Euklidovské obklady konvexními pravidelnými polygony - Euclidean tilings by convex regular polygons

Příklad periodických obkladů

A pravidelné obklady má jeden typ pravidelné tváře.	A semiregulární nebo jednotné obklady má jednu typ vrcholu, ale dva nebo více typů tváří.
A k- jednotné obklady má k typy vrcholů a dva nebo více typů pravidelných ploch.	A obklady bez okrajů může mít různé velikosti pravidelných tváří.

Euklidovský letadlo obklady konvexní pravidelné mnohoúhelníky byly široce používány od starověku. První systematické matematické zpracování bylo to Kepler v jeho Harmonices Mundi (latinský: Harmonie světa, 1619).

Pravidelné obklady

Následující Grünbaum a Shephard (část 1.3) se říká, že je obklad pravidelný pokud skupina symetrie obkladů jedná přechodně na vlajky obkladu, kde vlajka je trojnásobek skládající se ze vzájemného incidentu vrchol, hrana a dlaždice obkladu. To znamená, že pro každou dvojici příznaků existuje operace symetrie mapující první příznak na druhý. To odpovídá tomu, že obklady jsou obklady od okraje k okraji podle shodný pravidelné mnohoúhelníky. Musí jich být šest rovnostranné trojúhelníky čtyři čtverce nebo tři normální šestiúhelníky na vrcholu, čímž se získá tři pravidelné mozaikování.

Pravidelné obklady (3)

p6m, * 632		p4m, * 442
36 (t = 1, e = 1)	63 (t = 1, e = 1)	44 (t = 1, e = 1)

Archimedean, jednotné nebo semiregular tilings

Přechodnost vrcholů znamená, že pro každý pár vrcholů je a operace symetrie mapování prvního vrcholu na druhý.^[1]

Pokud je požadavek na vlajkovou tranzitivitu uvolněn na jednu z vrcholných tranzitivit, zatímco je zachována podmínka, že je obklad od okraje k okraji, je možné dalších osm obkladů, známých jako Archimedean, jednotný nebo demiregulární obklady. Všimněte si, že existují dva zrcadlový obraz (enantiomorfní nebo chirální ) formy 3⁴.6 (šestihranný šestihranný) obklad, z nichž pouze jeden je uveden v následující tabulce. Všechny ostatní pravidelné a semiregular tilings jsou achirální.

Rovnoměrné obklady (8)

p6m, * 632
3.122 (t = 2, e = 2) t {6,3}	3.4.6.4 (t = 3, e = 2) rr {3,6}	4.6.12 (t = 3, e = 3) tr {3,6}	(3.6)2 (t = 2, e = 1) r {6,3}
4.82 (t = 2, e = 2) t {4,4}	32.4.3.4 (t = 2, e = 2) s {4,4}	33.42 (t = 2, e = 3) {3,6}: e	34.6 (t = 3, e = 3) sr {3,6}

Grünbaum a Shephard rozlišují popis těchto obkladů jako Archimedean jako odkazující pouze na místní vlastnost uspořádání dlaždic kolem každého vrcholu, které jsou stejné, a to jako jednotný jako odkaz na globální vlastnost vrchol-tranzitivity. Ačkoli tyto poskytují stejnou sadu naklonění v rovině, v jiných prostorech existují archimédské naklonění, které nejsou jednotné.

k-uniformní obklady

3 uniformní obklady # 57 z 61 barevných

po stranách, žluté trojúhelníky, červené čtverce (po mnohoúhelnících)

podle 4-isohedral pozic, 3 shaded colors of triangles (by orbits)

Takové periodické obklady lze klasifikovat podle počtu oběžné dráhy vrcholů, hran a dlaždic. Pokud existují k orbity vrcholů, obklad je známý jako k-jednotka nebo k-isogonal; pokud existují t oběžné dráhy dlaždic, as t-edohedral; pokud existují E oběžné dráhy hran, jako E-isotoxální.

k-uniformní obklady se stejnými vrcholovými čísly lze dále identifikovat podle jejich skupina tapet symetrie.

