F4 (matematika) - F4 (mathematics)

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, F₄ je jméno a Lež skupina a také jeho Lež algebra F₄. Je to jeden z pěti výjimečných jednoduché Lieovy skupiny. F₄ má 4. a dimenzi 52. Kompaktní forma je jednoduše spojena a je vnější skupina automorfismu je triviální skupina. Své základní zastoupení je 26-dimenzionální.

Kompaktní skutečná forma F₄ je izometrická skupina 16-dimenzionální Riemannovo potrubí známý jako oktonionová projektivní rovina OP². To lze systematicky vidět pomocí konstrukce známé jako magický čtverec, kvůli Hans Freudenthal a Jacques prsa.

Existují 3 skutečné formy: kompaktní, rozdělená a třetí. Jsou to izometrické skupiny tří skutečných Albert algebry.

F₄ Lie Algebra může být vytvořena přidáním 16 generátorů transformujících se jako spinor k 36-dimenzionální Lieově algebře tak(9), analogicky s výstavbou E₈.

Ve starších knihách a novinách F₄ je někdy označován E.₄.

Algebra

Dynkinův diagram

The Dynkinův diagram pro F.₄ je: .

Skupina Weyl / Coxeter

Své Weyl /Coxeter skupina ${ displaystyle G = W vlevo ( mathrm {F} _ {4} vpravo)}$ je skupina symetrie z 24článková: je to řešitelná skupina řádu 1152. Má minimální věrný stupeň ${ displaystyle mu (G) = 24}$^[1] který je realizován akcí na 24článková.

Kartanová matice

${ displaystyle left [{ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 - 1 & 2 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 end {array}} right]}$

F₄ mříž

F₄ mříž je čtyřrozměrný centrovaný na tělo mřížka (tj. spojení dvou hyperkubické svazy, každý leží uprostřed druhého). Tvoří a prsten volal Hurwitzův čtveřice prsten. 24 Hurwitzových čtveřic normy 1 tvoří vrcholy a 24článková soustředěný na počátek.

Kořeny F₄

24 vrcholů 24článková (červený) a 24 vrcholů jeho duálního (žlutého) představuje 48 kořenových vektorů F₄ v tomhle Coxeterovo letadlo projekce

48 kořenové vektory vypnuto₄ lze nalézt jako vrcholy 24článková ve dvou duálních konfiguracích, představujících vrcholy a disfenoidní 288 buněk pokud jsou délky hran 24 buněk stejné:

24článkové vrcholy:

• 24 kořenů (± 1, ± 1,0,0), permutujících pozic souřadnic

Duální vrcholy 24 buněk:

• 8 kořenů (± 1, 0, 0, 0), permutujících pozic souřadnic
• 16 kořenů o (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).

Jednoduché kořeny

Jedna volba z jednoduché kořeny pro F.₄, , je dán řádky následující matice:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac { 1} {2}} & - { frac {1} {2}} end {bmatrix}}}$

Hasseův diagram F4 kořenová poseta s okrajovými štítky identifikujícími přidanou jednoduchou pozici kořene

F₄ polynomiální invariant

Stejně jako O (n) je skupina automorfismů, které udržují kvadratické polynomy X² + y² + ... invariantní, F.₄ je skupina automorfismů následující sady 3 polynomů ve 27 proměnných. (První lze snadno nahradit jinými dvěma proměnnými, které vytvářejí 26 proměnných).

${ displaystyle C_ {1} = x + y + z}$

${ displaystyle C_ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2X { overline {X}} + 2Y { overline {Y}} + 2Z { overline {Z }}}$

${ displaystyle C_ {3} = xyz-xX { overline {X}} - yY { overline {Y}} - zZ { overline {Z}} + XYZ + { overline {XYZ}}}$

Kde X, y, z jsou skutečně oceněny a X, Y, Z jsou oceněny oktoniony. Další způsob psaní těchto invariantů je jako (kombinace) Tr (M), Tr (M²) a Tr (M³) z poustevník octonion matice:

${ displaystyle M = { begin {bmatrix} x & { overline {Z}} & Y Z & y & { overline {X}} { overline {Y}} & X & z end {bmatrix}}}$

Sada polynomů definuje 24rozměrný kompaktní povrch.

Zastoupení

Znaky konečných dimenzionálních reprezentací skutečných a složitých Lieových algeber a Lieových skupin jsou dány znakem Weylův vzorec znaků. Rozměry nejmenších neredukovatelných reprezentací jsou (sekvence A121738 v OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (dvakrát), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (dvakrát), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

52-dimenzionální reprezentace je adjunkční reprezentace, a 26-dimenzionální je bez stopová část akce F₄ na výjimečné Albert algebra dimenze 27.

Existují dvě neizomorfní neredukovatelné reprezentace rozměrů 1053, 160056, 4313088 atd. základní reprezentace jsou ty s rozměry 52, 1274, 273, 26 (odpovídající čtyřem uzlům v Dynkinův diagram v pořadí tak, aby dvojitá šipka směřovala od druhé ke třetí).

Viz také

• Albert algebra
• Cayleyovo letadlo
• Dynkinův diagram
• Zásadní zastoupení
• Jednoduchá Lieova skupina

Reference

• Adams, J. Frank (1996). Přednášky o výjimečných Lieových skupinách. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN  978-0-226-00526-3. PAN  1428422.
• John Baez, Octonions, Oddíl 4.2: F₄, Býk. Amer. Matematika. Soc. 39 (2002), 145-205. Online HTML verze na http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html.
• Chevalley C, Schafer RD (únor 1950). „Výjimečná jednoduchá lež Algebry F (4) a E (6)“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 36 (2): 137–41. Bibcode:1950PNAS ... 36..137C. doi:10.1073 / pnas.36.2.137. PMC  1063148. PMID  16588959.
• Jacobson, Nathan (1971-06-01). Výjimečné Lie Algebry (1. vyd.). CRC Press. ISBN  0-8247-1326-5.