Rovnoměrné naklánění v hyperbolické rovině - Uniform tilings in hyperbolic plane

Příklady stejnoměrných obkladů

Sférické	Euklidovský	Hyperbolický
{5,3} 5.5.5	{6,3} 6.6.6	{7,3} 7.7.7	{∞,3} ∞.∞.∞
Pravidelné obklady koule {p, q}, euklidovská rovina a hyperbolická rovina pomocí pravidelných pětiúhelníkových, šestihranných a heptagonálních a apeirogonálních ploch.
t {5,3} 10.10.3	t {6,3} 12.12.3	t {7,3} 14.14.3	t {∞, 3} ∞.∞.3
Zkrácené obklady mít 2p.2p.q čísla vrcholů z regulárních {p, q}.
r {5,3} 3.5.3.5	r {6,3} 3.6.3.6	r {7,3} 3.7.3.7	r {∞, 3} 3.∞.3.∞
Quasiregular obklady jsou podobné běžným tilingům, ale kolem každého vrcholu střídají dva typy pravidelných mnohoúhelníků.
rr {5,3} 3.4.5.4	rr {6,3} 3.4.6.4	rr {7,3} 3.4.7.4	rr {∞, 3} 3.4.∞.4
Semiregular tilings mít více než jeden typ pravidelného mnohoúhelníku.
tr {5,3} 4.6.10	tr {6,3} 4.6.12	tr {7,3} 4.6.14	tr {∞, 3} 4.6.∞
Omnitruncated tilings mít tři nebo více rovnoměrných pravidelných mnohoúhelníků.

Konstrukce archimédských těles a mozaikování

Symetrie		Trojúhelníková dihedrická symetrie		Čtyřboká	Osmistěn		Icosahedral		symetrie p6m		[3,7] symetrie		[3,8] symetrie
Počínaje solidní Úkon	Symbol {p, q}	Trojúhelníkový hosohedron {2,3}	Trojúhelníkový dihedron {3,2}	Čtyřstěn {3,3}	Krychle {4,3}	Octahedron {3,4}	Dodecahedron {5,3}	Dvacetistěnu {3,5}	Šestihranný obklad {6,3}	Trojúhelníkový obklad {3,6}	Heptagonální obklady {7,3}	Objednávka 7 trojúhelníkové obklady {3,7}	Osmiboká dlažba {8,3}	Objednávka 8 trojúhelníkové obklady {3,8}
Zkrácení (t)	t {p, q}	trojúhelníkový hranol	zkrácený trojúhelníkový dvojstěn (Polovina „hran“ se počítá jako zdegenerovaná digonové tváře. Druhá polovina jsou normální hrany.)	zkrácený čtyřstěn	zkrácená kostka	zkrácený osmistěn	zkrácený dvanáctistěn	zkrácený dvacetistěn	Zkrácený šestihranný obklad	Zkrácený trojúhelníkový obklad	Zkrácené sedmiúhelníkové obklady	Zkrácená trojúhelníková dlažba řádu 7	Zkrácená osmiboká dlažba	Zkrácená trojúhelníková dlažba řádu 8
Oprava (r) Ambo (a)	r {p, q}	tridihedron (Všechny „hrany“ se považují za zdegenerované digonové tváře.)		tetratetrahedron	cuboctahedron		icosidodecahedron		Trihexagonální obklady		Triheptagonal obklady		Trojúhelníkové obklady
Bitruncation (2 t) Duální kis (dk)	2t {p, q}	zkrácený trojúhelníkový dvojstěn (Polovina „hran“ se počítá jako zdegenerovaná digonové tváře. Druhá polovina jsou normální hrany.)	trojúhelníkový hranol	zkrácený čtyřstěn	zkrácený osmistěn	zkrácená kostka	zkrácený dvacetistěn	zkrácený dvanáctistěn	komolý trojúhelníkový obklad	komolý šestihranný obklad	Zkrácená trojúhelníková dlažba řádu 7	Zkrácené sedmiúhelníkové obklady	Zkrácená trojúhelníková dlažba řádu 8	Zkrácená osmiboká dlažba
Směrování (2r) Dvojí d)	2r {p, q}	trojúhelníkový dvojstěn {3,2}	trojúhelníkový hosohedron {2,3}	čtyřstěn	osmistěn	krychle	dvacetistěnu	dvanáctistěn	trojúhelníkové obklady	šestihranný obklad	Objednávka 7 trojúhelníkové obklady	Heptagonální obklady	Objednávka 8 trojúhelníkové obklady	Osmiboká dlažba
Kanylace (rr) Expanze (E)	rr {p, q}	trojúhelníkový hranol („Okraj“ mezi každou dvojicí tetragonů se počítá jako zdegenerovaný digon tvář. Ostatní hrany (ty mezi trigonem a tetragonem) jsou normální hrany.)		rhombitetratetrahedron	kosočtverec		rhombicosidodecahedron		rhombitrihexagonal obklady		Rhombitriheptagonal obklady		Rhombitrioctagonal obklady
Opravený útlum (sr) Snub (s)	sr {p, q}	trojúhelníkový antiprism (Tři žluto-žluté „hrany“, z nichž žádné dva nesdílejí žádné vrcholy, se považují za zdegenerované digonové tváře. Ostatní hrany jsou normální hrany.)		potlačit tetratetrahedron	potlačit cuboctahedron		potlačit icosidodecahedron		ztlumit trihexagonal obklady		Tlumení triheptagonal obklady		Odmítnout obousměrné obklady
Cantitruncation (tr) Zkosení (b)	tr {p, q}	šestihranný hranol		zkrácený tetratetrahedron	zkrácený cuboctahedron		zkrácený icosidodecahedron		zkrácené trihexagonální obklady		Zkrácené triheptagonální obklady		Zkrácená trojúhelníková dlažba

