Trihexagonální obklady - Trihexagonal tiling
Trihexagonální obklady | |
---|---|
![]() | |
Typ | Semiregular obklady |
Konfigurace vrcholů | ![]() (3.6)2 |
Schläfliho symbol | r {6,3} nebo h2{6,3} |
Wythoffův symbol | 2 | 6 3 3 3 | 3 |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Symetrie | p6m, [6,3], (*632) |
Rotační symetrie | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) |
Zkratka Bowers | Že |
Dvojí | Obklady kosočtverce |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní Edge-tranzitivní |
v geometrie, trihexagonal obklady je jedním z 11 jednotné obklady z Euklidovské letadlo pravidelnými polygony.[1] Skládá se z rovnostranné trojúhelníky a pravidelné šestiúhelníky, uspořádány tak, aby každý šestiúhelník byl obklopen trojúhelníky a naopak. Název je odvozen od skutečnosti, že kombinuje pravidelný šestihranný obklad a obyčejný trojúhelníkové obklady. Kolem každého se střídají dva šestiúhelníky a dva trojúhelníky vrchol a jeho okraje tvoří nekonečno uspořádání řádků. Své dvojí je kosočtverečný obklad.[2]
Tento vzor a jeho místo v klasifikaci stejnoměrných sklonů již bylo známo Johannes Kepler ve své knize z roku 1619 Harmonices Mundi.[3] Vzor je již dlouho používán v japonštině košíkářství, kde se to nazývá kagome. Japonský termín pro tento vzorec byl převzat do fyziky, kde se nazývá a Kagome mříž. Vyskytuje se také v krystalových strukturách určitých minerálů. Conway říká tomu a hexadeltille, kombinující alternativní prvky z a šestihranný obklad (hextille) a trojúhelníkové obklady (deltille).[4]
Kagome

Kagome (japonský: 籠 目) je tradiční japonský tkaný bambusový vzor; jeho název je složen ze slov kago, což znamená „košík“ a mě, což znamená „oko“, odkazující na vzor otvorů ve tkaném košíku.

Je to tkané dohoda z latě složený z prokládaných trojúhelníků tak, že každý bod, kde se kříží dvě lišty, má čtyři sousední body, které tvoří vzor trihexagonálního obkladu. The tkané proces dává Kagome chirál skupina tapet symetrie, p6, (632).
Kagome mříž
Termín kagome mříž byl vytvořen japonským fyzikem Kôdi Husimi, a poprvé se objevil v dokumentu z roku 1951 jeho asistentem Ichirō Shōji.[5]Mřížka kagome v tomto smyslu sestává z vrcholů a hran trihexagonálního obkladu. Navzdory jménu tyto hraniční přechody netvoří matematická mřížka.
Související trojrozměrná struktura tvořená vrcholy a hranami čtvrt kubický plástev, vyplňování prostoru pravidelným čtyřstěn a zkrácený čtyřstěn, byl nazýván a hyper-kagome mříž.[6] Představují jej vrcholy a hrany čtvrt kubický plástev, vyplňování prostoru pravidelným čtyřstěn a zkrácený čtyřstěn. Obsahuje čtyři sady rovnoběžných rovin bodů a čar, přičemž každá rovina je dvourozměrná mřížka kagome. Druhý výraz ve třech rozměrech má paralelní vrstvy dvourozměrných mřížek a nazývá se ortorombicko-kagome mříž.[6] The trihexagonal hranolový plástev představuje jeho hrany a vrcholy.
Nějaký minerály, jmenovitě jarosity a herbertsmithite, obsahují dvourozměrné vrstvy nebo trojrozměrné kagome mřížkové uspořádání atomy v jejich Krystalická struktura. Tyto minerály vykazují nové fyzikální vlastnosti spojené s geometricky frustrovaný magnetismus. Například uspořádání rotace magnetických iontů v Co3PROTI2Ó8 spočívá v kagome mřížce, která vykazuje fascinující magnetické chování při nízkých teplotách.[7] Bylo objeveno, že kvantové magnety realizované na mřížkách Kagome vykazují mnoho neočekávaných elektronických a magnetických jevů.[8][9][10][11]
Tento termín se dnes ve vědecké literatuře hodně používá, zejména teoretiky studujícími magnetické vlastnosti teoretické kagome mřížky.
Viz také: Kagome hřebeny.
