Jednotný 4-polytop - Uniform 4-polytope

Schlegelův diagram pro zkrácený 120 buněk s čtyřboká buňky viditelné

Ortografická projekce zkrácené 120 buněk v H₃ Coxeterovo letadlo (D.₁₀ symetrie). Kresleny jsou pouze vrcholy a hrany.

v geometrie, a jednotný 4-mnohostěn (nebo jednotný polychoron)^[1] je 4-dimenzionální polytop který je vrchol-tranzitivní a jejichž buňky jsou jednotná mnohostěna a tváře jsou pravidelné mnohoúhelníky.

Bylo popsáno 47 neprismatických konvexních uniformních 4-polytopů, jedna konečná množina konvexních hranolových forem a dvě nekonečné množiny konvexních hranolových forem. Existuje také neznámý počet nekonvexních hvězdných forem.

Historie objevů

Konvexní Pravidelné polytopy:
- 1852: Ludwig Schläfli prokázal ve svém rukopisu Theorie der vielfachen Kontinuität že ve 4 je přesně 6 běžných polytopů rozměry a pouze 3 v 5 nebo více rozměrech.
Pravidelná hvězda 4-polytopes (hvězdný mnohostěn buňky a / nebo vrcholové postavy )
- 1852: Ludwig Schläfli také našel 4 z 10 pravidelných hvězdných 4-polytopů, diskontujících 6 s buňkami nebo vrcholovými čísly {⁵/₂,5} a {5,⁵/₂}.
- 1883: Edmund Hess dokončil seznam 10 nekonvexních pravidelných 4-polytopů ve své knize (v němčině) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder [2].
Konvexní semiregular polytopes: (Různé definice před Coxeterem jednotný kategorie)
- 1900: Thorold Gosset vyjmenoval seznam neprismatických semiregulárních konvexních polytopů s pravidelnými buňkami (Platonické pevné látky ) ve své publikaci Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí.^[2]
- 1910: Alicia Boole Stott, ve své publikaci Geometrický dedukce semiregular z pravidelných polytopů a prostorových výplní, rozšířil definici také povolením Archimédův pevný a hranol buňky. Tato konstrukce vyjmenovala 45 semiregulárních 4-polytopů.^[3]
- 1911: Pieter Hendrik Schoute zveřejněno Analytické zpracování polytopů pravidelně odvozené od běžných polytopů, následoval Boole-Stottovy notace, výčet konvexních uniformních polytopů symetrií založenou na 5článková, 8článková /16 buněk, a 24článková.
- 1912: E. L. Elte se publikací samostatně rozšířil na Gossetův seznam Semiregular Polytopes of the Hyperpaces, polytopy s jedním nebo dvěma typy semiregulárních fazet.^[4]
Konvexní jednotné polytopy:
- 1940: Hledání bylo systematicky rozšířeno o H.S.M. Coxeter ve své publikaci Pravidelné a polopravidelné polytopy.
- Konvexní uniformní 4-polytopes:
  - 1965: Kompletní seznam konvexních forem byl nakonec vyjmenován John Horton Conway a Michael Guy, v jejich publikaci Čtyřrozměrné archimédovské polytopy, založená počítačovou analýzou, přidáním pouze jednoho ne-wythoffovského konvexního 4-polytopu, velký antiprism.
  - 1966 Norman Johnson dokončí doktorát disertační práce Teorie jednotných polytopů a voštin pod poradcem Coxeterem dokončuje základní teorii jednotných polytopů pro dimenze 4 a vyšší.
  - 1986 Coxeter publikoval článek Pravidelné a polořadovky Polytopes II který zahrnoval analýzu jedinečnosti potlačit 24 buněk struktura a symetrie anomálního velkého antiprism.
  - 1998^[5]-2000: 4-polytopy byly systematicky pojmenovány Normanem Johnsonem a dány online indexovaným výčtem George Olshevského (používá se jako základ pro tento seznam). Johnson pojmenoval 4-polytopes jako polychora, jako mnohostěn pro 3-polytopes, z řecký kořeny poly ("mnoho") a choros („místnost“ nebo „prostor“).^[6] Názvy uniformní polychory začaly 6 pravidelnými polychorami s předponami založenými na prstencích v Coxeterových diagramech; zkrácení t_0,1, cantellation, t_0,2, runcination t_0,3, s jednoduchými vyzváněcími formami nazývanými opravené a bi, tri-předpony přidané, když byl první prsten na druhém nebo třetím uzlu.^[7]^[8]
  - 2004: Důkaz, že sada Conway-Guy je kompletní, publikoval Marco Möller ve své disertační práci, Vierdimensionale Archimedische Polytope. Möller ve svém seznamu reprodukoval Johnsonův systém pojmenování.^[9]
  - 2008: Symetrie věcí^[10] publikoval John H. Conway a obsahuje první tiskový seznam konvexních uniformních 4-polytopů a vícerozměrných polytopů od skupiny Coxeter group, s obecnými vrchol obrázek diagramy pro každý prsten Coxeterův diagram permutace - urážka, velký antiprism a duoprism - kterou nazval proprismem pro produktové hranoly. Použil svůj vlastní ijk-ambo schéma pojmenování pro indexované prstencové permutace nad rámec zkrácení a bitruncation a všechna Johnsonova jména byla zahrnuta do indexu knihy.
Neregulární uniformní hvězdné 4-polytopy: (podobně jako nekonvexní uniformní mnohostěn )
- 2000-2005: Při společném hledání identifikovali Jonathan Bowers a George Olshevsky do roku 2005 celkem 1845 uniformních 4-polytopů (konvexních a nekonvexních)^[11], s dalšími čtyřmi objevenými v roce 2006, celkem dosud známých 1849.^[12]

Pravidelné 4-polytopes

Pravidelné 4-polytopy jsou podmnožinou jednotných 4-polytopů, které splňují další požadavky. Pravidelné 4-polytopes lze vyjádřit pomocí Schläfliho symbol {p,q,r} mají buňky typu {p,q}, tváře typu {p}, hranové postavy {r}, a vrcholové postavy {q,r}.

Existence běžného 4-polytopu {p,q,r} je omezen existencí regulárního mnohostěnu {p,q} který se stane buňkami a {q,r} který se stává vrchol obrázek.

Existence jako konečný 4-mnohostěn závisí na nerovnosti:^[13]

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {p}} right) sin left ({ frac { pi} {r}} right)> cos left ({ frac { pi} {q}} vpravo).}

16. den běžné 4-polytopes, s vlastností, že všechny buňky, plochy, hrany a vrcholy jsou shodné:

6 pravidelné konvexní 4-polytopy: 5článková {3,3,3}, 8článková {4,3,3}, 16 buněk {3,3,4}, 24článková {3,4,3}, 120 buněk {5,3,3} a 600 buněk {3,3,5}.
10 pravidelná hvězda 4-polytopes: ikosahedrální 120 buněk {3,5,⁵/₂}, malá hvězdicová 120článková {⁵/₂,5,3}, skvělý 120 buněk {5,⁵/₂,5}, velký 120 buněk {5,3,⁵/₂}, skvělý hvězdicový 120 buněk {⁵/₂,3,5}, hvězdicovitá 120článková {⁵/₂,5,⁵/₂}, skvělý velký 120 buněk {5,⁵/₂,3}, skvělá ikosahedrická 120článková {3,⁵/₂,5}, velký 600 buněk {3,3,⁵/₂}, a skvělý hvězdný 120 buněk {⁵/₂,3,3}.

