Pravidelný dvacetistěn - Regular icosahedron

Pravidelný dvacetistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Platonická pevná látka
Elementy	F = 20, E = 30 PROTI = 12 (χ = 2)
Tváře po stranách	20{3}
Conwayova notace	Já Svatý
Schläfliho symboly	{3,5}
	s {3,4} sr {3,3} nebo ${displaystyle s {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$
Konfigurace obličeje	V5.5.5
Wythoffův symbol	5 | 2 3
Coxeterův diagram
Symetrie	Jáh, H3, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]+, (532)
Reference	U22, C25, Ž4
Vlastnosti	pravidelný, konvexnídeltahedron
Dihedrální úhel	138,189685 ° = arccos (-√5⁄3)
3.3.3.3.3 (Vrcholová postava )	Pravidelný dvanáctistěn (duální mnohostěn )
Síť

3D model běžného dvacetistěnu

v geometrie, a pravidelný dvacetistěnu (/ˌaɪkɒsəˈhiːdr.n,-kə-,-koʊ-/ nebo /aɪˌkɒsəˈhiːdr.n/^[1]) je konvexní mnohostěn s 20 tvářemi, 30 hranami a 12 vrcholy. Je to jeden z pěti Platonické pevné látky a ten, který má nejvíce tváří.

V každém vrcholu má pět rovnostranných trojúhelníkových ploch. To je reprezentováno jeho Schläfliho symbol {3,5}, nebo někdy podle něj vrchol obrázek jako 3.3.3.3.3 nebo 3⁵. To je dvojí z dvanáctistěn, který je reprezentován {5,3} a má kolem každého vrcholu tři pětiúhelníkové plochy.

Pravidelný dvacetistěn je přísně konvexní deltahedron a a gyroelongated pětiúhelníkový bipyramid a biaugmentovaný pětiúhelníkový antiprism v jakékoli ze šesti orientací.

Jméno pochází z řecký εἴκοσι (eíkosi) „dvacet“ a ἕδρα (hédra) 'sedadlo'. Množné číslo může být buď „icosahedrons“ nebo „icosahedra“ (/-drə/).

Rozměry

Síť se skládá do dvacetistěnu

Pokud je délka hrany pravidelného dvacetistěnu A, poloměr ohraničeného koule (ten, který se dotýká ikosahedronu na všech vrcholech) je

${displaystyle r_ {u} = {frac {a} {2}} {sqrt {phi {sqrt {5}}}} = {frac {a} {4}} {sqrt {10 + 2 {sqrt {5}} }} = asin {frac {2pi} {5}} cca 0,951,056,5163cdot a}$ OEIS: A019881

a poloměr vepsané koule (tečna ke každé tváři dvacetistěnu) je

${displaystyle r_ {i} = {frac {phi ^ {2} a} {2 {sqrt {3}}}} = {frac {sqrt {3}} {12}} vlevo (3+ {sqrt {5}} ight) přibližně 0,755 761 3141 cdot a}$ OEIS: A179294

zatímco midradius, který se dotýká středu každého okraje, je

${displaystyle r_ {m} = {frac {aphi} {2}} = {frac {1} {4}} vlevo (1+ {sqrt {5}} ight) a = acos {frac {pi} {5}} přibližně 0,809 016,99 cdot a}$ OEIS: A019863

kde ϕ je Zlatý řez.

Plocha a objem

Plocha povrchu A a objem PROTI pravidelného dvacetistěnu délky hrany A jsou:

${displaystyle A = 5 {sqrt {3}} a ^ {2} přibližně 8 660 254,04a ^ {2}}$ OEIS: A010527

${displaystyle V = {frac {5} {12}} (3+ {sqrt {5}}) a ^ {3} přibližně 2,181 694,99a ^ {3}}$ OEIS: A102208

To druhé je F = 20 krát objem generála čtyřstěn s vrcholem ve středu popsané koule, kde je objem čtyřstěnu třetinový oproti základní ploše √3A²/4 krát jeho výška r_i.

Faktor objemového plnění popsané koule je:

${displaystyle f = {frac {V} {{frac {4} {3}} pi r_ {u} ^ {3}}} = {frac {20 (3+ {sqrt {5}})}} {(2 { sqrt {5}} + 10) ^ {frac {3} {2}} pi}} přibližně 0,605 461 3829}$, ve srovnání s 66,49% u dvanáctistěnu.

Koule zapsaná v dvacetistěnu uzavře 89,635% svého objemu, ve srovnání s pouhými 75,47% v případě dvanáctistěnu.

Střední sféra dvacetistěnu bude mít objem 1,01664krát větší než objem dvacetistěnu, což je zdaleka nejbližší podobnost objemu jakékoli platonické pevné látky s jeho střední sférou. Toto pravděpodobně dělá dvacetistěn „nejokrouhlejším“ z platonických pevných látek.

Kartézské souřadnice

Ikosahedronové vrcholy tvoří tři ortogonální zlaté obdélníky

Vrcholy icosahedronu se středem na počátku s délkou hrany 2 a a circumradius z ${displaystyle {sqrt {phi +2}} přibližně 1,9}$ jsou popsány kruhové obměny z:^[2]

(0, ±1, ±ϕ)

kde ϕ = 1 + √5/2 je Zlatý řez.

Přijetí všech permutací (nejen cyklických) vede k Sloučenina dvou icosahedra.

Všimněte si, že tyto vrcholy tvoří pět sad tří soustředných, vzájemně ortogonální zlaté obdélníky, jehož okraje se tvoří Borromejské prsteny.

Pokud má původní dvacetistěn délku hrany 1, je jeho duální dvanáctistěn má délku hrany √5 − 1/2 = 1/ϕ = ϕ − 1.

Model dvacetistěnu vyrobený z kovových koulí a magnetických konektorů

12 okrajů pravidelného osmistěn lze rozdělit do zlatého řezu tak, aby výsledné vrcholy definovaly pravidelný dvacetistěn. To se provádí tak, že se nejprve umístí vektory podél oktaedronových okrajů tak, aby každá plocha byla ohraničena cyklem, a potom se podobně rozdělil každý okraj na zlatou střední cestu ve směru jeho vektoru. The pět osmistěn definování jakéhokoli daného dvacetistěnu tvoří pravidelný polyedrická sloučenina, zatímco dva icosahedra které lze definovat tímto způsobem z kteréhokoli daného osmistěnu formy a uniformní polyhedronová sloučenina.

Pravidelný dvacetistěn a jeho ohraničená koule. Vrcholy pravidelného dvacetistěnu leží ve čtyřech rovnoběžných rovinách a tvoří v nich čtyři rovnostranné trojúhelníky; toto bylo prokázáno Pappus Alexandrijský

Sférické souřadnice

Umístění vrcholů pravidelného dvacetistěnu lze popsat pomocí sférické souřadnice, například jako zeměpisná šířka a zeměpisná délka. Jsou-li dva vrcholy považovány za severní a jižní pól (zeměpisná šířka ± 90 °), pak dalších deset vrcholů je ± zeměpisná šířkaarktan (1/2) ≈ ± 26,57 °. Těchto deset vrcholů je v rovnoměrně rozmístěných délkách (36 ° od sebe), střídavě mezi severní a jižní šířkou.

Toto schéma využívá skutečnosti, že běžný dvacetistěn je pětiúhelník gyroelongated bipyramid, s D._{5 d} dihedrální symetrie —To znamená, že je tvořeno dvěma shodnými pětiúhelníkovými pyramidami spojenými pětiúhelníkem antiprism.

Ortogonální projekce

Dvacetistěn má tři speciální ortogonální projekce, se středem na ploše, hraně a vrcholu:

Ortogonální projekce

Na střed	Tvář	Okraj	Vrchol
Coxeterovo letadlo	A2	A3	H3
Graf
Projektivní symetrie	[6]	[2]	[10]
Graf	Tvář normální	Okraj normální	Vrchol normální

Sférické obklady

Dvacetistěn může být také reprezentován jako sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Ortografická projekce	Stereografická projekce

Další fakta

• Dvacetistěn má 43 380 odlišných sítě.^[3]
• K vybarvení icosahedronu tak, aby žádné dvě sousední tváře neměly stejnou barvu, je potřeba alespoň 3 barvy.^[A]
• Problém sahající až do doby starověkých Řeků je určit, který ze dvou tvarů má větší objem, dvacetistěn vepsaný do koule nebo dvanáctistěn ve stejné sféře. Problém vyřešil Hrdina, Pappus, a Fibonacci, mezi ostatními.^[4] Apollonius z Pergy objevil zvědavý výsledek, že poměr objemů těchto dvou tvarů je stejný jako poměr jejich povrchových ploch.^[5] Oba svazky mají vzorce zahrnující Zlatý řez, ale převezen do různých pravomocí.^[6] Jak se ukázalo, dvacetistěn zaujímá menší objem koule (60,54%) než dvanáctistěn (66,49%).^[7]

Konstrukce systémem rovnoramenných čar

Dvacetistěnu H3 Coxeterovo letadlo	6-orthoplex D6 Coxeterovo letadlo
Tuto konstrukci lze geometricky vnímat jako 12 vrcholů 6-orthoplex promítnuto do 3 rozměrů. To představuje a geometrické skládání z D.6 do H3 Skupiny coxeterů: Při pohledu na tyto 2D Coxeterovo letadlo ortogonální projekce, dva překrývající se střední vrcholy definují třetí osu v tomto mapování.

Následující konstrukce dvacetistěnu se vyhne zdlouhavým výpočtům v pole s číslem ℚ[√5] nezbytné ve více elementárních přístupech.

Existence dvacetistěnu se rovná existenci šesti rovnoramenné čáry v ℝ³. Ve skutečnosti protnutí takového systému rovnoramenných čar s euklidovskou koulí se středem v jejich společném průsečíku přináší dvanáct vrcholů pravidelného dvacetistěnu, jak lze snadno zkontrolovat. Naopak, za předpokladu, že existuje pravidelný dvacetistěn, čáry definované šesti páry protilehlých vrcholů tvoří rovnoramenný systém.

Abychom vytvořili takový rovnoramenný systém, začneme s tímto čtvercem 6 × 6 matice:

${displaystyle A = left ({egin {array} {crrrrr} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0end {array}} ight ).}$

Přímý výpočet se získá A² = 5Já (kde Já je matice identity 6 × 6). To z toho vyplývá A má vlastní čísla –√5 a √5, oba s multiplicitou 3 od A je symetrický a ze dne stopa nula.

Matice A + √5Já indukuje tedy a Euklidovská struktura na kvocientový prostor ℝ⁶ / ker (A + √5Já), který je izomorfní na ℝ³ od jádro ker (A + √5Já) z A + √5Já má dimenze 3. Obrázek pod projekce π : ℝ⁶ → ℝ⁶ / ker (A + √5Já) šesti souřadnicových os ℝproti₁, …, ℝproti₆ v ℝ⁶ tvoří tedy systém šesti rovnoramenných čar v ℝ³ protínající se párově pod společným ostrým úhlem oblouků¹⁄_√5. Ortogonální projekce ±proti₁, …, ±proti₆ na √5-igenprostor z A získá tedy dvanáct vrcholů dvacetistěnu.

Druhá přímá konstrukce dvacetistěnu využívá teorie reprezentace z střídavá skupina A₅ jednající přímo izometrie na dvacetistěnu.

Symetrie

Úplný Ikosahedrální symetrie má 15 zrcadlových rovin (viděno jako azurová velké kruhy v této sféře) setkání na objednávku π/5, π/3, π/2 úhly, dělení koule na trojúhelník 120 základní domény. K dispozici je 6 5násobných os (modrá), 10 3násobných os (červená) a 15 2násobných os (purpurová). Vrcholy pravidelného dvacetistěnu existují v 5násobných bodech osy rotace.

Rotační skupina symetrie řádného dvacetistěnu je izomorfní do střídavá skupina na pět písmen. Tento non-abelian jednoduchá skupina je jediný netriviální normální podskupina z symetrická skupina na pět písmen. Protože Galoisova skupina generála kvintická rovnice je isomorfní se symetrickou skupinou na pěti písmenech a tato normální podskupina je jednoduchá a neabelská, obecná kvintická rovnice nemá řešení v radikálech. Důkaz Abel – Ruffiniho věta používá tuto jednoduchou skutečnost a Felix Klein napsal knihu, která využila teorii ikosahedrálních symetrií k odvození analytického řešení obecné kvintické rovnice, (Klein 1884 ). Vidět icosahedral symetry: related geometries pro další historii a související symetrie sedmi a jedenácti písmen.

Celá skupina symetrie dvacetistěnu (včetně odrazů) je známá jako plná ikosaedrální skupina, a je izomorfní s produktem skupiny rotační symetrie a skupiny C₂ o velikosti dva, který je generován odrazem středem dvacetistěnu.

Stellations

Dvacetistěnec má velké množství stellations. Podle konkrétních pravidel definovaných v knize Padesát devět Icosahedra, Bylo identifikováno 59 hvězd pro běžný dvacetistěn. První forma je icosahedron sám. Jeden je pravidelný Kepler – Poinsotův mnohostěn. Tři jsou pravidelný složený mnohostěn.^[8]

21 z 59 hvězd

Tváře dvacetistěnu se protínaly směrem ven, když se protínaly roviny, což definovalo oblasti v prostoru, jak to ukazuje hvězdný diagram průsečíků v jedné rovině.

Facetings

The malý hvězdný dvanáctistěn, velký dvanáctistěn, a velký dvacetistěn jsou tři fazety řádného dvacetistěnu. Sdílejí to samé uspořádání vrcholů. Všechny mají 30 okrajů. Pravidelný dvacetistěn a velký dvanáctistěn sdílejí totéž uspořádání hran ale liší se ve tvářích (trojúhelníky vs pětiúhelníky), stejně jako malý hvězdný dodekahedron a velký dvacetistěn (pentagramy vs trojúhelníky).

Konvexní	Pravidelné hvězdy
dvacetistěnu	velký dvanáctistěn	malý hvězdný dvanáctistěn	velký dvacetistěn

Geometrické vztahy

Existují zkreslení dvacetistěnu, která, i když už nejsou pravidelná, jsou přesto vrcholová uniforma. Tyto jsou neměnný pod stejným rotace jako čtyřstěn, a jsou poněkud analogické k urážka kostka a urážet dvanáctistěn, včetně některých forem, které jsou chirální a někteří s T_h-symmetrie, tj. mají různé roviny symetrie od čtyřstěnu.

Dvacetistěn je mezi Platonické pevné látky v držení a vzepětí úhel ne méně než 120 °. Jeho úhel vzepětí je přibližně 138,19 °. Tedy stejně jako šestiúhelníky mají úhly ne menší než 120 ° a nelze je použít jako plochy konvexního pravidelného mnohostěnu, protože taková konstrukce by nesplňovala požadavek, aby se alespoň tři plochy setkaly ve vrcholu a zanechaly kladnou přeběhnout pro skládání ve třech rozměrech nelze použít icosahedru jako buňky konvexního pravidelného polychoron protože podobně se musí minimálně tři buňky setkat na okraji a zanechat pozitivní defekt pro skládání ve čtyřech rozměrech (obecně pro konvexní polytop v n rozměry, nejméně tři fazety musí se setkat v vrchol a zanechat pozitivní vadu pro složení n-prostor). V kombinaci s vhodnými buňkami, které mají menší vzepětí, lze však ikosahedru použít jako buňky v polopravidelné polychoře (například potlačit 24 buněk ), stejně jako lze šestiúhelníky použít jako plochy v polořadovkách mnohostěnů (například zkrácený dvacetistěn ). A konečně, nekonvexní polytopy nenesou stejné přísné požadavky jako konvexní polytopy a ikosahedra jsou skutečně buňkami ikosahedrální 120 buněk, jeden z deseti nekonvexní pravidelná polychora.

Dvacetistěnu lze také nazvat a gyroelongated pentagonal bipyramid. Lze jej rozložit na a gyroelongated pentagonal pyramid a a pětiboká pyramida nebo do a pětiúhelníkový antiprism a dvě stejné pětiúhelníkové pyramidy.

Vztah k 6-krychli a kosočtverečnému triacontahedronu

Může být promítán do 3D z 6D 6-demicube pomocí stejných základních vektorů, které tvoří trup Kosočtverečný triacontahedron z 6 kostek. Zde je uvedeno včetně 20 vnitřních vrcholů, které nejsou spojeny 30 vnějšími hranami trupu o délce 6D √2. Vnitřní vrcholy tvoří a dvanáctistěn.

Použité základní vektory 3D projekce [u, v, w] jsou:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)

v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)

w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Jednotné zabarvení a subsymmetrie

Ikosahedrální symetrie podskupiny

K dispozici jsou 3 jednotné barvy dvacetistěnu. Tato zbarvení lze reprezentovat jako 11213, 11212, 11111 a pojmenovat 5 trojúhelníkových ploch kolem každého vrcholu podle jejich barvy.

Dvacetistěn lze považovat za tupý čtyřstěn, as snubifikace pravidelného čtyřstěnu dává pravidelný dvacetistěn mající chirál čtyřboká symetrie. Může být také konstruován jako střídaný zkrácený osmistěn, který má pyritohedrální symetrie. Verze pyritohedrální symetrie se někdy nazývá a pseudoikosahedron a je dvojí pyritohedron.

	Pravidelný	Jednotný			2 uniformy
název	Pravidelný dvacetistěnu	Snub osmistěn	Snub tetratetrahedron	Útlum náměstí bipyramid	Pětiúhelníkový Gyroelongated bipyramid	Trojúhelníkový gyrobianticupola	Útlum trojúhelníkový antiprism[9]
obraz
Tvář zbarvení	(11111)	(11212)	(11213)	(11212)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)
Coxeter diagram
Schläfli symbol	{3,5}	s {3,4}	sr {3,3}	sdt {2,4}	() || {n} || r {n} || ()		ss {2,6}
Conway	Já	HtO	Svatý	HtdP4	k5A5		sY3 = HtA3
Symetrie	Jáh [5,3] (*532)	Th [3+,4] (3*2)	T [3,3]+ (332)	D2h [2,2] (*222)	D5 d [2+,10] (2*5)	D3d [2+,6] (2*3)	D3 [3,2]+ (322)
Symetrie objednat	60	24	12	8	20	12	6

Použití a přirozené formy

Zlato nanočástice zobrazená uživatelem transmisní elektronová mikroskopie.

Struktura y-boru.

Biologie

Mnoho viry, např. herpes virus mít ikosahedru mušle.^[10] Virové struktury jsou postaveny z opakovaných identických protein podjednotky známé jako kapsomery a dvacetistěn je nejjednodušší tvar sestavit pomocí těchto podjednotek. A pravidelný polyhedron se používá, protože může být vytvořen z jedné základní jednotky proteinu, který se používá znovu a znovu; to šetří místo ve viru genom.

Byly také nalezeny různé bakteriální organely s ikosahedrálním tvarem.^[11] Ikosahedrální obal enkapsulující enzymy a labilní meziprodukty jsou vyrobeny z různých typů proteinů BMC domény.

V roce 1904 Ernst Haeckel popsal řadu druhů Radiolaria, počítaje v to Circogonia icosahedra, jehož kostra má tvar pravidelného dvacetistěnu. Kopie Haeckelovy ilustrace pro tento radiolarian se objeví v článku na pravidelný mnohostěn.

Chemie

The closo -karborany jsou chemické sloučeniny s tvarem velmi blízkým dvacetistěnu. Icosahedral partnerství také se vyskytuje v krystalech, zvláště nanočástice.

Mnoho borides a allotropes boru obsahují bór B.₁₂ icosahedron jako základní strukturní jednotka.

Hračky a hry

Dvacetistranný umírá Ptolemaiovský Egypt

Dvacetistranný zemřít

Icosahedral kostky s dvaceti stranami byly použity od starověku.^[12]

V několika roleplayingové hry, jako Dungeons & Dragons, dvacetistranný zemřít (d20 zkráceně) se běžně používá při určování úspěchu nebo neúspěchu akce. Tato kostka má formu pravidelného dvacetistěnu. Může být očíslováno dvakrát od „0“ do „9“ (v jaké formě obvykle slouží jako desetistranný nástroj, nebo d10 ), ale většina moderních verzí je označena od „1“ do „20“.

Icosahedron je trojrozměrný herní plán pro Icosagame, dříve známý jako Ico Crystal Game.

V deskové hře se používá icosahedron Bodové kategorie vyberte písmeno abecedy. Šest písmen je vynecháno (Q, U, V, X, Y a Z).

V Nintendo 64 hra Kirby 64: Křišťálové střepy, šéf Miracle Matter je obyčejný dvacetistěn.

Uvnitř a Magic 8-Ball, různé odpovědi na Ano ne otázky jsou zapsány na běžném dvacetistěnu.

Ostatní

R. Buckminster Fuller a Japonci kartograf Shoji Sadao^[13] navrhl mapu světa v podobě rozloženého dvacetistěnu zvaného Plnější projekce, jehož maximum zkreslení je pouze 2%. Američan elektronická hudba duo ODESZA jako svůj logo používají běžný dvacetistěn.

Ikosahedrální graf

Pravidelný dvacetistěnový graf
3násobná symetrie
Vrcholy	12
Hrany	30
Poloměr	3
Průměr	3
Obvod	3
Automorfismy	120 (A5 × Z2)
Chromatické číslo	4
Vlastnosti	Hamiltonian, pravidelný, symetrický, vzdálenost-pravidelná, vzdálenost-tranzitivní, 3-vrchol připojený, rovinný graf
Tabulka grafů a parametrů

The kostra dvacetistěnu (vrcholy a hrany) tvoří a graf. Je to jeden z 5 Platonické grafy, každý jeho kostra Platonická pevná látka.

Vysoký stupeň symetrie polygonu se replikuje ve vlastnostech tohoto grafu, což je vzdálenost-tranzitivní a symetrický. The automorfická skupina má řád 120. Vrcholy mohou být barevný se 4 barvami, hrany s 5 barvami a průměr je 3.^[14]

Dvacetistěnný graf je Hamiltonian: existuje cyklus obsahující všechny vrcholy. Je to také a rovinný graf.

Ortogonální projekce

Snížená pravidelná icosahedra

Existují 4 související Johnson pevné látky, včetně pětiúhelníkových ploch s podmnožinou 12 vrcholů. Podobný členitý pravidelný dvacetistěn má 2 sousední vrcholy zmenšené, takže dvě lichoběžníkové plochy, a bifastigium má 2 protilehlé sady vrcholů odstraněny a 4 lichoběžníkové plochy. Pětiúhelníkový antiprism je vytvořen odstraněním dvou protilehlých vrcholů.

