Order-4 dodekahedrální plástev - Order-4 dodecahedral honeycomb
Order-4 dodekahedrální plástev | |
---|---|
Typ | Hyperbolický pravidelný plástev Jednotný hyperbolický plástev |
Schläfliho symbol | {5,3,4} {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | {5,3} |
Tváře | Pentagon {5} |
Postava hrany | náměstí {4} |
Vrcholová postava | osmistěn |
Dvojí | Objednávka-5 kubických voštin |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Pravidelný, Kvaziregulární plástev |
V geometrie z hyperbolický 3-prostor, řád-4 dodekahedrální plástev je jedním ze čtyř kompaktních pravidelný vyplňování prostoru mozaikování (nebo voštiny ). S Schläfliho symbol {5,3,4}, má čtyři dodekahedra kolem každého okraje a 8 dodecahedra kolem každého vrcholu v osmistěn dohoda. Jeho vrcholy jsou konstruovány ze 3 ortogonálních os. Své dvojí je objednávka-5 kubických voštin.
A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.
Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.
Popis
The vzepětí úhel a pravidelný dvanáctistěn je ~ 116,6 °, takže je nemožné umístit 4 z nich na hranu v euklidovském 3prostoru. V hyperbolickém prostoru však lze řádně zmenšený pravidelný dvanáctistěn zmenšit tak, že jeho úhly vzepětí jsou zmenšeny na 90 stupňů a poté čtyři přesně zapadnou na každý okraj.
Symetrie
Má poloviční symetrickou konstrukci, {5,31,1}, se dvěma typy (barvami) dodekahedry v Wythoffova konstrukce. ↔ .
snímky
Pohled na dodekahedrální voštinu řádu 4 pod Model Beltrami-Klein
Související polytopy a voštiny
Ve 3D hyperbolickém prostoru jsou čtyři pravidelné kompaktní voštiny:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Existují patnáct uniformních voštin v [5,3,4] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy.
{5,3,4} | r {5,3,4} | t {5,3,4} | rr {5,3,4} | t0,3{5,3,4} | tr {5,3,4} | t0,1,3{5,3,4} | t0,1,2,3{5,3,4} |
---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,3,5} | r {4,3,5} | t {4,3,5} | rr {4,3,5} | 2t {4,3,5} | tr {4,3,5} | t0,1,3{4,3,5} | t0,1,2,3{4,3,5} |
Existují jedenáct jednotných voštin v bifurkaci [5,31,1] Rodina skupiny Coxeter, včetně této voštiny v její alternativní formě. Tuto konstrukci lze reprezentovat střídáním (šachovnicí) se dvěma barvami dodekahedrálních buněk.
Tato plástev také souvisí s 16 buněk, kubický plástev, a objednávka 4 šestihranný obkladový plástev všechny, které mají osmiboká čísla vrcholů:
{p, 3,4} pravidelné voštiny | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | S3 | E3 | H3 | ||||||||
Formulář | Konečný | Afinní | Kompaktní | Paracompact | Nekompaktní | ||||||
název | {3,3,4} | {4,3,4} | {5,3,4} | {6,3,4} | {7,3,4} | {8,3,4} | ... {∞,3,4} | ||||
obraz | |||||||||||
Buňky | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} |
Tato plástev je součástí řady polychora a voštin s dodekahedrál buňky:
Prostor | S3 | H3 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Formulář | Konečný | Kompaktní | Paracompact | Nekompaktní | |||
název | {5,3,3} | {5,3,4} | {5,3,5} | {5,3,6} | {5,3,7} | {5,3,8} | ... {5,3,∞} |
obraz | |||||||
Vrchol postava | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3,∞} |
Rektifikovaná objednávka-4 dodekahedrální plástev
Rektifikovaná objednávka-4 dodekahedrální plástev | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | r {5,3,4} r {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | r {5,3} {3,4} |
Tváře | trojúhelník {3} Pentagon {5} |
Vrcholová postava | hranatý hranol |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Vertex-transitive, edge-transitive |
The opravený řád-4 dodekahedrální plástev, , se střídá osmistěn a icosidodecahedron buňky s a hranatý hranol vrchol obrázek.
