Čtvercový obkladový plástev - Square tiling honeycomb

Čtvercový obkladový plástev

Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	{4,4,3} r {4,4,4} {4^1,1,1}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{4,4}
Tváře	náměstí {4}
Postava hrany	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	krychle, {4,3}
Dvojí	Order-4 oktaedrický plástev
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3] ${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4³] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Pravidelný

V geometrie z hyperbolický 3-prostor, čtvercový obklad voštinový je jedním z 11 běžných voštin z paracompactu. To se nazývá paracompact protože to má nekonečno buňky, jehož vrcholy existují horosféry a konvergovat do jednoho ideální bod v nekonečnu. Dána Schläfliho symbol {4,4,3}, má tři čtvercové obklady, {4,4}, kolem každého okraje a šest čtvercových tilingu kolem každého vrcholu, v a krychlový {4,3} vrchol obrázek.^[1]

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Opravená objednávka - čtvercový obklad 4

Rovněž se na něj dívá jako na voštinový plátek se čtvercovým obkladem se 4 řádky, r {4,4,4}:

{4,4,4}	r {4,4,4} = {4,4,3}
	=

Symetrie

Čtvercový obkladový plást má tři konstrukce reflexní symetrie: jako obyčejný plástev, poloviční symetrická konstrukce ↔ a nakonec konstrukce se třemi typy (barev) kostkovaných čtvercových obkladů ↔ .

Obsahuje také podskupinu indexu 6 [4,4,3^*] ↔ [4^1,1,1] a radiální podskupina [4, (4,3)^*] indexu 48, s právem vzepětí osmistěn základní doména a čtyři páry ultraparalelních zrcadel: .

Tento plástev obsahuje ta taška 2-hypercyklus povrchy, které jsou podobné paracompactu objednávka 3 apeirogonal obklady :

Související polytopy a voštiny

Čtvercový obkladový plást je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru. Je to jeden z jedenácti běžných paracompaktních voštin.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují patnáct uniformních voštin v [4,4,3] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy, a její dvojí, řád-4 oktaedrický plástev, {3,4,4}.

[4,4,3] rodinné voštiny
{4,4,3}	r {4,4,3}	t {4,4,3}	rr {4,4,3}	t_0,3{4,4,3}	tr {4,4,3}	t_0,1,3{4,4,3}	t_0,1,2,3{4,4,3}


{3,4,4}	r {3,4,4}	t {3,4,4}	rr {3,4,4}	2t {3,4,4}	tr {3,4,4}	t_0,1,3{3,4,4}	t_0,1,2,3{3,4,4}

Čtvercový obkladový plást je součástí objednávka-4 čtvercový obkladový plástev rodina, jak to lze vidět jako opravený řád - plástev se čtvercovými obklady.

[4,4,4] rodinné voštiny
{4,4,4}	r {4,4,4}	t {4,4,4}	rr {4,4,4}	t_0,3{4,4,4}	2t {4,4,4}	tr {4,4,4}	t_0,1,3{4,4,4}	t_0,1,2,3{4,4,4}

Souvisí to s 24článková, {3,4,3}, který má také kubický vrchol. Je také součástí posloupnosti voštin s čtvercové obklady buňky:

{4,4, p} voštiny proti t E
Prostor	E³	H³
Formulář	Afinní	Paracompact		Nekompaktní
název	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
Coxeter
obraz
Vrchol postava	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

Rektifikovaný voštinový čtvercový obklad

Rektifikovaný voštinový čtvercový obklad
Typ	Paracompact jednotný plástev Semiregular plástev
Schläfliho symboly	r {4,4,3} nebo t₁{4,4,3} 2r {3,4^1,1} r {4^1,1,1}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{4,3} r {4,4}
Tváře	náměstí {4}
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The usměrněný čtvercový obklad voštin, t₁{4,4,3}, má krychle a čtvercové obklady fazety, s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Je to podobné jako u hyperbolické uniformy 2D triapeirogonal obklady, r {∞, 3}, s trojúhelník a apeirogonal tváře.

Zkrácený voštinový čtvercový obklad

Zkrácený voštinový čtvercový obklad
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t {4,4,3} nebo t_0,1{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔
Buňky	{4,3} t {4,4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	trojúhelníková pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3] ${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4³] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený voštinový čtvercový obklad, t {4,4,3}, má krychle a zkrácený čtvercový obklad fazety, s a trojúhelníková pyramida vrchol obrázek. Je to stejné jako cantitruncated order-4 square tiling honeycomb, tr {4,4,4}, .

Bitruncated náměstí obklady plástev

Bitruncated náměstí obklady plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	2t {4,4,3} nebo t_1,2{4,4,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {4,3} t {4,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	digonal disphenoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The bitruncated náměstí obklady plástev, 2t {4,4,3}, má zkrácená kostka a zkrácený čtvercový obklad fazety, s a digonal disphenoid vrchol obrázek.

