Schläfliho symbol - Schläfli symbol - Wikipedia

The dvanáctistěn je pravidelný mnohostěn se Schläfliho symbolem {5,3}, který má 3 pětiúhelníky kolem každého vrchol.

v geometrie, Schläfliho symbol je zápis formuláře {str,q,r, ...} který definuje pravidelné polytopy a mozaikování.

Symbol Schläfli je pojmenován po švýcarském matematikovi z 19. století Ludwig Schläfli,^[1]^:143 kdo generalizoval Euklidovská geometrie do více než tří dimenzí a objevili všechny jejich konvexní pravidelné polytopy, včetně šesti, které se vyskytují ve čtyřech rozměrech.

Definice

Symbol Schläfli je a rekurzivní popis,^[1]^:129 začínání s {str} pro str-stranný pravidelný mnohoúhelník to je konvexní. Například {3} je rovnostranný trojúhelník „{4} je náměstí, {5} konvexní pravidelný pětiúhelník a tak dále.

Pravidelný hvězdné polygony nejsou konvexní a jejich symboly Schläfli {^str/_q} obsahovat neredukovatelné frakce ^str/_q, kde str je počet vrcholů a q je jejich otočné číslo. Ekvivalentně, {^str/_q} je vytvořen z vrcholů {str}, připojeno každý q. Například {⁵⁄₂} je pentagram; {⁵⁄₁} je Pentagon.

A pravidelný mnohostěn to má q pravidelný str-stranný polygonové tváře kolem každého vrchol je reprezentován {str,q}. Například krychle má kolem každého vrcholu 3 čtverce a je reprezentován {4,3}.

Pravidelný 4-rozměrný mnohostěn, s r {str,q} normální polyedrické buňky kolem každé hrany je reprezentováno {str,q,r}. Například a tesseract, {4,3,3}, má 3 kostky, {4,3}, kolem okraje.

Obecně platí, že běžný mnohostěn {str,q,r,...,y,z} má z {str,q,r,...,y} fazety kolem každého vrchol, kde vrchol je a vrchol v mnohostěnu, hrana v 4-mnohostěnu, a tvář v 5-polytopu, a buňka v 6-polytopu a an (n-3) -face v n-polytop.

Vlastnosti

Pravidelný mnohostěn má pravidelný vrchol obrázek. Vrcholová figura pravidelného mnohostoru {str,q,r,...,y,z} je {q,r,...,y,z}.

Pravidelné polytopy mohou mít hvězdný polygon prvky, jako je pentagram, se symbolem {⁵⁄₂}, představovaný vrcholy a Pentagon ale připojeny střídavě.

Symbol Schläfli může představovat konečnou hodnotu konvexní mnohostěn, nekonečný mozaikování z Euklidovský prostor nebo nekonečná mozaikování hyperbolický prostor, záleží na defekt úhlu stavby. Vada s kladným úhlem umožňuje vrcholu vrchol složit do vyšší dimenze a vrací se zpět do sebe jako polytop. Porucha nulového úhlu tessellates prostor stejné dimenze jako fazety. Porucha záporného úhlu nemůže existovat v běžném prostoru, ale může být vytvořena v hyperbolickém prostoru.

Fazeta nebo vrchol se obvykle považují za konečný mnohostěn, ale někdy je lze považovat za mozaikování.

Pravidelný mnohostěn má také a duální polytop, zastoupená Schläfliho symbol prvky v opačném pořadí. Self-dual pravidelný polytop bude mít symetrický Schläfliho symbol.

Kromě popisu euklidovských polytopů lze Schläfliho symboly použít k popisu sférických polytopů nebo sférických voštin.^[1]^:138

Historie a variace

Schläfliho dílo bylo za jeho života téměř neznámé a jeho notace pro popis polytopů byla znovuobjevena samostatně několika dalšími. Zejména, Thorold Gosset znovuobjevil Schläfliho symbol, který napsal jako | str | q | r | ... | z | spíše než závorky a čárky, jak to udělal Schläfli.^[1]^:144

Gossetova forma má větší symetrii, takže počet kót je počet svislých pruhů a symbol přesně zahrnuje podsymboly pro fazetovou a vrcholovou figuru. Gosset považován | str jako operátor, který lze použít na | q | ... | z | vyrobit polytop s str-gonal plochy, jejichž vrchol je | q | ... | z |.

