Pentadekagon - Pentadecagon

Pravidelný pentadekagon
Pravidelný pentadekagon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	15
Schläfliho symbol	{15}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.15), objednat 2 × 15
Vnitřní úhel (stupňů )	156°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a pentadekagon nebo pentakaidecagon nebo 15-gon je patnáctistranný polygon.

Pravidelný pentadekagon

A pravidelný pentadekagon je reprezentován Schläfliho symbol {15}.

A pravidelný pentadecagon má vnitřní úhly 156°, a s délkou strany A, má plochu danou

${ displaystyle { begin {aligned} A = { frac {15} {4}} a ^ {2} cot { frac { pi} {15}} & = { frac {15} {4} } { sqrt {7 + 2 { sqrt {5}} + 2 { sqrt {15 + 6 { sqrt {5}}}}}} a ^ {2} & = { frac {15a ^ {2}} {8}} left ({ sqrt {3}} + { sqrt {15}} + { sqrt {2}} { sqrt {5 + { sqrt {5}}}}} vpravo) & simeq 17.6424 , a ^ {2}. end {zarovnáno}}}$

Použití

Obyčejný trojúhelník, desetiúhelník a pentadekagon nemohou úplně vyplňte vrchol roviny.^{[Citace je zapotřebí ]}

Konstrukce

Jako 15 = 3 × 5, produkt zřetelného Fermat připraví, pravidelný pentadekagon je konstruktivní použitím kompas a pravítko: Následující konstrukce pravidelných pětiúhelníků s daným obvodem jsou podobné ilustraci propozice XVI v knize IV z Euklidova Elementy.^[1]

Porovnejte konstrukci podle Euklida na tomto obrázku: Pentadekagon

V konstrukci pro daný kruhový kruh: ${ displaystyle { overline {FG}} = { overline {CF}} { text {,}} ; { overline {AH}} = { overline {GM}} { text {,}} ; | E_ {1} E_ {6} |}$ je strana rovnostranného trojúhelníku a ${ displaystyle | E_ {2} E_ {5} |}$ je strana pravidelného pětiúhelníku.^[2]Bod ${ displaystyle H}$ rozdělí poloměr ${ displaystyle { overline {AM}}}$ v Zlatý řez: ${ displaystyle { frac { overline {AH}} { overline {HM}}} = { frac { overline {AM}} { overline {AH}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi přibližně 1 618 { text {.}}}$

Ve srovnání s první animací (se zelenými čarami) jsou na následujících dvou obrázcích dva kruhové oblouky (pro úhly 36 ° a 24 °) otočené o 90 ° proti směru hodinových ručiček. Nepoužívají segment ${ displaystyle { overline {CG}}}$, ale spíše používají segment ${ displaystyle { overline {MG}}}$ jako poloměr ${ displaystyle { overline {AH}}}$ pro druhý kruhový oblouk (úhel 36 °).

Konstrukce kompasu a pravítka pro danou délku strany. Konstrukce je téměř stejná jako konstrukce pětiúhelník na dané straně, pak je také prezentace úspěšná rozšířením o jednu stranu a zde vygeneruje segment ${ displaystyle { overline {FE_ {2}}} { text {,}}}$ který je rozdělen podle zlatého řezu:

${ displaystyle { frac { overline {E_ {1} E_ {2}}} { overline {E_ {1} F}}} = { frac { overline {E_ {2} F}} { overline {E_ {1} E_ {2}}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi přibližně 1,618 { text {.}}}$

Circumradius ${ displaystyle { overline {E_ {2} M}} = R ;; ; ;}$ Délka strany ${ displaystyle { overline {E_ {1} E_ {2}}} = a ;; ; ;}$ Úhel ${ displaystyle DE_ {1} M = ME_ {2} D = 78 ^ { circ}}$

${ displaystyle { begin {aligned} R & = a cdot { frac {1} {2}} cdot left ({ sqrt {5 + 2 cdot { sqrt {5}}}} + { sqrt {3}} right) = { frac {1} {2}} cdot { sqrt {8 + 2 cdot { sqrt {5}} + 2 { sqrt {15 + 6 cdot { sqrt {5}}}}}} cdot a & = { frac { sin (78 ^ { circ})} { sin (24 ^ { circ})}}} cdot a přibližně 2,40486 cdot a end {zarovnáno}}}$

Konstrukce pro danou délku strany

Konstrukce pro danou délku strany jako animace

Symetrie

Symetrie pravidelného pětiúhelníku, jak je znázorněno barvami na okrajích a vrcholech. Řádky odrazů jsou modré. Ve středu jsou křivky uvedeny jako čísla. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie.

The běžný pentadekagon má Dih₁₅ dihedrální symetrie, řád 30, představovaný 15 řádky odrazu. Dih₁₅ má 3 dihedrální podskupiny: Dih₅, Dih₃a Dih₁. A další čtyři cyklický symetrie: Z₁₅, Z₅, Z₃a Z₁, se Z_n představující π /n radiánová rotační symetrie.

Na pětiúhelníku existuje 8 odlišných symetrií. John Conway označí tyto symetrie písmenem a pořadí symetrie následuje za písmenem.^[3] On dává r30 pro plnou reflexní symetrii, Dih₁₅. On dává d (úhlopříčně) s odrazovými čarami vedenými vrcholy, p s odrazovými čarami přes hrany (kolmé) a pro lichoběžníkový pentadekagon i se zrcadlovými čarami procházejícími jak vrcholy, tak hranami, a G pro cyklickou symetrii. a1 štítky bez symetrie.

Tyto nižší symetrie umožňují stupně volnosti při definování nepravidelných pětiúhelníků. Pouze g15 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Pentadekagramy

Jsou tři normální hvězdné polygony: {15/2}, {15/4}, {15/7}, vytvořeno ze stejných 15 vrcholů pravidelného pentadekagonu, ale spojeno přeskočením každého druhého, čtvrtého nebo sedmého vrcholu.

Existují také tři pravidelné hvězdné postavy: {15/3}, {15/5}, {15/6}, přičemž první je sloučenina tří pětiúhelníky, druhá sloučenina pěti rovnostranné trojúhelníky a třetí sloučenina tří pentagramy.

Složený obrazec {15/3} lze volně považovat za dvourozměrný ekvivalent 3D sloučenina pěti čtyřstěnů.

Obrázek	{15/2}	{15/3} nebo 3 {5}	{15/4}	{15/5} nebo 5 {3}	{15/6} nebo 3 {5/2}	{15/7}
Vnitřní úhel	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Hlubší zkrácení pravidelného pentadekagonu a pentadecagramů může způsobit izogonální (vrchol-tranzitivní ) mezilehlé tvary hvězdných polygonů se stejnými rozloženými vrcholy a dvěma délkami hran.^[4]

Vrcholově přechodné zkrácení pentadekagonu
Quasiregular	Isogonal							Quasiregular
t {15/2} = {30/2}								t {15/13} = {30/13}
t {15/7} = {30/7}								t {15/8} = {30/8}
t {15/11} = {30/22}								t {15/4} = {30/4}

Petrie polygony

Pravidelný pentadekagon je Petrie polygon u některých výškových polytopů promítnutých šikmo ortogonální projekce:

14-simplexní (14D)

Viz také

• Konstrukce pentadekagonu při dané délce strany, výpočet obvodového poloměru ${ displaystyle R}$ (Němec)
• Konstrukce pentadekagonu při dané délce strany, příklad: circumradius ${ displaystyle { overline {CG}} = R}$

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pentadecagon". MathWorld.