Triacontagon - Triacontagon
Pravidelný triakontagon | |
---|---|
Pravidelný triakontagon | |
Typ | Pravidelný mnohoúhelník |
Hrany a vrcholy | 30 |
Schläfliho symbol | {30}, t {15} |
Coxeterův diagram | |
Skupina symetrie | Vzepětí (D.30), objednat 2 × 30 |
Vnitřní úhel (stupňů ) | 168° |
Duální mnohoúhelník | Já |
Vlastnosti | Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální |
v geometrie, a triakontagon nebo 30-gon je třicetistranný polygon. Součet vnitřních úhlů kteréhokoli triacontagon je 5040 stupňů.
Pravidelný triakontagon
The pravidelný triakontagon je konstruovatelný mnohoúhelník hranoupůlení pravidelného pentadekagon, a lze jej také zkonstruovat jako a zkrácen pentadekagon, t {15}. Zkrácený triakontagon, t {30}, je hexakontagon, {60}.
Jeden vnitřní úhel v a pravidelný triacontagon je 168 °, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 12 °. Trojúhelník je největší pravidelný mnohoúhelník, jehož vnitřní úhel je součtem vnitřních úhlů menších polygonů: 168 ° je součet vnitřních úhlů rovnostranný trojúhelník (60 °) a pravidelný pětiúhelník (108°).
The plocha pravidelného triakontagonu je (s t = délka hrany)
The inradius pravidelného triakontagonu je
The circumradius pravidelného triakontagonu je
Konstrukce
Protože 30 = 2 × 3 × 5, pravidelný triakontagon je konstruovatelný používat kompas a pravítko.[1]
Symetrie
The pravidelný triakontagon má Dih30 dihedrální symetrie, řád 60, představovaný 30 řádky odrazu. Dih30 má 7 dihedrálních podskupin: Dih15, (Dih10, Dih5), (Dih6, Dih3) a (Dih2, Dih1). Má také dalších osm cyklický symetrie jako podskupiny: (Z30, Z15), (Z.10, Z5), (Z.6, Z3) a (Z.2, Z1), se Zn představující π /n radiánová rotační symetrie.
John Conway označí tyto nižší symetrie písmenem a pořadí symetrie následuje za písmenem.[2] On dává d (úhlopříčka) se zrcadlovými čarami vedenými vrcholy, p se zrcadlovými liniemi přes hrany (kolmé), i se zrcadlovými čarami procházejícími jak vrcholy, tak hranami, a G pro rotační symetrii. a1 štítky bez symetrie.
Tyto nižší symetrie umožňují určité stupně volnosti při definování nepravidelných triakontagonů. Pouze g30 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.
Pitva
Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé), lze je rozdělit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.[3]Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný triakontagon, m= 15, lze jej rozdělit na sady 105: 7 po 15 rombech. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 15 krychlí.
Triakontagram
Triakontagram je 30stranný hvězdný polygon. Existují 3 pravidelné formuláře dané Schläfliho symboly {30/7}, {30/11} a {30/13} a 11 složených hvězdných postav se stejnými konfigurace vrcholů.
Sloučeniny a hvězdy | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Formulář | Sloučeniny | Hvězda mnohoúhelník | Sloučenina | ||||
Obrázek | {30/2}=2{15} | {30/3}=3{10} | {30/4}=2{15/2} | {30/5}=5{6} | {30/6}=6{5} | {30/7} | {30/8}=2{15/4} |
Vnitřní úhel | 156° | 144° | 132° | 120° | 108° | 96° | 84° |
Formulář | Sloučeniny | Hvězda mnohoúhelník | Sloučenina | Hvězda mnohoúhelník | Sloučeniny | ||
Obrázek | {30/9}=3{10/3} | {30/10}=10{3} | {30/11} | {30/12}=6{5/2} | {30/13} | {30/14}=2{15/7} | {30/15}=15{2} |
Vnitřní úhel | 72° | 60° | 48° | 36° | 24° | 12° | 0° |
Jsou tu také isogonal triakontagramy konstruované jako hlubší zkrácení pravidelného pentadekagon {15} a pentadecagram {15/7} a obrácené pentadecagramy {15/11} a {15/13}. Další zkrácení tvoří dvojité krytí: t {15/14} = {30/14} = 2 {15/7}, t {15/8} = {30/8} = 2 {15/4}, t {15 / 4} = {30/4} = 2 {15/4} a t {15/2} = {30/2} = 2 {15}.[4]
Sloučeniny a hvězdy | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Quasiregular | Isogonal | Quasiregular Dvojité krytiny | |||||||||
t {15} = {30} | t {15/14} = 2 {15/7} | ||||||||||
t {15/7} = {30/7} | t {15/8} = 2 {15/4} | ||||||||||
t {15/11} = {30/11} | t {15/4} = 2 {15/2} | ||||||||||
t {15/13} = {30/13} | t {15/2} = 2 {15} |
Petrie polygony
Pravidelným trojkontaktem je Petrie polygon pro tři 8rozměrné polytopy s E8 symetrie, zobrazeno v ortogonální projekce v E.8 Coxeterovo letadlo. Je to také Petrieho polygon pro dva 4-dimenzionální polytopy, zobrazené na H4 Coxeterovo letadlo.
E8 | H4 | |||
---|---|---|---|---|
421 | 241 | 142 | 120 buněk | 600 buněk |
Pravidelný triacontagram {30/7} je také Petrieho polygon pro skvělý hvězdný 120 buněk a velký 600 buněk.
Reference
- ^ Konstruktivní polygon
- ^ Symetrie věcí, Kapitola 20
- ^ Coxeter Matematické rekreace a eseje, třinácté vydání, s. 141
- ^ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Proměny polygonů, Branko Grünbaum