Kanylovaný voštinový čtvercový obklad

Kanylovaný voštinový čtvercový obklad
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	rr {4,4,3} nebo t_0,2{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	r {4,3} rr {4,4} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	rovnoramenný trojúhelníkový hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated square tiling honeycomb, rr {4,4,3}, má cuboctahedron, čtvercové obklady, a trojúhelníkový hranol fazety, s rovnoramennými trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Cantitruncated čtvercový obkladový plástev

Cantitruncated čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	tr {4,4,3} nebo t_0,1,2{4,4,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {4,3} tr {4,4} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	rovnoramenný trojúhelníková pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated square tiling honeycomb, tr {4,4,3}, má zkrácená kostka, zkrácený čtvercový obklad, a trojúhelníkový hranol fazety, s rovnoramennými trojúhelníková pyramida vrchol obrázek.

Runcinated čtvercový obklad plástev

Runcinated čtvercový obklad plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t_0,3{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{3,4} {4,4} {} x {4} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	nepravidelný trojúhelníkový antiprism
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcinated square tiling honeycomb, t_0,3{4,4,3}, má osmistěn, trojúhelníkový hranol, krychle, a čtvercové obklady fazety, s nepravidelným trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.

Runcitruncated čtvercový obkladový plástev

Runcitruncated čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,1,3{4,4,3} s_2,3{3,4,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	rr {4,3} t {4,4} {} x {3} {} x {8}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated čtvercový obkladový plástev, t_0,1,3{4,4,3}, má kosočtverec, osmiboký hranol, trojúhelníkový hranol a zkrácený čtvercový obklad fazety, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Runcicantellated čtvercový obklad voštinový

The runcicantellated čtvercový obklad voštinový je stejný jako runcitruncated order-4 octahedral honeycomb.

Omnitruncated čtvercový obkladový plástev

Omnitruncated čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t_0,1,2,3{4,4,3}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {4,4} {} x {6} {} x {8} tr {4,3}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	nepravidelný čtyřstěn
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [4,4,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The všestranný čtvercový obkladový plástev, t_0,1,2,3{4,4,3}, má zkrácený čtvercový obklad, zkrácený cuboctahedron, šestihranný hranol, a osmiboký hranol fazety, s nepravidelným čtyřstěn vrchol obrázek.

Omnisnub čtvercový obkladový plástev

Omnisnub čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h (t_0,1,2,3{4,4,3})
Coxeterův diagram
Buňky	sr {4,4} sr {2,3} sr {2,4} sr {4,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	nepravidelný čtyřstěn
Skupina coxeterů	[4,4,3]⁺
Vlastnosti	Nejednotný, vrcholný

The střídavý všesměrový čtvercový obkladový plástev (nebo omnisnub čtvercový obkladový plástev), h (t_0,1,2,3{4,4,3}), má urážet čtvercové obklady, urážka kostka, trojúhelníkový antiprism, čtvercový antiprism, a čtyřstěn buňky, s nepravidelným čtyřstěn vrchol obrázek.

Střídavý čtvercový obkladový plástev

Střídavý čtvercový obklad voštin
Typ	Paracompact jednotný plástev Semiregular plástev
Schläfliho symbol	h {4,4,3} hod {4,4,4} {(4,3,3,4)} h {4^1,1,1}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
Buňky	{4,4} {4,3}
Tváře	náměstí {4}
Vrcholová postava	cuboctahedron
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1] [4,1⁺,4,4] ↔ [∞,4,4,∞] ${ displaystyle { widehat {BR}} _ {3}}$ , [(4,4,3,3)] [1⁺,4^1,1,1] ↔ [∞^[6]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive, quasiregular

The střídavý čtvercový obkladový plástev, h {4,4,3}, je quasiregular paracompact uniformní plástev v hyperbolickém 3-prostoru. Má to krychle a čtvercové obklady fazety v a cuboctahedron vrchol obrázek.

Kantický čtvercový obkladový plástev

Kantický čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₂{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {4,4} r {4,3} t {4,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	obdélníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantic square obklady plástev, h₂{4,4,3}, je paracompact uniformní plástev v hyperbolickém 3-prostoru. Má to zkrácený čtvercový obklad, zkrácená kostka, a cuboctahedron fazety, s a obdélníkový pyramida vrchol obrázek.

Runcic čtvercový obkladový plástev

Runcic čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₃{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{4,4} r {4,3} {3,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	náměstí frustum
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcic čtvercový obklad voštinový, h₃{4,4,3}, je paracompact uniformní plástev v hyperbolickém 3-prostoru. Má to čtvercové obklady, kosočtverec, a osmistěn fazety v a náměstí frustum vrchol obrázek.

Runcicantic čtvercový obkladový plástev

Runcicantic čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h_2,3{4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {4,4} tr {4,3} t {3,4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcicantic čtvercový obklad voštinový, h_2,3{4,4,3}, ↔ , je paracompact uniformní plástev v hyperbolickém 3-prostoru. Má to zkrácený čtvercový obklad, zkrácený cuboctahedron, a zkrácený osmistěn fazety v a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Střídavě voštinový čtvercový obklad

Střídavě voštinový čtvercový obklad
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	hod {4,4,3}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky
Tváře
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupiny coxeterů	[4,1⁺,4,3] = [∞,3,3,∞]
Vlastnosti	Nonsimplectic, vrchol-tranzitivní

The střídaný voštinový čtvercový obklad je paracompact uniformní plástev v hyperbolickém 3-prostoru.

Viz také

Reference

^ Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů
- Norman W. Johnson a Asia Ivic Weiss Kvadratická celá čísla a skupiny coxeterů PDF Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999, s. 1307–1336

[1] Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

[1]