Případy

Skupiny symetrie

Schläfliho symboly jsou úzce spjaty s (konečnými) odraz skupiny symetrie, které přesně odpovídají konečnému Skupiny coxeterů a jsou specifikovány stejnými indexy, ale místo toho hranaté závorky [str,q,r, ...]. Takové skupiny jsou často pojmenovány podle pravidelných polytopů, které generují. Například [3,3] je skupina Coxeter pro reflexní čtyřboká symetrie „[3,4] je reflexní oktaedrická symetrie a [3,5] je reflexní ikosahedrální symetrie.

Pravidelné mnohoúhelníky (rovina)

Pravidelné konvexní a hvězdicové polygony se 3 až 12 vrcholy označenými symboly Schläfli

Schläfliho symbol (konvexní) pravidelný mnohoúhelník s str hran je {str}. Například pravidelný Pentagon je reprezentováno {5}.

Pro (nekonvexní) hvězdné polygony, konstruktivní notace {^str⁄_q} se používá, kde str je počet vrcholů a q - 1 je počet přeskočených vrcholů při kreslení každého okraje hvězdy. Například {⁵⁄₂} představuje pentagram.

Pravidelný mnohostěn (3 rozměry)

Schläfliho symbol pravidelného mnohostěn je {str,q} jestli je to tváře jsou str-gons a každý vrchol je obklopen q tváře ( vrchol obrázek je q-gon).

Například {5,3} je normální dvanáctistěn. Má pětiúhelníkové (5 hran) tváře a 3 pětiúhelníky kolem každého vrcholu.

Podívejte se na 5 konvexních Platonické pevné látky, 4 nekonvexní Kepler-Poinsotův mnohostěn.

Topologicky běžný 2-dimenzionální mozaikování lze považovat za podobné jako (trojrozměrný) mnohostěn, ale takový, že úhlová vada je nula. Schläfliho symboly tedy mohou být definovány také pro běžné mozaikování z Euklidovský nebo hyperbolický prostor podobným způsobem jako u mnohostěnů. Analogie platí pro vyšší dimenze.

Například šestihranný obklad je reprezentováno {6,3}.

Běžné 4-polytopes (4 rozměry)

Schläfliho symbol pravidelného 4-mnohostěn je ve tvaru {str,q,r}. Jeho (dvourozměrné) tváře jsou pravidelné str-gons ({str}), buňky jsou pravidelné mnohostěny typu {str,q}, vrcholové postavy jsou pravidelné mnohostěny typu {q,r} a hrany jsou pravidelné r-gons (typ {r}).

Viz šest konvexní pravidelné a 10 pravidelná hvězda 4-polytopes.

Například 120 buněk je reprezentováno {5,3,3}. Je to vyrobeno Z dvanáctistěn buněk {5,3} a má 3 buňky kolem každého okraje.

Existuje jedna pravidelná mozaikování euklidovského 3 prostoru: the kubický plástev, se symbolem Schläfliho {4,3,4}, vyrobený z kubických buněk a 4 kostky kolem každého okraje.

K dispozici jsou také 4 pravidelné kompaktní hyperbolické mozaikování, včetně {5,3,4}, hyperbolický malý dodekahedrální plástev, který vyplňuje prostor dvanáctistěn buňky.

Pravidelný n-polytopes (vyšší rozměry)

Pro vyšší dimenzi běžné polytopy, symbol Schläfli je definován rekurzivně jako {str₁, str₂,...,str_n − 1} pokud fazety mít Schläfliho symbol {str₁,str₂,...,str_n − 2} a vrcholové postavy mít Schläfliho symbol {str₂,str₃,...,str_n − 1}.

Vrcholová figura fazety polytopu a fazeta vrcholové figury stejného polytopu jsou stejné: {str₂,str₃,...,str_n − 2}.

Existují pouze 3 běžné polytopy v 5 rozměrech a výše: simplexní, {3,3,3, ..., 3}; the křížový mnohostěn, {3,3, ..., 3,4}; a hyperkrychle, {4,3,3, ..., 3}. Neexistují žádné nekonvexní pravidelné polytopy nad 4 rozměry.

Duální polytopy

Pokud má polytop dimenze n ≥ 2 Schläfliho symbol {str₁,str₂, ..., str_n − 1} pak jeho dvojí má Schläfliho symbol {str_n − 1, ..., str₂,str₁}.

Pokud je sekvence palindromický, tj. stejný vpřed i vzad, je mnohostěn self-dual. Každý běžný polytop ve 2 rozměrech (mnohoúhelník) je dvojitý.

Prizmatické polytopy

Jednotné hranolové polytopy lze definovat a pojmenovat jako kartézský součin (s operátorem „×“) pravidelných polytopů nižší dimenze.