Konvexní uniformní 4-polytopes

Symetrie jednotných 4-polytopů ve čtyřech rozměrech

Ortogonální podskupiny
16 zrcadel B₄ lze rozložit na 2 ortogonální skupiny, 4A₁ a D₄: = (4 zrcadla) = (12 zrcátek)
24 zrcadel F₄ lze rozložit na 2 ortogonální D₄ skupiny: = (12 zrcátek) = (12 zrcátek)
10 zrcadel B₃×A₁ lze rozložit na ortogonální skupiny, 4A₁ a D₃: = (3 + 1 zrcadla) = (6 zrcátek)

Existuje 5 základních zrcadlových symetrií bodová skupina rodiny ve 4-dimenzích: A₄ = , B₄ = , D₄ = , F₄ = , H₄ = .^[7] Existují také 3 hranolové skupiny A₃A₁ = , B₃A₁ = , H₃A₁ = a duoprismatické skupiny: I₂(p) × I₂(q) = . Každá skupina definovaná a Goursat čtyřstěn základní doména ohraničené zrcadlovými rovinami.

Každý reflexní uniformní 4-polytop může být konstruován v jedné nebo více reflexních bodových skupinách ve 4 rozměrech pomocí a Wythoffova konstrukce, představovaný kruhy kolem permutací uzlů v a Coxeterův diagram. Zrcadlo hyperplanes mohou být seskupeny, jak je vidět barevnými uzly, oddělené sudými větvemi. Skupiny symetrie ve tvaru [a, b, a] mají rozšířenou symetrii [[a, b, a]], čímž zdvojnásobují pořadí symetrie. To zahrnuje [3,3,3], [3,4,3] a [p,2,p]. Jednotné polytopy v těchto skupinách se symetrickými kruhy obsahují tuto rozšířenou symetrii.

Pokud jsou všechna zrcadla dané barvy v daném jednotném polytopu neokrouhlá (neaktivní), bude mít nižší konstrukci symetrie odstraněním všech neaktivních zrcadel. Pokud jsou všechny uzly dané barvy vyzváněny (aktivní), an střídání operace může generovat nový 4-polytop s chirální symetrií, zobrazený jako „prázdné“ zakroužkované uzly, ale geometrie je není obecně nastavitelný pro vytvoření jednotných řešení.

Weyl skupina	Conway Čtveřice	Abstraktní struktura	Objednat	Coxeter notace	Komutátor podskupina	Coxeter číslo (h)	Zrcadla m=2h
Neredukovatelné
A₄	+1/60 [I × I] .21	S₅	120	[3,3,3]	[3,3,3]⁺	5		10
D₄	± 1/3 [T × T] .2	1/2.²S₄	192	[3^1,1,1]	[3^1,1,1]⁺	6		12
B₄	± 1/6 [O × O] .2	²S₄ = S₂≀S₄	384	[4,3,3]	[3^1,1,1]⁺	8	4	12
F₄	± 1/2 [O × O] .2₃	3.²S₄	1152	[3,4,3]	[3⁺,4,3⁺]	12	12	12
H₄	± [I × I] .2	2. (A.₅× A₅).2	14400	[5,3,3]	[5,3,3]⁺	30		60
Hranolové skupiny
A₃A₁	+1/24 [O × O] .2₃	S₄× D₁	48	[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3]⁺	-		6	1
B₃A₁	± 1/24 [O × O] .2	S₄× D₁	96	[4,3,2] = [4,3]×[ ]	[3,3]⁺	-	3	6	1
H₃A₁	± 1/60 [I × I] .2	A₅× D₁	240	[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3]⁺	-		15	1
Duoprismatic groups (Use 2p, 2q for even integers)
Já₂(p) Já₂(q)	± 1/2 [D_2p× D_2q]	D_p× D_q	4pq	[p,2,q] = [p]×[q]	[p⁺,2,q⁺]	-		p	q
Já₂(2 s) Já₂(q)	± 1/2 [D_4p× D_2q]	D_2p× D_q	8pq	[2p,2,q] = [2p]×[q]		-	p	p	q
Já₂(2 s) Já₂(2q)	± 1/2 [D_4p× D_4q]	D_{2 s}× D_2q	16pq	[2p,2,2q] = [2p]×[2q]		-	p	p	q	q

Výčet

Existuje 64 konvexních uniformních 4-polytopů, včetně 6 pravidelných konvexních 4-polytopů, s výjimkou nekonečných sad duoprismy a antiprismatické hranoly.

5 jsou mnohostěnné hranoly založené na Platonické pevné látky (1 se překrývá s regulárním, protože kubický hyperprism je a tesseract )
13 jsou mnohostěnné hranoly založené na Archimédovy pevné látky
9 jsou v self-dual pravidelné A₄ [3,3,3] skupina (5článková ) rodina.
9 jsou v self-dual pravidelné F₄ [3,4,3] skupina (24článková ) rodina. (S výjimkou snub 24-cell)
15 je v regulérní B₄ [3,3,4] skupina (tesseract /16 buněk ) rodina (3 překrytí s 24článkovou rodinou)
15 jsou v pravidelném H₄ [3,3,5] skupina (120 buněk /600 buněk ) rodina.
1 speciální forma tlumení ve skupině [3,4,3] (24článková ) rodina.
1 speciální ne-wythoffovský 4-polytop, velký antiprism.
CELKEM: 68 - 4 = 64

Těchto 64 uniformních 4-polytopů indexuje níže George Olshevsky. Opakované tvary symetrie jsou indexovány v závorkách.

Kromě 64 výše, existují 2 nekonečné hranolové sady, které generují všechny zbývající konvexní formy:

Množina jednotné antiprismatické hranoly - sr {p, 2} × {} - Mnohostěnné hranoly dvou antiprismy.
Sada uniformy duoprismy - {p}×{q} - A kartézský součin ze dvou polygonů.

A₄ rodina

5článková má diploidní pentachorikum [3,3,3] symetrie,^[7] z objednat 120, izomorfní s permutacemi pěti prvků, protože všechny dvojice vrcholů jsou příbuzné stejným způsobem.

Fazety (buňky) jsou uvedeny, seskupené do jejich umístění Coxeterova diagramu odstraněním určených uzlů.

[3,3,3] jednotné polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění				Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (5)	Poz. 2 (10)	Poz. 1 (10)	Poz. 0 (5)	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
1	5článková pentachoron^[7]		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	rektifikovaný 5článkový		r {3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	zkrácená 5článková		t {3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	cantellated 5-cell		rr {3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	cantitruncated 5-cell		tr {3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	runcitruncated 5-cell		t_0,1,3{3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] jednotné polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění			Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3-0 (10)	Poz. 1-2 (20)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
5	*runcinated 5-cell		t_0,3{3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	*bitruncated 5 buněk dekachoron		2t {3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	*omnitruncated 5-cell		t_0,1,2,3{3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
Nejednotný	omnisnub 5 buněk^[14]		ht_0,1,2,3{3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Tři jednotné formy 4-polytopů označené značkou hvězdička, *, mít vyšší rozšířená pentachorická symetrie, řádu 240, [[3,3,3]], protože prvek odpovídající kterémukoli prvku podkladové 5článku lze vyměnit za jeden z prvků odpovídajících prvku jeho duální. Existuje jedna malá podskupina indexů [3,3,3]⁺, objednávka 60 nebo její zdvojnásobení [[3,3,3]]⁺, objednávka 120, definující an omnisnub 5 buněk který je uveden pro úplnost, ale není jednotný.

