G2 (matematika) - G2 (mathematics)

v matematika, G₂ je název tří jednoduchých Lež skupiny (komplexní forma, kompaktní reálná forma a rozdělená reálná forma), jejich Lež algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2},}$ stejně jako některé algebraické skupiny. Jsou nejmenší z pěti výjimečných jednoduché Lieovy skupiny. G₂ má hodnost 2 a dimenzi 14. Má dvě základní reprezentace, s rozměry 7 a 14.

Kompaktní forma G₂ lze popsat jako skupina automorfismu z octonion algebra nebo ekvivalentně jako podskupina SO (7), která zachovává vybraný konkrétní vektor ve své 8rozměrné nemovitý spinor zastoupení (A rotační reprezentace ).

Dějiny

Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$ jako nejmenší výjimečná jednoduchá Lieova algebra byla první z nich, která byla objevena ve snaze klasifikovat jednoduché Lieovy algebry. 23. května 1887 Wilhelm Killing napsal dopis uživateli Friedrich Engel říká, že našel 14-dimenzionální jednoduchou Lieovu algebru, kterou nyní nazýváme ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$ .^[1]

V roce 1893 Élie Cartan zveřejnil poznámku popisující otevřenou množinu v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$ vybaven 2-dimenzionální rozdělení - to je plynule se měnící pole 2-dimenzionálních podprostorů tečného prostoru - pro které leží algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$ se jeví jako nekonečně malé symetrie.^[2] Ve stejném roce si Engel ve stejném deníku všiml stejné věci. Později bylo zjištěno, že 2-dimenzionální distribuce úzce souvisí s koulí valící se na jinou kouli. Prostor konfigurací valící se koule je 5-dimenzionální, s 2-dimenzionální distribucí, která popisuje pohyby koule, kde se valí bez sklouznutí nebo zkroucení.^[3]^[4]

V roce 1900 Engel objevil, že obecná antisymetrická trilineární forma (nebo 3-forma) na 7-dimenzionálním komplexním vektorovém prostoru je zachována skupinou izomorfní s komplexní formou G₂.^[5]

V roce 1908 Cartan zmínil, že automorfická skupina octonionů je 14-rozměrná jednoduchá Lieova skupina.^[6] V roce 1914 uvedl, že se jedná o kompaktní skutečnou formu G₂.^[7]

Ve starších knihách a novinách G₂ je někdy označován E.₂.

Skutečné formy

S tímto kořenovým systémem jsou spojeny 3 jednoduché skutečné Lieovy algebry:

Skutečná ležová algebra komplexní ležecké algebry G₂ má rozměr 28. Má komplexní konjugaci jako vnější automorfismus a je jednoduše spojen. Maximální kompaktní podskupinou přidružené skupiny je kompaktní forma G₂.
Lieova algebra kompaktní formy je 14rozměrná. Přidružená Lieova skupina nemá žádné vnější automorfismy, žádné centrum a je jednoduše propojená a kompaktní.
Lieova algebra nekompaktní (rozdělené) formy má rozměr 14. Přidružená jednoduchá Lieova skupina má základní skupinu řádu 2 a její vnější skupina automorfismu je triviální skupina. Jeho maximální kompaktní podskupina je SU (2) × SU (2) / (- 1, -1). Má nealgebraický dvojitý kryt, který je jednoduše připojen.

Algebra

Dynkinův diagram a kartanova matice

The Dynkinův diagram pro G₂ darováno .

Své Kartanová matice je:

{ displaystyle left [{ begin {pole} {rr} 2 & -3 - 1 & 2 end {pole}} doprava]}

Kořeny G.₂

12 vektor kořenový systém G.₂ ve 2 rozměrech.	A₂ Coxeterovo letadlo projekce 12 vrcholů cuboctahedron obsahují stejné 2D vektorové uspořádání.	Graf G2 jako podskupiny F4 a E8 promítnutý do Coxeterovy roviny

I když rozpětí 2-dimenzionální prostor, jak je nakreslen, je mnohem symetrickější považovat je za vektory v 2-dimenzionálním podprostoru trojrozměrného prostoru.

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1)

(0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1)

(1,−2,1), (−1,2,−1)

(1,1,−2), (−1,−1,2)

Jedna sada jednoduché kořeny, pro je:

(0,1,−1), (1,−2,1)

Skupina Weyl / Coxeter

Své Weyl /Coxeter skupina ${ displaystyle G = W (G_ {2})}$ je dihedrální skupina, ${ displaystyle D_ {6}}$ z objednat 12. Má minimální věrný stupeň ${ displaystyle mu (G) = 5}$ .

Speciální holonomie

G₂ je jednou z možných zvláštních skupin, které se mohou zobrazit jako holonomy skupina a Riemannova metrika. The rozdělovače G.₂ holonomy se také nazývají G₂- rozdělovače.

