Pravidelný mnohoúhelník - Regular polygon

Sada konvexních pravidelných n-gonů
Pravidelné mnohoúhelníky
Hrany a vrcholy	n
Schläfliho symbol	{n}
Coxeter – Dynkinův diagram
Skupina symetrie	D_n, objednávka 2n
Duální mnohoúhelník	Self-dual
Plocha (s délkou strany, s)	${ displaystyle A = { tfrac {1} {4}} ns ^ {2} cot left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Vnitřní úhel	${ displaystyle (n-2) krát { frac {180 ^ { circ}} {n}}}$
Součet vnitřního úhlu	${ displaystyle left (n-2 right) krát 180 ^ { circ}}$
Průměr vepsaného kruhu	${ displaystyle d _ { text {IC}} = s cot left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Popsaný průměr kruhu	${ displaystyle d _ { text {OC}} = s csc left ({ frac { pi} {n}} right)}$
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v Euklidovská geometrie, a pravidelný mnohoúhelník je polygon to je rovnoramenný (všechny úhly jsou v míře stejné) a rovnostranný (všechny strany mají stejnou délku). Pravidelné polygony mohou být buď konvexní nebo hvězda. V omezit posloupnost pravidelných polygonů s rostoucím počtem stran se blíží a kruh, pokud obvod nebo plocha je pevná nebo běžná apeirogon (účinně a přímka ), pokud je délka hrany pevná.

Obecné vlastnosti

Pravidelné konvexní a hvězdicové polygony se 3 až 12 vrcholy označenými symboly Schläfli

Tyto vlastnosti platí pro všechny pravidelné polygony, ať už konvexní nebo hvězda.

Pravidelný n-stranný polygon má rotační symetrie řádu n.

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na společné kružnici ( opsaná kružnice ); tj. jsou koncyklické body. To znamená, že pravidelný mnohoúhelník je a cyklický mnohoúhelník.

Spolu s vlastností stran stejné délky to znamená, že každý pravidelný mnohoúhelník má také vepsaný kruh nebo incircle to je tečna ke každé straně ve středu. Pravidelný mnohoúhelník je tedy a tangenciální mnohoúhelník.

Pravidelný n-stranný mnohoúhelník lze zkonstruovat pomocí kompas a pravítko jen a jen pokud zvláštní primární faktory n jsou odlišné Fermat připraví. Vidět konstruovatelný mnohoúhelník.

Symetrie

The skupina symetrie z n-stranný pravidelný mnohoúhelník je dihedrální skupina D_n (objednávky 2n): D₂, D₃, D₄, ... Skládá se z rotací v C_n, dohromady s reflexní symetrie v n osy, které procházejí středem. Li n i tehdy polovina těchto os prochází dvěma protilehlými vrcholy a druhá polovina středem protilehlých stran. Li n je liché, pak všechny osy procházejí vrcholem a středem opačné strany.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Všechny pravidelné jednoduché polygony (jednoduchý mnohoúhelník je ten, který se nikde neprotíná) jsou konvexní. Ti, kteří mají stejný počet stran, jsou také podobný.

An n-stranný konvexní pravidelný mnohoúhelník je označen jeho Schläfliho symbol {n}. Pro n <3, máme dva degenerovat případy:

Monogon {1}: Degenerovat v obyčejný prostor. (Většina úřadů nepovažuje monogon za skutečný polygon, částečně proto, a také proto, že níže uvedené vzorce nefungují a jeho struktura není strukturou žádného abstraktní mnohoúhelník.)
Digone {2}; „dvojitý úsečka“: Degenerovat v obyčejný prostor. (Některé úřady proto digon nepovažují za skutečný polygon.)

V určitých kontextech budou všechny uvažované polygony pravidelné. Za takových okolností je obvyklé předponu upustit. Například všechny tváře uživatele jednotná mnohostěna musí být pravidelné a tváře budou popsány jednoduše jako trojúhelník, čtverec, pětiúhelník atd.

Úhly

Pro pravidelné konvexní n-gon, každý vnitřní úhel má míru:

{ displaystyle { frac {180 (n-2)} {n}}}

stupňů;

{ displaystyle { frac {(n-2) pi} {n}}}

radiány; nebo

{ displaystyle { frac {(n-2)} {2n}}}

úplný zatáčky,

a každý vnější úhel (tj., doplňkový do vnitřního úhlu) má míru ${ displaystyle { tfrac {360} {n}}}$ stupňů, přičemž součet vnějších úhlů se rovná 360 stupňům nebo 2π radiánům nebo jedné úplné zatáčce.

Jak se počet stran, n blíží nekonečnu, vnitřní úhel se blíží 180 stupňům. Pro běžný mnohoúhelník s 10 000 stranami (a myriagon ) vnitřní úhel je 179,964 °. Jak se počet stran zvyšuje, vnitřní úhel se může přiblížit velmi blízko k 180 ° a tvar mnohoúhelníku se blíží tvaru kruhu. Z mnohoúhelníku se však nikdy nemůže stát kruh. Hodnota vnitřního úhlu se nikdy nemůže rovnat přesně 180 °, protože z obvodu by se ve skutečnosti stala přímka. Z tohoto důvodu kruh není mnohoúhelník s nekonečným počtem stran.

Úhlopříčky

Pro n > 2, počet úhlopříčky je ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} n (n-3)}$ ; tj. 0, 2, 5, 9, ..., pro trojúhelník, čtverec, pětiúhelník, šestiúhelník, .... Úhlopříčky rozdělují mnohoúhelník na 1, 4, 11, 24, ... kousky OEIS: A007678.

Pravidelně n-gon vepsaný do kruhu o poloměru jednotky, součin vzdáleností od daného vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních vrcholů a vrcholů spojených úhlopříčkou) se rovná n.

Body v rovině

Pro běžné jednoduché n-gon s circumradius R a vzdálenosti d_i od libovolného bodu v rovině po vrcholy, máme^[1]

{ displaystyle { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} {n}} + 3R ^ {4} = left ({ frac { sum _ { i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}} {n}} + R ^ {2} right) ^ {2}.}

Pro vyšší síly vzdáleností ${ displaystyle d_ {i}}$ z libovolného bodu v rovině k vrcholům pravidelného ${ displaystyle n}$ -gon, pokud

{ displaystyle S_ {n} ^ {(2 m)} = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}

,

pak^[2]

{ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} { 2}} rfloor} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} R ^ {2k} (S_ {n} ^ {(2)} - R ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}}

,

a

{ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} { 2}} rfloor} { frac {1} {2 ^ {k}}} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} (S_ {n} ^ {(4) } - (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}}

,

kde ${ displaystyle m}$ je kladné celé číslo menší než ${ displaystyle n}$ .

Li ${ displaystyle L}$ je vzdálenost od libovolného bodu v rovině k těžišti pravidelného objektu ${ displaystyle n}$ -gon s circumradius ${ displaystyle R}$ , pak ^[2]

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m} = n ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {m} {2}} rfloor} { binom {m} {2k}} { binom {2k} {k}} R ^ {2k} L ^ {2k} ( R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m-2k})}

,

kde ${ displaystyle m}$ = 1,2,…, ${ displaystyle n}$ -1.

Vnitřní body

Pravidelně n-gon, součet kolmých vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu k n strany je n krát apothem^[3]^{:str. 72} (apothem je vzdálenost od středu k jakékoli straně). Toto je zobecnění Vivianiho věta pro n= 3 případy.^[4]^[5]

Circumradius

Pravidelný Pentagon (n = 5) s boční s, circumradius R a apothem A

Grafy boční, s ; apothem, A a plocha, A z pravidelné mnohoúhelníky z n strany a circumradius 1, s základna, b a obdélník se stejnou oblastí - zelená čára ukazuje případ n = 6

The circumradius R od středu pravidelného mnohoúhelníku k jednomu z vrcholů souvisí s délkou strany s nebo do apothem A podle

{ displaystyle R = { frac {s} {2 sin left ({ frac { pi} {n}} right)}} = { frac {a} { cos left ({ frac { pi} {n}} vpravo)}}}

Pro konstruovatelné polygony, algebraické výrazy protože tyto vztahy existují; vidět Bicentrický mnohoúhelník # Pravidelné mnohoúhelníky.

