůli jasnosti vyžadují v uzlech explicitní systém číslování.