Symetrie

Trihexagonal obklady má Schläfliho symbol r {6,3} nebo Coxeterův diagram, , symbolizující skutečnost, že se jedná o a opraveno šestihranný obklad, {6,3}. Své symetrie lze popsat pomocí skupina tapet p6mm, (* 632),[12] a obklady lze odvodit jako a Wythoffova konstrukce v rámci reflexe základní domény z tato skupina. Trihexagonal obklady je a quasiregular obklady, střídající se dva typy polygonů, s konfigurace vrcholů (3.6)2. Je to také a jednotné obklady, jeden z osmi odvozený z pravidelného šestihranného obkladu.
Jednotná barviva
Existují dva odlišné jednotné barvy trihexagonálního obkladu. Pojmenování barev podle indexů na 4 plochách kolem vrcholu (3.6.3.6): 1212, 1232.[1] Druhý se nazývá a cantic šestihranný obklad, h2{6,3}, se dvěma barvami trojúhelníků, existující v p3m1 (* 333) symetrie.
Symetrie | p6m, (* 632) | p3m, (* 333) |
---|---|---|
Zbarvení | ![]() | ![]() |
základní doména | ![]() | ![]() |
Wythoff | 2 | 6 3 | 3 3 | 3 |
Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Schläfli | r {6,3} | r {3[3]} = h2{6,3} |
Kruhové balení
Trihexagonální obklad lze použít jako a kruhové balení, umístění kruhů se stejným průměrem do středu každého bodu.[13] Každý kruh je v kontaktu s dalšími 4 kruhy v balení (líbání číslo ).
Topologicky ekvivalentní obklady
The trihexagonal obklady mohou být geometricky zkresleny do topologicky ekvivalentních vrstev nižší symetrie.[1] V těchto variantách obkladu se okraje nemusí nutně srovnávat a vytvářet přímé čáry.
p3m1, (* 333) | p3, (333) | p31m, (3 * 3) | cmm, (2 * 22) | |||
---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Související quasiregular obklady
The trihexagonal obklady existuje v posloupnosti symetrií kvaziregulárních naklonění s konfigurace vrcholů (3.n)2, postupující z naklonění koule do euklidovské roviny a do hyperbolické roviny. S orbifold notace symetrie *n32 všechny tyto obklady jsou konstrukce wythoff v rámci základní doména symetrie, s body generátoru v pravém úhlu rohu domény.[14][15]
*n32 oboustranných symetrií kvaziregulárních naklonění: (3.n)2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() Konstrukce | Sférické | Euklidovský | Hyperbolický | ||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |
Quasiregular čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Vrchol | (3.3)2 | (3.4)2 | (3.5)2 | (3.6)2 | (3.7)2 | (3.8)2 | (3.∞)2 |
Související pravidelné komplexní apeirogony
K dispozici jsou 2 pravidelné komplexní apeirogony, sdílení vrcholů trihexagonálního obkladu. Pravidelné komplexní apeirogony mají vrcholy a hrany, kde hrany mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p{q}r jsou omezeny: 1 /p + 2/q + 1/r = 1. Hrany mají p vrcholy uspořádané jako a pravidelný mnohoúhelník, a vrcholové postavy jsou r-gonal.[16]
První je vytvořen z trojúhelníkových hran, dva kolem každého vrcholu, druhý má šestihranné hrany, dva kolem každého vrcholu.
![]() | ![]() |
3 {12} 2 nebo ![]() ![]() ![]() | 6 {6} 2 nebo ![]() ![]() ![]() |
---|
Viz také
- Prahová hodnota perkolace
- Kagome hřeben
- Davidova hvězda
- Trihexagonal hranolový plástev
- Cyklotrunkovaný simplektický plástev
- Seznam uniformních obkladů
Reference
- ^ A b C Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. Viz zejména věta 2.1.3, s. 59 (klasifikace stejnoměrných obkladů); Obrázek 2.1.5, s. 63 (ilustrace tohoto obkladu), Věta 2.9.1, s. 103 (klasifikace barevných obkladů), obrázek 2.9.2, str. 105 (ilustrace barevných obkladů), obrázek 2.5.3 (d), str. 83 (topologicky ekvivalentní obklady hvězd) a cvičení 4.1.3, s. 171 (topologická ekvivalence trihexagonálních a dvou-trojúhelníkových obkladů).
