Pravidelný zkosený mnohostěn - Regular skew polyhedron - Wikipedia

v geometrie, pravidelný zkosený mnohostěn jsou zobecnění na množinu pravidelné mnohostěny které zahrnují možnost neplanárnosti tváře nebo vrcholové postavy. Coxeter se podíval na zkosené vrcholové postavy, které vytvořily nové 4-dimenzionální pravidelné mnohostěny, a mnohem později Branko Grünbaum podíval se na pravidelné šikmé tváře.^[1]

Volá se nekonečný pravidelný zešikmený mnohostěn, který se rozprostírá od 3 prostoru nebo výše pravidelný šikmý apeirohedra.

Dějiny

Podle Coxeter, v roce 1926 John Flinders Petrie zobecnil pojem pravidelné šikmé polygony (neplanární polygony) do pravidelný zkosený mnohostěn.

Coxeter nabídl upravený Schläfliho symbol {l, m | n} pro tato čísla, přičemž {l, m} znamená vrchol obrázek, m l-gons kolem vrcholu a n-gonal otvory. Jejich vrcholné postavy jsou šikmé polygony cik-cak mezi dvěma rovinami.

Pravidelný zkosený mnohostěn, reprezentovaný {l, m | n}, se řídí touto rovnicí:

2 * cos (π / l) * cos (π / m) = cos (π / n)

První sada {l, m | n}, opakuje pět konvexních Platonické pevné látky a jeden nekonvexní Kepler-Poinsot pevný:

Konečný pravidelný zkosený mnohostěn se 4 mezerami

A4 Coxeterovo letadlo projekce
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}
Runcinated 5-cell (20 vrcholů, 60 hran)	Bitrunkováno 5 buněk (30 vrcholů, 60 hran)
F4 Coxeterovy projekce roviny
{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}
Runcinated 24-cell (144 vrcholů, 576 hran)	Bitrunkováno 24 buněk (288 vrcholů, 576 hran)
{3,8|,4} = {3,8}8	{4,6|,3} = {4,6}6
42 vrcholů, 168 hran	56 vrcholů, 168 hran
Některé z 4-dimenzionálních pravidelných zkosených mnohostěnů zapadají do jednotné polychory, jak je znázorněno v horních 4 projekcích.

Coxeter také vyjmenoval větší soubor konečných pravidelných mnohostěnů ve svém příspěvku „pravidelný šikmý mnohostěn ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy“.

Stejně jako nekonečný zkosený mnohostěn představují rozmanité povrchy mezi buňkami konvexní jednotné voštiny, všechny konečné formy představují rozmanité povrchy v buňkách jednotná polychora.

Mnohostěn formy {2p, 2q | r} souvisí s Skupina coxeterů symetrie [(p, r, q, r)], která se redukuje na lineární [r, p, r], když q je 2. Coxeter dává tyto symetrie jako [[(p,r,q,r)]⁺] o kterém říká, že je pro něj izomorfní abstraktní skupina (2p,2q|2,r). Související plástev má rozšířenou symetrii [[(p,r,q,r)]].^[2]

{2p, 4 | r} je reprezentováno {2p} tvářemi bitruncated {r, p, r} jednotný 4-polytop a {4,2p | r} je reprezentováno čtvercovými plochami znaku runcinovaný {r, p, r}.

{4,4 | n} produkuje a n-n duoprism a konkrétně {4,4 | 4} se vejde do {4} x {4} tesseract.

{4,4 | n} řešení představují čtvercové plochy duoprismů, přičemž n-úhlové plochy jsou díry a představují a Clifford torus a aproximace a duocylinder

{4,4 | 6} má 36 čtvercových ploch, které jsou v perspektivní projekci vidět jako čtverce extrahované z 6,6 duoprism.

{4,4 | 4} má 16 čtvercových ploch a existuje jako podmnožina ploch v a tesseract.

Prsten 60 trojúhelníků tvoří pravidelný šikmý mnohostěn v rámci podmnožiny ploch a 600 buněk.

Konečná sada je založena na Coxeterově další rozšířená forma {q1, m | q2, q3 ...} nebo s q2 nespecifikováno: {l, m |, q}. Mohou být také zastoupeny jako pravidelné konečná mapa nebo {l, m}_2qa skupina G^l,m,q.^[3]

{l, m |, q} nebo {l, m}2q	Tváře	Hrany	Vrcholy	p	Struktura	Objednat	Poznámky
{3,6|,q} = {3,6}2q	2q2	3q2	q2	1	G3,6,2q	2q2
{3,2q|,3} = {3,2q}6	2q2	3q2	3q	(q-1)*(q-2)/2	G3,6,2q	2q2
{3,7|,4} = {3,7}8	56	84	24	3	LF (2,7)	168
{3,8|,4} = {3,8}8	112	168	42	8	PGL (2,7)	336	Souvisí s komplexní mnohostěn (1 1 114)4,
{4,6|,3} = {4,6}6	84	168	56	15	PGL (2,7)	336	Souvisí s komplexním mnohostěnem (14 14 11)(3),
{3,7|,6} = {3,7}12	364	546	156	14	LF (2,13)	1092
{3,7|,7} = {3,7}14	364	546	156	14	LF (2,13)	1092
{3,8|,5} = {3,8}10	720	1080	270	46	G3,8,10	2160	Souvisí s komplexním mnohostěnem (1 1 114)5,
{3,10|,4} = {3,10}8	720	1080	216	73	G3,8,10	2160	Souvisí s komplexním mnohostěnem (1 1 115)4,
{4,6|,2} = {4,6}4	12	24	8	3	S4 × S2	48
{5,6|,2} = {5,6}4	24	60	20	9	A5 × S2	120
{3,11|,4} = {3,11}8	2024	3036	552	231	LF (2,23)	6072
{3,7|,8} = {3,7}16	3584	5376	1536	129	G3,7,17	10752
{3,9|,5} = {3,9}10	12180	18270	4060	1016	LF (2,29) × A3	36540

Vyšší rozměry

Pravidelné šikmé mnohostěny mohou být také konstruovány v rozměrech vyšších než 4 as vložení do běžných polytopů nebo voštin. Například pravidelný dvacetistěn lze vložit do vrcholů 6-demicube; toto bylo pojmenováno pravidelný zkosený icosahedron podle H. S. M. Coxeter. Dodecahedron může být podobně vložen do 10-demicube.^[4]

Viz také

• Šikmý mnohoúhelník
• Nekonečný zkosený mnohostěn

Poznámky

Reference

• Peter McMullen, Čtyřrozměrný pravidelný mnohostěn „Diskrétní a výpočetní geometrie září 2007, svazek 38, vydání 2, str. 355–387
• Coxeter, Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN  0-486-61480-8
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H. S. M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 2) H.S.M. Coxeter, „Pravidelné houby nebo Šikmý mnohostěn“, Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
• Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 5: Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, sv. 43, 1937.)
  • Coxeter, H. S. M. Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• Garner, C. W. L. Pravidelná šikmá mnohostěna v hyperbolickém trojprostoru. Umět. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
• E. Schulte, J.M. Wills Na Coxeterově pravidelném zkoseném mnohostěnu, Discrete Mathematics, svazek 60, červen – červenec 1986, strany 253–262