Související voštiny
K dispozici jsou čtyři opravené kompaktní pravidelné voštiny:
obraz | ||||
---|---|---|---|---|
Symboly | r {5,3,4} | r {4,3,5} | r {3,5,3} | r {5,3,5} |
Vrchol postava |
Zkrácený dodekedrální plástev řádu 4
Zkrácený dodekedrální plástev řádu 4 | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | t {5,3,4} t {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | t {5,3} {3,4} |
Tváře | trojúhelník {3} desetiúhelník {10} |
Vrcholová postava | čtvercová pyramida |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The zkrácená objednávka-4 dodekahedrální plástev, , má osmistěn a zkrácený dvanáctistěn buňky s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.
Lze to považovat za analogické s 2D hyperbolikem zkrácený pětiúhelníkový obklad objednávky-4, t {5,4} se zkráceným pětiúhelníkem a hranatými plochami:
Související voštiny
obraz | ||||
---|---|---|---|---|
Symboly | t {5,3,4} | t {4,3,5} | t {3,5,3} | t {5,3,5} |
Vrchol postava |
Bitruncated order-4 dodecahedral honeycomb
Bitruncated order-4 dodecahedral honeycomb Bitrunkovaný objednávkový 5 kubický plástev | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | 2t {5,3,4} 2t {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | t {3,5} t {3,4} |
Tváře | náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | digonal disphenoid |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The bitruncated order-4 dodecahedral honeycombnebo bitruncated order-5 cubic honeycomb, , má zkrácený osmistěn a zkrácený dvacetistěn buňky s a digonal disphenoid vrchol obrázek.
Související voštiny
obraz | |||
---|---|---|---|
Symboly | 2t {4,3,5} | 2t {3,5,3} | 2t {5,3,5} |
Vrchol postava |
Kanylovaný voštinový řád dodekaedrický 4
Kanylovaný dodekahedrální plástev řádu 4 | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | rr {5,3,4} rr {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | rr {3,5} r {3,4} {} x {4} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} |
Vrcholová postava | klín |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantellated order-4 dodecahedral honeycomb, , má rhombicosidodecahedron, cuboctahedron, a krychle buňky s a klín vrchol obrázek.
Související voštiny
Čtyři cantellované pravidelné kompaktní voštiny v H3 | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Cantitruncated order-4 dodecahedral honeycomb
Cantitruncated order-4 dodecahedral honeycomb | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | tr {5,3,4} tr {5,31,1} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | tr {3,5} t {3,4} {} x {4} |
Tváře | náměstí {4} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10} |
Vrcholová postava | zrcadlový sfénoid |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] , [5,31,1] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantitruncated order-4 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený icosidodecahedron, zkrácený osmistěn, a krychle buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.
Související voštiny
obraz | ||||
---|---|---|---|---|
Symboly | tr {5,3,4} | tr {4,3,5} | tr {3,5,3} | tr {5,3,5} |
Vrchol postava |
Runcinated order-4 dodecahedral honeycomb
The runcinated order-4 dodecahedral honeycomb je stejný jako runcinated order-5 cubic honeycomb.
Runcitruncated order-4 dodecahedral honeycomb
Runcitruncated order-4 dodecahedral honeycomb | |
---|---|
Typ | Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru |
Schläfliho symbol | t0,1,3{5,3,4} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | t {5,3} rr {3,4} {} x {10} {} x {4} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} desetiúhelník {10} |
Vrcholová postava | rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida |
Skupina coxeterů | , [4,3,5] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcitruncated order-4 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený dvanáctistěn, kosočtverec, desetiboký hranol, a krychle buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.
Související voštiny
Čtyři runcitrunované pravidelné kompaktní voštiny v H3 | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Runcicantellated order-4 dodecahedral honeycomb
The runcicantellated order-4 dodecahedral honeycomb je stejný jako runcitruncated order-5 kubický plástev.
Omnitruncated order-4 dodecahedral honeycomb
The všesměrová objednávka-4 dodekahedrální plástev je stejný jako omnitruncated order-5 kubický plástev.
Viz také
- Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
- Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
- Poincarého homologie koule Poincaré dodecahedral prostor
- Seifert – Weberův prostor Seifert – Weber dodekaedrický prostor
Reference
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
- Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, souhrnné tabulky II, III, IV, V, p212-213)
- Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
- Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů