Simplectic plástev - Simplectic honeycomb

${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Trojúhelníkový obklad	Čtyřboký-oktaedrický plástev
S červenými a žlutými rovnostrannými trojúhelníky	S azurovou a žlutou čtyřstěn a červený rektifikovaný čtyřstěn (oktaedra )

v geometrie, simplectic voštinový (nebo n-simplex plástev) je dimenzionální nekonečná řada voštiny, založeno na ${ displaystyle { tilde {A}} _ {n}}$ afinní Skupina coxeterů symetrie. Je dáno a Schläfliho symbol {3^{[n + 1]}}, a je reprezentován a Coxeter-Dynkinův diagram jako cyklický graf n + 1 uzly s jedním uzlem zazvoněným. Skládá se z n-simplexní fazety, spolu se všemi opraveno n-jednoduchosti. Lze to považovat za n-dimenzionální hyperkubický plástev která byla rozdělena podél všech hyperplánů ${ displaystyle x + y + ... in mathbb {Z}}$ , pak se táhlo podél jeho hlavní úhlopříčky, dokud se jednoduchost na koncích hyperkrychlí nestala pravidelnou. The vrchol obrázek z n-simplex plástev je rozšířený n-simplexní.

Ve 2 rozměrech představuje plástev trojúhelníkové obklady, s Coxeterovým grafem vyplnění letadla střídavě zbarvenými trojúhelníky. Ve 3 rozměrech představuje čtyřstěnný-oktaedrický plástev, s Coxeterovým grafem vyplňování prostoru střídavě čtyřstěnnými a oktaedrickými buňkami. Ve 4 rozměrech se tomu říká 5článkový plástev, s Coxeterovým grafem , s 5článková a rektifikovaný 5článkový fazety. V 5 rozměrech se tomu říká 5-simplexní plástev, s Coxeterovým grafem , vyplnění prostoru 5-simplexní, rektifikovaný 5-simplex, a birectified 5-simplex fazety. V 6 rozměrech se tomu říká 6-simplexní plástev, s Coxeterovým grafem , vyplnění prostoru 6-simplexní, rektifikovaný 6-simplex, a birectified 6-simplex fazety.

Podle dimenze

n	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2+}}$	Mozaikování	Vrcholová postava	Fazety na vrchol obrázku	Vrcholy na vrchol obrázku	Postava hrany
1	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1}}$	Apeirogon		1	2	-
2	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	Trojúhelníkový obklad 2-simplexní plástev	Šestiúhelník (Zkrácený trojúhelník)	3+3 trojúhelníky	6	Úsečka
3	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	Čtyřboký-oktaedrický plástev 3-simplexní plástev	Cuboctahedron (Kanálovaný čtyřstěn)	4+4 čtyřstěn 6 rektifikovaný čtyřstěn	12	Obdélník
4	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$	4-simplexní plástev	Runcinated 5-cell	5+5 5 buněk 10+10 rektifikované 5-buňky	20	Trojúhelníkový antiprism
5	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$	5-simplexní plástev	Sterilovaný 5-simplex	6+6 5-simplexní 15+15 rektifikovaný 5-simplex 20 birectified 5-simplex	30	Čtyřboký antiprism
6	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$	6-simplexní plástev	Pentellated 6-simplex	7+7 6-simplexní 21+21 rektifikovaný 6-simplex 35+35 birectified 6-simplex	42	4-simplexní antiprism
7	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$	7-simplexní plástev	Hexicated 7-simplex	8+8 7-simplexní 28+28 usměrněný 7-simplex 56+56 birectified 7-simplex 70 trirectified 7-simplex	56	5-simplexní antiprism
8	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$	8-simplexní plástev	Heptellated 8-simplex	9+9 8-simplexní 36+36 rektifikovaný 8-simplex 84+84 birectified 8-simplex 126+126 trirectified 8-simplex	72	6-simplexní antiprism
9	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$	9-simplexní plástev	Octellated 9-simplex	10+10 9-simplexní 45+45 rektifikovaný 9-simplex 120+120 birectified 9-simplex 210+210 trirectified 9-simplex 252 čtyřnápravový jednostranný jednostranný	90	7-simplexní antiprism
10	${ displaystyle { tilde {A}} _ {10}}$	10-simplexní plástev	Ennecated 10-simplex	11+11 10-simplexní 55+55 rektifikovaný 10-simplex 165+165 birectified 10-simplex 330+330 trirectified 10-simplex 462+462 quadrirectified 10-simplex	110	8-simplexní antiprism
11	${ displaystyle { tilde {A}} _ {11}}$	11-jednostranný plástev	...	...	...	...

Projekce skládáním

(2n-1) -simplexní voštiny a 2n-simplexní voštiny mohou být promítnuty do n-dimenzionální hyperkubický plástev podle a geometrické skládání operace, která mapuje dva páry zrcadel do sebe a sdílejí je uspořádání vrcholů:

${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {10}}$	...
${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$	...
${ displaystyle { tilde {C}} _ {1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {4}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {5}}$	...

Líbání číslo

Tyto voštiny, považované za tečné n-koule umístěné ve středu každého vrcholu voštiny, mají pevný počet kontaktních koulí a odpovídají počtu vrcholů v vrchol obrázek. U 2 a 3 dimenzí to představuje nejvyšší líbání číslo pro 2 a 3 rozměry, ale nedosahují vyšších rozměrů. Ve 2-dimenzích definuje trojúhelníkový obklad kruhové balení 6 tečných koulí uspořádaných v pravidelném šestiúhelníku a pro 3 dimenze je 12 tečných koulí uspořádaných do cuboctahedral konfigurace. U 4 až 8 dimenzí jsou čísla líbání 20, 30, 42, 56, a 72 největší řešení jsou 24, 40, 72, 126 a 240 sfér.

Viz také

Reference

George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
Branko Grünbaum, Rovnoměrné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4(1994), 49 - 56.
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H. S. M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