Abstraktní mnohostěn - Abstract polytope

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Abstraktní mnohostěn“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Čtvercová pyramida a související abstraktní mnohostěn.

v matematika, an abstraktní mnohostěn je algebraický částečně objednaná sada nebo poset, který zachycuje kombinační vlastnosti tradiční polytop bez zadání čistě geometrických vlastností, jako jsou úhly nebo délky hran. A polytop je zobecněním mnohoúhelníky a mnohostěn do libovolného počtu rozměrů.

O obyčejném geometrickém mnohostěnu se říká, že a realizace v některých skutečných N-dimenzionální prostor, typicky Euklidovský, odpovídajícího abstraktního mnohostoru. Abstraktní definice umožňuje některé obecnější kombinatorické struktury než tradiční definice polytopu, což umožňuje mnoho nových objektů, které nemají v tradiční teorii obdobu.

Úvodní koncepty

Tradiční versus abstraktní polytopy

Šest geometrických čtyřúhelníků.

V euklidovské geometrii šest čtyřúhelníky zobrazené jsou různé. Přesto mají společnou strukturu ve střídavém řetězci čtyř vrcholů a čtyř stran, který jim dává jejich jméno. Říká se, že jsou izomorfní nebo „zachování struktury“.

Tato společná struktura může být zastoupena v podkladovém abstraktním mnohostěnu, čistě algebraické částečně uspořádané množině, která zachycuje vzor spojení nebo výskyty mezi různými konstrukčními prvky. Měřitelné vlastnosti tradičních polytopů, jako jsou úhly, délky hran, šikmost, přímost a konvexita, nemají pro abstraktní polytop žádný význam.

To, co platí pro tradiční polytopy (nazývané také klasické nebo geometrické polytopy), nemusí platit pro abstraktní a naopak. Například tradiční polytop je pravidelný, pokud jsou všechny jeho fazety a vrcholové figury pravidelné, ale u abstraktního polytopu to tak nemusí být.^[1]

Realizace

O tradičním geometrickém mnohostěnu se říká, že realizace souvisejícího abstraktního mnohostoru. Realizace je obvykle mapování nebo vkládání abstraktního objektu do reálného prostoru Euklidovský, postavit tradiční polytop jako skutečný geometrický útvar.

Šest zobrazených čtyřúhelníků představuje různé realizace abstraktního čtyřúhelníku, každý s různými geometrickými vlastnostmi. Některé z nich neodpovídají tradičním definicím čtyřúhelníku a říká se o nich nevěrný realizace. Konvenční polytop je věrnou realizací.

Tváře, hodnosti a objednávání

V abstraktním mnohostěnu je každý konstrukční prvek - vrchol, hrana, buňka atd. Spojen s odpovídajícím členem nebo prvkem množiny. Termín tvář často odkazuje na jakýkoli takový prvek, např. vrchol (0-tvář), hrana (1-tvář) nebo obecný k-face, a to nejen polygonální 2-face.

Tváře jsou zařadil podle jejich přidružené skutečné dimenze: vrcholy mají hodnost = 0, hrany hodnost = 1 atd.

Incidentní tváře různých úrovní, například vrchol F hrany G, jsou seřazeny podle vztahu F podpovrch G, nebo G má podpovrchu F.

F, G se říká, že jsou incident pokud buď F = G nebo F Konečná geometrie, i když se liší od tradiční geometrie a některých dalších oblastí matematiky. Například na náměstí abeceda, hrany ab a před naším letopočtem nejsou abstraktně incidenty (i když jsou oba incidenty s vrcholem b).^{[Citace je zapotřebí ]}

Polytop je poté definován jako sada ploch P s řádovým vztahem <, a který splňuje určité další axiomy. Formálně, P (s <) bude (přísný) částečně objednaná sada nebo poset.

Nejméně a největší tváře

Stejně jako je v matematice nutné číslo nula, tak i každá množina má prázdná sada ∅ jako podmnožina. V abstraktním mnohostěnu je ∅ podle konvence označen jako nejméně nebo nula tváří a je podpovrchem všech ostatních.^{[proč? ]} Protože nejmenší plocha je o jednu úroveň pod vrcholy nebo 0 plochami, její pozice je −1 a může být označena jako F₋₁. Tak F₋₁ ≡ ∅ a abstraktní mnohostěn také obsahuje prázdnou množinu jako prvek.^[2] Obvykle se to neuvědomuje.

Existuje také jedna tvář, jejíž všechny ostatní jsou podpovrchy. Tomu se říká největší tvář. V n-dimenzionální polytop, největší tvář má hodnost = n a mohou být označeny jako F_n. Někdy je realizován jako vnitřek geometrického útvaru.

Tyto nejmenší a největší tváře se někdy nazývají nevhodný všechny tváře správně tváře.^{[proč? ]}

Jednoduchý příklad

Tváře abstraktního čtyřúhelníku nebo čtverce jsou uvedeny v následující tabulce:

Relace

F₋₁<A, ... , F₋₁F₋₁bC

Objednávkové vztahy jsou tranzitivní, tj. F nástupce toho druhého, tj. kde F

Hrany W, X, Y a Z jsou někdy psány jako ab, inzerát, před naším letopočtem, a CD respektive, ale taková notace není vždy vhodná.

Všechny čtyři hrany jsou strukturálně podobné a totéž platí pro vrcholy. Postava má tedy symetrii čtverce a obvykle se označuje jako čtverec.

Hasseův diagram

The graf (vlevo) a Hasseův diagram čtyřúhelníku, ukazující hodnosti (vpravo)

Menší posety, zejména polytopy, jsou často nejlépe vizualizovány v a Hasseův diagram, jak je znázorněno. Podle konvence jsou tváře stejné pozice umístěny na stejné vertikální úrovni. Každá „čára“ mezi plochami, řekněme F, G, označuje objednávkový vztah

Hasseův diagram definuje jedinečnou posetu, a proto plně zachycuje strukturu polytopu. Z izomorfních polytopů vznikají izomorfní Hasseovy diagramy a naopak. Totéž obecně neplatí pro graf zastoupení polytopů.

Hodnost

The hodnost tváře F je definována jako (m - 2), kde m je maximální počet tváří v jakékoli řetěz (F ', F ", ..., F) uspokojující F' −1.

The hodnost abstraktního mnohostoru P je maximální hodnost n jakékoli tváře. Vždy se jedná o hodnost největšího obličeje F_n.

Hodnost obličeje nebo mnohostěnu obvykle odpovídá dimenze jeho protějšku v tradiční teorii.

U některých řad jsou jejich typy obličejů pojmenovány v následující tabulce.

† Tradičně „tvář“ znamená tvář 2 nebo 2 tváře. V abstraktní teorii termín „tvář“ označuje tvář žádný hodnost.

Vlajky

A vlajka je maximum řetěz tváří, tj. (úplně) uspořádaná množina faces ploch, každá podpovrchem další (pokud existuje), a taková, že Ψ není podmnožinou žádného většího řetězce. Vzhledem k libovolným dvěma odlišným plochám F, G ve vlajce, buď F G.

Například, {Ó, A, ab, abc} je vlajka v trojúhelníku abc.

U daného polytopu obsahují všechny příznaky stejný počet ploch. Jiné posety tento požadavek obecně nesplňují.

Sekce

Graf (vlevo) a Hasseův diagram trojúhelníkového hranolu zobrazující 1 řez (Červené) a 2-dílný (zelená).

Jakákoli podmnožina P 'posety P je poset (se stejným vztahem <, omezeno na P').

V abstraktním mnohostěnu, vzhledem k libovolným dvěma plochám F, H P s F ≤ H, sada {G | F ≤ G ≤ H} se nazývá a sekce z Pa označil H/F. (Z teorie teorie se část nazývá a uzavřený interval poset a označil [F, H].

Například v hranolu abcxyz (viz schéma) část xyz/Ó (zvýrazněno zeleně) je trojúhelník

{Ó, X, y, z, xy, xz, yz, xyz}.

