Dodecahedron - Dodecahedron
Jáh, objednávka 120 | |||
---|---|---|---|
Pravidelný- | Malé hvězdicovité | Skvělý- | Skvělé |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Th, objednávka 24 | T, objednávka 12 | Óh, objednávka 48 | Johnson (J.84) |
Pyritohedron | Tetartoid | Kosočtverec | Trojúhelníkový- |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
D4h, objednávka 16 | D3h, objednávka 12 | ||
Kosodélník-šestihranný | Kosodélník | Trapezo-kosočtverec | Kosodélník trojúhelníkový |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
v geometrie, a dvanáctistěn (Řecký δωδεκάεδρον, z δώδεκα Dodeka „dvanáct“ + ἕδρα hédra „základna“, „sedadlo“ nebo „obličej“) je libovolné mnohostěn s dvanácti plochými tvářemi. Nejznámější dvanáctistěn je pravidelný dvanáctistěn s pravidelnými pětiúhelníky jako tvářemi, což je a Platonická pevná látka. Jsou také tři pravidelná hvězda dodekahedra, které jsou konstruovány jako stellations konvexní formy. Všechny tyto mají ikosahedrální symetrie, objednávka 120.
Některé dodecahedra mají stejnou kombinatorickou strukturu jako pravidelný dodecahedron (pokud jde o graf tvořený jeho vrcholy a hranami), ale jejich pětiúhelníkové plochy nejsou pravidelné: pyritohedron, běžná krystalická forma v pyrit, má pyritohedrální symetrie, zatímco tetartoid má čtyřboká symetrie.
The kosočtverečný dvanáctistěn lze považovat za omezující případ pyritohedronu a má oktaedrická symetrie. The prodloužený dvanáctistěn a lichoběžníkový kosočtverec variace, spolu s kosočtverečnou dodekahedrou, jsou vyplňování prostoru. Je jich mnoho další dodekahedra.
Zatímco běžný dvanáctistěn sdílí mnoho funkcí s jinými platonickými tělesy, jeho jedinečnou vlastností je, že lze začít v rohu povrchu a nakreslit nekonečné množství přímek napříč postavou, které se vracejí do původního bodu, aniž by překročily jakýkoli jiný roh.[1]
Pravidelná dodekahedra
Konvexní pravidelný dvanáctistěn je jedním z pěti pravidelných Platonické pevné látky a může být reprezentován jeho Schläfliho symbol {5, 3}.
The duální mnohostěn je pravidelný dvacetistěnu {3, 5}, který má pět rovnostranných trojúhelníků kolem každého vrcholu.
![]() Konvexní pravidelný dvanáctistěn | ![]() Malý hvězdný dvanáctistěn | ![]() Velký dvanáctistěn | ![]() Velký hvězdný dvanáctistěn |
Konvexní pravidelný dvanáctistěn má také tři stellations, z nichž všechny jsou pravidelné hvězdy dodecahedra. Tvoří tři ze čtyř Kepler – Poinsotův mnohostěn. Jsou to malý hvězdný dvanáctistěn {5/2, 5} velký dvanáctistěn {5, 5/2} a velký hvězdný dvanáctistěn {5/2, 3}. Malý hvězdný dodecahedron a velký dodecahedron jsou navzájem dvojí; velký hvězdný dvanáctistěn je dvojí velký dvacetistěn {3, 5/2}. Všechny tyto pravidelné dodekahedry mají pravidelné pětiúhelníkové nebo pentagrammic tváře. Konvexní pravidelný dvanáctistěn a velký hvězdný dvanáctistěn jsou různé realizace stejného abstraktní pravidelný mnohostěn; malý hvězdný dodecahedron a velký dodecahedron jsou různé realizace dalšího abstraktního pravidelného mnohostenu.
Další pětiúhelníková dodekahedra
v krystalografie, v některých se mohou objevit dvě důležité dodekahedry jako krystalické formy třídy symetrie z kubický krystalový systém které jsou topologicky ekvivalentní běžnému dvanáctistěnu, ale méně symetrické: pyritohedron s pyritohedrální symetrie a tetartoid s čtyřboká symetrie:
Pyritohedron
Pyritohedron | |
---|---|
![]() (Vidět tady pro rotující model.) | |
Polygon obličeje | nepravidelný pětiúhelník |
Coxeterovy diagramy | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tváře | 12 |
Hrany | 30 (6 + 24) |
Vrcholy | 20 (8 + 12) |
Skupina symetrie | Th, [4,3+], (3 * 2), objednávka 24 |
Rotační skupina | T, [3,3]+, (332), objednávka 12 |
Duální mnohostěn | Pseudoicosahedron |
Vlastnosti | obličej tranzitivní |
Síť![]() |
A pyritohedron je dvanáctistěn s pyritohedrální (T.h) symetrie. Jako pravidelný dvanáctistěn, má dvanáct identických pětiúhelníkový tváře se třemi setkáními v každém z 20 vrcholů (viz obrázek).[2] Pětiúhelníky však nejsou omezeny na pravidelnost a základní atomové uspořádání nemá žádnou skutečnou pětinásobnou osu symetrie. Jeho 30 hran je rozděleno na dvě sady - obsahující 24 a 6 hran stejné délky. Jediné osy rotační symetrie jsou tři vzájemně kolmé dvojité osy a čtyři trojité osy.
Ačkoli pravidelné dodekaedry neexistují v krystalech, forma pyritohedronu se vyskytuje v krystalech minerálu pyrit, a může to být inspirace pro objev pravidelného Platonická pevná látka formulář. Pravý pravidelný dvanáctistěn se může objevit jako tvar pro kvazikrystaly (jako holmium – hořčík – zinek kvazikrystal ) s ikosahedrální symetrie, který zahrnuje skutečné pětinásobné osy otáčení.
Křišťálový pyrit
Přírodní pyrit (s čelními úhly vpravo) Jeho název pochází z jednoho ze dvou běžných křišťálové návyky zobrazeno pyrit (druhý je krychle ). V pyritohedrálním pyritu mají tváře a Millerův index z (210), což znamená, že vzepětí úhel je 2 · arktan (2) ≈ 126,87 ° a každá pětiúhelníková plocha má jeden úhel přibližně 121,6 ° mezi dvěma úhly přibližně 106,6 ° a protilehlými dvěma úhly přibližně 102,6 °. Následující vzorce ukazují měření pro tvář dokonalého krystalu (který se v přírodě vyskytuje jen zřídka). |
Kartézské souřadnice
Osm vrcholů krychle má souřadnice (± 1, ± 1, ± 1).
Ty z 12 dalších vrcholů jsou(0, ±(1 + h), ±(1 − h2)), (±(1 + h), ±(1 − h2), 0) a(±(1 − h2), 0, ±(1 + h)).
h je výška klín "střecha" ve tvaru písmene nad čelem této krychle s délkou hrany 2.
Důležitý případ je h = 1/2 (čtvrtina délky hrany krychle) pro dokonalý přírodní pyrit (také pyritohedron v Weaire – Phelan struktura ).
Další je h = 1/φ = 0,618 ... pro pravidelný dvanáctistěn. Viz část Geometrická svoboda pro ostatní případy.
Dva pyritohedry se zaměněnými nenulovými souřadnicemi jsou navzájem ve dvou pozicích jako dodekahedra v sloučenina dvou dodecahedra.
Ortografické projekce pyritohedronu s h = 1/2 | Výšky 1/2 a 1 /φ | ![]() Duální pozice v pyritu křišťálové modely |
Animace | |
---|---|
![]() | ![]() |
Plástev střídajících se konvexních a konkávních pyritohedrů s výškami mezi ±1/φ | Výšky mezi 0 (krychle) a 1 (kosočtverečný dvanáctistěn) |
Geometrická svoboda
Pyritohedron má geometrický stupeň volnosti omezující případy krychle konvexní obal na jedné hranici kolineárních hran a a kosočtverečný dvanáctistěn jako další limit, protože 6 hran je zdegenerováno na délku nula. Pravidelný dvanáctistěn představuje speciální střední případ, kdy jsou všechny hrany a úhly stejné.
Je možné projít kolem těchto omezujících případů a vytvořit konkávní nebo nekonvexní pyritohedru. The endo-dodecahedron je konkávní a rovnostranný; dokáže uspořádat prostor s konvexním pravidelným dvanáctistěnem. Pokračujeme odtud v tomto směru a procházíme zdegenerovaným případem, kdy se dvanáct vrcholů shoduje ve středu a dále k pravidelnému velký hvězdný dvanáctistěn kde jsou všechny hrany a úhly opět stejné a tváře byly zkresleny na pravidelné pentagramy. Na druhé straně, za kosočtverečným dvanáctistěnem, dostaneme nekonvexní rovnostranný dvanáctistěn s rybími tvary protínajících se rovnostranných pětiúhelníkových ploch.
Zvláštní případy pyritohedronu | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Verze se stejnými hodnotami absoulute a protichůdnými znaky tvoří dohromady plástev. (Srovnej tato animace.) Zobrazený poměr je poměr délek hran, konkrétně těch v sadě 24 (dotýkající se vrcholů krychle) k délkám hran v sadě 6 (odpovídající plochám krychle). | |||||||
Poměr | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 | 2 : 1 | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 |
h | −√5 + 1/2 | −1 | −√5 + 1/2 | 0 | √5 − 1/2 | 1 | √5 + 1/2 |
−1,618... | −0,618... | 0,618... | 1,618... | ||||
obraz | ![]() Pravidelná hvězda, velký hvězdný dvanáctistěn, s pravidelným pentagram tváře | ![]() Degenerovat, 12 vrcholů ve středu | ![]() Konkávní rovnostranný dvanáctistěn, nazývaný endo-dodecahedron.[je zapotřebí objasnění ] | ![]() A krychle lze rozdělit na pyritohedron rozdělením všech hran a ploch v alternativních směrech. | ![]() Pravidelný dvanáctistěn je střední případ se stejnou délkou hrany. | ![]() A kosočtverečný dvanáctistěn je zdegenerovaný případ se 6 kříženími sníženými na délku nula. | ![]() Samovolně se protínající rovnostranný dvanáctistěn |
Tetartoid
Tetartoid Tetragonální pětiúhelníkový dvanáctistěn | |
---|---|
![]() (Vidět tady pro rotující model.) | |
Polygon obličeje | nepravidelný pětiúhelník |
Conwayova notace | gT |
Tváře | 12 |
Hrany | 30 (6+12+12) |
Vrcholy | 20 (4+4+12) |
Skupina symetrie | T, [3,3]+, (332), objednávka 12 |
Vlastnosti | konvexní, obličej tranzitivní |
A tetartoid (taky čtyřúhelníkový pětiúhelníkový dvanáctistěn, pětiúhelník-tritetrahedron, a čtyřstěnný pětiúhelník dvanáctistěn) je dvanáctistěn s chirálem čtyřboká symetrie (T). Jako pravidelný dvanáctistěn, má dvanáct identických pětiúhelníkový tváře se třemi setkáními v každém z 20 vrcholů. Pětiúhelníky však nejsou pravidelné a postava nemá pětinásobné osy symetrie.
Ačkoli pravidelné dodekaedry neexistují v krystalech, tetartoidní forma ano. Název tetartoid pochází z řeckého kořene pro jednu čtvrtinu, protože má jednu čtvrtinu plné osmistěnné symetrie a polovinu pyritohedrální symetrie.[3] Minerál kobaltit může mít tento tvar symetrie.[4]
Abstrakce sdílející pevnou látku topologie a symetrii lze vytvořit z krychle a čtyřstěnu. V krychli je každá plocha rozdělena šikmým okrajem. Ve čtyřstěnu je každá hrana rozříznuta a každý z nových vrcholů je spojen se středem obličeje. (V Conwayova mnohostěnová notace toto je gyro čtyřstěn.)
Ortografické projekce ze 2 a 3násobných os | Krychlový a čtyřboký tvar |
Vztah k dyakis dodecahedron | ||
---|---|---|
Tetartoid lze vytvořit zvětšením 12 z 24 tváří a dyakis dodecahedron (Zde zobrazený tetartoid je založen na jednom, který je sám vytvořen zvětšením 24 ze 48 tváří disdyakis dodecahedron.)
The krystalový model vpravo ukazuje tetartoid vytvořený zvětšením modrých ploch jádra dyakisového dodekaedrického jádra. Okraje mezi modrými plochami jsou proto zakryty červenými hranami kostry. |
Kartézské souřadnice
Následující body jsou vrcholy tetartoidního pětiúhelníku pod čtyřboká symetrie:
- (A, b, C); (−A, −b, C); (−n/d1, −n/d1, n/d1); (−C, −A, b); (−n/d2, n/d2, n/d2),
za následujících podmínek:[5]
- 0 ≤ A ≤ b ≤ C,
- n = A2C − před naším letopočtem2,
- d1 = A2 − ab + b2 + ac − 2před naším letopočtem,
- d2 = A2 + ab + b2 − ac − 2před naším letopočtem,
- nd1d2 ≠ 0.