V 0D, a směřovat je reprezentován (). Své Coxeterův diagram je prázdný. Své Coxeterova notace symetrie je] [.
V 1D, a úsečka je reprezentováno {}. Své Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [].
Ve 2D, a obdélník je reprezentován jako {} × {}. Své Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [2].
Ve 3D, a str-gonal hranol je reprezentován jako {} × {str}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [2,str].
Ve 4D, uniforma {str,q} -hedrální hranol je reprezentován jako {} × {str,q}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [2,str,q].
Ve 4D, uniforma str-q duoprism je reprezentován jako {str} × {q}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [str,2,q].

Hranolový duals, nebo bipyramidy mohou být reprezentovány jako složené symboly, ale s přidání operátor, „+“.

Ve 2D, a kosočtverec je reprezentován jako {} + {}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [2].
Ve 3D, a str-gonal bipyramid, je reprezentován jako {} + {str}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [2,str].
Ve 4D sestr,q} -ediální bipyramid je reprezentován jako {} + {str,q}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [str,q].
Ve společnosti 4D, a str-q duopyramid je reprezentován jako {str} + {q}. Jeho Coxeterův diagram je . Jeho symetrie je [str,2,q].

Pyramidální polytopy obsahující vrcholy ortogonálně odsazené lze reprezentovat pomocí operátoru spojení „∨“. Každá dvojice vrcholů mezi spojenými postavami je spojena hranami.

Ve 2D, an rovnoramenný trojúhelník lze reprezentovat jako () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

Ve 3D:

A digonal disphenoid lze reprezentovat jako {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
A p-úhlová pyramida je reprezentován jako () ∨ {str}.

Ve 4D:

A p-q-hedrální pyramida je reprezentován jako () ∨ {str,q}.
A 5článková je reprezentován jako () ∨ [() ∨ {3}] nebo [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
Čtvercová pyramidová pyramida je reprezentována jako () ∨ [() ∨ {4}] nebo [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

Při míchání operátorů se pořadí operací od nejvyšší po nejnižší je ×, +, ∨.

Axiální polytopy obsahující vrcholy na rovnoběžných odsazených hyperplanech mohou být reprezentovány || operátor. Jednotný hranol je {n}||{n} a antiprism {n}||r{n}.

Rozšíření Schläfliho symbolů

Mnohoúhelníky a obklady kruhů

Zkrácený pravidelný mnohoúhelník se zdvojnásobuje po stranách. Pravidelný mnohoúhelník se sudými stranami lze snížit na polovinu. Pozměněný rovnoměrný pravidelný 2n-gon generuje a hvězdná postava sloučenina, 2 {n}.

Formulář	Schläfliho symbol	Symetrie	Coxeterův diagram
Pravidelný	{p}	[p]		Šestiúhelník
Zkráceno	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=	Zkrácený šestihran (Dodekagon)	=
Změněno a Holosnubbed	a {2p} = β {p}	[2p]	=	Změněný šestiúhelník (Hexagram)	=
Polovina a Odmítl	h {2p} = s {p} = {p}	[1⁺, 2p] = [p]	= =	Poloviční šestiúhelník (Trojúhelník)	= =

Mnohostěn a obklady

Coxeter rozšířil své použití symbolu Schläfli na kvaziregulární mnohostěn přidáním svislé kóty k symbolu. Byl to výchozí bod směrem k obecnějším Coxeterův diagram. Norman Johnson zjednodušil zápis pro svislé symboly pomocí r předpona. T-notace je nejobecnější a přímo odpovídá prstencům Coxeterova diagramu. Symboly mají odpovídající střídání, nahrazení prsteny s díry v Coxeterově diagramu a h předpona stojící za polovina, konstrukce omezená požadavkem, že sousední větve musí být rovnoměrně uspořádány a rozřízne pořadí symetrie na polovinu. Související operátor, A pro změněno, je zobrazen se dvěma vnořenými otvory, představuje složený mnohostěn s oběma střídanými polovinami, zachovávající původní plnou symetrii. A urážet je poloviční forma zkrácení a holosnub je obě poloviny střídaného zkrácení.