Součet kolmic z pravidelné n-gonovy vrcholy k libovolné přímce tečné k polokruhu se rovnají n krát circumradius.^[3]^{:str. 73}

Součet čtverců vzdáleností od vrcholů pravidelného n-gon do libovolného bodu na jeho kruhovém kruhu se rovná 2nR² kde R je cirkadius.^[3]^{:str. 73}

Součet čtverců vzdáleností od středů po stranách pravidelného n-gon do kteréhokoli bodu v kruhovém kruhu je 2nR² − ns²/4, kde s je délka strany a R je cirkadius.^[3]^{:str. 73}

Li ${ displaystyle d_ {i}}$ jsou vzdálenosti od vrcholů pravidelného objektu ${ displaystyle n}$ - tedy do libovolného bodu jeho obvodu ^[2]

{ displaystyle 3 ( sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 2n sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ { 4}}

.

Pitvy

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit ${ displaystyle { tbinom {n} {2}}}$ nebo m(m-1) / 2 rovnoběžníky. Tyto naklonění jsou obsaženy jako podmnožiny vrcholů, hran a ploch v ortogonálních projekcích m- kostky.^[6]To platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. OEIS: A006245 poskytuje počet řešení pro menší polygony.

Příklad pitev pro vybrané rovnoměrné pravidelné mnohoúhelníky
2m	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
obraz
Kosočtverce	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Plocha

Oblast A konvexního pravidelného n-stranný polygon s boční s, circumradius R, apothem A, a obvod p darováno^[7]^[8]

{ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} nsa = { tfrac {1} {2}} pa = { tfrac {1} {4}} ns ^ {2} cot left ({ tfrac { pi} {n}} right) = na ^ {2} tan left ({ tfrac { pi} {n}} right) = { tfrac {1} {2}} nR ^ {2} sin left ({ tfrac {2 pi} {n}} right)}

Pro běžné polygony s bočnicí s = 1, cirkadius R = 1, nebo apothem A = 1, vytvoří se následující tabulka:^[9] (Všimněte si, že od té doby ${ displaystyle dětská postýlka x pravá šipka 1 / x}$ tak jako ${ displaystyle x rightarrow 0}$ ,^[10] oblast, když ${ displaystyle s = 1}$ má tendenci ${ displaystyle n ^ {2} / 4 pi}$ tak jako ${ displaystyle n}$ roste velký.)

Číslo stran	Plocha na straně s = 1		Plocha při poloměru R = 1			Plocha, kdy apothem A = 1
Číslo stran	Přesný	Přiblížení	Přesný	Přiblížení	Jako (přibližný) zlomek obvod plocha	Přesný	Přiblížení	Jako (přibližný) násobek incircle plocha
n	${ displaystyle { tfrac {n} {4}} cot left ({ tfrac { pi} {n}} right)}$		${ displaystyle { tfrac {n} {2}} sin left ({ tfrac {2 pi} {n}} right)}$		${ displaystyle { tfrac {n} {2 pi}} sin doleva ({ tfrac {2 pi} {n}} doprava)}$	${ displaystyle n tan left ({ tfrac { pi} {n}} right)}$		${ displaystyle { tfrac {n} { pi}} tan vlevo ({ tfrac { pi} {n}} vpravo)}$
3	${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {4}}}$	0.433012702	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {4}}}$	1.299038105	0.4134966714	${ displaystyle 3 { sqrt {3}}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	${ displaystyle { tfrac {1} {4}} { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}}}$	1.720477401	${ displaystyle { tfrac {5} {4}} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} vlevo (5 + { sqrt {5}} vpravo)}}}$	2.377641291	0.7568267288	${ displaystyle 5 { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {2}}}$	2.598076211	${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {2}}}$	2.598076211	0.8269933428	${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	${ displaystyle 2 + 2 { sqrt {2}}}$	4.828427125	${ displaystyle 2 { sqrt {2}}}$	2.828427125	0.9003163160	${ displaystyle 8 left ({ sqrt {2}} - 1 right)}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	${ displaystyle { tfrac {5} {2}} { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}}}$	7.694208843	${ displaystyle { tfrac {5} {2}} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} vlevo (5 - { sqrt {5}} vpravo)}}}$	2.938926262	0.9354892840	${ displaystyle 2 { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	${ displaystyle 6 + 3 { sqrt {3}}}$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	${ displaystyle 12 left (2 - { sqrt {3}} right)}$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	^[11]	17.64236291	^[12]	3.050524822	0.9710122088	^[13]	3.188348426	1.014882824
16	^[14]	20.10935797	${ displaystyle 4 { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}$	3.061467460	0.9744953584	^[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	^[16]	31.56875757	^[17]	3.090169944	0.9836316430	^[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