v hyperbolický geometrie, a jednotný hyperbolický obklad (nebo pravidelné, kvaziregulární nebo semiregulární hyperbolické obklady) je výplň hyperbolické roviny od okraje k okraji, která má pravidelné mnohoúhelníky tak jako tváře a je vrchol-tranzitivní (tranzitivní na jeho vrcholy, isogonal, tj. existuje izometrie mapování libovolného vrcholu na jakýkoli jiný). Z toho vyplývá, že všechny vrcholy jsou shodný a obklady má vysoký stupeň rotační a translační symetrie.

Jednotné tilings lze identifikovat podle konfigurace vrcholů posloupnost čísel představující počet stran mnohoúhelníků kolem každého vrcholu. Například 7.7.7 představuje sedmiúhelníkové obklady který má 3 sedmiúhelníky kolem každého vrcholu. Je také pravidelná, protože všechny polygony mají stejnou velikost, takže jí lze také dát Schläfliho symbol {7,3}.

Rovnoměrné sklony mohou být pravidelný (je-li také přechod na obličej a hranu), kvazi-pravidelný (pokud je přechod na okraj, ale není přechodný na obličej) nebo polopravidelný (pokud není hrana ani obličej-tranzitivní). Pro pravé trojúhelníky (str q 2), existují dva pravidelné tilings, reprezentované Schläfliho symbol {str,q} a {q,str}.

Wythoffova konstrukce

Příklad konstrukce Wythoff s pravoúhlými trojúhelníky (r = 2) a 7 generátorových bodů. Řádky aktivních zrcadel jsou zbarveny červeně, žlutě a modře a 3 uzly naproti nim jsou přiřazeny symbolem Wythoff.

Existuje nekonečné množství rovnoměrných naklonění na základě Schwarzovy trojúhelníky (str q r) kde 1/str + 1/q + 1/r <1, kde str, q, r jsou každý řád symetrie odrazu ve třech bodech trojúhelník základní domény - skupina symetrie je hyperbolická skupina trojúhelníků.

Každá rodina symetrie obsahuje 7 stejnoměrných naklonění, definovaných a Wythoffův symbol nebo Coxeter-Dynkinův diagram, 7 představuje kombinace 3 aktivních zrcadel. Osmý představuje střídání operace, odstranění alternativních vrcholů z nejvyšší formy se všemi aktivními zrcadly.

Rodiny s r = 2 obsahují pravidelné hyperbolické obklady, definovaný a Skupina coxeterů jako [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....

Hyperbolické rodiny s r = 3 nebo vyšší jsou dány (str q r) a zahrnují (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4) ....

Hyperbolické trojúhelníky (str q r) definují kompaktní jednotné hyperbolické obklady. V limitu některý z str, q nebo r může být nahrazen ∞, které definuje hyperkomický trojúhelník paracompact a vytváří jednotné naklonění s nekonečnými plochami (tzv. apeirogony ), které konvergují do jediného ideálního bodu nebo nekonečné vrcholné figury s nekonečně mnoha hranami odlišnými od stejného ideálního bodu.

Více rodin symetrie lze sestavit ze základních domén, které nejsou trojúhelníky.

Níže jsou uvedeny vybrané rodiny stejnoměrných obkladů (pomocí Poincaré model disku pro hyperbolickou rovinu). Tři z nich - (7 3 2), (5 4 2) a (4 3 3) - a žádné další jsou minimální v tom smyslu, že pokud je kterékoli z jejich definujících čísel nahrazeno menším celým číslem, je výsledný vzor buď euklidovský, nebo sférický, nikoli hyperbolický; naopak, kterékoli z čísel lze zvýšit (dokonce až do nekonečna) a vygenerovat tak další hyperbolické vzory.

Každý jednotný obklad generuje a duální jednotné obklady, přičemž mnoho z nich je také uvedeno níže.

Pravoúhlé domény

Je jich nekonečně mnoho (str q 2) skupina trojúhelníků rodiny. Tento článek ukazuje pravidelné skládání až str, q = 8 a rovnoměrné obklady ve 12 rodinách: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2 ), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) a (8 8 2).

Pravidelné hyperbolické obklady

Nejjednodušší sadou hyperbolických obkladů jsou pravidelné obklady {str,q}, které existují v matici s pravidelnými mnohostěnami a euklidovskými obklady. Běžný obklad {str,q} má dvojí obklady {q,str} přes diagonální osu tabulky. Self-dual tilings {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5} atd. předat úhlopříčku stolu.

Pravidelný hyperbolický obkladový stůl [ proti t E ]
Sférické (nevhodný/Platonický)/Euklidovský/ hyperbolický (disk Poincaré: kompaktní/paracompact/nekompaktní) mozaikování s jejich Schläfliho symbol
p q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	(čtyřstěn ) {3,3}	(osmistěn ) {3,4}	(dvacetistěnu ) {3,5}	(deltille ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	(krychle ) {4,3}	(čtverylka ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	(dvanáctistěn ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	(Hextille ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

(7 3 2)

The (7 3 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [7,3], orbifold (* 732) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné heptagonální / trojúhelníkové sklony [ proti t E ]
Symetrie: [7,3], (*732)							[7,3]+, (732)
{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Jednotné duály
V73	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

(8 3 2)

The (8 3 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [8,3], orbifold (* 832) obsahuje tyto jednotné obklady:

Jednotné osmiboké / trojúhelníkové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [8,3], (*832)							[8,3]+ (832)	[1+,8,3] (*443)		[8,3+] (3*4)
{8,3}	t {8,3}	r {8,3}	t {3,8}	{3,8}	rr {8,3} s2{3,8}	tr {8,3}	sr {8,3}	h {8,3}	h2{8,3}	s {3,8}
								nebo	nebo
Jednotné duály
V83	V3.16.16	V3.8.3.8	V6.6.8	V38	V3.4.8.4	V4.6.16	V34.8	V (3,4)3	V8.6.6	V35.4

(5 4 2)

The (5 4 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [5,4], orbifold (* 542) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné pětiúhelníkové / čtvercové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [5,4], (*542)							[5,4]+, (542)	[5+,4], (5*2)	[5,4,1+], (*552)
{5,4}	t {5,4}	r {5,4}	2t {5,4} = t {4,5}	2r {5,4} = {4,5}	rr {5,4}	tr {5,4}	sr {5,4}	s {5,4}	h {4,5}
Jednotné duály
V54	V4.10.10	V4.5.4.5	V5.8.8	V45	V4.4.5.4	V4.8.10	V3.3.4.3.5	V3.3.5.3.5	V55

(6 4 2)

The (6 4 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [6,4], orbifold (* 642) obsahuje tyto jednotné obklady. Protože všechny prvky jsou sudé, každý jednotný duální obklad představuje jeden základní obor reflexní symetrie: * 3333, * 662, * 3232, * 443, * 222222, * 3222 a * 642. Rovněž lze střídat všech 7 jednotných obkladů a ty mají také duální.

Jednotné tetrahexagonální obklady [ proti t E ]
Symetrie: [6,4], (*642 ) (s [6,6] (* 662), [(4,3,3)] (* 443), [∞, 3, ∞] (* 3222) index 2 subsymmetrie) (And [(∞, 3, ∞, 3)] (* 3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=
{6,4}	t {6,4}	r {6,4}	t {4,6}	{4,6}	rr {6,4}	tr {6,4}
Jednotné duály
V64	V4.12.12	V (4,6)2	V6.8.8	V46	V4.4.4.6	V4.8.12
Střídání
[1+,6,4] (*443)	[6+,4] (6*2)	[6,1+,4] (*3222)	[6,4+] (4*3)	[6,4,1+] (*662)	[(6,4,2+)] (2*32)	[6,4]+ (642)
=	=	=	=	=	=
h {6,4}	s {6,4}	hod {6,4}	s {4,6}	h {4,6}	hrr {6,4}	sr {6,4}

(7 4 2)

The (7 4 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [7,4], orbifold (* 742) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné heptagonální / čtvercové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [7,4], (*742)							[7,4]+, (742)	[7+,4], (7*2)	[7,4,1+], (*772)
{7,4}	t {7,4}	r {7,4}	2t {7,4} = t {4,7}	2r {7,4} = {4,7}	rr {7,4}	tr {7,4}	sr {7,4}	s {7,4}	h {4,7}
Jednotné duály
V74	V4.14.14	V4.7.4.7	V7.8.8	V47	V4.4.7.4	V4.8.14	V3.3.4.3.7	V3.3.7.3.7	V77

(8 4 2)

The (8 4 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [8,4], orbifold (* 842) obsahuje tyto jednotné obklady. Protože všechny prvky jsou sudé, každý jednotný duální obklad představuje jeden základní obor reflexní symetrie: * 4444, * 882, * 4242, * 444, * 22222222, * 4222 a * 842. Rovněž lze střídat všech 7 jednotných obkladů a ty mají také duální.

Jednotné osmihranné / čtvercové obklady [ proti t E ]
[8,4], (*842) (s [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) index 2 subsymmetrie) (And [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= =	=
{8,4}	t {8,4}	r {8,4}	2t {8,4} = t {4,8}	2r {8,4} = {4,8}	rr {8,4}	tr {8,4}
Jednotné duály
V84	V4.16.16	V (4,8)2	V8.8.8	V48	V4.4.4.8	V4.8.16
Střídání
[1+,8,4] (*444)	[8+,4] (8*2)	[8,1+,4] (*4222)	[8,4+] (4*4)	[8,4,1+] (*882)	[(8,4,2+)] (2*42)	[8,4]+ (842)
=	=	=	=	=	=
h {8,4}	s {8,4}	hod {8,4}	s {4,8}	h {4,8}	hrr {8,4}	sr {8,4}
Alternační duály
V (4,4)4	V3. (3.8)2	V (4.4.4)2	V (3,4)3	V88	V4.44	V3.3.4.3.8

(5 5 2)

The (5 5 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [5,5], orbifold (* 552) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné pětiúhelníkové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [5,5], (*552)							[5,5]+, (552)
=	=	=	=	=	=	=	=
{5,5}	t {5,5}	r {5,5}	2t {5,5} = t {5,5}	2r {5,5} = {5,5}	rr {5,5}	tr {5,5}	sr {5,5}
Jednotné duály
V5.5.5.5.5	V5.10.10	V5.5.5.5	V5.10.10	V5.5.5.5.5	V4.5.4.5	V4.10.10	V3.3.5.3.5

(6 5 2)

The (6 5 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [6,5], orbifold (* 652) obsahuje tyto jednotné obklady:

Jednotné šestihranné / pětiúhelníkové sklony [ proti t E ]
Symetrie: [6,5], (*652)							[6,5]+, (652)	[6,5+], (5*3)	[1+,6,5], (*553)
{6,5}	t {6,5}	r {6,5}	2t {6,5} = t {5,6}	2r {6,5} = {5,6}	rr {6,5}	tr {6,5}	sr {6,5}	s {5,6}	h {6,5}
Jednotné duály
V65	V5.12.12	V5.6.5.6	V6.10.10	V56	V4.5.4.6	V4.10.12	V3.3.5.3.6	V3.3.3.5.3.5	V (3,5)5

(6 6 2)

The (6 6 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [6,6], orbifold (* 662) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné hexahexagonální obklady [ proti t E ]
Symetrie: [6,6], (*662)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =
{6,6} = h {4,6}	t {6,6} = h2{4,6}	r {6,6} {6,4}	t {6,6} = h2{4,6}	{6,6} = h {4,6}	rr {6,6} r {6,4}	tr {6,6} t {6,4}
Jednotné duály
V66	V6.12.12	V6.6.6.6	V6.12.12	V66	V4.6.4.6	V4.12.12
Střídání
[1+,6,6] (*663)	[6+,6] (6*3)	[6,1+,6] (*3232)	[6,6+] (6*3)	[6,6,1+] (*663)	[(6,6,2+)] (2*33)	[6,6]+ (662)
=		=		=
h {6,6}	s {6,6}	hod {6,6}	s {6,6}	h {6,6}	hrr {6,6}	sr {6,6}

(8 6 2)

The (8 6 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [8,6], orbifold (* 862) obsahuje tyto jednotné obklady.

Jednotné osmiboké / šestihranné obklady [ proti t E ]
Symetrie: [8,6], (*862)
{8,6}	t {8,6}	r {8,6}	2t {8,6} = t {6,8}	2r {8,6} = {6,8}	rr {8,6}	tr {8,6}
Jednotné duály
V86	V6.16.16	V (6,8)2	V8.12.12	V68	V4.6.4.8	V4.12.16
Střídání
[1+,8,6] (*466)	[8+,6] (8*3)	[8,1+,6] (*4232)	[8,6+] (6*4)	[8,6,1+] (*883)	[(8,6,2+)] (2*43)	[8,6]+ (862)
h {8,6}	s {8,6}	hod {8,6}	s {6,8}	h {6,8}	hrr {8,6}	sr {8,6}
Alternační duály
V (4,6)6	V3.3.8.3.8.3	V (3.4.4.4)2	V3.4.3.4.3.6	V (3,8)8	V3.45	V3.3.6.3.8

(7 7 2)

The (7 7 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [7,7], orbifold (* 772) obsahuje tyto jednotné obklady:

Rovnoměrné heptaheptagonální obklady [ proti t E ]
Symetrie: [7,7], (*772)							[7,7]+, (772)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =
{7,7}	t {7,7}	r {7,7}	2t {7,7} = t {7,7}	2r {7,7} = {7,7}	rr {7,7}	tr {7,7}	sr {7,7}
Jednotné duály
V77	V7.14.14	V7.7.7.7	V7.14.14	V77	V4.7.4.7	V4.14.14	V3.3.7.3.7

