Pětiboký mnohostěn - Pentagonal polytope

v geometrie, a pětiúhelníkový mnohostěn je běžný mnohostěn v n rozměry konstruované z H_n Skupina coxeterů. Rodina byla pojmenována H. S. M. Coxeter, protože dvourozměrný pětiúhelníkový mnohostěn je a Pentagon. Lze jej pojmenovat podle jeho Schläfliho symbol jako {5, 3^{n − 2}} (dodekahedrální) nebo {3^{n − 2}, 5} (ikosahedrální).

Členové rodiny

Rodina začíná jako 1-polytopes a končí n = 5 jako nekonečné mozaikování 4-dimenzionálního hyperbolického prostoru.

Existují dva typy pětiúhelníkových polytopů; lze je nazvat dodekahedrál a icosahedral typy, podle jejich trojrozměrných členů. Tyto dva typy jsou navzájem duály.

Dodecahedral

Kompletní rodina dodekahedrálních pětiúhelníkových polytopů jsou:

1. Úsečka, { }
2. Pentagon, {5}
3. Dodecahedron, {5, 3} (12 pětiúhelníkový tváře)
4. 120 buněk, {5, 3, 3} (120 dodekahedrál buňky)
5. Objednávka-3 120článkový plástev, {5, 3, 3, 3} (tessellates hyperbolic 4-space (∞ 120 buněk fazety)

Fazety každého dodekaedrického pětiúhelníkového mnohostenu jsou dodekaedrické pětiúhelníkové polytopy jedné menší dimenze. Jejich vrcholné postavy jsou jednoduchosti jedné menší dimenze.

Dodecahedral pětiúhelníkové mnohostěny

n	Skupina coxeterů	Petrie polygon projekce	název Coxeterův diagram Schläfliho symbol	Fazety	Elementy
					Vrcholy	Hrany	Tváře	Buňky	4- tváře
1	${ displaystyle H_ {1}}$ [ ] (objednávka 2)		Úsečka { }	2 vrcholy	2
2	${ displaystyle H_ {2}}$ [5] (objednávka 10)		Pentagon {5}	5 hrany	5	5
3	${ displaystyle H_ {3}}$ [5,3] (objednávka 120)		Dodecahedron {5, 3}	12 pětiúhelníky	20	30	12
4	${ displaystyle H_ {4}}$ [5,3,3] (objednávka 14400)		120 buněk {5, 3, 3}	120 dodekahedra	600	1200	720	120
5	${ displaystyle { bar {H}} _ {4}}$ [5,3,3,3 ] (objednávka ∞)		120článkový plástev {5, 3, 3, 3}	∞ 120 buněk	∞	∞	∞	∞	∞

Icosahedral

Kompletní rodina ikosahedrálních pětiúhelníkových polytopů jsou:

1. Úsečka, { }
2. Pentagon, {5}
3. Dvacetistěnu, {3, 5} (20 trojúhelníkový tváře)
4. 600 buněk, {3, 3, 5} (600 čtyřstěn buňky)
5. Objednávka 5 5článkový plástev, {3, 3, 3, 5} (tessellates hyperbolic 4-space (∞ 5článková fazety)

Fazety každého ikosahedrálního pětiúhelníkového mnohostěnu jsou jednoduchosti jedné menší dimenze. Jejich vrcholné postavy jsou ikosahedrální pětiúhelníkové polytopy o jednu menší dimenzi.

Ikosahedrální pětiúhelníkové mnohostěny

n	Skupina coxeterů	Petrie polygon projekce	název Coxeterův diagram Schläfliho symbol	Fazety	Elementy
					Vrcholy	Hrany	Tváře	Buňky	4- tváře
1	${ displaystyle H_ {1}}$ [ ] (objednávka 2)		Úsečka { }	2 vrcholy	2
2	${ displaystyle H_ {2}}$ [5] (objednávka 10)		Pentagon {5}	5 Hrany	5	5
3	${ displaystyle H_ {3}}$ [5,3] (objednávka 120)		Dvacetistěnu {3, 5}	20 rovnostranné trojúhelníky	12	30	20
4	${ displaystyle H_ {4}}$ [5,3,3] (objednávka 14400)		600 buněk {3, 3, 5}	600 čtyřstěn	120	720	1200	600
5	${ displaystyle { bar {H}} _ {4}}$ [5,3,3,3] (objednávka ∞)		Objednávka 5 5článkový plástev {3, 3, 3, 5}	∞ 5 buněk	∞	∞	∞	∞	∞

Související hvězdné polytopy a voštiny

Pětiúhelníkové polytopy mohou být hvězdný tvořit nové hvězdné pravidelné polytopy:

• Ve třech rozměrech tvoří čtyři Kepler – Poinsotův mnohostěn, {3,5/2 }, {5/2,3 }, {5,5/2 }, a {5/2,5 }.
• Ve čtyřech rozměrech to tvoří deset Schläfli – Hessova polychora: {3,5,5/2 }, {5/2,5,3 }, {5,5/2,5 }, {5,3,5/2 }, {5/2,3,5 }, {5/2,5,5/2 }, {5,5/2,3 }, {3,5/2,5 }, {3,3,5/2 }, a {5/2,3,3 }.
• Ve čtyřrozměrném hyperbolickém prostoru existují čtyři pravidelné hvězdné voštiny: {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5}, a {5,5/2,5,3}.

Stejně jako ostatní polytopy je lze kombinovat s jejich duály za vzniku sloučenin;

• Ve dvou rozměrech, a dekagrammická hvězdná postava Vzniká {10/2},
• Ve třech rozměrech získáme sloučenina dodecahedron a icosahedron,
• Ve čtyřech rozměrech získáme sloučenina 120 buněk a 600 buněk.

Poznámky

Reference

• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 10) H.S.M. Coxeter, Hvězdné polytopy a Schlafliho funkce f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tabulka I (ii): 16 běžných polytopů {p, q, r} ve čtyřech rozměrech, str. 292–293)