Formulář	J2	Bifastigium	J63	J62	Členitý dvacetistěnu	s {2,10}	J11
Vrcholy	6 z 12	8 z 12	9 z 12	10 z 12			11 ze 12
Symetrie	C5v, [5], (*55) objednávka 10	D2h, [2,2], *222 objednávka 8	C3v, [3], (*33) objednávka 6	C2v, [2], (*22) objednávka 4		D5 d, [2+,10], (2*5) objednávka 20	C5v, [5], (*55) objednávka 10
obraz

Související mnohostěny a mnohostěny

Dvacetistěn lze transformovat pomocí a zkrácení sekvence do své dvojí, dvanáctistěn:

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Jako tupý čtyřstěn a střídání zkráceného osmistěnu existuje také v čtyřstěnných a osmistěnných rodinách symetrie:

Rodina uniformních čtyřstěnných mnohostěnů
Symetrie: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {31,1}	t {3,4} t {31,1}	{3,4} {31,1}	rr {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h2{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {31,1}
		=	=	=				= nebo	= nebo	=
Duals na uniformní mnohostěn
V43	V3.82	V (3,4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti pravidelných mnohostěnů s Schläfliho symboly {3,n}, pokračující do hyperbolická rovina.

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {3,n} [ proti t E ]
Sférické				Euklid.	Kompaktní hyper.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Pravidelný dvacetistěn, viděný jako potlačit čtyřstěn, je členem sekvence uražen mnohostěn a obklady s vrcholem (3.3.3.3.n) a Coxeter – Dynkinův diagram . Tyto údaje a jejich duály mají (n32) rotační symetrie, být v euklidovské rovině pro n = 6 a hyperbolická rovina pro jakoukoli vyšší n. Série může být považována za začínající n = 2, s jednou sadou tváří zdegenerovaných do digony.

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Sférické		Hyperbolické obklady [ proti t E ]
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

Dvacetistěn může mozaikovat hyperbolický prostor v order-3 icosahedral honeycomb, s 3 icosahedra kolem každého okraje, 12 icosahedra kolem každého vrcholu, s Schläfliho symbol {3,5,3}. to je jeden ze čtyř pravidelných mozaikování v hyperbolickém 3 prostoru.

Je zde zobrazen jako hranový rámec v a Poincaré model disku, s jedním icosahedron viditelný ve středu.

Viz také

• Velký dvacetistěn
• Geodetické sítě použijte iterativně rozdělený dvacetistěn ke generování mřížek na kouli
• Ikosahedrální dvojčata
• Nekonečný zkosený mnohostěn
• Jessenův dvacetistěn
• Pravidelný mnohostěn
• Zkrácený dvacetistěn

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Klitzing, Richarde. „3D konvexní uniformní mnohostěn x3o5o - ike“.
• Hartley, Michael. „Matematické hry Dr. Mika pro děti“.
• K.J.M. MacLean, Geometrická analýza pěti platonických těles a dalších polopravidelných mnohostěnů
• Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
• Tulane.edu Diskuse o virové struktuře a dvacetistěnu
• Mnohostěn Origami - Modely vyrobené s modulárním Origami
• Video z icosahedral zrcadlové sochy
• [1] Princip architektury virů

Pozoruhodný hvězdy dvacetistěnu
Pravidelný	Jednotné duály			Pravidelné sloučeniny			Pravidelná hvězda	Ostatní
(Konvexní) dvacetistěn	Malý triambický dvacetistěn	Mediální triambický dvacetistěn	Velký triambický dvacetistěn	Sloučenina pěti oktaedrů	Sloučenina pěti čtyřstěnů	Sloučenina deseti čtyřstěnů	Velký dvacetistěn	Vykopaný dodecahedron	Závěrečná stellace
Proces hvězd na dvacetistěnu vytváří řadu souvisejících mnohostěn a sloučeniny s ikosahedrální symetrie.