(8 8 2)

The (8 8 2) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [8,8], orbifold (* 882) obsahuje tyto jednotné obklady:

Jednotné oktaoktogonální obklady [ proti t E ]
Symetrie: [8,8], (*882)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =
{8,8}	t {8,8}	r {8,8}	2t {8,8} = t {8,8}	2r {8,8} = {8,8}	rr {8,8}	tr {8,8}
Jednotné duály
V88	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V88	V4.8.4.8	V4.16.16
Střídání
[1+,8,8] (*884)	[8+,8] (8*4)	[8,1+,8] (*4242)	[8,8+] (8*4)	[8,8,1+] (*884)	[(8,8,2+)] (2*44)	[8,8]+ (882)
=		=		=	= =	= =
h {8,8}	s {8,8}	hod {8,8}	s {8,8}	h {8,8}	hrr {8,8}	sr {8,8}
Alternační duály
V (4,8)8	V3.4.3.8.3.8	V (4,4)4	V3.4.3.8.3.8	V (4,8)8	V46	V3.3.8.3.8

Obecné trojúhelníkové domény

Obecně je nekonečně mnoho skupina trojúhelníků rodiny (str q r). Tento článek ukazuje jednotné naklánění v 9 rodinách: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3) , (6 4 3) a (6 4 4).

(4 3 3)

The (4 3 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(4,3,3)], orbifold (* 433) obsahuje tyto jednotné obklady. Bez pravých úhlů v základním trojúhelníku je Wythoffovy konstrukce jsou mírně odlišné. Například v (4,3,3) rodina trojúhelníků, urážet forma má šest polygonů kolem vrcholu a její duální má spíše šestiúhelníky než pětiúhelníky. Obecně vrchol obrázek urážky v trojúhelníku (str,q,r) je str. 3.q.3.r.3, přičemž v tomto případě níže 4.3.3.3.3.3.

Rovnoměrné (4,3,3) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(4,3,3)], (*433)							[(4,3,3)]+, (433)
h {8,3} t0(4,3,3)	r {3,8}1/2 t0,1(4,3,3)	h {8,3} t1(4,3,3)	h2{8,3} t1,2(4,3,3)	{3,8}1/2 t2(4,3,3)	h2{8,3} t0,2(4,3,3)	t {3,8}1/2 t0,1,2(4,3,3)	s {3,8}1/2 s (4,3,3)
Jednotné duály
V (3,4)3	V3.8.3.8	V (3,4)3	V3.6.4.6	V (3,3)4	V3.6.4.6	V6.6.8	V3.3.3.3.3.4

(4 4 3)

The (4 4 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(4,4,3)], orbifold (* 443) obsahuje tyto jednotné obklady.

Rovnoměrné (4,4,3) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(4,4,3)] (*443)							[(4,4,3)]+ (443)	[(4,4,3+)] (3*22)	[(4,1+,4,3)] (*3232)
h {6,4} t0(4,4,3)	h2{6,4} t0,1(4,4,3)	{4,6}1/2 t1(4,4,3)	h2{6,4} t1,2(4,4,3)	h {6,4} t2(4,4,3)	r {6,4}1/2 t0,2(4,4,3)	t {4,6}1/2 t0,1,2(4,4,3)	s {4,6}1/2 s (4,4,3)	hod {4,6}1/2 hr (4,3,4)	h {4,6}1/2 h (4,3,4)	q {4,6} h1(4,3,4)
Jednotné duály
V (3,4)4	V3.8.4.8	V (4,4)3	V3.8.4.8	V (3,4)4	V4.6.4.6	V6.8.8	V3.3.3.4.3.4	V (4.4.3)2	V66	V4.3.4.6.6

(4 4 4)

The (4 4 4) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(4,4,4)], orbifold (* 444) obsahuje tyto jednotné obklady.