A k-sekce je část hodnosti k.

Polytop, který je podmnožinou jiného polytopu, nemusí být nutně sekcí. V diagramu čtverec abeceda je podmnožina čtyřstěnu abeceda, ale není sekce toho.^{[je zapotřebí objasnění ]}

P je tedy část sama o sobě.

Tento koncept sekce ne mají stejný význam jako v tradiční geometrii.

Fazety

The aspekt za dané j-tvář F je (j−1)-sekce F/ ∅, kde F_j je největší tváří.

Například v trojúhelníku abc, aspekt na ab je ab/b = {∅, a, b, ab}, což je úsečka.

Rozdíl mezi F a F/ ∅ není obvykle významný a oba jsou často považováni za identické.

Čísla vrcholů

The vrchol obrázek v daném vrcholu PROTI je (n-1) -sekce F_n/PROTI, kde F_n je největší tváří.

Například v trojúhelníku abc, vrcholná postava v b je abc/b = {b, ab, bc, abc}, což je úsečka. Vrcholové postavy krychle jsou trojúhelníky.

Propojenost

Poset P je připojeno má-li P hodnocení ≤ 1, nebo, vzhledem k tomu, že jsou dvě vlastní tváře F a G, existuje posloupnost správných tváří

H₁, H₂, ..., H_k

tak, že F = H₁, G = H_ka každé H_i, i

Výše uvedená podmínka zajišťuje, že dvojice nesouvislých trojúhelníků abc a xyz je ne (jeden) mnohostěn.

Poset P je silně propojený pokud je připojena každá část P (včetně samotného P).

S tímto dalším požadavkem jsou také vyloučeny dvě pyramidy, které sdílejí pouze vrchol. Například dvě čtvercové pyramidy umět, být „přilepení“ na jejich čtvercové tváře - dávat osmistěn. „Společná tvář“ je ne pak tvář osmistěnu.

Formální definice

An abstraktní mnohostěn je částečně objednaná sada, jehož prvky nazýváme tváře, splňující 4 axiomy:

1. Má to nejmenší tvář a a největší tvář.
2. Všechno vlajky obsahují stejný počet tváří.
3. to je silně propojený.
4. Pokud v řadách dvou tváří a> b se liší o 2, pak existují přesně 2 tváře, které leží přesně mezi nimi A a b.

An n-polytop je polytop hodnosti n.

Poznámky

V případě nulový mnohostěn, nejmenší a největší tváře jsou stejný jediný prvek.

Axiom 2 je ekvivalentní tomu, že poset je a odstupňovaná poset.

Vzhledem k dalším axiomům je Axiom 3 ekvivalentní silná vlajková propojenost, což neformálně znamená:

Pro jakoukoli část mnohostěnu (včetně samotného mnohostěnu) lze libovolný příznak změnit na jakýkoli jiný změnou pouze jedné plochy najednou.

Axiom 4 je známý jako „diamantová vlastnost“, protože Hasseův diagram z A, ba tváře mezi ním mají tvar kosočtverce.

Z axiomů lze ukázat, že každá sekce je mnohostěnem a že Rank (G/F) = Pořadí (G) - Pořadí (F) − 1.

Abstraktní mnohostěn spojený s realitou konvexní mnohostěn se také označuje jako jeho obličejová mříž.^[4]

Nejjednodušší polytopy

Pořadí <1

Pro každou hodnost −1 a 0 existuje pouze jeden poset. Jedná se o nulovou tvář a bod. Nejsou vždy považovány za platné abstraktní polytopy.

1. místo: úsečka

Graf (vlevo) a Hasseho diagram úsečky

Existuje pouze jeden polytop pořadí 1, kterým je úsečka. Má nejméně tvář, jen dvě tváře 0 a největší tvář, například {ø, a, b, ab}. Z toho vyplývá, že vrcholy A a b mají hodnost 0 a ta největší tvář ab, a tedy poset, oba mají pořadí 1.

2. místo: polygony

Pro každého p, 3 ≤ p < ${ displaystyle infty}$, máme (abstraktní ekvivalent) tradičního polygonu s p vrcholy a p hrany nebo p-gon. Pro p = 3, 4, 5, ... máme trojúhelník, čtverec, pětiúhelník, ....

Pro p = 2, máme digon, a p = ${ displaystyle infty}$ dostaneme apeirogon.

Digon

Graf (vlevo) a Hasseův diagram digonu

A digon je mnohoúhelník s pouhými 2 hranami. Na rozdíl od jiných mnohoúhelníků mají oba okraje stejné dva vrcholy. Z tohoto důvodu je degenerovat v Euklidovské letadlo.

Tváře jsou někdy popsány pomocí „vertexové notace“ - např. {Ó, A, b, C, ab, ac, před naším letopočtem, abc} pro trojúhelník abc. Výhodou této metody je naznačující the < vztah.

S digonem tato vrcholová notace nelze použít. Je nutné dát plochám jednotlivé symboly a určit dvojice podpovrchů F

Digon je tedy definován jako množina {Ó, A, b, E ', E ", G} s relací < dána

{Ó<A, Ó<b, AAbb

kde E 'a E "jsou dva okraje a G největší obličej.

Tato potřeba identifikovat každý prvek polytopu jedinečným symbolem platí pro mnoho dalších abstraktních polytopů, a je proto běžnou praxí.

Polytop lze plně popsat pouze pomocí notace vrcholů, pokud každá tvář dopadá s jedinečnou sadou vrcholů. Polytop s touto vlastností se říká, že je atomistický.

Příklady vyšší hodnosti

Sada j-tvory (−1 ≤ j ≤ n) tradičního n-polytop tvoří abstrakt n-polytop.

Koncept abstraktního mnohostoru je obecnější a zahrnuje také:

• Apeirotopy nebo nekonečné polytopy, které zahrnují mozaikování (obklady)
• Správné rozklady neomezených potrubí, jako je torus nebo skutečná projektivní rovina.
• Mnoho dalších předmětů, například 11článková a 57 buněk, které nelze věrně realizovat v euklidovských prostorech.

Hosohedra a hosotopy

Šestihranný hosohedron, realizováno jako sférický mnohostěn.

Digon je zobecněn pomocí hosohedron a vyšší dimenzionální hosotopy, které lze všechny realizovat jako sférický mnohostěn - skládají kouli.

Projektivní polytopy

The Hemicube lze odvodit z krychle identifikací protilehlých vrcholů, hran a ploch. Má 4 vrcholy, 6 hran a 3 tváře.

Čtyři příklady netradičních abstraktních mnohostěnů jsou Hemicube (zobrazeno), Hemi-oktaedron, Hemi-dodecahedron a Hemi-icosahedron. Toto jsou projektivní protějšky Platonické pevné látky, a lze jej realizovat jako (globálně) projektivní mnohostěn - skládají skutečná projektivní rovina.

Polokoule je dalším příkladem toho, kde nelze k určení mnohostoru použít vertexovou notaci - všechny 2 tváře a 3 plochy mají stejnou sadu vrcholů.

Dualita

Každý geometrický polytop má a dvojí dvojče. Abstraktně je duál stejný polytop, ale s obráceným pořadím v pořadí: Hasseův diagram se liší pouze v anotacích. V n-polytop, každý originál k-mapové plochy na (n − k - 1) -face v duální. Tak například n-face mapy na (-1) -face. Duál duálu je (izomorfní do) originálu.

Polytop je dvojitý, pokud je stejný jako jeho dvojí, tj. Izomorfní. Proto musí být Hasseův diagram dvojitého mnohoúhelníku symetrický kolem vodorovné osy na půli cesty mezi horní a dolní částí. Čtvercová pyramida ve výše uvedeném příkladu je sebe-duální.

Vrcholová figura na vrcholu PROTI je dvojí aspekt, ke kterému PROTI mapy v duálním polytopu.

