Vrcholová postava - Vertex figure
v geometrie, a vrchol obrázek, obecně řečeno, je postava vystavena, když je roh a mnohostěn nebo polytop je nakrájený.
Definice
Vezměte nějaký roh nebo vrchol a mnohostěn. Označte bod někde podél každé spojené hrany. Nakreslete čáry přes připojené tváře a spojte sousední body kolem tváře. Když jsou hotové, tvoří tyto čáry kompletní obvod, tj. Mnohoúhelník, kolem vrcholu. Tento mnohoúhelník je vrcholem.
Přesnější formální definice se mohou podle okolností značně lišit. Například Coxeter (např. 1948, 1954) mění svou definici tak, aby vyhovovala současné oblasti diskuse. Většina z následujících definic vrcholné figury platí stejně dobře i pro nekonečno obklady nebo rozšířením do prostorová mozaikování s polytop buňky a další vyšší dimenze polytopes.
Jako plochý plátek
Vytvořte řez přes roh mnohostěnu a prořízněte všechny hrany spojené s vrcholem. Řezanou plochou je vrchol. Toto je možná nejběžnější přístup a nejsnadněji pochopitelný. Různí autoři tvoří plátek na různých místech. Wenninger (2003) řeže každý okraj v jednotkové vzdálenosti od vrcholu, stejně jako Coxeter (1948). Pro uniformní mnohostěn platí Dorman Luke konstrukce řeže každou spojenou hranu ve svém středu. Jiní autoři provedou řez vrcholem na druhém konci každého okraje.[1][2]
Pro nepravidelný mnohostěn může řezání všech hran dopadajících na daný vrchol ve stejných vzdálenostech od vrcholu vytvořit obrazec, který neleží v rovině. Obecnější přístup, platný pro libovolné konvexní mnohostěny, je provést řez podél jakékoli roviny, která odděluje daný vrchol od všech ostatních vrcholů, ale je jinak libovolný. Tato konstrukce určuje kombinatorickou strukturu vrcholového útvaru, podobnou množině spojených vrcholů (viz níže), ale ne její přesnou geometrii; lze to zobecnit na konvexní polytopes v jakékoli dimenzi. U nekonvexních mnohostěnů však nemusí poblíž vrcholu existovat rovina, která řeže všechny tváře dopadající na vrchol.
Jako sférický polygon
Cromwell (1999) tvoří vrcholnou postavu protínáním mnohostěn s koulí vystředěnou na vrchol, dostatečně malou na to, aby protínala pouze hrany a tváře dopadající na vrchol. To lze vizualizovat tak, že vytvoříte sférický řez nebo lopatku se středem na vrcholu. Řezaný povrch nebo vrchol je tedy sférický mnohoúhelník vyznačený na této kouli. Jednou z výhod této metody je, že tvar vrcholového útvaru je pevný (až do měřítka koule), zatímco metoda protínání s rovinou může vytvářet různé tvary v závislosti na úhlu roviny. Navíc tato metoda funguje pro nekonvexní mnohostěny.
Jako množina spojených vrcholů
Mnoho kombinatorických a výpočetních přístupů (např.Skilling, 1975) považuje vrcholnou postavu za uspořádanou (nebo částečně uspořádanou) množinu bodů všech sousedních (připojených přes hranu) vrcholů k danému vrcholu.
Abstraktní definice
V teorii abstraktní polytopy, vrcholná postava v daném vrcholu PROTI zahrnuje všechny prvky, které dopadají na vrchol; hrany, plochy atd. Formálnější je to (n-1) -sekce Fn/PROTI, kde Fn je největší tváří.
Tato sada prvků je jinde známá jako a vrchol hvězda. Geometrickou vrcholnou postavu a vrcholnou hvězdu lze chápat jako odlišné realizace stejné abstraktní sekce.
Obecné vlastnosti
Vrcholová figura n-polytope je (n-1) -polytop. Například vrcholová figura a mnohostěn je polygon a vrcholná postava pro a 4-mnohostěn je mnohostěn.
Obecně vrcholná figura nemusí být rovinná.
Pro nekonvexní mnohostěny může být vrchol také nekonvexní. Například mohou mít jednotné polytopy hvězdné polygony pro tváře a / nebo pro vrcholové postavy.
Isogonal postavy
Údaje o vrcholu jsou zvláště významné pro uniformy a další isogonal (vertex-transitive) polytopes, protože jeden vrchol může definovat celý polytop.
U mnohostěnů s pravidelnými plochami může být vrchol zobrazen v konfigurace vrcholů notaci, vypisováním ploch v pořadí kolem vrcholu. Například 3.4.4.4 je vrchol s jedním trojúhelníkem a třemi čtverci a definuje uniformu kosočtverec.
Pokud je mnohostěn isogonální, vrchol bude existovat v a nadrovina povrch n-prostor.
Stavby
Z přilehlých vrcholů
Zvažováním konektivity těchto sousedních vrcholů lze postavit vrchol pro každý vrchol polytopu:
- Každý vrchol z vrchol obrázek se shoduje s vrcholem původního mnohostěnu.