Rovnoměrné (4,4,4) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]+ (444)	[(1+,4,4,4)] (*4242)	[(4+,4,4)] (4*22)
t0(4,4,4) h {8,4}	t0,1(4,4,4) h2{8,4}	t1(4,4,4) {4,8}1/2	t1,2(4,4,4) h2{8,4}	t2(4,4,4) h {8,4}	t0,2(4,4,4) r {4,8}1/2	t0,1,2(4,4,4) t {4,8}1/2	s (4,4,4) s {4,8}1/2	h (4,4,4) h {4,8}1/2	hr (4,4,4) hod {4,8}1/2
Jednotné duály
V (4,4)4	V4.8.4.8	V (4,4)4	V4.8.4.8	V (4,4)4	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V88	V (4,4)3

(5 3 3)

The (5 3 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(5,3,3)], orbifold (* 533) obsahuje tyto jednotné obklady.

Rovnoměrné (5,3,3) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(5,3,3)], (* 533)							[(5,3,3)]+, (533)
h {10,3} t0(5,3,3)	r {3,10}1/2 t0,1(5,3,3)	h {10,3} t1(5,3,3)	h2{10,3} t1,2(5,3,3)	{3,10}1/2 t2(5,3,3)	h2{10,3} t0,2(5,3,3)	t {3,10}1/2 t0,1,2(5,3,3)	s {3,10}1/2 ht0,1,2(5,3,3)
Jednotné duály
V (3,5)3	V3.10.3.10	V (3,5)3	V3.6.5.6	V (3,3)5	V3.6.5.6	V6.6.10	V3.3.3.3.3.5

(5 4 3)

The (5 4 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(5,4,3)], orbifold (* 543) obsahuje tyto jednotné obklady.

(5,4,3) rovnoměrné obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(5,4,3)], (* 543)							[(5,4,3)]+, (543)
t0(5,4,3) (5,4,3)	t0,1(5,4,3) r (3,5,4)	t1(5,4,3) (4,3,5)	t1,2(5,4,3) r (5,4,3)	t2(5,4,3) (3,5,4)	t0,2(5,4,3) r (4,3,5)	t0,1,2(5,4,3) t (5,4,3)	s (5,4,3)
Jednotné duály
V (3,5)4	V3.10.4.10	V (4.5)3	V3.8.5.8	V (3,4)5	V4.6.5.6	V6.8.10	V3.5.3.4.3.3

(5 4 4)

The (5 4 4) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(5,4,4)], orbifold (* 544) obsahuje tyto jednotné obklady.

Rovnoměrné (5,4,4) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(5,4,4)] (*544)							[(5,4,4)]+ (544)	[(5+,4,4)] (5*22)	[(5,4,1+,4)] (*5222)
t0(5,4,4) h {10,4}	t0,1(5,4,4) r {4,10}1/2	t1(5,4,4) h {10,4}	t1,2(5,4,4) h2{10,4}	t2(5,4,4) {4,10}1/2	t0,2(5,4,4) h2{10,4}	t0,1,2(5,4,4) t {4,10}1/2	s (4,5,4) s {4,10}1/2	h (4,5,4) h {4,10}1/2	hr (4,5,4) hr {4,10}1/2
Jednotné duály
V (4.5)4	V4.10.4.10	V (4.5)4	V4.8.5.8	V (4,4)5	V4.8.5.8	V8.8.10	V3.4.3.4.3.5	V1010	V (4.4.5)2

(6 3 3)

The (6 3 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(6,3,3)], orbifold (* 633) obsahuje tyto jednotné obklady.