Abstraktní pravidelné polytopy

Formálně je abstraktní polytop definován jako „běžný“, pokud je automorfická skupina činy přechodně na sadu jejích vlajek. Zejména jakékoli dva k- tváře F, G z n-polytop jsou „stejné“, tj. že existuje automorfismus, který mapuje F na G. Když je abstraktní polytop pravidelný, jeho skupina automorfismu je izomorfní s kvocientem a Skupina coxeterů.

Všechny polytopy pořadí ≤ 2 jsou pravidelné. Nejznámějším pravidelným mnohostěnem je pět platonických těles. Polokoule (na obrázku) je také pravidelná.

Neformálně pro každou hodnost k, to znamená, že neexistuje žádný způsob, jak rozlišit jakýkoli k- obličej z jakéhokoli jiného - tváře musí být totožné a musí mít totožné sousedy atd. Například krychle je pravidelná, protože všechny plochy jsou čtverce, vrcholy každého čtverce jsou připojeny ke třem čtvercům a každý z těchto čtverců je připojen ke stejnému uspořádání ostatních ploch, hran a vrcholů atd.

Tato podmínka sama o sobě postačuje k zajištění toho, aby každý běžný abstraktní polytop měl izomorfní pravidelný (n−1) - plochy a izomorfní pravidelné vrcholné postavy.

Toto je slabší podmínka než pravidelnost pro tradiční polytopy, protože se týká skupiny (kombinatorické) automorfismu, nikoli skupiny (geometrické) symetrie. Například jakýkoli abstraktní mnohoúhelník je pravidelný, protože pro abstraktní polytopy neexistují úhly, délky hran, zakřivení hran, šikmost atd.

Existuje několik dalších slabších konceptů, některé ještě nejsou plně standardizované, jako např polopravidelný, kvazi pravidelný, jednotný, chirální, a Archimedean které se vztahují na polytopy, které mají v každé pozici ekvivalentní některé, ale ne všechny jejich tváře.

Nepravidelný příklad

Nepravidelný mnohostěn, který nemá vůbec žádné automorfismy.

Vzhledem k množství pozornosti, která je věnována běžným polytopům, by si člověk mohl téměř myslet, že všechny polytopy jsou pravidelné. Ve skutečnosti jsou běžné polytopy jen velmi speciální případy.

Nejjednodušší nepravidelný mnohostěn je čtvercová pyramida, i když to má stále mnoho symetrií.

Příklad mnohostěnu s Ne jsou zobrazeny netriviální symetrie - žádný pár vrcholů, hran nebo 2 tváří není „stejný“, jak je definováno výše. Toto je možná nejjednodušší takový mnohostěn.

Realizace

Sada bodů PROTI v euklidovském prostoru vybaveném surjekcí z vrcholového souboru abstraktního apeirogonu P takové, že automatorfismy P vyvolat izometrické obměny PROTI se nazývá a realizace abstraktního apeirogonu.^{[5]:121[6]:225} Dvě realizace se nazývají shodné, pokud je přirozená bijekce mezi jejich sadami vrcholů indukována izometrií jejich okolních euklidovských prostorů.^{[5]:126[6]:229}

Pokud abstrakt n-polytop je realizován v n-dimenzionální prostor, takže geometrické uspořádání neporušuje žádná pravidla pro tradiční polytopy (jako jsou zakřivené plochy nebo hřebeny nulové velikosti), pak se říká, že realizace je věřící. Obecně platí, že pouze omezená sada abstraktních polytopů hodnosti n mohou být věrně realizovány v jakémkoli daném n-prostor. Charakterizace tohoto efektu je vynikajícím problémem.

U běžného abstraktního polytopu, pokud jsou kombinatorické automorfismy abstraktního polytopu realizovány geometrickými symetriemi, bude geometrický obrazec pravidelným polytopem.

