Wythoffova konstrukce - Wythoff construction

Wythoffianské konstrukce ze 3 zrcadel tvořících pravý trojúhelník.

v geometrie, a Wythoffova konstrukce, pojmenovaný po matematikovi Willem Abraham Wythoff, je metoda pro konstrukci a jednotný mnohostěn nebo rovné obklady. To je často označováno jako Wythoff kaleidoskopický konstrukce.

Proces výstavby

Metoda je založena na myšlence obklady A koule, s sférické trojúhelníky - viz Schwarzovy trojúhelníky. Tato konstrukce uspořádá tři zrcadla po stranách trojúhelníku, jako v a kaleidoskop. Na rozdíl od kaleidoskopu však zrcadla nejsou paralelní, ale protínají se v jednom bodě. Proto uzavírají sférický trojúhelník na povrch jakékoli koule se středem v tomto bodě a opakované odrazy vytvářejí množství kopií trojúhelníku. Pokud jsou úhly sférického trojúhelníku zvoleny vhodně, trojúhelníky obloží kouli jednou nebo vícekrát.

Pokud někdo umístí vrchol na vhodný bod uvnitř sférického trojúhelníku uzavřeného zrcadly, je možné zajistit, aby odrazy tohoto bodu vytvářely jednotný mnohostěn. Pro sférický trojúhelník ABC máme čtyři možnosti, které vytvoří jednotný mnohostěn:

V bodě je umístěn vrchol A. Tím se vytvoří mnohostěn se symbolem Wythoff A|b C, kde A se rovná π děleno úhlem trojúhelníku v Aa podobně pro b a C.
Vrchol je umístěn v bodě na přímce AB tak to půlení úhel v C. Tím se vytvoří mnohostěn se symbolem Wythoff A b|C.
Vrchol je umístěn tak, aby byl na stimulant z ABC. Tím se vytvoří mnohostěn se symbolem Wythoff A b C|.
Vrchol je v bodě takovém, že když je otočen kolem kteréhokoli z rohů trojúhelníku o dvojnásobek úhlu v tomto bodě, je posunut o stejnou vzdálenost pro každý úhel. Používají se pouze sudé odrazy původního vrcholu. Mnohostěn má symbol Wythoff |A b C.

Proces obecně platí také pro dimenzionální běžné polytopy, včetně 4-dimenzionálního jednotné 4-polytopes.

Příklady
The šestihranný hranol je sestaven z rodin (6 2 2) a (3 2 2).	The zkrácený čtvercový obklad je konstruováno dvěma různými polohami symetrie v rodině (4 4 2).	Wythoffův vzor pq2 \| = 432 \|. Oběžná dráha Wythoffova vzoru nahoře pod působením plného oktaedrická skupina .

Non-Wythoffian stavby

Jednotné polytopy které nelze vytvořit pomocí zrcadlové konstrukce Wythoff, se nazývají ne-Wythoffian. Obecně je lze odvodit z wythoffovských forem buď pomocí střídání (vypuštění alternativních vrcholů) nebo vložením střídavých vrstev dílčích obrazců. Oba tyto typy postav budou obsahovat rotační symetrii. Někdy urážet formy jsou považovány za wythoffovské, i když je lze konstruovat pouze střídáním omnitrunkovaných forem.

Příklady
The šestihranný antiprism je konstruován střídáním a dodecagonal hranol.	The podlouhlé trojúhelníkové obklady je konstruováno vrstvením čtvercové obklady a trojúhelníkové obklady řádky.	The velký dirhombicosidodecahedron je jediný neythoffovský uniformní mnohostěn.

Viz také

Wythoffův symbol - symbol pro konstrukci Wythoff z jednotná mnohostěna a jednotné obklady.
Coxeter-Dynkinův diagram - zobecněný symbol pro konstrukci Wythoff z jednotné polytopy a voštiny.

Reference

Coxeter Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN 0-486-61480-8 (Kapitola V: Kaleidoskop, Sekce: 5.7 Wythoffova konstrukce)
Coxeter Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
Har'El, Z. Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (Část 4: Kaleidoskop)
W.A. Wythoff, Vztah mezi polytopy rodiny C600, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, 20 (1918) 966–970.

externí odkazy

Jenn, software, který generuje pohledy na (sférické) mnohostěny a polychory ze skupin symetrie