Geometrická svoboda
The pravidelný dvanáctistěn je tetartoid s více než požadovanou symetrií. The triakis čtyřstěn je zdegenerovaný případ s 12 hranami nulové délky. (Pokud jde o barvy použité výše, znamená to, že bílé vrcholy a zelené okraje jsou absorbovány zelenými vrcholy.)
Tetartoidní variace od pravidelný dvanáctistěn na triakis čtyřstěn | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Dvojitý trojúhelníkový gyrobianticupola
Nižší symetrická forma pravidelného dvanáctistěnu může být konstruována jako duální mnohostěn konstruovaný ze dvou trojúhelníkových anticupola propojená základna-základna, nazývaná a trojúhelníková gyrobianticupola. Má D.3d symetrie, řád 12. Má 2 sady 3 stejných pětiúhelníků nahoře a dole, spojených 6 pětiúhelníků po stranách, které se střídají nahoru a dolů. Tento formulář má šestihranný průřez a identické kopie lze připojit jako částečný šestihranný plást, ale všechny vrcholy se nebudou shodovat.
Kosočtverečný dvanáctistěn

The kosočtverečný dvanáctistěn je zonohedron s dvanácti kosočtverečnými tvářemi a oktaedrickou symetrií. Je to dvojí quasiregular cuboctahedron (an Archimédův pevný ) a vyskytuje se v přírodě jako krystalická forma. Kosočtverečný dvanáctistěn se spojuje, aby vyplnil prostor.
The kosočtverečný dvanáctistěn lze považovat za zdegenerovaného pyritohedron kde 6 speciálních hran bylo zmenšeno na nulovou délku, což zmenšuje pětiúhelníky na kosočtverečné plochy.
Kosočtverečný dvanáctistěn má několik stellations, první z nich je také a paraleloedrický vesmírný výplň.
Dalším důležitým kosočtverečným dvanáctistěnem je Bilinski dodecahedron, má dvanáct tváří shodných s těmi kosočtverečný triacontahedron, tj. úhlopříčky jsou v poměru k Zlatý řez. Je to také a zonohedron a byl popsán uživatelem Bilinski v roce 1960.[6] Tento údaj je dalším doplňkem vesmíru a může se vyskytovat i neperiodicky vesmírné výplně spolu s kosočtverečným triacontahedronem, kosočtverečným icosahedronem a kosočtverečnými hexahedry.[7]
Další dodekahedra
Existuje 6 384 634 topologicky odlišných konvexní dodekahedra, s výjimkou zrcadlových obrazů - počet vrcholů se pohybuje od 8 do 20.[8] (Dva mnohostěny jsou „topologicky odlišné“, pokud mají vnitřně odlišná uspořádání ploch a vrcholů, takže je nemožné je vzájemně zkreslit pouhou změnou délek hran nebo úhlů mezi hranami nebo plochami.)
Topologicky odlišná dodekahedra (kromě pětiúhelníkových a kosočtverečných forem)
- Jednotná mnohostěna:
- Decagonal hranol - 10 čtverců, 2 dekagony, D10h symetrie, objednávka 40.
- Pětiúhelníkový antiprism - 10 rovnostranných trojúhelníků, 2 pětiúhelníky, D5 d symetrie, objednávka 20
- Johnson pevné látky (normální tvář):
- Pětiúhelníková kopule - 5 trojúhelníků, 5 čtverců, 1 pětiúhelník, 1 dekagon, C5v symetrie, objednávka 10
- Utlumit disphenoid - 12 trojúhelníků, D2d, objednávka 8
- Podlouhlý čtvercový dipyramid - 8 trojúhelníků a 4 čtverce, D4h symetrie, řád 16
- Metabidiminoval dvacetistěn - 10 trojúhelníků a 2 pětiúhelníky, C2v symetrie, objednávka 4
- Shodné nepravidelné tváře: (tvář-tranzitivní )
- Šestihranný bipyramid - 12 rovnoramenných trojúhelníky, dvojí šestihranný hranol, D6h symetrie, objednávka 24
- Šestihranný lichoběžník – 12 draci, dvojí šestihranný antiprism, D6d symetrie, objednávka 24
- Triakis čtyřstěn - 12 rovnoramenných trojúhelníků, duální z zkrácený čtyřstěn, Td symetrie, objednávka 24
- Jiné méně pravidelné tváře:
- Hendecagonal pyramida - 11 rovnoramenných trojúhelníků a 1 pravidelný hendecagon, C11v, objednávka 11
- Trapézový kosočtverec - 6 kosočtverců, 6 lichoběžníky - duální z trojúhelníková orthobicupola, D3h symetrie, objednávka 12
- Rhombo-hexagonální dvanáctistěn nebo protáhlý dodekededr - 8 kosočtverců a 4 rovnostranné šestiúhelníky, D4h symetrie, řád 16
- Zkrácený pětiúhelníkový lichoběžník, D5 d, objednávka 20, topologicky ekvivalentní běžnému dvanáctistěnu
Praktické využití
Armand Spitz použitý a dvanáctistěn jako ekvivalent „zeměkoule“ pro jeho Projektor planetária s digitální kopulí.[9] na základě návrhu od Albert Einstein.
Viz také
- 120 buněk: a běžný polychoron (4D polytop), jehož povrch tvoří 120 dodekaedrických buněk.
- Braarudosphaera bigelowii
- Pentakis dodecahedron
- Roman dodecahedron
- Utlumit dvanáctistěn
- Zkrácený dvanáctistěn
Reference
- ^ Athreya, Jayadev S .; Aulicino, David; Hooper, W. Patrick (27. května 2020). „Platonické pevné látky a kryty mřížových povrchů vysokého rodu“. Experimentální matematika. arXiv:1811.04131. doi:10.1080/10586458.2020.1712564.
- ^ Crystal Habit. Galleries.com. Citováno 2016-12-02.
- ^ Holandský, Steve. 48 speciálních křišťálových forem Archivováno 2013-09-18 na Wayback Machine. Přírodní a aplikované vědy, University of Wisconsin-Green Bay, USA
- ^ Crystal Habit. Galleries.com. Citováno 2016-12-02.
- ^ Tetartoid. Demonstrations.wolfram.com. Citováno 2016-12-02.
- ^ Hafner, I. a Zitko, T. Úvod do zlatých kosočtverečných mnohostěnů. Fakulta elektrotechnická, Univerzita v Lublani, Slovinsko.
- ^ Lord, E. A .; Ranganathan, S .; Kulkarni, USA (2000). „Obklady, krytiny, shluky a kvazikrystaly“. Curr. Sci. 78: 64–72.
- ^ Počítám mnohostěn. Numericana.com (2001-12-31). Citováno 2016-12-02.
- ^ Ley, Willy (únor 1965). „Předchůdci planetária“. Pro vaši informaci. Galaxy Sci-fi. str. 87–98.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Dodecahedron“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Podlouhlý dodekaedron“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Pyritohedron". MathWorld.
- Platónova čtvrtá pevná látka a „pyritohedron“, Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, Vol. 77, č. 479 (červenec, 1993), str. 220–226 [1]
- ŘECKÉ PRVKY
- Stellation of Pyritohedron VRML modely a animace Pyritohedronu a jeho stellations
- Klitzing, Richarde. "3D konvexní uniformní mnohostěn o3o5x - laň".
- Upravitelná tisknutelná síť dvanáctistěn s interaktivním 3D zobrazením
- Jednotná mnohostěna
- Mnohostěn Origami - Modely vyrobené s modulárním Origami
- Dodecahedron - 3D model, který funguje ve vašem prohlížeči
- Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
- Dodecahedra variace
- VRML modely
- Pravidelný dvanáctistěn pravidelný
- Kosočtverečný dvanáctistěn quasiregular
- Decagonal hranol vrchol-tranzitivní
- Pětiúhelníkový antiprism vrchol-tranzitivní
- Šestihranný dipyramid tvář-tranzitivní
- Triakis čtyřstěn tvář-tranzitivní
- šestihranný lichoběžník tvář-tranzitivní
- Pětiúhelníková kopule normální tváře
- K.J.M. MacLean, Geometrická analýza pěti platonických těles a dalších polopravidelných mnohostěnů
- Dodecahedron 3D vizualizace
- Stella: Polyhedron Navigator: Software použitý k vytvoření některých obrázků na této stránce.
- Jak vyrobit dvanáctistěn z kostky polystyrenu
- Římské dodecahedrons: Tajemné předměty, které byly nalezeny na celém území Římské říše