1-uniformní tilings zahrnují 3 pravidelné tilings a 8 semiregular s 2 nebo více typů pravidelných polygonových ploch. K dispozici je 20 2 stejnoměrných obkladů, 61 3 stejnoměrných obkladů, 151 4 stejnoměrných obkladů, 332 5 stejnoměrných obkladů a 673 6 stejnoměrných obkladů. Každý může být seskupen podle čísla m různých vrcholných obrazců, které se také nazývají m-Archimédské obklady.^[2]

Nakonec, pokud je počet typů vrcholů stejný jako uniformita (m = k níže), pak se říká, že obklady jsou Krotenheerdt. Obecně je uniformita větší nebo rovna počtu typů vrcholů (m ≥ k), protože různé typy vrcholů nutně mají různé oběžné dráhy, ale ne naopak. Nastavení m = n = k, existuje 11 takových obkladů pro n = 1; 20 takových obkladů pro n = 2; 39 takových obkladů pro n = 3; 33 takových obkladů pro n = 4; 15 takových obkladů pro n = 5; 10 takových obkladů pro n = 6; a 7 takových obkladů pro n = 7.

Členité pravidelné polygony

Některé z k-uniformní obklady lze odvodit například symetrickou disekcí obkladových polygonů s vnitřními hranami (přímá disekce):

Členité polygony s původními hranami

Šestiúhelník	Dodekagon (každý má 2 orientace)

Některé k-uniformní obklady lze odvodit disekcí pravidelných mnohoúhelníků s novými vrcholy podél původních hran, například (nepřímá disekce):

Členitý 1 nebo 2 středními vrcholy

Trojúhelník			Náměstí		Šestiúhelník

Nakonec pro zobrazení všech typů vertexových konfigurací viz Planigon.

2 uniformní obklady

Je jich dvacet (20) 2 uniformní obklady euklidovské roviny. (také zvaný 2-isogonal obklady nebo demiregular tilings)^[4][5][6] U každého jsou uvedeny typy vrcholů. Pokud dva obklady sdílejí stejné dva typy vrcholů, jsou jim dány dolní indexy 1,2.

2 uniformní obklady (20)

p6m, * 632						p4m, * 442
[36; 32.4.3.4 (t = 3, e = 3)	[3.4.6.4; 32.4.3.4 (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 33.42] (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3.42.6] (t = 5, e = 5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t = 4, e = 4)	[36; 32.4.12] (t = 4, e = 4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t = 3, e = 3)
p6m, * 632	p6, 632	p6, 632	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222
[36; 32.62] (t = 2, e = 3)	[36; 34.6]1 (t = 3, e = 3)	[36; 34.6]2 (t = 5, e = 7)	[32.62; 34.6] (t = 2, e = 4)	[3.6.3.6; 32.62] (t = 2, e = 3)	[3.42.6; 3.6.3.6]2 (t = 3, e = 4)	[3.42.6; 3.6.3.6]1 (t = 4, e = 4)
p4g, 4 * 2	pgg, 22 ×	cmm, 2 * 22	cmm, 2 * 22	pmm, * 2222	cmm, 2 * 22
[33.42; 32.4.3.4]1 (t = 4, e = 5)	[33.42; 32.4.3.4]2 (t = 3, e = 6)	[44; 33.42]1 (t = 2, e = 4)	[44; 33.42]2 (t = 3, e = 5)	[36; 33.42]1 (t = 3, e = 4)	[36; 33.42]2 (t = 4, e = 5)

Vyšší k-uniformní obklady

k-uniformní obklady byly vyjmenovány až na 6. Existuje 673 6-uniformních obkladů euklidovské roviny. Hledání Briana Galebacha reprodukovalo Krotenheerdtův seznam 10 6-uniformních obkladů se 6 odlišnými typy vrcholů, stejně jako nalezení 92 z nich s 5 typy vrcholů, 187 z nich se 4 typy vrcholů, 284 z nich se 3 typy vrcholů a 100 s 2 typy vrcholů.

Fraktalizující k-uniformní obklady

Existuje mnoho způsobů, jak generovat nové k-uniformní obklady ze starých k-uniformních obkladů. Například si všimněte, že 2-uniforma [3.12.12; 3.4.3.12] obklad má čtvercovou mřížku, uniformu 4 (3-1) [343,12; (3.12²) 3] obklad má čtvercovou mřížku s tlumením a 5 (3-1-1) uniforma [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] obklad má podlouhlou trojúhelníkovou mříž. Tyto uniformní obklady vyššího řádu používají stejnou mříž, ale mají větší složitost. Fraktalizační základ pro obklady těchto prací je následující:^[7]

	Trojúhelník	Náměstí	Šestiúhelník	Členitý Dodekagon
Tvar
Fraktalizující

Délky stran jsou rozšířeny faktorem ${ displaystyle 2 + { sqrt {3}}}$.

To lze podobně provést pomocí zkráceného trihexagonálního obkladu jako základu s odpovídající dilatací ${ displaystyle 3 + { sqrt {3}}}$.

	Trojúhelník	Náměstí	Šestiúhelník	Členitý Dodekagon
Tvar
Fraktalizující

Fraktalizující příklady

	Zkrácené šestihranné obklady	Zkrácené trihexagonální obklady
Fraktalizující

Obklady, které nejsou od okraje k okraji

Konvexní pravidelné mnohoúhelníky mohou také tvořit rovné sklony, které nejsou od okraje k okraji. Takové obklady lze považovat od okraje k okraji jako nepravidelné mnohoúhelníky se sousedními kolineárními hranami.

Existuje sedm rodin isogonal každá rodina má parametr se skutečnou hodnotou určující přesah mezi stranami sousedních dlaždic nebo poměr mezi délkami hran různých dlaždic. Dvě z rodin jsou generovány z posunutých čtverců, buď progresivních nebo klikatých pozic. Grünbaum a Shephard tyto tilings nazývají jednotný ačkoli to odporuje Coxeterově definici uniformity, která vyžaduje pravidelné polygony od okraje k okraji.^[8] Takové izogonální obklady jsou ve skutečnosti topologicky identické s jednotnými obklady, s různými geometrickými rozměry.

Periodické isogonal tilings by non-edge-to-edge convex regular polygons

1	2	3	4	5	6	7
Řádky čtverců s vodorovnými posuny		Řádky trojúhelníků s vodorovnými posuny	Obklad čtverců	Každý trojúhelník obklopují tři šestiúhelníky	Šest trojúhelníků obklopuje každý šestiúhelník.	Tři velikostní trojúhelníky
cmm (2 * 22)	p2 (2222)	cmm (2 * 22)	p4m (* 442)	p6 (632)		p3 (333)
Šestihranný obklad		Čtvercové obklady	Zkrácený čtvercový obklad	Zkrácený šestihranný obklad	Šestihranný obklad	Trihexagonální obklady

Viz také

Reference

• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977). "Obklady pravidelnými polygony". Matematika. Mag. 50 (5): 227–247. doi:10.2307/2689529. JSTOR  2689529.
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1978). „Devadesát jedna typů izogonálních sklonů v rovině“. Trans. Dopoledne. Matematika. Soc. 252: 335–353. doi:10.1090 / S0002-9947-1978-0496813-3. PAN  0496813.
• Debroey, I .; Landuyt, F. (1981). "Ekvitransitivní náklony od okraje k okraji". Geometriae Dedicata. 11 (1): 47–60. doi:10.1007 / BF00183189. S2CID  122636363.
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman and Company. ISBN  0-7167-1193-1.
• Ren, Ding; Reay, John R. (1987). „Hraniční charakteristika a Pickova věta v archimédských rovinných obkladech“. J. Combinat. Teorie A. 44 (1): 110–119. doi:10.1016 / 0097-3165 (87) 90063-X.
• Chavey, D. (1989). „Tilings by Regular Polygons — II: A Catalog of Tilings“. Počítače a matematika s aplikacemi. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, 1970 ISBN  978-0-670-52830-1
• Sommerville, Duncan MacLaren Young (1958). Úvod do geometrie n Rozměry. Dover Publications. Kapitola X: Pravidelné Polytopy
• Préa, P. (1997). "Distanční sekvence a prahové hodnoty perkolace v Archimedean Tilings". Mathl. Comput. Modelování. 26 (8–10): 317–320. doi:10.1016 / S0895-7177 (97) 00216-1.
• Kovic, Jurij (2011). "Grafy symetrického typu platónských a archimédských těles". Matematika. Commun. 16 (2): 491–507.
• Pellicer, Daniel; Williams, Gordon (2012). „Minimal Covers of the Archimedean Tilings, Part 1“. Electronic Journal of Combinatorics. 19 (3): # P6. doi:10.37236/2512.
• Dale Seymour a Jill Britton, Úvod do mozaikování, 1989, ISBN  978-0866514613, str. 50–57

externí odkazy

Euklidovské a obecné obkladové odkazy:

• n-uniformní obklady Brian Galebach
• Holandský, Steve. „Uniform Tilings“. Archivovány od originál dne 09.09.2006. Citováno 2006-09-09.
• Mitchell, K. „Semi-Regular Tilings“. Citováno 2006-09-09.
• Weisstein, Eric W. "Teselace". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Semiregular teselace“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Demiregular teselace“. MathWorld.