Porovnání velikostí pravidelných polygonů se stejnou délkou hrany od tři na šedesát strany. Jak se počet stran blíží nekonečnu, velikost se zvyšuje bez omezení.

Ze všech n-gony s daným obvodem, ten s největší oblastí je pravidelný.^[19]

Konstruktivní polygon

Některé pravidelné polygony jsou snadné postavit s kompasem a pravítkem; jiné pravidelné polygony nejsou vůbec konstruovatelné starořečtí matematici věděl, jak sestrojit pravidelný mnohoúhelník se 3, 4 nebo 5 stranami,^[20]^{:str. xi} a věděli, jak sestrojit regulární polygon s dvojnásobným počtem stran daného regulárního polygonu.^[20]^{:str. 49–50} To vedlo k položení otázky: je možné postavit Všechno pravidelný n-gony s kompasem a pravítkem? Pokud ne, tak n-gony jsou konstruovatelné a které ne?

Carl Friedrich Gauss prokázal konstruktivitu pravidelného 17-gon v roce 1796. O pět let později vyvinul teorii Gaussovské období v jeho Disquisitiones Arithmeticae. Tato teorie mu umožnila formulovat a dostatečný stav pro konstruovatelnost pravidelných polygonů:

Pravidelný n-gon může být sestrojen pomocí kompasu a pravítka, pokud n je produktem síly 2 a libovolného počtu odlišných Fermat připraví (včetně žádného).

(Fermat prime je a prvočíslo formuláře ${ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {n})} + 1.}$ ) Gauss uvedl bez důkazu, že tato podmínka také byla nutné, ale nikdy nezveřejnil svůj důkaz. Úplný důkaz nutnosti poskytl Pierre Wantzel v roce 1837. Výsledek je znám jako Gauss – Wantzelova věta.

Ekvivalentně pravidelný n-gon je konstruovatelný právě tehdy, když kosinus jeho společného úhlu je a konstruovatelné číslo —To je, lze napsat ve smyslu čtyř základních aritmetických operací a extrakce druhé odmocniny.

Pravidelné zkosené mnohoúhelníky

The krychle obsahuje šikmý regulární šestiúhelník, viděn jako 6 červených okrajů klikatých mezi dvěma rovinami kolmými na diagonální osu krychle.	Klikaté boční hrany a n-antiprism představují pravidelné zkosení 2n-gon, jak je ukázáno v tomto 17-úhlovém antiprism.

A pravidelný zkosit mnohoúhelník ve 3-prostoru lze vidět jako neplanární cesty cik-cak mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, definované jako boční okraje uniformy antiprism. Všechny hrany a vnitřní úhly jsou stejné.

The Platonické pevné látky (dále jen čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn, a dvacetistěnu ) mají Petrie polygony, které zde vidíte červeně, se stranami 4, 6, 6, 10 a 10.

Obecněji pravidelné šikmé polygony lze definovat v n-prostor. Mezi příklady patří Petrie polygony, polygonální cesty hran, které rozdělují a běžný mnohostěn na dvě poloviny a viděn jako pravidelný mnohoúhelník v ortogonální projekci.

V nekonečném limitu pravidelné šikmé polygony stočit se apeirogony.

Pravidelné hvězdné polygony

2 <2q gcd (p, q) = 1

{5/2}	{7/2}	{7/3}...

{p / q}

p

q

Skupina symetrie

Vzepětí (D._p)

Duální mnohoúhelník

Self-dual

Vnitřní úhel
(stupňů )

{ displaystyle { frac {180 (p-2q)} {p}}}

^[21]

Non-konvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdný polygon. Nejběžnějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako a Pentagon, ale spojuje střídavé vrcholy.

Pro n-stranný hvězdný polygon, Schläfliho symbol je upraven tak, aby označoval hustota nebo „hvězdnost“ m polygonu, jako {n/m}. Li m je například 2, pak se spojí každý druhý bod. Li m je 3, pak se spojí každý třetí bod. Hranice mnohoúhelníku se vine kolem středu m krát.

(Nedegenerované) pravidelné hvězdy až 12 stran jsou:

Pentagram – {5/2}
Heptagram - {7/2} a {7/3}
Octagram – {8/3}
Enneagram - {9/2} a {9/4}
Dekagram – {10/3}
Hendecagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
Dodekagram – {12/5}

m a n musí být coprime, nebo se postava zvrhne.

Degenerované pravidelné hvězdy až 12 stran jsou:

Tetragon - {4/2}
Šestiúhelníky - {6/2}, {6/3}
Osmiúhelníky - {8/2}, {8/4}
Enneagon - {9/3}
Decagons - {10/2}, {10/4} a {10/5}
Dodecagons - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/6}

Dvě interpretace slova {6/2}
Grünbaum {6/2} nebo 2 {3}^[22]	Coxeter 2{3} nebo {6} [2 {3}] {6}

Dvojnásobně vinutý šestiúhelník	Hexagram jako sloučenina ze dvou trojúhelníků

V závislosti na přesném odvození Schläfliho symbolu se názory na povahu zdegenerované postavy liší. Například {6/2} může být zacházeno dvěma způsoby:

Po většinu 20. století (viz např Coxeter (1948) ), jsme běžně vzali / 2 k označení spojení každého vrcholu konvexního {6} s jeho blízkými sousedy o dva kroky dále, abychom získali pravidelný sloučenina ze dvou trojúhelníků, nebo hexagram.
Coxeter objasňuje tuto běžnou sloučeninu zápisem {kp} [k {p}] {kp} pro sloučeninu {p / k}, takže hexagram je reprezentován jako {6} [2 {3}] {6}.^[23] Kompaktněji Coxeter také píše 2{n / 2} jako 2{3} pro hexagram tak složený jako střídání pravidelných rovnoměrných polygonů s kurzívou na hlavním faktoru, který jej odlišuje od shodné interpretace.^[24]
Mnoho moderních geometrů, jako je Grünbaum (2003),^[22] považovat to za nesprávné. Berou znak / 2 k označení pohybu dvou míst kolem {6} v každém kroku, přičemž získají trojúhelník s „dvojitým vinutím“, který má dva vrcholy překryté v každém rohu a dva okraje podél každého úsečky. Nejen, že to lépe zapadá do moderních teorií abstraktní polytopy, ale také to těsněji kopíruje způsob, jakým Poinsot (1809) vytvořil své hvězdné polygony - tím, že vezme jednu délku drátu a ohne jej v následujících bodech stejným úhlem, dokud se postava neuzavře.

Dualita pravidelných polygonů

Všechny pravidelné polygony jsou samodvojné až shodné a liché n jsou sebe-duální vůči identitě.

Kromě toho jsou pravidelné hvězdné postavy (sloučeniny), skládající se z pravidelných polygonů, také sebe-duální.

Pravidelné mnohoúhelníky jako plochy mnohostěnů

A jednotný mnohostěn má pravidelné polygony jako plochy, takže pro každé dva vrcholy je znak izometrie mapování jednoho do druhého (stejně jako u běžného mnohoúhelníku).

A kvaziregulární mnohostěn je jednotný mnohostěn, který má jen dva druhy tváří střídajících se kolem každého vrcholu.

A pravidelný mnohostěn je jednotný mnohostěn, který má jen jeden druh obličeje.

Zbývající (nejednotné) konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi jsou známé jako Johnson pevné látky.

Mnohostěn s pravidelnými trojúhelníky jako plochami se nazývá a deltahedron.

Viz také

Euklidovské obklady konvexními pravidelnými polygony
Platonická pevná látka
Apeirogon - Polygon s nekonečnou stranou může být také pravidelný, {∞}.
Seznam běžných polytopů a sloučenin
Rovnostranný mnohoúhelník
Carlyle kruh

Poznámky

^ Park, Poo-Sung. "Pravidelné vzdálenosti polytopů", Fórum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ ^A ^b ^C Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyklické průměry pravidelných polygonů a platonických těles“. Komunikace v matematice a aplikacích. 11: 335–355.
^ ^A ^b ^C ^d Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Pickover, Clifford A, Matematická kniha, Sterling, 2009: str. 150
^ Chen, Zhibo a Liang, Tian. "Opak Vivianiho věty", The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, s. 390–391.
^ Coxeter Matematické rekreace a eseje, třinácté vydání, s. 141
^ „Math Open Reference“. Citováno 4. února 2014.
^ „Mathwords“.

^ Výsledky pro R = 1 a A = 1 získáno s Javor, pomocí definice funkce:

F := proc (n)možnosti operátor, Šíp;[ [konvertovat(1/4*n*dětská postýlka(Pi/n), radikální), konvertovat(1/4*n*dětská postýlka(Pi/n), plovák)], [konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n), radikální), konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n), plovák), konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n)/Pi, plovák)], [konvertovat(n*opálení(Pi/n), radikální), konvertovat(n*opálení(Pi/n), plovák), konvertovat(n*opálení(Pi/n)/Pi, plovák)]]konec proc

Výrazy pro n= 16 se získá dvojnásobným použitím tangensový polohranný vzorec opálit se (π / 4)

^ Trigonometrické funkce
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {8}} vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 vlevo (5 + { sqrt {5}} dobře dobře)}$
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {16}} vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}}} vpravo )}$
^ ${ displaystyle { tfrac {15} {2}} vlevo (3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 vlevo (25-11 { sqrt {5} }dobře dobře)}$
^ ${ displaystyle 4 left (1 + { sqrt {2}} + { sqrt {2 left (2 + { sqrt {2}} right)}} right)}$
^ ${ displaystyle 16 left (1 + { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {2 left (2 - { sqrt {2}} right)}} - 1 right)}$
^ ${ displaystyle 5 left (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$
^ ${ displaystyle { tfrac {5} {2}} vlevo ({ sqrt {5}} - 1 vpravo)}$
^ ${ displaystyle 20 left (1 + { sqrt {5}} - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$
^ Chakerian, G.D. "Zkreslený pohled na geometrii." Ch. 7 palců Matematické švestky (R. Honsberger, redaktor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^ ^A ^b Bold, Benjamin. Slavné problémy geometrie a jak je řešit, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
^ Kappraff, Jay (2002). Mimo měřítko: prohlídka přírody, mýtu a počtu s průvodcem. World Scientific. str. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
^ ^A ^b Jsou vaše mnohostěny stejné jako moje mnohostěny? Branko Grünbaum (2003), obr
^ Pravidelné polytopy, str.95
^ Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, 1932, s. 53

Reference

Coxeter, H.S.M. (1948). "Pravidelné Polytopy". Methuen and Co. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Grünbaum, B .; Jsou vaše mnohostěny stejné jako moje mnohostěny ?, Diskrétní a výpočetní. geom: Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), str. 461–488.
Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), s. 16–48.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Pravidelný mnohoúhelník“. MathWorld.
Pravidelný popis mnohoúhelníku S interaktivní animací
Incircle of Regular Polygon S interaktivní animací
Oblast pravidelného mnohoúhelníku Tři různé vzorce s interaktivní animací
Stavby renesančních umělců z pravidelných polygonů na Konvergence

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin

[1] Park, Poo-Sung. "Pravidelné vzdálenosti polytopů", Fórum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[Mamuka-2] A ^b ^C Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyklické průměry pravidelných polygonů a platonických těles“. Komunikace v matematice a aplikacích. 11: 335–355.

[Johnson-3] A ^b ^C ^d Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[4] Pickover, Clifford A, Matematická kniha, Sterling, 2009: str. 150

[5] Chen, Zhibo a Liang, Tian. "Opak Vivianiho věty", The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, s. 390–391.

[6] Coxeter Matematické rekreace a eseje, třinácté vydání, s. 141

[7] „Math Open Reference“. Citováno 4. února 2014.

[8] „Mathwords“.

[9] Výsledky pro R = 1 a A = 1 získáno s Javor, pomocí definice funkce:
F := proc (n)možnosti operátor, Šíp;[ [konvertovat(1/4*n*dětská postýlka(Pi/n), radikální), konvertovat(1/4*n*dětská postýlka(Pi/n), plovák)], [konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n), radikální), konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n), plovák), konvertovat(1/2*n*hřích(2*Pi/n)/Pi, plovák)], [konvertovat(n*opálení(Pi/n), radikální), konvertovat(n*opálení(Pi/n), plovák), konvertovat(n*opálení(Pi/n)/Pi, plovák)]]konec proc
Výrazy pro n= 16 se získá dvojnásobným použitím tangensový polohranný vzorec opálit se (π / 4)

[10] Trigonometrické funkce

[11] ${ displaystyle { tfrac {15} {8}} vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 vlevo (5 + { sqrt {5}} dobře dobře)}$

[12] ${ displaystyle { tfrac {15} {16}} vlevo ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}}} vpravo )}$

[13] ${ displaystyle { tfrac {15} {2}} vlevo (3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 vlevo (25-11 { sqrt {5} }dobře dobře)}$

[14] ${ displaystyle 4 left (1 + { sqrt {2}} + { sqrt {2 left (2 + { sqrt {2}} right)}} right)}$

[15] ${ displaystyle 16 left (1 + { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {2 left (2 - { sqrt {2}} right)}} - 1 right)}$

[16] ${ displaystyle 5 left (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$

[17] ${ displaystyle { tfrac {5} {2}} vlevo ({ sqrt {5}} - 1 vpravo)}$

[18] ${ displaystyle 20 left (1 + { sqrt {5}} - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$

[19] Chakerian, G.D. "Zkreslený pohled na geometrii." Ch. 7 palců Matematické švestky (R. Honsberger, redaktor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

[Bold-20] A ^b Bold, Benjamin. Slavné problémy geometrie a jak je řešit, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).

[21] Kappraff, Jay (2002). Mimo měřítko: prohlídka přírody, mýtu a počtu s průvodcem. World Scientific. str. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-22] A ^b Jsou vaše mnohostěny stejné jako moje mnohostěny? Branko Grünbaum (2003), obr

[23] Pravidelné polytopy, str.95

[24] Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, 1932, s. 53

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Mnohoúhelníky (Seznam )
Trojúhelníky	Akutní Rovnostranný Ideál Rovnoramenný Tupý Že jo
Čtyřúhelníky	Antiparalelogram Bicentrický Cyklický Equidiagonální Ex-tangenciální Harmonický Rovnoramenný lichoběžník papírový drak Lambert Ortodiagonální Rovnoběžník Obdélník Pravý drak Kosočtverec Saccheri Náměstí Tangenciální Tangenciální lichoběžník Lichoběžník
Podle počtu stran	Monogon (1) Digon (2) Trojúhelník (3) Čtyřúhelník (4) Pentagon (5) Šestiúhelník (6) Sedmiúhelník (7) Osmiúhelník (8) Nonagon (Enneagon, 9) Decagon (10) Hendecagon (11) Dodekagon (12) Tridecagon (13) Tetradekagon (14) Pentadecagon (15) Hexadecagon (16) Heptadekagon (17) Octadecagon (18) Enneadecagon (19) Icosagon (20) Icosidigon (22) Icositetragon (24) Icosihexagon (26) Icosioctagon (28) Triacontagon (30) Triacontadigon (32) Triacontatetragon (34) Tetracontagon (40) Tetracontadigon (42) Tetracontaoctagon (48) Pentacontagon (50) Hexacontagon (60) Hexacontatetragon (64) Heptacontagon (70) Octacontagon (80) Enneacontagon (90) Enneacontahexagon (96) Hectogon (100) 120 gon 257-gon 360 gon Chiliagon (1000) Myriagon (10 000) 65537-gon Megagon (1 000 000) Apeirogon (∞)
Hvězdné polygony	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram Enneagram Dekagram Hendecagram Dodekagram
Třídy	Konkávní Konvexní Cyklický Rovnoramenný Rovnostranný Isogonal Isotoxální Pseudotriangle Pravidelný Jednoduchý Překroutit Ve tvaru hvězdy Tangenciální