Prostor modulů

Skupina G symetrií realizace PROTI abstraktního apeirogonu P je generován dvěma odrazy, jejichž produkt překládá každý vrchol P další.^{[5]:140–141[6]:231} Produkt dvou odrazů lze rozložit jako produkt nenulového posunu, konečně mnoha rotací a případně triviálního odrazu.^{[5]:141[6]:231}

Obecně platí, že moduli prostor realizací abstraktního polytopu je a konvexní kužel nekonečné dimenze.^{[5]:127[6]:229–230} Realizační kužel abstraktu apeirogon má nespočetně nekonečno algebraická dimenze a nemůže být Zavřeno v Euklidovská topologie.^{[5]:141[6]:232}

Problém sloučení a univerzální polytopy

Důležitou otázkou v teorii abstraktních polytopů je problém sloučení. Toto je řada otázek jako např

Pro dané abstraktní polytopy K. a Lexistují nějaké polytopy P jejichž aspekty jsou K. a jejichž vrcholné postavy jsou L ?

Pokud ano, jsou všechny konečné?

Jaké konečné jsou?

Například pokud K. je čtverec a L je trojúhelník, odpovědi na tyto otázky jsou

Ano, existují polytopy P se čtvercovými plochami, spojené tři na vrchol (tj. existují polytopy typu {4,3}).

Ano, všechny jsou konečné, konkrétně

Tady je krychle, se šesti čtvercovými plochami, dvanácti hranami a osmi vrcholy a hemi-kostka, se třemi plochami, šesti hranami a čtyřmi vrcholy.

Je známo, že pokud je odpověď na první otázku pro některé běžné „ano“ K. a L, pak existuje jedinečný mnohostěn, jehož fazety jsou K. a jejichž vrcholné postavy jsou L, nazvaný univerzální polytop s těmito fazetami a vrcholovými figurami, které kryty všechny ostatní takové polytopy. To je, předpokládejme P je univerzální mnohostěn s fazetami K. a vrcholové postavy L. Pak jakýkoli jiný mnohostěn Q s těmito fazetami a vertexovými čísly lze psát Q=P/N, kde

• N je podskupinou skupiny automorfismu P, a
• P/N je sbírka oběžné dráhy prvků P v rámci akce N, s částečným řádem vyvolaným řádem P.

Q=P/N se nazývá a kvocient z P, a my říkáme P kryty Q.

Vzhledem k této skutečnosti probíhá hledání polytopů se zvláštními fazetami a vrcholovými čísly následovně:

1. Pokuste se najít použitelný univerzální mnohostěn
2. Pokus o klasifikaci jeho kvocientů.

Tyto dva problémy jsou obecně velmi obtížné.

Pokud se vrátíme k výše uvedenému příkladu K. je čtverec a L je trojúhelník, univerzální mnohost {K.,L} je krychle (psaná také {4,3}). Polokumavka je kvocient {4,3} /N, kde N je skupina symetrií (automorfismů) krychle pouze se dvěma prvky - identitou a symetrií, která mapuje každý roh (nebo hranu nebo obličej) na jeho protiklad.

Li L je místo toho také čtverec, univerzální mnohostěn {K.,L} (tj. {4,4}) je mozaikování euklidovské roviny pomocí čtverců. Tato mozaikování má nekonečně mnoho kvocientů se čtvercovými plochami, čtyři na vrchol, některé pravidelné a jiné ne. Kromě samotného univerzálního polytopu všechny odpovídají různým způsobům teselace buď a torus nebo nekonečně dlouhý válec se čtverci.

11článková a 57článková

The 11článková, objevené nezávisle uživatelem H. S. M. Coxeter a Branko Grünbaum, je abstraktní 4-polytop. Jeho aspekty jsou hemi-icosahedra. Vzhledem k tomu, že její aspekty jsou topologicky projektivními rovinami namísto sfér, není 11-buňka teselací jakéhokoli potrubí v obvyklém smyslu. Místo toho je 11-buňka a lokálně projektivní polytop. 11článek je nejen krásný v matematickém smyslu, ale také historicky důležitý jako jeden z prvních objevených netradičních abstraktních polytopů. Je sebe-duální a univerzální: je to pouze polytop s polo-ikosaedrickými fazetami a polo-dodekacarálními vrcholovými figurami.