B₄ rodina

Tato rodina má diploidní hexadekachorický symetrie,^[7] [4,3,3], z objednat 24 × 16 = 384: 4! = 24 permutací čtyř os, 2⁴= 16 pro odraz v každé ose. Existují 3 malé podskupiny indexů, přičemž první dva generují jednotné 4-polytopy, které se také opakují v jiných rodinách, [1⁺,4,3,3], [4,(3,3)⁺] a [4,3,3]⁺, vše objednat 192.

Tesseract zkrácení

#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
10	tesseract nebo 8článková		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Opravený tesseract		r {4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Zkrácený tesseract		t {4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Kanylovaný tesseract		rr {4,3,3}	(1) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Runcinovaný tesseract (taky runcinated 16-cell)		t_0,3{4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Bitruncated tesseract (taky bitruncated 16 buněk)		2t {4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Cantitruncated tesseract		tr {4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Runcitruncated tesseract		t_0,1,3{4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Všesměrový tesseract (taky omnitruncated 16-cell)		t_0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

Související poloviční tesseract, [1⁺, 4,3,3] uniformní 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
12	Poloviční tesseract Demitesseract 16 buněk		= h {4,3,3} = {3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Kantický tesseract (Nebo zkrácený 16 buněk )		= h₂{4,3,3} = t {4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Runový tesseract (Nebo opravený tesseract )		= h₃{4,3,3} = r {4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Runcicantický tesseract (Nebo bitruncated tesseract )		= h_2,3{4,3,3} = 2 t {4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	(opravený tesseract )		= h₁{4,3,3} = r {4,3,3}						24	88	96	32
[16]	(bitruncated tesseract )		= h_1,2{4,3,3} = 2 t {4,3,3}						24	120	192	96
[23]	(rektifikovaná 24článková )		= h_1,3{4,3,3} = rr {3,3,4}						48	240	288	96
[24]	(zkrácený 24 buněk )		= h_1,2,3{4,3,3} = tr {3,3,4}						48	240	384	192

#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
Nejednotný	omnisnub tesseract^[15] (Nebo omnisnub 16 buněk)		ht_0,1,2,3{4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

16článkové zkrácení

#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
[12]	16 buněk, hexadekachoron^[7]		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	* opravený 16článkový (Stejný jako 24článková )		= r {3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	zkrácený 16 buněk		t {3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	* cantellated 16-cell (Stejný jako rektifikovaná 24článková )		= rr {3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	runcinated 16-cell (taky runcinated 8-cell)		t_0,3{3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	bitruncated 16 buněk (taky bitruncated 8 buněk)		2t {3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	* cantitruncated 16-cell (Stejný jako zkrácený 24 buněk )		= tr {3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	runcitruncated 16 buněk		t_0,1,3{3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	omnitruncated 16-cell (taky omnitruncated 8-cell)		t_0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	střídaný cantitruncated 16-cell (Stejné jako potlačit 24 buněk )		sr {3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Nejednotný	Runcic snub rektifikovaný 16článkový		sr₃{3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Stejně jako oprava čtyřstěn vyrábí osmistěn, opravou 16 buněk se získá 24 buněk, řádný člen následující rodiny.

The potlačit 24 buněk se opakuje pro tuto rodinu pro úplnost. Jedná se o střídání cantitruncated 16-cell nebo zkrácený 24 buněk, se skupinou poloviční symetrie [(3,3)⁺, 4]. Zkrácené oktaedrické buňky se stávají dvacetistěnou. Z kostek se stává čtyřstěn a v mezerách se z odstraněných vrcholů vytvoří 96 nových čtyřstěnů.

F₄ rodina

Tato rodina má diploidní ikositetrachorická symetrie,^[7] [3,4,3], z objednat 24 × 48 = 1152: 48 symetrií osmistěnu pro každou z 24 buněk. Existují 3 malé podskupiny indexů, přičemž první dva izomorfní páry vytvářejí jednotné 4-polytopy, které se také opakují v jiných rodinách, [3⁺,4,3], [3,4,3⁺] a [3,4,3]⁺, vše objednat 576.

[3,4,3] uniformní 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění				Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
22	24článková, icositetrachoron^[7] (Stejný jako rektifikovaný 16článkový)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	rektifikovaná 24článková (Stejný jako kanylovaný 16 buněk)		r {3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	zkrácený 24 buněk (Stejný jako cantitruncated 16-cell)		t {3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	kanylovaný 24 buněk		rr {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	cantitruncated 24-cell		tr {3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	runcitruncated 24 buněk		t_0,1,3{3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3⁺, 4,3] uniformní 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
31	†potlačit 24 buněk		s {3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Nejednotný	runcic snub 24 buněk		s₃{3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Tricup	240	960	1008	288
[25]	cantic snub 24-cell (Stejný jako kanylovaný 24 buněk )		s₂{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	runcicantic snub 24-cell (Stejný jako runcitruncated 24 buněk )		s_2,3{3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) Tlumená 24článka zde, navzdory svému obecnému názvu, není analogická s urážka kostka; spíše je odvozen pomocí střídání zkráceného 24článku. Své číslo symetrie je pouze 576, ( iontová snížená ikositetrachorická skupina, [3⁺,4,3]).

Stejně jako 5článková je 24článková duální, takže následující tři formy mají dvakrát tolik symetrií, čímž se jejich součet zvyšuje na 2304 (rozšířená ikositetrachorická symetrie [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] uniformní 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění			Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
26	runcinated 24-cell		t_0,3{3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	bitruncated 24 buněk tetracontoctachoron		2t {3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	omnitruncated 24-cell		t_0,1,2,3{3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]]⁺ izogonální 4-polytop
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění			Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
Nejednotný	omnisnub 24 buněk^[16]		ht_0,1,2,3{3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

H₄ rodina

Tato rodina má diploidní hexakosichoričitý symetrie,^[7] [5,3,3], z objednat 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 pro každý ze 120 dodekahedrů nebo 24 pro každý ze 600 čtyřstěnů. Existuje jedna malá podskupina indexů [5,3,3]⁺, vše objednat 7200.

120článkové zkrácení

#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Alt	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
32	120 buněk (hecatonicosachoron nebo dodecacontachoron)^[7]		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	rektifikovaný 120 buněk		r {5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	zkrácený 120 buněk		t {5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	kanylovaný 120 buněk		rr {5,3,3}	(1) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	runcinated 120-cell (taky runcinated 600-cell)		t_0,3{5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	bitruncated 120 buněk (taky bitruncated 600 buněk)		2t {5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	cantitruncated 120-cell		tr {5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	runcitruncated 120-cell		t_0,1,3{5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	omnitruncated 120-cell (taky omnitruncated 600-cell)		t_0,1,2,3{5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
Nejednotný	omnisnub 120 buněk^[17] (Stejné jako omnisnub 600 buněk)		ht_0,1,2,3{5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

600-buněčné zkrácení

#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Symetrie	Počet buněk podle umístění				Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Symetrie	Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
35	600 buněk, hexakosichoron^[7]		{3,3,5}	[5,3,3] objednat 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20-zmenšený 600 buněk (velký antiprism )		Nonwythoffian konstrukce	[[10,2⁺,10]] objednávka 400 Rejstřík 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24 zmenšených 600 buněk (potlačit 24 buněk )		Nonwythoffian konstrukce	[3⁺,4,3] objednat 576 index 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
Nejednotný	bi-24 zmenšený 600 buněk		Nonwythoffian konstrukce	objednávka 144 index 100	(6) tdi				48	192	216	72
34	opraveno 600 buněk		r {3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
Nejednotný	120 zmenšených opravených 600 buněk		Nonwythoffian konstrukce	objednat 1200 index 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41	zkrácený 600 buněk		t {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	kanylovaný 600 buněk		rr {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	runcinated 600-cell (taky runcinated 120-cell)		t_0,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	bitruncated 600 buněk (taky bitruncated 120 buněk)		2t {3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	cantitruncated 600-cell		tr {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	runcitruncated 600-cell		t_0,1,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	omnitruncated 600-cell (taky omnitruncated 120-cell)		t_0,1,2,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

D₄ rodina

Tento rodina demitesseract, [3^1,1,1], nepředstavuje žádné nové jednotné 4-polytopy, ale je vhodné opakovat tyto alternativní konstrukce. Tato rodina má objednat 12 × 16 = 192: 4! / 2 = 12 permutací čtyř os, poloviční střídání, 2⁴= 16 pro odraz v každé ose. Existuje jedna malá podskupina indexů, která generuje jednotné 4-polytopy, [3^1,1,1]⁺, objednávka 96.

[3^1,1,1] jednotné 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram = =	Počet buněk podle umístění					Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram = =	Poz. 0 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (8)	Poz. 3 (8)	Poz. Alt (96)	3	2	1	0
[12]	demitesseract napůl tesseract (Stejný jako 16 buněk )		= h {4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	cantic tesseract (Stejný jako zkrácený 16 buněk )		= h₂{4,3,3}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	runový tesseract (Stejný jako opravený tesseract )		= h₃{4,3,3}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	runcicantický tesseract (Stejný jako bitruncated tesseract )		= h_2,3{4,3,3}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

Když jsou 3 rozvětvené větvové uzly shodně vyzváněny, symetrii lze zvýšit o 6, protože [3 [3^1,1,1]] = [3,4,3], a tak se tyto polytopy opakují z 24článková rodina.

[3[3^1,1,1]] jednotné 4-polytopy
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram = =	Počet buněk podle umístění			Počty prvků
#	název	Vrchol postava	Coxeterův diagram = =	Poz. 0,1,3 (24)	Poz. 2 (24)	Poz. Alt (96)	3	2	1	0
[22]	rektifikovaný 16článkový) (Stejný jako 24článková )		= = = {3^1,1,1} = r {3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	kanylovaný 16 buněk (Stejný jako rektifikovaná 24článková )		= = = r {3^1,1,1} = rr {3,3,4} = r {3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	cantitruncated 16-cell (Stejný jako zkrácený 24 buněk )		= = = t {3^1,1,1} = tr {3,3,4} = t {3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	potlačit 24 buněk		= = = s {3^1,1,1} = sr {3,3,4} = s {3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

Tady opět potlačit 24 buněk, se skupinou symetrie [3^1,1,1]⁺ tentokrát představuje střídané zkrácení zkrácené 24 buňky, které vytváří 96 nových čtyřstěnů v poloze odstraněných vrcholů. Na rozdíl od svého vzhledu v dřívějších skupinách jako částečně uraženého 4-polytopu má pouze v rámci této skupiny symetrie úplnou analogii ke Keplerovým urážkám urážka kostka a urážet dvanáctistěn.

Velký antiprism

Existuje jeden neythoffovský uniformní konvexní 4-polytop, známý jako velký antiprism, skládající se z 20 pětiúhelníkové antiprismy tvoří dva kolmé kroužky spojené 300 čtyřstěn. Je to volně analogické s trojrozměrným antiprismy, které se skládají ze dvou paralelních mnohoúhelníky připojila se skupina trojúhelníky. Na rozdíl od nich však velký antiprism není členem nekonečné rodiny uniformních polytopů.

Jeho symetrie je iontově zmenšená skupina Coxeter, [[10,2⁺, 10]], objednávka 400.

#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu		Počty prvků				Síť
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu		Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy	Síť
47	velký antiprism			Žádný symbol	300 (3.3.3 )	20 (3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Prizmatické jednotné 4-polytopy

Hranolový mnohostěn je a kartézský součin dvou polytopů nižší dimenze; známé příklady jsou trojrozměrné hranoly, což jsou produkty a polygon a a úsečka. Prizmatické jednotné 4-polypy se skládají ze dvou nekonečných rodin:

Mnohostěnné hranoly: produkty úsečkového segmentu a jednotného mnohostěnu. Tato rodina je nekonečná, protože zahrnuje hranoly postavené na trojrozměrných hranolech a antiprismy.
Duoprismy: produkty dvou polygonů.

Konvexní mnohostěnné hranoly

Nejviditelnější rodinou prizmatických 4-polytopů je mnohostěnné hranoly, tj. produkty mnohostěnu s a úsečka. Buňky takových 4-polytopů jsou dva stejné uniformní mnohostěny ležící paralelně hyperplanes (dále jen základna buňky) a vrstvu hranolů, které je spojují ( postranní buňky). Tato rodina zahrnuje hranoly pro 75 neprismatických jednotná mnohostěna (z toho 18 konvexních; jeden z nich, krychlový hranol, je uveden výše jako tesseract).^{[Citace je zapotřebí ]}

Existují 18 konvexních mnohostěnných hranolů vytvořeno od 5 Platonické pevné látky a 13 Archimédovy pevné látky stejně jako pro nekonečné rodiny trojrozměrných rodin hranoly a antiprismy.^{[Citace je zapotřebí ]} Číslo symetrie mnohostěnného hranolu je dvakrát větší než u základního mnohostěnu.

Čtyřboké hranoly: A₃ × A₁

Tento prizmatická čtyřboká symetrie je [3,3,2], pořadí 48. Existují dvě podskupiny indexu 2, [(3,3)⁺, 2] a [3,3,2]⁺, ale druhý negeneruje jednotný 4-mnohostěn.