Rovnoměrné (6,3,3) obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(6,3,3)], (* 633)							[(6,3,3)]+, (633)
t0{(6,3,3)} h {12,3}	t0,1{(6,3,3)} r {3,12}1/2	t1{(6,3,3)} h {12,3}	t1,2{(6,3,3)} h2{12,3}	t2{(6,3,3)} {3,12}1/2	t0,2{(6,3,3)} h2{12,3}	t0,1,2{(6,3,3)} t {3,12}1/2	s {(6,3,3)} s {3,12}1/2
Jednotné duály
V (3.6)3	V3.12.3.12	V (3.6)3	V3.6.6.6	V (3,3)6 {12,3}	V3.6.6.6	V6.6.12	V3.3.3.3.3.6

(6 4 3)

The (6 4 3) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(6,4,3)], orbifold (* 643) obsahuje tyto jednotné obklady.

(6,4,3) rovnoměrné obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(6,4,3)] (*643)							[(6,4,3)]+ (643)	[(6,1+,4,3)] (*3332)	[(6,4,3+)] (3*32)
								=
t0{(6,4,3)}	t0,1{(6,4,3)}	t1{(6,4,3)}	t1,2{(6,4,3)}	t2{(6,4,3)}	t0,2{(6,4,3)}	t0,1,2{(6,4,3)}	s {(6,4,3)}	h {(6,4,3)}	hod {(6,4,3)}
Jednotné duály
V (3.6)4	V3.12.4.12	V (4,6)3	V3.8.6.8	V (3,4)6	V4.6.6.6	V6.8.12	V3.6.3.4.3.3	V (3.6.6)3	V4. (3.4)3

(6 4 4)

The (6 4 4) skupina trojúhelníků, Skupina coxeterů [(6,4,4)], orbifold (* 644) obsahuje tyto jednotné obklady.

6-4-4 rovnoměrné obklady [ proti t E ]
Symetrie: [(6,4,4)], (*644)							(644)
(6,4,4) h {12,4}	t0,1(6,4,4) r {4,12}1/2	t1(6,4,4) h {12,4}	t1,2(6,4,4) h2{12,4}	t2(6,4,4) {4,12}1/2	t0,2(6,4,4) h2{12,4}	t0,1,2(6,4,4) t {4,12}1/2	s (6,4,4) s {4,12}1/2
Jednotné duály
V (4,6)4	V (4,12)2	V (4,6)4	V4.8.6.8	V412	V4.8.6.8	V8.8.12	V4.6.4.6.6.6

Souhrn obkladů s konečnými trojúhelníkovými základními doménami

Pro tabulku všech jednotných hyperbolických tilingu se základními doménami (str q r), kde 2 ≤ str,q,r ≤ 8.

Vidět Šablona: Tabulka konečných trojúhelníkových hyperbolických obkladů

Čtyřstranné domény

Čtyřúhelníková doména má 9 poloh bodů generátoru, které definují jednotné naklonění. Čísla vrcholů jsou uvedena pro obecnou orbifold symetrii *pqrs, s 2-hrannými tvářemi degenerujícími do okrajů.

(3 2 2 2)

Příklad rovnoměrného naklonění symetrie * 3222

V hyperbolické rovině existují také základní čtyřúhelníkové domény s *3222 orbifold ([∞, 3, ∞] Coxeterova notace) jako nejmenší rodina. K dispozici je 9 generačních míst pro jednotné obklady uvnitř čtyřúhelníkových domén. Vrcholový obrazec lze extrahovat ze základní domény jako 3 případy (1) roh (2) prostřední hrana a (3) střed. Při generování bodů jsou rohy sousedící s rohy řádu 2, zdegenerujte {2} digon tváře v těchto rozích existují, ale lze je ignorovat. Snub a střídal lze také generovat jednotné naklonění (není zobrazeno), pokud vrcholový útvar obsahuje pouze sudé plochy.

Coxeterovy diagramy čtyřúhelníkových domén je považováno za zdegenerovaného čtyřstěn graf se 2 ze 6 hran označených jako nekonečno nebo jako tečkované čáry. Logický požadavek, aby alespoň jedno ze dvou paralelních zrcadel bylo aktivní, omezuje jednotné případy na 9 a další vyzváněcí vzory nejsou platné.