The 57 buněk je také self-dual, s hemi-dodecahedral aspekty. Byl objeven H. S. M. Coxeterem krátce po objevu 11 buněk. Stejně jako 11 buněk je také univerzální a je jediným polytopem s hemi-dodekaedrickými fazetami a hemi-ikosahedrálními postavami vrcholů. Na druhou stranu existuje mnoho dalších polytopů s hemi-dodekaedrickými fazetami a Schläfliho typem {5,3,5}. Univerzální polytop s hemi-dodekaedrickými fazetami a ikosahedrickými (ne hemi-icosahedrálními) vrcholovými postavami je konečný, ale velmi velký, s 10006920 fazetami a polovinou tolika vrcholů.

Místní topologie

Problém sloučení byl historicky sledován podle místní topologie. Tedy spíše než omezovat K. a L být konkrétními polytopy, mohou být libovolným mnohostěnem s daným topologie, tj. jakýkoli mnohostěn mozaikování daná potrubí. Li K. a L jsou sférický (tj. teselace topologické koule ), pak P je nazýván lokálně sférické a odpovídá mozaikování nějakého potrubí. Například pokud K. a L jsou oba čtverce (a jsou tedy topologicky stejné jako kruhy), P bude mozaikování letadla, torus nebo Kleinova láhev podle čtverců. Teselace z n-dimenzionální potrubí je ve skutečnosti hodnost n + 1 mnohostěn. To je v souladu s běžnou intuicí, kterou Platonické pevné látky jsou trojrozměrné, i když je lze považovat za mozaikování dvojrozměrného povrchu koule.

Obecně se nazývá abstraktní polytop místně X pokud jsou jeho fazety a vrcholové postavy topologicky buď koule nebo X, ale ne obě sféry. The 11 buněk a 57 buněk jsou příklady 4. úrovně (tj. čtyřrozměrné) lokálně projektivní polytopes, protože jejich fazety a vrcholové postavy jsou mozaikováním skutečné projektivní roviny. V této terminologii však existuje slabina. Neumožňuje snadný způsob, jak popsat mnohostěn, jehož aspekty jsou Tori a jejichž vrcholné postavy jsou například projektivní roviny. Ještě horší je, když různé aspekty mají různé topologie nebo vůbec žádnou přesně definovanou topologii. Velkého pokroku však bylo dosaženo v úplné klasifikaci lokálně toroidních pravidelných polytopů (McMullen & Schulte, 2002)

Výměna map

Nechat Ψ být vlajkou abstraktu n-polytop a nechť −1 <i < n. Z definice abstraktního mnohostoru lze dokázat, že existuje jedinečný příznak odlišný od Ψ o hodnost i prvek, a totéž jinak. Pokud tomu říkáme vlajka Ψ⁽ⁱ⁾, pak to definuje sbírku map na vlajkách Polytopes, řekněme φ_i. Tyto mapy se nazývají výměna map, protože vyměňují páry vlajek: (Ψφ_i)φ_i = Ψ vždy. Některé další vlastnosti výměnných map:

• φ_i² je mapa identity
• The φ_i generovat a skupina. (Působení této skupiny na vlajky polytopu je příkladem toho, co se nazývá označit akci skupiny na polytopu)
• Pokud |i − j| > 1, φ_iφ_j = φ_jφ_i
• Li α je tedy automorfismem polytopu αφ_i = φ_iα
• Pokud je mnohostěn pravidelný, skupina vygenerovaná φ_i je izomorfní se skupinou automorfismu, jinak je přísně větší.

K prokázání toho lze použít zejména výměnné mapy a akci vlajky žádný abstraktní mnohostěn je podíl nějakého běžného mnohostěnu.

Matice výskytu

Polytop může být také reprezentován tabulkou jeho výskyty.