[3,3,2] uniformní 4-polytopy
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu			Počty prvků				Síť
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu			Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy	Síť
48	Čtyřboký hranol			{3,3}×{ } t_0,3{3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	Zkrácený čtyřboký hranol			t {3,3} × {} t_0,1,3{3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3], 2] uniformní 4-polytopy
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu			Počty prvků				Síť
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu			Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy	Síť
[51]	Rektifikovaný čtyřboký hranol (Stejný jako oktaedrický hranol )			r {3,3} × {} t_1,3{3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	Kanylovaný čtyřboký hranol (Stejný jako cuboctahedral hranol )			rr {3,3} × {} t_0,2,3{3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	Cantitruncated čtyřboký hranol (Stejný jako zkrácený oktaedrický hranol )			tr {3,3} × {} t_0,1,2,3{3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Tlumit čtyřboký hranol (Stejný jako icosahedral hranol )			sr {3,3} × {}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
Nejednotný	omnisnub čtyřboký antiprism			${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} 3 3 2 end {pole}} doprava }}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3	40	16+96 {3}	96	24

Oktaedrické hranoly: B₃ × A₁

Tento hranolová oktaedrická rodinná symetrie je [4,3,2], řád 96. Existuje 6 podskupin indexu 2, řád 48, které jsou vyjádřeny v alternativních 4-polytopech níže. Symetrie jsou [(4,3)⁺,2], [1⁺,4,3,2], [4,3,2⁺], [4,3⁺,2], [4,(3,2)⁺] a [4,3,2]⁺.

#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu				Počty prvků				Síť
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu				Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy	Síť
[10]	Kubický hranol (Stejný jako tesseract ) (Stejný jako 4-4 duoprism)			{4,3}×{ } t_0,3{4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	Cuboctahedral hranol (Stejný jako kanylovaný čtyřboký hranol)			r {4,3} × {} t_1,3{4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	Oktaedrický hranol (Stejný jako usměrněný čtyřboký hranol) (Stejný jako trojúhelníkový antiprismatický hranol)			{3,4}×{ } t_2,3{4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	Rhombicuboctahedral hranol			rr {4,3} × {} t_0,2,3{4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
53	Zkrácený kubický hranol			t {4,3} × {} t_0,1,3{4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	Zkrácený oktaedrický hranol (Stejný jako cantitruncated čtyřboký hranol)			t {3,4} × {} t_1,2,3{4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	Zkrácený hranol			tr {4,3} × {} t_0,1,2,3{4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	Utlumit kubický hranol			sr {4,3} × {}	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	Čtyřboký hranol			h {4,3} × {}	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	Zkrácený čtyřboký hranol			h₂{4,3}×{ }	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	Cuboctahedral hranol			rr {3,3} × {}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	Rhombicuboctahedral hranol			s₂{3,4}×{ }	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	Zkrácený oktaedrický hranol			tr {3,3} × {}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Ikosahedrický hranol			s {3,4} × {}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16 buněk			s {2,4,3}	2+6+8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
Nejednotný	Omnisnub čtyřboký antiprism			sr {2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3		40	16+96 {3}	96	24
Nejednotný	Omnisnub kubický antiprism			${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} 4 3 2 end {pole}} doprava }}$	2 3.3.3.3.4	12+48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16+192 {3} 12 {4}	192	48
Nejednotný	Runcic snub kubický hosochoron			s₃{2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	8 trojúhelníková kopule		16	52	60	24

Ikosahedrální hranoly: H₃ × A₁

Tento prizmatická dvacetistěnová symetrie je [5,3,2], objednávka 240. Existují dvě podskupiny indexu 2, [(5,3)⁺, 2] a [5,3,2]⁺, ale druhá negeneruje jednotný polychoron.

#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu				Počty prvků				Síť
#	název	Obrázek	Vrchol postava	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Buňky podle typu				Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy	Síť
57	Dodecahedral hranol			{5,3}×{ } t_0,3{5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	Icosidodecahedral hranol			r {5,3} × {} t_1,3{5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	Ikosahedrický hranol (stejný jako urážka čtyřboký hranol)			{3,5}×{ } t_2,3{5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	Zkrácený dodekahedrální hranol			t {5,3} × {} t_0,1,3{5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	Rhombicosidodecahedral hranol			rr {5,3} × {} t_0,2,3{5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	Zkrácený ikosaedrický hranol			t {3,5} × {} t_1,2,3{5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	Zkrácený icosidodecahedral hranol			tr {5,3} × {} t_0,1,2,3{5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	Snub dodecahedral hranol			sr {5,3} × {}	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
Nejednotný	Omnisnub dodekahedrální antiprism			${ displaystyle s left {{ begin {pole} {l} 5 3 2 konec {pole}} doprava }}$	2 3.3.3.3.5	30+120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20+240 {3} 24 {5}	220	120

Duoprismy: [p] × [q]

Nejjednodušší z duoprismů, 3,3-duoprism, in Schlegelův diagram, jeden ze 6 trojúhelníkový hranol zobrazené buňky.

Druhým je nekonečná rodina jednotné duoprismy, produkty dvou pravidelné mnohoúhelníky. Duoprism Coxeter-Dynkinův diagram je . Své vrchol obrázek je disphenoid tetrahedron, .

Tato rodina se překrývá s prvním: když je jedním ze dvou „faktorových“ polygonů čtverec, je produkt ekvivalentní hyperprismu, jehož základem je trojrozměrný hranol. Symetrické číslo duoprism, jehož faktory jsou a p-gon a a q-gon (a „p, q-duoprism ") je 4pq -li p≠q; pokud jsou faktory oba p-gons, číslo symetrie je 8p². Tesseract lze také považovat za 4,4-duoprism.

Prvky a p, q- duoprism (p ≥ 3, q ≥ 3) jsou:

Buňky: p q-gonal hranoly, q p-gonal hranoly
Tváře: pq čtverce, p q-gons, q p-gons
Hrany: 2pq
Vrcholy: pq

Neexistuje jednotný analog ve čtyřech rozměrech s nekonečnou rodinou trojrozměrných antiprismy.

Nekonečná sada p-q duoprism - - p q-gonal hranoly, q p-gonal hranoly:

název	Coxeterův graf	Buňky	snímky	Síť
3-3 duoprism		3 + 3 trojúhelníkové hranoly
3-4 duoprism		3 kostky 4 trojúhelníkové hranoly
4-4 duoprism (stejné jako tesseract)		4 + 4 kostky
3-5 duoprism		3 pětiúhelníkové hranoly 5 trojúhelníkových hranolů
4-5 duoprism		4 pětiúhelníkové hranoly 5 kostek
5-5 duoprism		5 + 5 pětiúhelníkové hranoly
3-6 duoprism		3 šestihranné hranoly 6 trojúhelníkových hranolů
4-6 duoprism		4 šestihranné hranoly 6 kostek
5-6 duoprism		5 šestihranných hranolů 6 pětiúhelníkové hranoly
6-6 duoprism		6 + 6 šestihranných hranolů

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Polygonální hranolové hranoly: [p] × [] × []

Nekonečná množina jednotných hranolových hranolů se překrývá s 4p duoprismy: (p≥3) - - p kostky a 4 p-gonal hranoly - (Všechny jsou stejné jako 4-p duoprism) Druhý mnohoúhelník v řadě je nižší symetrie regulárního tesseract, {4}×{4}.

Konvexní p-gonal hranolové hranoly
název	{3}×{4}	{4}×{4}	{5}×{4}	{6}×{4}	{7}×{4}	{8}×{4}	{p} × {4}
Coxeter diagramy
obraz
Buňky	3 {4}×{} 4 {3}×{}	4 {4}×{} 4 {4}×{}	5 {4}×{} 4 {5}×{}	6 {4}×{} 4 {6}×{}	7 {4}×{} 4 {7}×{}	8 {4}×{} 4 {8}×{}	p {4}×{} 4 {p} × {}
Síť

Polygonální antiprismatické hranoly: [p] × [] × []

Nekonečné sady jednotné antiprismatické hranoly jsou konstruovány ze dvou paralelních uniforem antiprismy ): (p≥2) - - 2 p-gonal antiprisms, connected by 2 p-gonal hranoly a 2 s trojúhelníkové hranoly.

Konvexní p-gonal antiprismatic hranoly
název	s {2,2} × {}	s {2,3} × {}	s {2,4} × {}	s {2,5} × {}	s {2,6} × {}	s {2,7} × {}	s {2,8} × {}	s {2, p} × {}
Coxeter diagram
obraz
Vrchol postava
Buňky	2 s {2,2} (2) {2}×{}={4} 4 {3}×{}	2 s {2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}	2 s {2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}	2 s {2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}	2 s {2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}	2 s {2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}	2 s {2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}	2 s {2, p} 2 {p} × {} 2p {3}×{}
Síť

A p-gonal antiprismatic hranol má 4p trojúhelník, 4p náměstí a 4 tváře p-gon. Má to 10p hrany a 4p vrcholy.

Nestejnoměrné alternace

Jako trojrozměrný urážka kostka,

, an střídání odstraní polovinu vrcholů ve dvou chirálních sadách vrcholů z prstencovité formy

, nicméně jednotný řešení vyžaduje, aby byly polohy vrcholů upraveny na stejné délky. Ve čtyřech rozměrech je tato úprava možná pouze pro 2 střídané číslice, zatímco zbytek existuje pouze jako nerovnostranné střídané číslice.

Coxeter ukázal pouze dvě uniformní řešení pro skupiny Coxeter 4. stupně se všemi kruhy střídal (zobrazeno s prázdnými uzly kruhu). První je , s {2^1,1,1} což představovalo podskupinu indexu 24 (symetrie [2,2,2]⁺, objednávka 8) forma demitesseract, , h {4,3,3} (symetrie [1⁺,4,3,3] = [3^1,1,1], objednávka 192). Druhý je , s {3^1,1,1}, což je podskupina indexu 6 (symetrie [3^1,1,1]⁺, objednávka 96) forma potlačit 24 buněk, , s {3,4,3}, (symetrie [3⁺4,3], pořadí 576).

Další alternace, jako např , jako alternace z všesměrový tesseract , nelze provést jednotně, protože řešení pro stejné délky hran je obecně předurčeno (existuje šest rovnic, ale pouze čtyři proměnné). Takové nestejnoměrné střídané postavy lze konstruovat jako vrchol-tranzitivní 4-polytopes odstraněním jedné ze dvou polovičních sad vrcholů celého prstencovitého obrázku, ale budou mít nerovnou délku okraje. Stejně jako uniformní alternace budou mít polovinu symetrie uniformní postavy, jako [4,3,3]⁺, řád 192, je symetrie alternativní všesměrový tesseract.^[18]

Wythoffovy konstrukce se střídáním produkují vrchol-tranzitivní čísla, která mohou být rovnostranná, ale ne jednotná, protože střídané mezery (kolem odstraněných vrcholů) vytvářejí buňky, které nejsou pravidelné nebo semiregulární. Navrhovaný název těchto čísel je skaliformní polytopy.^[19] Tato kategorie umožňuje podmnožinu Johnson pevné látky například jako buňky trojúhelníková kopule.

Každý konfigurace vrcholů uvnitř Johnsonova tělesa musí existovat uvnitř vrcholné figury. Například čtvercový pramid má dvě konfigurace vrcholů: 3.3.4 kolem základny a 3.3.3.3 na vrcholu.

Níže jsou uvedeny sítě a postavy vrcholů dvou konvexních případů spolu se seznamem buněk kolem každého vrcholu.

Dva konvexní vertex-tranzitivní 4-polytopy s nejednotnými buňkami
Coxeter diagram	s₃{2,4,3},	s₃{3,4,3},
Vztah	24 z 48 vrcholů kosočtverečný hranol	288 z 576 vrcholů runcitruncated 24 buněk
Síť	runový kubický hosochoron^[20]^[21]	runcic snub 24 buněk^[22]^[23]
Buňky
Vrchol postava	(1) 3.4.3.4: trojúhelníková kopule (2) 3.4.6: trojúhelníková kupole (1) 3.3.3: čtyřstěn (1) 3.6.6: zkrácený čtyřstěn	(1) 3.4.3.4: trojúhelníková kupole (2) 3.4.6: trojúhelníková kupole (2) 3.4.4: trojúhelníkový hranol (1) 3.6.6: zkrácený čtyřstěn (1) 3.3.3.3.3: dvacetistěnu

Geometrické derivace pro 46 neprismatických wythoffovských uniformních polychor

Mezi 46 Wythoffian 4-polytopes patří šest konvexní pravidelné 4-polytopy. Dalších čtyřicet lze odvodit z běžné polychory geometrickými operacemi, které zachovávají většinu nebo všechny symetrie, a proto je může klasifikovat skupiny symetrie které mají společné.

Souhrnný graf operací zkrácení	Příklad umístění bodu kaleidoskopického generátoru na základní doméně.

Geometrické operace, které odvozují 40 uniformních 4-polytopů z běžných 4-polytopů, jsou zkrácení operace. 4-mnohostěn může být zkrácen na vrcholech, okrajích nebo plochách, což vede k přidání buněk odpovídajících těmto prvkům, jak je znázorněno ve sloupcích tabulek níže.

The Coxeter-Dynkinův diagram ukazuje čtyři zrcadla wythoffovského kaleidoskopu jako uzly a hrany mezi uzly jsou označeny celým číslem ukazujícím úhel mezi zrcadly (π /n radiány nebo 180 /n stupňů). Uzly v kroužku ukazují, která zrcadla jsou aktivní pro každý formulář; zrcadlo je aktivní s ohledem na vrchol, který na něm neleží.

Úkon	Schläfliho symbol	Symetrie	Popis
Rodič	t₀{p, q, r}	[p, q, r]	Původní regulární forma {p, q, r}
Oprava	t₁{p, q, r}		Zkrátí se operace, dokud se původní hrany nezdegenerují na body.
Směrování (Rektifikovaný duální)	t₂{p, q, r}		Tvář je plně zkrácena na body. Stejné jako usměrněné duální.
Trirektifikace (dvojí )	t₃{p, q, r}		Buňky jsou zkráceny na body. Pravidelný duální {r, q, p}
Zkrácení	t_0,1{p, q, r}		Každý vrchol je oříznut tak, aby zůstal střed každého původního okraje. Tam, kde byl vrchol, se objeví nová buňka, nadřazená vrchol obrázek. Každá původní buňka je také zkrácena.
Bitruncation	t_1,2{p, q, r}		Zkrácení mezi opravenou formou a dvojitou opravenou formou.
Tritruncation	t_2,3{p, q, r}		Zkrácený duální {r, q, p}.
Kanylace	t_0,2{p, q, r}		Zkrácení aplikované na hrany a vrcholy a definuje postup mezi pravidelnou a dvojitou rektifikovanou formou.
Bicantellation	t_1,3{p, q, r}		Cantellated dual {r, q, p}.
Runcination (nebo expanze )	t_0,3{p, q, r}		Zkrácení aplikované na buňky, tváře a hrany; definuje postup mezi regulární formou a duálem.
Cantitruncation	t_0,1,2{p, q, r}		Oba cantellation a zkrácení operace aplikovány společně.
Bicantitruncation	t_1,2,3{p, q, r}		Cantitruncated dual {r, q, p}.
Runcitruncation	t_0,1,3{p, q, r}		Oba runcination a zkrácení operace aplikovány společně.
Runcicantellation	t_0,1,3{p, q, r}		Runcitruncated dual {r, q, p}.
Omnitruncation (runcicantitruncation)	t_0,1,2,3{p, q, r}		Aplikace všech tří operátorů.
Polovina	h {2p, 3, q}	[1⁺, 2p, 3, q] = [(3, p, 3), q]	Střídání z , stejný jako
Kantický	h₂{2p, 3, q}		Stejný jako
Runcic	h₃{2p, 3, q}		Stejný jako
Runcicantic	h_2,3{2p, 3, q}		Stejný jako
Čtvrťák	q {2p, 3,2q}	[1⁺, 2p, 3,2q, 1⁺]	Stejný jako
Snub	s {p, 2q, r}	[str⁺, 2q, r]	Střídané zkrácení
Kantický útlum	s₂{p, 2q, r}		Kanálově střídané zkrácení
Runcic urážka	s₃{p, 2q, r}		Runcinated alternativní zkrácení
Runcicantic urážka	s_2,3{p, 2q, r}		Runcicantellated alternativní zkrácení
Snub opravil	sr {p, q, 2r}	[(p, q)⁺, 2r]	Střídaná zkrácená náprava
	ht_0,3{2p, q, 2r}	[(2p, q, 2r, 2⁺)]	Alternativní runcination
Bisnub	2 s {2p, q, 2r}	[2p, q⁺, 2r]	Alternativní bitruncation
Omnisnub	ht_0,1,2,3{p, q, r}	[p, q, r]⁺	Alternativní omnitruncation

Viz také konvexní jednotné voštiny, z nichž některé ilustrují tyto operace aplikované na regulární kubický plástev.

Pokud jsou dva polytopy duální navzájem (například tesseract a 16 buněk nebo 120 buněk a 600 buněk) bitruncating, runcinating nebo omnitruncating buď vytvoří stejný údaj jako stejná operace pro druhou. Pokud se tedy v tabulce objeví pouze příčestí, mělo by to být chápáno tak, že platí pro kteréhokoli z rodičů.

Souhrn konstrukcí podle rozšířené symetrie

46 uniformních polychor zkonstruovaných z A₄, B₄, F₄, H₄ symetrie jsou v této tabulce dány jejich plnou rozšířenou symetrií a Coxeterovými diagramy. Alternativy jsou seskupeny podle jejich chirální symetrie. Jsou uvedeny všechny alternace, ačkoli potlačit 24 buněk, se svými 3 rodinami konstrukcí je jediná, která je jednotná. Počty v závorkách jsou buď opakování, nebo nejednotné. Coxeterovy diagramy jsou uvedeny s indexy dolního indexu 1 až 46. Zahrnuta je duoprismatická rodina 3-3 a 4-4, druhá pro její vztah k B₄ rodina.

Skupina coxeterů	Rozšířené symetrie	Polychora		Chirál prodloužena symetrie	Střídavé voštiny
[3,3,3]	[3,3,3] (objednávka 120)	6	₍₁₎ \| ₍₂₎ \| ₍₃₎ ₍₄₎ \| ₍₇₎ \| ₍₈₎
[3,3,3]	[2⁺[3,3,3]] (objednávka 240)	3	₍₅₎\| ₍₆₎ \| ₍₉₎	[2⁺[3,3,3]]⁺ (objednávka 120)	(1)	₍₋₎
[3,3^1,1]	[3,3^1,1] (objednávka 192)	0	(žádný)
	[1[3,3^1,1]]=[4,3,3] = (objednávka 384)	(4)	₍₁₂₎ \| ₍₁₇₎ \| ₍₁₁₎ \| ₍₁₆₎
	[3[3^1,1,1]]=[3,4,3] = (objednávka 1152)	(3)	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎	[3[3,3^1,1]]⁺ =[3,4,3]⁺ (objednávka 576)	(1)	₍₃₁₎ (= ) ₍₋₎
[4,3,3]	[3[1⁺,4,3,3]]=[3,4,3] = (objednávka 1152)	(3)	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎
	[4,3,3] (objednávka 384)	12	₍₁₀₎ \| ₍₁₁₎ \| ₍₁₂₎ \| ₍₁₃₎ \| ₍₁₄₎ ₍₁₅₎ \| ₍₁₆₎ \| ₍₁₇₎ \| ₍₁₈₎ \| ₍₁₉₎ ₍₂₀₎ \| ₍₂₁₎	[1⁺,4,3,3]⁺ (objednávka 96)	(2)	₍₁₂₎ (= ) ₍₃₁₎ ₍₋₎
	[4,3,3] (objednávka 384)	12		[4,3,3]⁺ (objednávka 192)	(1)	₍₋₎
[3,4,3]	[3,4,3] (objednávka 1152)	6	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎ ₍₂₅₎ \| ₍₂₈₎ \| ₍₂₉₎	[2⁺[3⁺,4,3⁺]] (objednávka 576)	1	₍₃₁₎
[3,4,3]	[2⁺[3,4,3]] (objednávka 2304)	3	₍₂₆₎ \| ₍₂₇₎ \| ₍₃₀₎	[2⁺[3,4,3]]⁺ (objednávka 1152)	(1)	₍₋₎
[5,3,3]	[5,3,3] (objednávka 14400)	15	₍₃₂₎ \| ₍₃₃₎ \| ₍₃₄₎ \| ₍₃₅₎ \| ₍₃₆₎ ₍₃₇₎ \| ₍₃₈₎ \| ₍₃₉₎ \| ₍₄₀₎ \| ₍₄₁₎ ₍₄₂₎ \| ₍₄₃₎ \| ₍₄₄₎ \| ₍₄₅₎ \| ₍₄₆₎	[5,3,3]⁺ (objednávka 7200)	(1)	₍₋₎
[3,2,3]	[3,2,3] (objednávka 36)	0	(žádný)	[3,2,3]⁺ (objednávka 18)	0	(žádný)
	[2⁺[3,2,3]] (objednávka 72)	0		[2⁺[3,2,3]]⁺ (objednávka 36)	0	(žádný)
	[[3],2,3]=[6,2,3] = (objednávka 72)	1		[1[3,2,3]]=[[3],2,3]⁺=[6,2,3]⁺ (objednávka 36)	(1)
	[(2⁺,4)[3,2,3]]=[2⁺[6,2,6]] = (objednávka 288)	1		[(2⁺,4)[3,2,3]]⁺=[2⁺[6,2,6]]⁺ (objednávka 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4] (objednávka 64)	0	(žádný)	[4,2,4]⁺ (objednávka 32)	0	(žádný)
	[2⁺[4,2,4]] (objednávka 128)	0	(žádný)	[2⁺[(4,2⁺,4,2⁺)]] (objednávka 64)	0	(žádný)
	[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3] = (objednávka 384)	(1)	₍₁₀₎	[(3,3)[4,2*,4]]⁺=[4,3,3]⁺ (objednávka 192)	(1)	₍₁₂₎
	[[4],2,4]=[8,2,4] = (objednávka 128)	(1)		[1[4,2,4]]=[[4],2,4]⁺=[8,2,4]⁺ (objednávka 64)	(1)
	[(2⁺,4)[4,2,4]]=[2⁺[8,2,8]] = (objednávka 512)	(1)		[(2⁺,4)[4,2,4]]⁺=[2⁺[8,2,8]]⁺ (objednávka 256)	(1)

Viz také

Konečný pravidelný zkosený mnohostěn se 4 mezerami
Konvexní jednotný plástev - související nekonečné 4-polytopy v euklidovském 3-prostoru.
Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru - související nekonečné 4-polytopy v hyperbolickém 3-prostoru.
Paracompact jednotné voštiny

Reference

^ N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.1 Polytopes a voštiny, str. 224
^ T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900
^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 29. 12. 2009. Citováno 2010-08-13.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
^ Elte (1912)
^ https://web.archive.org/web/19981206035238/http://members.aol.com/Polycell/uniform.html 6. prosince 1998 nejstarší archiv
^ Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes David Darling, (2004) ASIN: B00SB4TU58
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Johnson (2015), kapitola 11, oddíl 11.5 Skupiny sférických coxeterů, 11.5.5 plné polychorické skupiny
^ Uniform Polytopes in Four Dimensions George Olshevsky.
^ Möller, Marco (2004). Vierdimensionale Archimedische Polytope (PDF) (Doktorská práce) (v němčině). Univerzita v Hamburku.
^ Conway (2008)
^ [1] Konvexní a abstraktní polytopy workshop (2005), N.Johnson - abstrakt „Uniform Polychora“
^ „Uniform Polychora“. www.polytope.net. Citováno 20. února 2020.
^ Coxeter, pravidelné polytopy, 7,7 Schlaefliho kritérium ekv. 7,78, s. 135
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s3s.htm
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s4s.htm
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s4s3s.htm
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s5s.htm
^ H.S.M. Coxeter, Regular a Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) str. 582-588 2.7 Čtyřrozměrné analogy tupé krychle
^ http://bendwavy.org/klitzing/explain/polytope-tree.htm#scaliform
^ http://bendwavy.org/klitzing/incmats/tut=invtut.htm
^ Kategorie S1: Jednoduché hřebenatky tutcup
^ http://bendwavy.org/klitzing/incmats/prissi.htm
^ Kategorie S3: Speciální hřebenatky prissi

A. Boole Stott: Geometrický dedukce semiregular z pravidelných polytopů a prostorových výplní, Verhandelingen z Koninklijke akademie van Wetenschappen šířka jednotky Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910

B. Grünbaum Konvexní Polytopes, New York; London: Springer, c2003. ISBN 0-387-00424-6.
Druhé vydání připravil Volker Kaibel, Victor Klee a Günter M. Ziegler.
Elte, E. L. (1912), Semiregular Polytopes of the Hyperpaces, Groningen: University of Groningen, ISBN 1-4181-7968-X [3] [4]
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Mlynář: Jednotná mnohostěna, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londen, 1954
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
H.S.M. Coxeter a W. O. J. Moser. Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny 4. vydání, Springer-Verlag. New York. 1980 s. 92, s. 122.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)
John H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopy„Sborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strana 38 a 39, 1965
N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
N.W. Johnson: Geometrie a transformace(2015) Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie
Richard Klitzing, Útržky, střídané fasety a Stott-Coxeter-Dynkinovy diagramy, Symetrie: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329-344, (2010) [5]
Schoute, Pieter Hendrik (1911), „Analytické zpracování polytopů pravidelně odvozených z běžných polytopů“, Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam, 11 (3): 87 stran Googlebook, 370-381

externí odkazy

Konvexní uniformní 4-polytopes
- Jednotné konvexní polytopy ve čtyřech rozměrech, Marco Möller (v němčině)
- Uniform Polytopes in Four Dimensions George Olshevsky.
  1. Konvexní uniformní polychora založená na pentachoronu George Olshevsky.
  2. Konvexní uniformní polychora založená na tesseractu / 16 buněk George Olshevsky.
  3. Konvexní uniformní polychora na základě 24 buněk George Olshevsky.
  4. Konvexní uniformní polychora na základě 120 buněk / 600 buněk George Olshevsky.
  5. Anomální konvexní uniformní polychoron: (velký antiprism) George Olshevsky.
  6. Konvexní uniformní hranolová polychora George Olshevsky.
  7. Jednotná polychora odvozená od glomerického čtyřstěnu B4 George Olshevsky.
- Pravidelné a polopravidelné konvexní polytopy a krátký historický přehled
- Java3D applety se zdroji
Nekonvexní jednotné 4-polytopy
- Jednotná polychora Jonathan Bowers
- Stella4D Stella (software) produkuje interaktivní pohledy na známé uniformní polychory včetně 64 konvexních forem a nekonečných hranolových rodin.
Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopy“.
4D-Polytopy a jejich duální polytopy skupiny Coxeter W (A4) zastoupené čtveřicemi International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [6]

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin

[1] N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.1 Polytopes a voštiny, str. 224

[2] T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900

[3] „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 29. 12. 2009. Citováno 2010-08-13.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[4] Elte (1912)

[5] ttps://web.archive.org/web/19981206035238/http://members.aol.com/Polycell/uniform.html 6. prosince 1998 nejstarší archiv

[6] Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes David Darling, (2004) ASIN: B00SB4TU58

[polychoric_groups-7] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Johnson (2015), kapitola 11, oddíl 11.5 Skupiny sférických coxeterů, 11.5.5 plné polychorické skupiny

[8] Uniform Polytopes in Four Dimensions George Olshevsky.

[9] Möller, Marco (2004). Vierdimensionale Archimedische Polytope (PDF) (Doktorská práce) (v němčině). Univerzita v Hamburku.

[10] Conway (2008)

[11] [1] Konvexní a abstraktní polytopy workshop (2005), N.Johnson - abstrakt „Uniform Polychora“

[:0-12] „Uniform Polychora“. www.polytope.net. Citováno 20. února 2020.

[13] Coxeter, pravidelné polytopy, 7,7 Schlaefliho kritérium ekv. 7,78, s. 135

[14] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s3s.htm

[15] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s4s.htm

[16] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s4s3s.htm

[17] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s5s.htm

[18] H.S.M. Coxeter, Regular a Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) str. 582-588 2.7 Čtyřrozměrné analogy tupé krychle

[19] ttp://bendwavy.org/klitzing/explain/polytope-tree.htm#scaliform

[20] ttp://bendwavy.org/klitzing/incmats/tut=invtut.htm

[21] Kategorie S1: Jednoduché hřebenatky tutcup

[22] ttp://bendwavy.org/klitzing/incmats/prissi.htm

[23] Kategorie S3: Speciální hřebenatky prissi

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8