- ^ Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. str. 38. ISBN 0-486-23729-X.
- ^ Aiton, E. J .; Duncan, Alistair Matheson; Field, Judith Veronica, eds. (1997), Harmony of the World od Johannesa Keplera Paměti americké filozofické společnosti, 209, American Philosophical Society, s. 104–105, ISBN 9780871692092.
- ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). „Kapitola 21: Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů; mozaikování v euklidovské rovině“. Symetrie věcí. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd. str. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. PAN 2410150.
- ^ Mekata, Mamoru (únor 2003). „Kagome: Příběh příhradové mřížky“. Fyzika dnes. 56 (2): 12–13. Bibcode:2003PhT .... 56b..12M. doi:10.1063/1.1564329.
- ^ A b Lawler, Michael J .; Kee, Hae-Young; Kim, Yong Baek; Vishwanath, Ashvin (2008). „Topologická spinová kapalina na hyperkagomové mřížce Na4Ir3Ó8". Dopisy o fyzické kontrole. 100 (22): 227201. arXiv:0705.0990. Bibcode:2008PhRvL.100v7201L. doi:10.1103 / physrevlett.100.227201. PMID 18643453. S2CID 31984687.
- ^ Yen, F., Chaudhury, R. P., Galstyan, E., Lorenz, B., Wang, Y. Q., Sun, Y. Y., Chu, C. W. (2008). "Magnetické fázové diagramy schodišťové směsi Kagome Co3PROTI2Ó8". Physica B: Kondenzovaná látka. 403 (5–9): 1487–1489. arXiv:0710.1009. Bibcode:2008PhyB..403.1487Y. doi:10.1016 / j.physb.2007.10.334. S2CID 14958188.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
- ^ „Kvantový magnet s topologickým kroucením“. Discovery: Výzkum v Princetonu. 2019-02-22. Citováno 2020-04-26.
- ^ Yin, Jia-Xin; Zhang, Songtian S .; Li, Hang; Jiang, Kun; Chang, Guoqing; Zhang, Bingjing; Lian, Biao; Xiang, Cheng; Belopolski (2018). „Obří a anizotropní laditelnost rotace na oběžné dráze mnoha těl ve silně korelovaném magnetu kagome“. Příroda. 562 (7725): 91–95. arXiv:1810.00218. Bibcode:2018Natur.562 ... 91Y. doi:10.1038 / s41586-018-0502-7. PMID 30209398. S2CID 205570556.
- ^ Yin, Jia-Xin; Zhang, Songtian S .; Chang, Guoqing; Wang, Qi; Tsirkin, Stepan S .; Guguchia, Zurab; Lian, Biao; Zhou, Huibin; Jiang, Kun; Belopolski, Ilya; Shumiya, Nana (2019). „Negativní plochý pásmový magnetismus ve spřaženém orbitálním korelovaném kagome magnetu“. Fyzika přírody. 15 (5): 443–8. arXiv:1901.04822. Bibcode:2019NatPh..15..443Y. doi:10.1038 / s41567-019-0426-7. S2CID 119363372.
- ^ Yazyev, Oleg V. (2019). „Magnet vzhůru nohama“. Fyzika přírody. 15 (5): 424–5. Bibcode:2019NatPh..15..424Y. doi:10.1038 / s41567-019-0451-6. S2CID 128299874.
- ^ Steurer, Walter; Deloudi, Sofia (2009). Krystalografie kvazikrystalů: koncepty, metody a struktury. Springer Series in Materials Science. 126. Springer. str. 20. ISBN 9783642018992.
- ^ Critchlow, Keith (2000) [1969]. "vzor G". Order in Space: Design source book. Temže a Hudson. str. 74–75. ISBN 9780500340332.
- ^ Coxeter, H.S.M. (1973). „V. Kaleidoskop, §5.7 Wythoffova konstrukce“. Pravidelné Polytopes (3. vyd.). Doveru. ISBN 0-486-61480-8.
- ^ Huson, Daniel H. „Mutace dvou dimenzionální symetrie“. CiteSeerX 10.1.1.30.8536. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Coxeter, H.S.M. (1991). Pravidelné složité polytopy (2. vyd.). Cambridge University Press. 111–2, 136. ISBN 9780521394901.
Další čtení
- Seymour, Dale; Britton, Jill (1989). Úvod do mozaikování. str. 50–56. ISBN 978-0866514613.