Následující matice dopadu je matice trojúhelníku:

Tabulka ukazuje 1, kdykoli je obličej podpovrchem jiného, nebo naopak (takže tabulka je symetrický o úhlopříčce) - tedy ve skutečnosti tabulka má nadbytečné informace; stačilo by zobrazit pouze 1, když je plocha řádku ≤ plocha sloupce.

Vzhledem k tomu, že tělo i prázdná sada narážejí na všechny ostatní prvky, jsou první řádek a sloupec i poslední řádek a sloupec triviální a lze je pohodlně vynechat.

Čtvercová pyramida

Čtvercová pyramida a související abstraktní mnohostěn.

Další informace se získají spočítáním každého výskytu. Toto numerické použití umožňuje a symetrie seskupení, jako v Hasseův diagram z čtvercová pyramida: Pokud jsou vrcholy B, C, D a E považovány za symetricky ekvivalentní v abstraktním polytopu, budou hrany f, g, h a j seskupeny dohromady a také hrany k, l, m a n, a nakonec také trojúhelníky P, Q, R, a S. Odpovídající matici výskytu tohoto abstraktního mnohostoru lze tedy zobrazit jako:

V této kumulované matici dopadové matice představují diagonální položky celkový počet obou typů prvků.

Prvky odlišného typu stejné hodnosti zjevně nikdy nenastanou, takže hodnota bude vždy 0, ale aby se tyto vztahy odlišily, místo 0 se použije hvězdička (*).

Sub-úhlopříčné položky každého řádku představují počty dopadů příslušných dílčích prvků, zatímco položky super-úhlopříčky představují příslušné počty prvků obrázku na vrcholu, na okraji nebo na jakémkoli obrázku.

Už je to jednoduché čtvercová pyramida ukazuje, že matice akumulace symetrie akumulované již nejsou symetrické. Stále však existuje jednoduchý vztah entit (kromě zobecněných Eulerových vzorců pro diagonální, respektive sub-diagonální entity každé řady, respektive super-diagonální prvky každé řady - ty přinejmenším vždy, když nejsou žádné díry nebo hvězdy atd.) ), stejně jako u jakékoli takové matice dopadu ${ displaystyle I = (I_ {ij})}$ drží:

${ displaystyle I_ {ii} cdot I_ {ij} = I_ {ji} cdot I_ {jj} (i$

Dějiny

V šedesátých letech Branko Grünbaum vydal výzvu geometrické komunitě, aby zvážila zobecnění konceptu běžné polytopy že zavolal polystromata. On vyvinul teorii polystromata, ukazovat příklady nových objektů včetně 11 buněk.

The 11článková je self-dual 4-mnohostěn jehož fazety nejsou icosahedra, ale jsou „hemi-icosahedra „- to znamená, že jsou tvarem, který člověk získá, pokud považuje opačné tváře ikosahedry za skutečně stejný obličej (Grünbaum, 1977). Několik let po Grünbaumově objevu 11článková, H.S.M. Coxeter objevil podobný polytop, 57 buněk (Coxeter 1982, 1984) a poté nezávisle znovuobjevili 11článkovou buňku.

S dřívější prací od Branko Grünbaum, H. S. M. Coxeter a Jacques prsa po položení základů byla poprvé popsána základní teorie kombinatorických struktur, nyní známá jako abstraktní polytopy Egon Schulte ve své disertační práci z roku 1980. V něm definoval „komplexy s pravidelným výskytem“ a „polytopy s pravidelným výskytem“. Následně on a Peter McMullen vyvinul základy teorie v sérii výzkumných článků, které byly později shromážděny do knihy. Od té doby přispělo mnoho dalších vědců a první průkopníci (včetně Grünbaum) také přijali Schulteovu definici jako „správnou“.

Od té doby se výzkum v teorii abstraktních polytopů zaměřuje hlavně na pravidelný polytopes, tedy ti, jejichž automorfismus skupiny akt přechodně na množině vlajek mnohostěnu.

Viz také

• Eulerian poset
• Odstupňovaná poset
• Pravidelný mnohostěn

Poznámky

Reference