- Každý okraj z vrchol obrázek existuje na ploše původní polytop spojující dva alternativní vrcholy z původní plochy.
- Každý tvář z vrchol obrázek existuje na buňce originálu nebo uvnitř ní n-polytop (pro n > 3).
- ... a tak dále k prvkům vyššího řádu v polytopech vyššího řádu.
Konstrukce Dormana Luka
Pro jednotný mnohostěn, tvář duální mnohostěn lze najít z původního vrcholu mnohostěnů pomocí "Dorman Luke "stavba.
Pravidelné polytopy
Pokud je mnohostěn pravidelný, může být reprezentován a Schläfliho symbol a oba buňka a vrcholný obrazec lze z této notace triviálně extrahovat.
Obecně běžný mnohostěn se symbolem Schläfli {A,b,C,...,y,z} má buňky jako {A,b,C,...,y}, a vrcholové postavy tak jako {b,C,...,y,z}.
- Pro pravidelný mnohostěn {str,q}, vrchol je {q}, a q-gon.
- Příkladem vrcholového útvaru pro krychli {4,3} je trojúhelník {3}.
- Pro běžný 4-mnohostěn nebo prostorová mozaikování {str,q,r}, vrchol je {q,r}.
- Příklad, vrcholová figura pro hyperkrychli {4,3,3}, vrcholová figura je pravidelný čtyřstěn {3,3}.
- Také vrcholový údaj pro a kubický plástev {4,3,4}, vrchol je pravidelný osmistěn {3,4}.
Vzhledem k tomu, že duální polytop běžného mnohostěnu je také pravidelný a reprezentovaný obrácenými Schläfliho symbolickými indexy, je snadné vidět, že duál vrcholného obrázku je buňkou duálního mnohostoru. Pro běžné mnohostěny je to zvláštní případ Konstrukce Dormana Luka.
Příklad vrcholné postavy plástve
Vrcholová figura a zkrácený kubický plástev je nejednotná čtvercová pyramida. Jeden osmistěn a čtyři zkrácené kostky se setkávají na každém vrcholu, který tvoří prostor mozaikování.
| Vrcholová postava: Neuniformní čtvercová pyramida |  Schlegelův diagram |  Perspektivní |
| Vytvořeno jako náměstí základna z osmistěn |  (3.3.3.3) | |
| A čtyři rovnoramenný trojúhelník strany od zkrácené kostky |  (3.8.8) |
Postava hrany
Souvisí s vrchol obrázek, an hrana postava je vrchol obrázek a vrchol obrázek.[3] Čísla hran jsou užitečné pro vyjádření vztahů mezi prvky v běžných a jednotných polytopech.
An hrana postava bude (n−2) -polytop, představující uspořádání fazety kolem dané hrany. Pravidelné a s jedním kroužkem coxeterův diagram jednotné polytopy budou mít jeden typ hrany. Obecně platí, že jednotný polytop může mít v konstrukci tolik typů hran jako aktivní zrcadla, protože každé aktivní zrcadlo vytváří jednu hranu v základní doméně.
Pravidelné polytopes (a voštiny) mají jeden hrana postava což je také pravidelné. Pro běžný mnohostěn {str,q,r,s,...,z} hrana postava je {r,s,...,z}.
Ve čtyřech rozměrech je hrana postavy a 4-mnohostěn nebo 3-voštinový je mnohoúhelník představující uspořádání sady fazet kolem okraje. Například hrana postava pravidelně kubický plástev {4,3,4} je náměstí, a pro běžný 4-mnohostěn {str,q,r} je mnohoúhelník {r}.
Méně triviálně zkrácený kubický plástev t0,1{4,3,4}, má čtvercová pyramida vrchol postava, s zkrácená kostka a osmistěn buňky. Zde existují dva typy hranové postavy. Jedním z nich je postava se čtvercovým okrajem na vrcholu pyramidy. To představuje čtyři zkrácené kostky kolem okraje. Další čtyři hrany jsou rovnoramenné trojúhelníky na základních vrcholech pyramidy. Představují uspořádání dvou zkrácených kostek a jednoho oktaedru kolem ostatních okrajů.
Viz také
Reference
Poznámky
- ^ Coxeter, H. a kol. (1954).
- ^ Skilling, J. (1975).
- ^ Klitzing: Čísla vrcholů atd.
Bibliografie
- H. S. M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
- H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954), str. 401–450.
- P. Cromwell, Mnohostěn, CUP pbk. (1999).
- H.M. Cundy a A. Rollett, Matematické modely, Oxford Univ. Press (1961).
- J. Skilling, kompletní sada uniformních mnohostěnů, Phil. Trans. 278 A (1975), str. 111–135.
- M. Wenninger, Duální modely, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
- Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 vrcholů)
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Vrcholová postava". MathWorld.
- Olshevsky, Georgi. "Vrcholová postava". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- Vrcholová čísla
- Konzistentní popisy vrcholů