Icosagon - Icosagon

Pravidelný icosagon
Pravidelný icosagon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	20
Schläfliho symbol	{20}, t {10}, tt {5}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.20), objednat 2 × 20
Vnitřní úhel (stupňů )	162°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, an icosagon nebo 20-gon je dvacetistranný polygon. Součet vnitřních úhlů icosagonu je 3240 stupňů.

Pravidelný icosagon

The pravidelný icosagon má Schläfliho symbol {20} a lze jej také zkonstruovat jako a zkrácen desetiúhelník, t {10} nebo dvakrát zkrácené Pentagon, tt {5}.

Jeden vnitřní úhel v a pravidelný icosagon je 162 °, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 18 °.

The plocha pravidelného ikosagonu s délkou hrany t je

${ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}}) simeq 31,5687t ^ {2}. }$

Pokud jde o poloměr R jeho obvod, oblast je

${ displaystyle A = { frac {5R ^ {2}} {2}} ({ sqrt {5}} - 1);}$

protože plocha kruhu je ${ displaystyle pi R ^ {2},}$ běžný ikosagon vyplňuje přibližně 98,36% svého obvodu.

Použití

The Big Wheel na populární americké herní show Cena je správná má ikosagonální průřez.

The Globe, venkovní divadlo používané hereckou společností Williama Shakespeara, bylo objeveno, že bylo postaveno na ikosagonovém základu, když byl v roce 1989 proveden částečný výkop.^[1]

Jako golygonální cesta, svastika je považován za nepravidelný ikosagon.^[2]

Pravidelný čtverec, pětiúhelník a icosagon mohou zcela vyplňte vrchol roviny.

Konstrukce

Jako 20 = 2² × 5, pravidelný icosagon je konstruovatelný používat kompas a pravítko nebo hranoupůlení pravidelného desetiúhelník, nebo dvakrát rozdělená pravidelná Pentagon:

Konstrukce pravidelného icosagonu

Konstrukce pravidelného desetiúhelníku

Zlatý řez v icosagonu

• V konstrukci s danou délkou strany kruhový oblouk kolem C s poloměrem CD, sdílí segment E₂₀F v poměru zlatého řezu.

${ displaystyle { frac { overline {E_ {20} E_ {1}}} { overline {E_ {1} F}}} = { frac { overline {E_ {20} F}} { overline {E_ {20} E_ {1}}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = varphi přibližně 1,618}$

Icosagon s danou délkou strany, animace (Konstrukce je velmi podobná jako u desetiúhelník s danou délkou strany)

Symetrie

Symetrie pravidelného icosagonu. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie. Modrá zrcadla jsou nakreslena vrcholy a fialová zrcadla jsou nakreslena hranou. Gyroskopické příkazy jsou uvedeny ve středu.

The pravidelný icosagon má Dih₂₀ symetrie, pořadí 40. Existuje 5 podskupinových dihedrálních symetrií: (Dih₁₀, Dih₅) a (Dih₄, Dih₂a Dih₁) a 6 cyklická skupina symetrie: (Z₂₀, Z₁₀, Z₅) a (Z.₄, Z₂, Z₁).

Těchto 10 symetrií lze vidět na 16 odlišných symetriích na ikosagonu, což je větší počet, protože linie odrazů mohou procházet vrcholy nebo hranami. John Conway označí je dopisem a skupinovou objednávkou.^[3] Plná symetrie regulárního tvaru je r40 a není označena žádná symetrie a1. Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (str pro svislice) a i když reflexní čáry procházejí hranami i vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy.

Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze g20 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Nepravidelné ikosagony s nejvyšší symetrií jsou d20, an isogonal icosagon sestávající z deseti zrcadel, která mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a str.20, an isotoxální icosagon, konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídajícími se dvěma různými vnitřními úhly. Tyto dvě formy jsou duální navzájem a mají polovinu symetrického řádu pravidelného icosagonu.

Pitva

20-gon se 180 kosodélníky

pravidelný

Isotoxální

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[4]Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro icosagon, m= 10, a lze jej rozdělit na 45: 5 čtverců a 4 sady po 10 kosočtvercích. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 10 kostek se 45 z 11520 tváří. Seznam OEIS: A006245 vyjmenovává počet řešení na 18 410 581 880, včetně až 20násobných rotací a chirálních forem v odrazu.

Pitva do 45 kosodélníků

10 kostek

Související polygony

An icosagram je 20stranný hvězdný polygon, představovaný symbolem {20 / n}. Existují tři pravidelné formuláře dané Schläfliho symboly: {20/3}, {20/7} a {20/9}. Existuje také pět pravidelných hvězdných figur (sloučenin), které používají stejné uspořádání vrcholů: 2 {10}, 4 {5}, 5 {4}, 2 {10/3}, 4 {5/2} a 10 {2}.

n	1	2	3	4	5
Formulář	Konvexní mnohoúhelník	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina
obraz	{20/1} = {20}	{20/2} = 2{10}	{20/3}	{20/4} = 4{5}	{20/5} = 5{4}
Vnitřní úhel	162°	144°	126°	108°	90°
n	6	7	8	9	10
Formulář	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina
obraz	{20/6} = 2{10/3}	{20/7}	{20/8} = 4{5/2}	{20/9}	{20/10} = 10{2}
Vnitřní úhel	72°	54°	36°	18°	0°

Hlubší zkrácení pravidelného dekagonu a dekagramu může způsobit izogonální (vrchol-tranzitivní ) mezilehlé formy icosagramu se stejně rozmístěnými vrcholy a dvěma délkami hran.^[5]

Na běžný ikosagram, {20/9}, lze nahlížet jako na kvazitunikovaný desetibon, t {10/9} = {20/9}. Podobně a dekagram, {10/3} má quasitruncation t {10/7} = {20/7} a nakonec jednoduché zkrácení dekagramu dává t {10/3} = {20/3}.

Ikosagramy jako zkrácení pravidelných dekagonů a dekagramů, {10}, {10/3}

Quasiregular					Quasiregular
t {10} = {20}					t {10/9} = {20/9}
t {10/3} = {20/3}					t {10/7} = {20/7}

Petrie polygony

Pravidelný icosagon je Petrie polygon pro řadu výškových polytopů, viz ortogonální projekce v Coxeterovy roviny:

A19	B10		D11	E8	H4	½ 2H2	2H2
19-simplexní	10-orthoplex	10 kostek	11-demicube	(421)	600 buněk	Velký antiprism	10-10 duopyramidů	10-10 duoprism

Je to také Petrieho polygon pro ikosahedrální 120 buněk, malá hvězdicová 120článková, skvělá ikosahedrická 120článková, a skvělý velký 120 buněk.

Reference

externí odkazy

• Pojmenování mnohoúhelníků a mnohostěnů
• icosagon