Decagon - Decagon

Tento článek je hlavní část nedostatečně shrnout klíčové body jeho obsahu. Zvažte prosím rozšíření potenciálního zákazníka na poskytnout přístupný přehled všech důležitých aspektů článku. (Květen 2019)

Pravidelný desetiúhelník
Pravidelný desetiúhelník
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	10
Schläfliho symbol	{10}, t {5}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.10), objednat 2 × 10
Vnitřní úhel (stupňů )	144°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a desetiúhelník (z řeckého δέκα déka a γωνία gonía, „deset úhlů“) je desetistranný polygon nebo 10-gon.^[1] Celkový součet vnitřní úhly a jednoduchý desetiúhelník je 1440 °.

A protínající se pravidelný desetiúhelník je známý jako dekagram.

Pravidelný desetiúhelník

A pravidelný desetiúhelník má všechny strany stejné délky a každý vnitřní úhel bude vždy rovný 144 °.^[1] Své Schläfliho symbol je {10} ^[2] a mohou být také konstruovány jako a zkrácen Pentagon, t {5}, kvazikruhový desetiúhelník, který střídá dva typy hran.

Plocha

The plocha pravidelného desetiúhelníku o délce strany A darováno:^[3]

${ displaystyle A = { frac {5} {2}} a ^ {2} cot left ({ frac { pi} {10}} right) = { frac {5} {2}} a ^ {2} { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} simeq 7.694208843 , a ^ {2}}$

Z hlediska apothem r (viz také vepsaná postava ), oblast je:

${ displaystyle A = 10 tan left ({ frac { pi} {10}} right) r ^ {2} = 2r ^ {2} { sqrt {5 left (5-2 { sqrt {5}} vpravo)}} simeq 3.249196962 , r ^ {2}}$

Z hlediska circumradius R, oblast je:

${ displaystyle A = 5 sin left ({ frac { pi} {5}} right) R ^ {2} = { frac {5} {2}} R ^ {2} { sqrt { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}}} simeq 2.938926261 , R ^ {2}}$

Alternativní vzorec je ${ displaystyle A = 2,5da}$ kde d je vzdálenost mezi rovnoběžnými stranami nebo výška, když desetiúhelník stojí na jedné straně jako základna, nebo průměr dekagonu vepsaný kruh. Jednoduše trigonometrie,

${ displaystyle d = 2a left ( cos { tfrac {3 pi} {10}} + cos { tfrac { pi} {10}} vpravo),}$

a dá se to psát algebraicky tak jako

${ displaystyle d = a { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}}.}$

Strany

Pravidelný desetiúhelník má 10 stran, konec je rovnostranný. Má 20 úhlopříčky

Konstrukce

Jako 10 = 2 × 5, a síla dvou krát a Fermat prime, z toho vyplývá, že pravidelný desetiúhelník je konstruovatelný použitím kompas a pravítko nebo hranoupůlení pravidelného Pentagon.^[4]

Konstrukce dekagonu

Konstrukce pětiúhelníku

Alternativní (ale podobná) metoda je následující:

1. Vytvořte pětiúhelník v kruhu pomocí jedné z metod uvedených v výstavba pětiúhelníku.
2. Prodlužte čáru z každého vrcholu pětiúhelníku středem kruh na opačnou stranu téhož kruhu. Kde každá čára prořízne kruh, je vrcholem dekagonu.
3. Pět rohů pětiúhelníku tvoří alternativní rohy dekagonu. Připojte tyto body k sousedním novým bodům a vytvořte desítku.

Nekonvexní pravidelný desetiúhelník

Tento obklady podle zlatý trojúhelníky, pravidelné Pentagon, obsahuje a stellation z pravidelný desetiúhelník, Schäfliho symbol z toho je {10/3}.

Délka poměr dvou nerovných hran zlatého trojúhelníku je Zlatý řez, označeno ${ displaystyle { text {by}} Phi { text {,}}}$ nebo jeho multiplikativní inverzní:

${ displaystyle Phi -1 = { frac {1} { Phi}} = 2 , cos 72 , ^ { circ} = { frac {1} {, 2 , cos 36 , ^ { circ}}} = { frac {, { sqrt {5}} - 1 ,} {2}} { text {.}}}$

Můžeme tedy získat vlastnosti pravidelné desetihranné hvězdy prostřednictvím obkladu zlatými trojúhelníky, který to vyplňuje hvězdný polygon.

Zlatý řez v desetiúhelníku

Oba v konstrukci s daným kruhem^[5] stejně jako s danou délkou strany je zlatý řez dělící úsečku vnějším dělením určující konstrukční prvek.

• V konstrukci s daným circumcircle kruhový oblouk kolem G s poloměrem GE₃ produkuje segment AH, jehož rozdělení odpovídá zlatému řezu.

${ displaystyle { frac { overline {AM}} { overline {MH}}} = { frac { overline {AH}} { overline {AM}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi přibližně 1 618 { text {.}}}$

• V konstrukci s danou délkou strany^[6] kruhový oblouk kolem D s poloměrem DA produkuje segment E₁₀F, jehož rozdělení odpovídá Zlatý řez.

${ displaystyle { frac { overline {E_ {1} E_ {10}}} { overline {E_ {1} F}}} = { frac { overline {E_ {10} F}} { overline {E_ {1} E_ {10}}}} = { frac {R} {a}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi přibližně 1 618 { text{.}}}$

Decagon s daným kruhem,^[5] animace

Decagon s danou délkou strany,^[6] animace

Symetrie

Symetrie pravidelného desetiúhelníku. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie. Modrá zrcadla jsou nakreslena vrcholy a fialová zrcadla jsou nakreslena hranami. Gyroskopické příkazy jsou uvedeny ve středu.

The pravidelný desetiúhelník má Dih₁₀ symetrie, pořadí 20. Existují 3 podskupinové dihedrické symetrie: Dih₅, Dih₂a Dih₁a 4 cyklická skupina symetrie: Z₁₀, Z₅, Z₂a Z₁.

Těchto 8 symetrií lze vidět v 10 odlišných symetriích na dekagonu, což je větší počet, protože linie odrazů mohou procházet vrcholy nebo hranami. John Conway označí je dopisem a skupinovou objednávkou.^[7] Plná symetrie regulárního tvaru je r20 a není označena žádná symetrie a1. Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (p pro svislice) a i když reflexní čáry procházejí hranami i vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy.

Každá symetrie podskupiny umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné tvary. Pouze g10 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Nejvyšší symetrie nepravidelných desetibonů jsou d10, an isogonal - desetiúhelník vytvořený pěti zrcadly, která mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a - p10, an isotoxální dekagon, konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající se dvěma různými vnitřními úhly. Tyto dvě formy jsou duální navzájem a mají poloviční symetrické pořadí pravidelného desetiúhelníku.

Pitva

10 kostek projekce	Pitva 40 kosočtverců

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[8]Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný desetiboj, m= 5 a lze jej rozdělit na 10 kosočtverců, s příklady uvedenými níže. Tento rozklad lze vidět jako 10 z 80 tváří v a Petrie polygon projekční rovina 5 kostek. Disekce je založena na 10 z 30 tváří kosočtverečný triacontahedron. Seznam OEIS: A006245 definuje počet řešení jako 62, se 2 orientacemi pro první symetrický tvar a 10 orientacemi pro dalších 6.

Pravidelný desetiúhelník rozřezaný na 10 kosočtverců

5 kostek

Šikmý dekagon

3 pravidelné šikmé cik-cak dekagony

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Pravidelný zkosený desetiúhelník je považován za klikaté hrany a pětiúhelníkový antiprism, a pentagramový antiprism a pentagrammic zkřížený antiprism.

A zkosit desetiúhelník je zkosit mnohoúhelník s 10 vrcholy a hranami, ale neexistující ve stejné rovině. Vnitřek takového dekagonu není obecně definován. A zkosit cik-cak desetiúhelník má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

A pravidelný zkosený desítek je vrchol-tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý dekagon a lze jej vidět na vrcholech a bočních okrajích pětiúhelníkový antiprism, pentagramový antiprism, a pentagrammic zkřížený antiprism se stejným D_{5 d}, [2⁺, 10] symetrie, řád 20.

Ty lze také vidět v těchto 4 konvexních mnohostěnách s ikosahedrální symetrie. Polygony na obvodu těchto projekcí jsou pravidelné zkosené desítky.

Ortogonální projekce mnohostěnů na 5násobných osách

Dodecahedron

Dvacetistěnu

Icosidodecahedron

Kosočtverečný triacontahedron

Petrie polygony

The pravidelný zkosený desítek je Petrie polygon pro mnoho výškových polytopů, zobrazených v těchto ortogonální projekce v různých Coxeterovy roviny:^[9] Počet stran v Petrieho polygonu se rovná Číslo coxeteru, hpro každou rodinu symetrie.

A9	D6		B5
9-simplexní	411	131	5-orthoplex	5 kostek

Viz také

• Decagonal number a vycentrované desítkové číslo, figurativní čísla po vzoru dekagonu
• Dekagram, a hvězdný polygon se stejnými polohami vrcholů jako běžný desetiúhelník

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Decagon". MathWorld.
• Definice a vlastnosti dekagonu S interaktivní animací