Pravidelný 4-mnohostěn - Regular 4-polytope

The tesseract je jedním ze 6 konvexních pravidelných 4-polytopů

v matematika, a běžný 4-mnohostěn je pravidelný čtyřrozměrný mnohostěn. Jsou to čtyřrozměrné analogy pravidelný mnohostěn ve třech rozměrech a pravidelné mnohoúhelníky ve dvou rozměrech.

Pravidelné 4-polytopy byly poprvé popsány Švýcarem matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století, ačkoli celá sada byla objevena až později.

Je jich šest konvexní a deset hvězda běžné 4-polytopes, což je celkem šestnáct.

Dějiny

Konvexní pravidelné 4-polytopy poprvé popsali Švýcaři matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Zjistil, že takových čísel je přesně šest.

Schläfli také našel čtyři z běžných hvězdných 4-polytopů: the velký 120 buněk, skvělý hvězdicový 120 buněk, velký 600 buněk, a skvělý hvězdný 120 buněk. Zbývajících šest přeskočil, protože nedovolil formy, které selhaly Eulerova charakteristika na buňkách nebo vertexových obrázcích (pro tori s nulovou dírou: F − E + PROTI = 2). To vylučuje buňky a vrcholové údaje jako {5,5/2} a {5/2,5}.

Edmund Hess (1843–1903) publikoval kompletní seznam ve své německé knize z roku 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder.

Konstrukce

Existence běžného 4-polytopu ${displaystyle {p, q, r}}$ je omezen existencí pravidelné mnohostěny ${displaystyle {p, q}, {q, r}}$ které tvoří jeho buňky a vzepětí úhel omezení

{displaystyle sin {frac {pi} {p}} sin {frac {pi} {r}}

zajistit, aby se buňky setkaly a vytvořily uzavřený 3 povrch.

Popsaných šest konvexních a deseti hvězdných polytopů je jediným řešením těchto omezení.

Existují čtyři nekonvexní Schläfliho symboly {p, q, r} které mají platné buňky {p, q} a vrcholové údaje {q, r} a projdou testem vzepětí, ale nedokáží vytvořit konečné čísla: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Pravidelné konvexní 4-polytopy

Pravidelné konvexní 4-polytopy jsou čtyřrozměrné analogy Platonické pevné látky ve třech rozměrech a konvexní pravidelné mnohoúhelníky ve dvou rozměrech.

Pět z nich lze považovat za blízké analogy platonických pevných látek. Jedna další figurka, 24článková, nemá žádný blízký trojrozměrný ekvivalent.

Každý konvexní pravidelný 4-polytop je ohraničen množinou trojrozměrného buňky což jsou všechny platonické pevné látky stejného typu a velikosti. Ty jsou pravidelně spojeny podél příslušných tváří.

Vlastnosti

V následujících tabulkách jsou uvedeny některé vlastnosti šesti konvexních pravidelných 4-polytopů. Skupiny symetrie těchto 4-polytopů jsou všechny Skupiny coxeterů a uveden v zápisu popsaném v tomto článku. Číslo následující za názvem skupiny je objednat skupiny.

Jména	Rodina	Schläfli Coxeter	PROTI	E	F	C	Vert. obr.	Dvojí	Skupina symetrie
5článková pentachoron pentatope 4-simplexní	n-jednodušší (A_n rodina)	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(vlastní duální)	A₄ [3,3,3]	120
8článková octachoron tesseract 4 kostky	hyperkrychle n-krychle (B_n rodina)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16 buněk	B₄ [4,3,3]	384
16 buněk hexadekachoron 4-orthoplex	n-orthoplex (B_n rodina)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8článková	B₄ [4,3,3]	384
24článková icositetrachoron octaplex polyoktaedron (pO)	F_n rodina	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(vlastní duální)	F₄ [3,4,3]	1152
120 buněk hecatonicosachoron dodekacontachoron dodecaplex polydodecahedron (pD)	n-pětiúhelníkový mnohostěn (H_n rodina)	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600 buněk	H₄ [5,3,3]	14400
600 buněk hexakosichoron tetraplex mnohostěn (pT)	n-pětiúhelníkový mnohostěn (H_n rodina)	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120 buněk	H₄ [5,3,3]	14400