Formulář	Schläfliho symboly			Symetrie
Pravidelný	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	{p, q}	t₀{p, q}	[p, q] nebo [(p, q, 2)]	Krychle
Zkráceno	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	t {p, q}	t_0,1{p, q}		Zkrácená kostka
Bitruncation (Zkrácený duální)	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	2t {p, q}	t_1,2{p, q}		Zkrácený osmistěn
Opraveno (Quasiregular )	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	r {p, q}	t₁{p, q}		Cuboctahedron
Směrování (Běžný duální)	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	2r {p, q}	t₂{p, q}		Octahedron
Cantellated (Opraveno opraveno )	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	rr {p, q}	t_0,2{p, q}		Rhombicuboctahedron
Cantitruncated (Zkráceno napraveno)	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	t_0,1,2{p, q}		Zkrácený cuboctahedron

Střídání, čtvrtiny a urážky

Alternativy mají poloviční symetrii Coxeterových skupin a jsou reprezentovány nevyplněnými kroužky. Existují dvě možnosti, na kterých se vezme polovina vrcholů, ale symbol neznamená, který z nich. Čtvrtletní formy jsou zde zobrazeny s + uvnitř dutého prstence, což znamená, že se jedná o dvě nezávislé alternativy.

Střídání
Formulář	Schläfliho symboly			Symetrie	Coxeterův diagram
Střídavě (napůl) pravidelně	${ displaystyle h { begin {Bmatrix} 2p, q end {Bmatrix}}}$	h {2p, q}	ht₀{2p, q}	[1⁺, 2p, q]	=	Demicube (Čtyřstěn )
Snub pravidelný	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p, 2q end {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht_0,1{p, 2q}	[str⁺, 2q]
Snub dual pravidelný	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} q, 2p end {Bmatrix}}}$	s {q, 2p}	ht_1,2{2p, q}	[2p, q⁺]		Utlumit osmistěn (Dvacetistěnu )
Střídavě opraveno (p a q jsou sudé)	${ displaystyle h { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	hr {p, q}	ht₁{p, q}	[str. 1⁺, q]
Střídavě usměrněno usměrněno (p a q jsou sudé)	${ displaystyle hr { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	hrr {p, q}	ht_0,2{p, q}	[(p, q, 2⁺)]
Na čtvrtiny (p a q jsou sudé)	${ displaystyle q { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	q {p, q}	ht₀ht₂{p, q}	[1⁺, p, q, 1⁺]
Snub opravil Snubní quasiregular	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	sr {p, q}	ht_0,1,2{p, q}	[p, q]⁺		Utlumit cuboctahedron (Snub cube)

Změněno a holosububováno

Změněné a holosububované formy mají úplnou symetrii skupiny Coxeter a jsou reprezentovány dvojitými nevyplněnými kruhy, ale mohou být reprezentovány jako sloučeniny.

Změněno a holosububováno
Formulář	Schläfliho symboly			Symetrie	Coxeterův diagram		Příklad, {4,3}
Změněno pravidelně	${ displaystyle a { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	a {p, q}	v₀{p, q}	[p, q]	= ∪			Stellated octahedron
Holosnub dual pravidelný	$ß {q, str}$	ß {q, p}	v_0,1{q, p}	[p, q]				Sloučenina dvou icosahedra

ß, vypadající podobně jako řecký dopis beta (β), je písmeno německé abecedy eszett.

Polychora a voštiny

Lineární rodiny
Formulář	Schläfliho symbol
Pravidelný	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	{p, q, r}	t₀{p, q, r}	Tesseract
Zkráceno	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	t {p, q, r}	t_0,1{p, q, r}	Zkrácený tesseract
Opraveno	${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} p q, r end {pole}} doprava }}$	r {p, q, r}	t₁{p, q, r}	Opravený tesseract	=
Bitruncated		2t {p, q, r}	t_1,2{p, q, r}	Bitruncated tesseract
Usměrněný (Usměrněný duální)	${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} q, p r end {pole}} doprava }}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t₂{p, q, r}	Rektifikovaný 16 buněk	=
Tritruncated (Zkrácený duální)	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} r, q, p end {Bmatrix}}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t_2,3{p, q, r}	Bitruncated tesseract
Trirectified (Dvojí)	${ displaystyle { begin {Bmatrix} r, q, p end {Bmatrix}}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t₃{p, q, r} = {r, q, p}	16 buněk
Cantellated	${ displaystyle r left {{ begin {pole} {l} p q, r end {pole}} doprava }}$	rr {p, q, r}	t_0,2{p, q, r}	Kanylovaný tesseract	=
Cantitruncated	${ displaystyle t left {{ begin {pole} {l} p q, r end {pole}} doprava }}$	tr {p, q, r}	t_0,1,2{p, q, r}	Cantitruncated tesseract	=
Runcinated (Rozšířený )	${ displaystyle e_ {3} { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	E₃{p, q, r}	t_0,3{p, q, r}	Runcinovaný tesseract
Runcitruncated			t_0,1,3{p, q, r}	Runcitruncated tesseract
Omnitruncated			t_0,1,2,3{p, q, r}	Všesměrový tesseract

Střídání, čtvrtiny a urážky

Střídání
Formulář	Schläfliho symbol
Střídání
Polovina p dokonce	${ displaystyle h { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	h {p, q, r}	ht₀{p, q, r}	16 buněk
Čtvrťák p a r dokonce	${ displaystyle q { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	q {p, q, r}	ht₀ht₃{p, q, r}
Snub q sudé	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p, q, r end {Bmatrix}}}$	s {p, q, r}	ht_0,1{p, q, r}	Tlumit 24 buněk
Snub opravil r dokonce	${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} p q, r end {pole}} doprava }}$	sr {p, q, r}	ht_0,1,2{p, q, r}	Tlumit 24 buněk	=
Střídaný duoprism		s {p} s {q}	ht_0,1,2,3{p, 2, q}	Velký duoantiprism

Bifurkační rodiny

Bifurkační rodiny
Formulář	Rozšířený symbol Schläfli
Quasiregular	${ displaystyle left {p, {q nahoře q} right }}$	{p, q^1,1}	t₀{p, q^1,1}	16 buněk
Zkráceno	${ displaystyle t left {p, {q atop q} right }}$	t {p, q^1,1}	t_0,1{p, q^1,1}	Zkrácená 16 buněk
Opraveno	${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} p q q end {pole}} doprava }}$	r {p, q^1,1}	t₁{p, q^1,1}	24článková
Cantellated	${ displaystyle r left {{ begin {pole} {l} p q q end {pole}} doprava }}$	rr {p, q^1,1}	t_0,2,3{p, q^1,1}	Kanylovaný 16 buněk
Cantitruncated	${ displaystyle t left {{ begin {pole} {l} p q q end {pole}} doprava }}$	tr {p, q^1,1}	t_0,1,2,3{p, q^1,1}	Cantitruncated 16 buněk
Snub opravil	${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} p q q end {pole}} doprava }}$	sr {p, q^1,1}	ht_0,1,2,3{p, q^1,1}	Tlumit 24 buněk
Quasiregular	${ displaystyle left {r, {p na vrcholu q} right }}$	{r, / q , p}	t₀{r, / q , p}
Zkráceno	${ displaystyle t left {r, {p na vrcholu q} right }}$	t {r, / q , p}	t_0,1{r, / q , p}
Opraveno	${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} r p q end {pole}} doprava }}$	r {r, / q , p}	t₁{r, / q , p}
Cantellated	${ displaystyle r left {{ begin {pole} {l} r p q end {pole}} doprava }}$	rr {r, / q , p}	t_0,2,3{r, / q , p}
Cantitruncated	${ displaystyle t left {{ begin {pole} {l} r p q end {pole}} doprava }}$	tr {r, / q , p}	t_0,1,2,3{r, / q , p}
Snub opravil	${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} p q r end {pole}} doprava }}$	sr {p, / q,	ht_0,1,2,3{p, / q , r}

Mozaikování

Sférické

Pravidelný

Polopravidelný

Hyperbolický

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). New York: Dover.

Zdroje

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Pravidelné Polytopes (3. vyd.). Dover Publications. str.14, 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003. Pravidelné Polytopes.
Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Papír 22) str. 251–278 Coxeter, H.S.M. (1940). "Pravidelné a polořadovky Polytopes I". Matematika. Zeit. 46: 380–407. doi:10.1007 / BF01181449. Zbl 0022.38305. MR 2,10
- (Papír 23) str. 279–312 - (1985). "Pravidelné a polořadovky Polytopes II". Matematika. Zeit. 188 (4): 559–591. doi:10.1007 / BF01161657. Zbl 0547.52005.
- (Papír 24) 313–358 - (1988). "Pravidelné a polořadovky Polytopes III". Matematika. Zeit. 200 (1): 3–45. doi:10.1007 / BF01161745. Zbl 0633.52006.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Schläfli Symbol“. MathWorld. Citováno 28. prosince 2019.
Starck, Maurice (13. dubna 2012). „Mnohostěnná jména a notace“. Jízda světem mnohostěnů. Citováno 28. prosince 2019.

[:0-1] A ^b ^C ^d Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). New York: Dover.

[1]