Polynomiální invariant

G₂ je skupina automorfismu následujících dvou polynomů v 7 nekomutativních proměnných.

{ displaystyle C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}

{ displaystyle C_ {2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz}

(± permutace)

který pochází z oktonionové algebry. Proměnné musí být nekomutativní, jinak by byl druhý polynom identicky nulový.

Generátory

Přidání reprezentace 14 generátorů s koeficienty A, ..., N dává matici:

{ displaystyle A lambda _ {1} + cdots + N lambda _ {14} = { begin {bmatrix} 0 & C & -B & E & -D & -G & F-M - C & 0 & A & F & -G + N & D-K & -EL B & -A & 0 & -N & M & L & -K - E & -F & N & 0 & -A + H & -B + I & C-J D & G-N & -M & A-H & 0 & J & I G & K-D & -L & B-I & -J & 0 & -H - F + M & E + L & K & -C + J & -I & H & 0 end {bmatrix}}}

Je to přesně Lieova algebra skupiny

{ displaystyle G_ {2} = {g v SO (7): g ^ {*} varphi = varphi, varphi = omega ^ {123} + omega ^ {145} + omega ^ { 167} + omega ^ {246} - omega ^ {257} - omega ^ {347} - omega ^ {356} }}

Zastoupení

Znaky konečně-dimenzionálních reprezentací skutečných a komplexních Lieových algeber a Lieových skupin jsou dány Weylův vzorec znaků. Rozměry nejmenších neredukovatelných reprezentací jsou (sekvence A104599 v OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (dvakrát), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (dvakrát), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (dvakrát), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

14-dimenzionální reprezentace je adjunkční reprezentace, a 7-dimenzionální je akce G₂ na imaginárních octonionech.

Existují dvě neizomorfní neredukovatelné reprezentace rozměrů 77, 2079, 4928, 28652 atd. základní reprezentace jsou ty s rozměry 14 a 7 (odpovídající dvěma uzlům v Dynkinův diagram v takovém pořadí, aby trojitá šipka směřovala od první k druhé).

Vogan (1994) popsal (nekonečně-dimenzionální) unitární neredukovatelné reprezentace rozdělené reálné formy G₂.

Konečné skupiny

Skupina G₂(q) jsou body algebraické skupiny G₂ přes konečné pole F_q. Tyto konečné skupiny poprvé představil Leonard Eugene Dickson v Dickson (1901) pro liché q a Dickson (1905) dokonce q. Řád G.₂(q) je q⁶(q⁶ − 1)(q² − 1). Když q ≠ 2, skupina je jednoduchý, a kdy q = 2, má jednoduchou podskupinu index 2 izomorfní až ²A₂(3²), a je skupina automorfismu maximálního řádu oktonionů. Skupina Janko J₁ byla nejprve vytvořena jako podskupina G.₂(11). Ree (1960) představil zkroucený Ree skupiny ²G₂(q) objednávky q³(q³ + 1)(q − 1) pro q = 3²ⁿ⁺¹, zvláštní síla 3.

Viz také

Reference

^ Agricola, Ilka (2008). „Staré a nové ve výjimečné skupině G₂" (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 55 (8): 922–929. PAN 2441524.
^ Élie Cartan (1893). "Sur la structure des groupes simples finis et continus". C. R. Acad. Sci. 116: 784–786.
^ Gil Bor a Richard Montgomery (2009). "G₂ a „postupná distribuce"". L'Enseignement Mathématique. 55: 157–196. arXiv:matematika / 0612469. doi:10,4171 / lem / 55-1-8.
^ John Baez a John Huerta (2014). "G₂ a valící se koule “. Trans. Amer. Matematika. Soc. 366 (10): 5257–5293. arXiv:1205.2447. doi:10.1090 / s0002-9947-2014-05977-1.
^ Friedrich Engel (1900). "Ein neues, dem linearen Komplexe analoges Gebilde". Lipsko. Ber. 52: 63–76, 220–239.
^ Élie Cartan (1908). "Nombres komplexy". Encyclopedie des Sciences Mathematiques. Paříž: Gauthier-Villars. 329–468.
^ Élie Cartan (1914), „Les groupes reels simples finis et continus“, Ann. Sci. École Norm. Sup., 31: 255–262

Adams, J. Frank (1996), Přednášky o výjimečných Lieových skupinách Přednášky z matematiky v Chicagu, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00526-3, PAN 1428422
Baez, Johne (2002), „Octonions“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:matematika / 0105155, doi:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X.

Viz část 4.1: G₂; online verze HTML, která je k dispozici na http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.