John Conway obhajoval názvy simplex, orthoplex, tesseract, octaplex nebo polyoctahedron (pO), dodecaplex nebo polydodecahedron (pD) a tetraplex nebo polytetrahedron (pT).^[1]

Norman Johnson obhajoval jména n-cell, nebo pentachoron, tesseract nebo octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hecatonicosachoron (nebo dodecacontachoron) a hexacosichoron, razit termín polychoron je 4D analogií s 3D mnohostěnem a 2D polygonem, vyjádřeným z řecký kořeny poly ("mnoho") a choros („místnost“ nebo „prostor“).^[2]^[3]

The Eulerova charakteristika pro všechny 4-polytopes je nula, máme 4-dimenzionální analog Eulerova polyedrického vzorce:

{displaystyle N_ {0} -N_ {1} + N_ {2} -N_ {3} = 0,}

kde N_k označuje počet k-tvory v mnohostěnu (vrchol je 0-tvář, hrana je 1-tvář, atd.).

Topologie kteréhokoli daného 4-polytopu je definována jeho Betti čísla a torzní koeficienty.^[4]

Jako konfigurace

Běžný 4-polytop lze zcela popsat jako a konfigurační matice obsahující počty jeho komponentních prvků. Řádky a sloupce odpovídají vrcholům, hranám, plochám a buňkám. Diagonální čísla (vlevo nahoře dole vpravo) udávají, kolik z každého prvku se vyskytuje v celém 4-polytopu. Čísla bez úhlopříčky udávají, kolik prvků sloupce se vyskytuje v prvku řádku nebo na něm. Například existují 2 vrcholy v každý okraj (každý okraj má 2 vrcholy) a 2 buňky se setkávají na každá tvář (každá tvář patří 2 buňky), v každém běžném 4-polytopu. Všimněte si, že konfiguraci pro duální polytop lze získat otočením matice o 180 stupňů.^[5]^[6]

5článková {3,3,3}	16 buněk {3,3,4}	tesseract {4,3,3}	24článková {3,4,3}	600 buněk {3,3,5}	120 buněk {5,3,3}
${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 5 & 4 & 6 & 4 2 & 10 & 3 & 3 3 & 3 & 10 & 2 4 & 6 & 4 & 5end {matrix}} end {bmatrix}}}$	${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 8 & 6 & 12 & 8 2 & 24 & 4 & 4 3 & 3 & 32 & 2 4 & 6 & 4 & 16end {matrix}} end {bmatrix}}}$	${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 16 & 4 & 6 & 4 2 & 32 & 3 & 3 4 & 4 & 24 & 2 8 & 12 & 6 & 8end {matrix}} end {bmatrix}}}$	${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 24 & 8 & 12 & 6 2 & 96 & 3 & 3 3 & 3 & 96 & 2 6 & 12 & 8 & 24end {matrix}} end {bmatrix}}}$	${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 120 & 12 & 30 & 20 2 & 720 & 5 & 5 3 & 3 & 1200 & 2 4 & 6 & 4 & 600end {matrix}} end {bmatrix}}}$	${displaystyle {egin {bmatrix} {egin {matrix} 600 & 4 & 6 & 4 2 & 1200 & 3 & 3 5 & 5 & 720 & 2 20 & 30 & 12 & 120end {matrix}} end {bmatrix}}}$

Vizualizace

Následující tabulka ukazuje některé 2-dimenzionální projekce těchto 4-polytopů. Různé další vizualizace najdete v níže uvedených externích odkazech. The Coxeter-Dynkinův diagram grafy jsou také uvedeny pod Schläfliho symbol.

A₄ = [3,3,3]	B₄ = [4,3,3]		F₄ = [3,4,3]	H₄ = [5,3,3]
5článková	8článková	16 buněk	24článková	120 buněk	600 buněk
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Solidní 3D pravopisné projekce
Čtyřboká obálka (centrováno na buňku / vrchol)	Kubická obálka (centrováno na buňku)	krychlová obálka (centrováno na buňku)	Cuboctahedral obálka (centrováno na buňku)	Zkrácený kosočtverec triacontahedron obálka (centrováno na buňku)	pentakis icosidodecahedral obálka (na střed)
Drátový model Schlegel diagramy (Perspektivní projekce )
Na střed buňky	Na střed buňky	Na střed buňky	Na střed buňky	Na střed buňky	Na střed
Drátový model stereografické projekce (3 koule )

Pravidelná hvězda (Schläfli – Hess) 4-polytopy

To ukazuje vztahy mezi čtyřrozměrnými hvězdnými polytopy. 2 konvexní formy a 10 hvězdných forem lze vidět ve 3D jako vrcholy a cuboctahedron.^[7]

Podmnožina vztahů mezi 8 formami ze 120 buněk, polydodecahedron (pD). Tři operace {a, g, s} jsou komutovatelné a definují kubický rámec. Je jich 7 hustoty při vertikálním umístění, přičemž 2 duální formy mají stejnou hustotu.

The Schläfli – Hess 4-polytopy jsou kompletní sada 10 pravidelný protínající se hvězda polychora (čtyřrozměrné polytopy ).^[8] Jsou pojmenovány na počest svých objevitelů: Ludwig Schläfli a Edmund Hess. Každý je reprezentován a Schläfliho symbol {p,q,r} ve kterém je jedno z čísel 5/2. Jsou tedy analogické běžným nekonvexním Kepler – Poinsotův mnohostěn, které jsou zase analogické s pentagramem.

Jména

Jejich zde uvedená jména byla dána John Conway, prodloužení Cayley jména pro Kepler – Poinsotův mnohostěn: spolu s hvězdný a skvělý, dodává velký modifikátor. Conway nabídl tyto operační definice:

stellation - nahradí hrany delšími hranami ve stejných řádcích. (Příklad: a Pentagon stellates do a pentagram )
zesílení - nahradí plochy velkými ve stejných rovinách. (Příklad: an dvacetistěnu se zvětšuje do velký dvacetistěn )
vzrůst - nahradí buňky velkými ve stejných 3 prostorech. (Příklad: a 600 buněk agreguje do a velký 600 buněk )

John Conway pojmenuje 10 forem ze 3 pravidelných celulárních 4-polytopů: pT = polytetrahedron {3,3,5} (čtyřboká 600 buněk ), pI = polyicoshedron {3,5,5/2} (an ikosahedrální 120 buněk ) a pD = polydodecahedron {5,3,3} (dodekahedrál 120 buněk ), s modifikátory předpony: G, A, a s pro velké, (ag) velké a hvězdné. Poslední hvězdou je velký hvězdný polydodecahedron obsahuje je všechny jako zalapat po dechu.

Symetrie

Všech deset polychora má [3,3,5] (H₄ ) hexakosichorická symetrie. Jsou generovány ze 6 souvisejících Goursat čtyřstěn skupiny symetrie racionálního řádu: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2, 3] a [3,3,5/2].

Každá skupina má 2 pravidelné hvězdné polychory, s výjimkou dvou skupin, které jsou sebe-duální a mají pouze jednu. Takže mezi deseti pravidelnými hvězdnými polychory jsou 4 dvojité páry a 2 sebe-duální formy.

Vlastnosti

Poznámka:

Existují 2 jedinečné uspořádání vrcholů, odpovídající těm z 120 buněk a 600 buněk.
K dispozici jsou 4 jedinečné uspořádání hran, které jsou zobrazeny jako drátové modely pravopisné projekce.
Existuje 7 jedinečných úpravy obličeje, zobrazeno jako pevné látky (obličejově zbarvené) ortografické projekce.

Buňky (mnohostěn), jejich tváře (mnohoúhelníky), polygonální hranové postavy a mnohostěnný vrcholové postavy jsou identifikovány podle jejich Schläfliho symboly.

název Conway (zkratka)	Schläfli Coxeter	C {p, q}	F {p}	E {r}	PROTI {q, r}	Dens.	χ
Ikosahedrální 120 buněk polyicosahedron (pi)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 5	120 {5,5/2}	4	480
Malý hvězdicový 120 buněk stellated polydodecahedron (spD)	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 5	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Skvělý 120 buněk velký polydodecahedron (gpD)	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Velký 120 buněk velký polydodecahedron (apD)	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 5	120 {3,5/2}	20	0
Skvělá hvězdicová 120článková velký stellovaný polydodecahedron (gspD)	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 5	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Velký hvězdicový 120 buněk hvězdný polydodecahedron (aspD)	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 5	720 5	120 {5,5/2}	66	0
Skvělý velký 120 buněk velký velký polydodecahedron (gapD)	{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Skvělá ikosaedrální 120článková velký polyikosahedron (gpI)	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Velká 600 buněk velký mnohostěn (apT)	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 5	120 {3,5/2}	191	0
Skvělá hvězdná 120článková velký grand stellated polydodecahedron (gaspD)	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 5	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

Viz také

Pravidelný mnohostěn
Seznam běžných polytopů
Nekonečné pravidelné 4-polytopy:
- Jeden pravidelný euklidovský plástev: {4,3,4}
- Čtyři kompaktní pravidelné hyperbolické voštiny: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Jedenáct parakompaktních pravidelných hyperbolických voštin: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6 , 3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} a {6,3,6}.
Abstraktní běžné 4-polytopes:
- 11článková {3,5,3}
- 57 buněk {5,3,5}
Jednotný 4-polytop jednotný Z těchto 6 pravidelných forem byly vytvořeny rodiny 4-polytopů.
Platonická pevná látka
Kepler-Poinsotův mnohostěn - normální hvězdný mnohostěn
Hvězda mnohoúhelník - pravidelné hvězdné polygony

Reference

Citace

^ Conway, Burgiel a Goodman-Strass 2008, Ch. 26. Stále vyšší
^ „Konvexní a abstraktní mnohostěny“, Program and abstracts, MIT, 2005
^ Johnson, Norman W. (2018). „§ 11.5 Skupiny sférických coxeterů“. Geometrie a transformace. Cambridge University Press. str. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
^ Richeson, David S. (2012). "23. Henri Poincaré a převaha topologie". Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. str. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.
^ Coxeter 1973, § 1.8 Konfigurace
^ Coxeter, komplexní pravidelné polytopy, str.117
^ Conway, Burgiel a Goodman-Strass 2008, str. 406, obr. 26.2
^ Coxeter, Hvězdné polytopy a Schläfliho funkce f {α, β, γ) str. 122 2. Polytopy Schläfli-Hess

Bibliografie

Coxeter, H.S.M. (1969). Úvod do geometrie (2. vyd.). Wiley. ISBN 0-471-50458-0.
Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). Doveru. ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
D.M.Y. Sommerville (2020) [1930]. „X. Pravidelné Polytopy“. Úvod do geometrie n Rozměry. Courier Dover. str. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6.
Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008). "26. Pravidelné hvězdné polytopy". Symetrie věcí. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Hess, Edmund (1883). „Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder“.
Hess, Edmund (1885). „Uber die regulären Polytope höherer Art“. Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg: 31–57.
Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Papír 10) Coxeter, H.S.M. (1989). "Star Polytopes and the Schlafli Function f (α, β, γ)". Elemente der Mathematik. 44 (2): 25–36.
Coxeter, H.S.M. (1991). Pravidelné složité polytopy (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39490-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). „Abstract Regular Polytopes“ (PDF).

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Pravidelný polychoron". MathWorld.
Jonathan Bowers, 16 běžných 4-polytopů
Pravidelné skládání 4D Polytopů
Katalog obrázků polytopů Sbírka stereografických projekcí 4-polytopů.
Katalog jednotných polytopů
Rozměry 2hodinový film o čtvrté dimenzi (obsahuje stereografické projekce všech běžných 4-polytopů)
Olshevsky, Georgi. "Hecatonicosachoron". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Olshevsky, Georgi. "Hexacosichoron". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Olshevsky, Georgi. „Stellation“. Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Olshevsky, Georgi. "Zvýraznění". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Olshevsky, Georgi. "Vzrůst". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
Reguläre Polytope
Pravidelná hvězda Polychora

[1] Conway, Burgiel a Goodman-Strass 2008, Ch. 26. Stále vyšší

[2] „Konvexní a abstraktní mnohostěny“, Program and abstracts, MIT, 2005

[3] Johnson, Norman W. (2018). „§ 11.5 Skupiny sférických coxeterů“. Geometrie a transformace. Cambridge University Press. str. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.

[richeson-4] Richeson, David S. (2012). "23. Henri Poincaré a převaha topologie". Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. str. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.

[5] Coxeter 1973, § 1.8 Konfigurace

[6] Coxeter, komplexní pravidelné polytopy, str.117

[7] Conway, Burgiel a Goodman-Strass 2008, str. 406, obr. 26.2

[8] Coxeter, Hvězdné polytopy a Schläfliho funkce f {α, β, γ) str. 122 2. Polytopy Schläfli-Hess

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]