Bryant, Robert (1987), „Metriky s výjimečnou holonomií“, Annals of Mathematics, 2, 126 (3): 525–576, doi:10.2307/1971360, JSTOR 1971360
Dickson, Leonard Eugene (1901), „Teorie lineárních grup v libovolném poli“, Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 2 (4): 363–394, doi:10.1090 / S0002-9947-1901-1500573-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986251, Přetištěno ve svazku II svých sebraných papírů Leonard E. Dickson hlásil skupiny typu G.₂ v polích liché charakteristiky.
Dickson, L. E. (1905), „Nový systém jednoduchých skupin“, Matematika. Ann., 60: 137–150, doi:10.1007 / BF01447497 Leonard E. Dickson hlásil skupiny typu G.₂ v oblastech dokonce charakteristických.
Ree, Rimhak (1960), „Rodina jednoduchých skupin spojených s jednoduchou Lieovou algebrou typu (G₂)", Bulletin of the American Mathematical Society, 66 (6): 508–510, doi:10.1090 / S0002-9904-1960-10523-X, ISSN 0002-9904, PAN 0125155
Vogan, David A. Jr. (1994), „Unitární dvojník G₂", Inventiones Mathematicae, 116 (1): 677–791, Bibcode:1994InMat.116..677V, doi:10.1007 / BF01231578, ISSN 0020-9910, PAN 1253210

[1] Agricola, Ilka (2008). „Staré a nové ve výjimečné skupině G₂" (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 55 (8): 922–929. PAN 2441524.

[2] Élie Cartan (1893). "Sur la structure des groupes simples finis et continus". C. R. Acad. Sci. 116: 784–786.

[3] Gil Bor a Richard Montgomery (2009). "G₂ a „postupná distribuce"". L'Enseignement Mathématique. 55: 157–196. arXiv:matematika / 0612469. doi:10,4171 / lem / 55-1-8.

[4] John Baez a John Huerta (2014). "G₂ a valící se koule “. Trans. Amer. Matematika. Soc. 366 (10): 5257–5293. arXiv:1205.2447. doi:10.1090 / s0002-9947-2014-05977-1.

[5] Friedrich Engel (1900). "Ein neues, dem linearen Komplexe analoges Gebilde". Lipsko. Ber. 52: 63–76, 220–239.

[6] Élie Cartan (1908). "Nombres komplexy". Encyclopedie des Sciences Mathematiques. Paříž: Gauthier-Villars. 329–468.

[7] Élie Cartan (1914), „Les groupes reels simples finis et continus“, Ann. Sci. École Norm. Sup., 31: 255–262

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Teorie strun
Pozadí	Struny Historie teorie strun První revoluce superstrun Druhá revoluce superstrun Teorie strun krajina
Teorie	Akce Nambu – Goto Polyakovova akce Bosonická teorie strun Teorie superstrun Řetězec typu I. Řetězec typu II Zadejte řetězec IIA Zadejte řetězec IIB Heterotická struna N = 2 superstruna F-teorie Teorie strunového pole Teorie maticových řetězců Nekritická teorie strun Nelineární sigma model Tachyonová kondenzace Formalismus RNS GS formalismus
Řetězcová dualita	T-dualita S-dualita U-dualita Montonen – olivová dualita
Částice a pole	Graviton Dilaton Tachyon Ramond – Ramondovo pole Kalb – Ramondovo pole Magnetický monopol Duální graviton Duální foton
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Černá brane Černé díry Černá struna Braneova kosmologie Toulec diagram Přechod Hanany – Witten
Konformní teorie pole	Virasoro algebra Zrcadlová symetrie Konformní anomálie Konformní algebra Superkonformní algebra Vrcholová operátorová algebra Smyčková algebra Kac – Moodyho algebra Model Wess – Zumino – Witten
Teorie měřidla	Anomálie Instantony Forma Chern – Simons Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield vázán Výjimečné lži (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈ ) Klasifikace ADE Diracova struna p- forma elektrodynamiky
Geometrie	Teorie Kaluza – Klein Zhutnění Proč 10 rozměrů ? Kähler potrubí Ploché potrubí Ricci Rozdělovač Calabi – Yau Hyperkähler potrubí Povrch K3 G₂ potrubí Spin (7) - rozdělovač Zobecněný komplexní potrubí Orbifold Conifold Orientifold Prostor modulů Zeď domény Hořava – Witten K-teorie (fyzika) Zkroucená K-teorie
Supersymetrie	Supergravitace Superspace Lež superalgebra Lež nadskupina
Holografie	Holografický princip Korespondence AdS / CFT
M-teorie	Maticová teorie Úvod do M-teorie
Strunní teoretici	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banky Berenstein Bousso Sekáček Přímo Dijkgraaf Distler Douglas Duff Ferrara Fischler Friedane Brány Gliozzi Gopakumar Zelená Greene Hrubý Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olivový Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Scherku Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Syn Staudacher Steinhardt Strominger Sluneční buben Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach