Čtvrtletní kubický plástev - Quarter cubic honeycomb

Čtvrtletní kubický plástev

Typ	Jednotný plástev
Rodina	Zkrácený simplektický plástev Čtvrtletní hyperkubický plástev
Indexování^[1]	J_25,33, A₁₃ Ž₁₀, G.₆
Schläfliho symbol	t_0,1{3^[4]} nebo q {4,3,4}
Coxeter-Dynkinův diagram	= =
Typy buněk	{3,3} (3.6.6)
Typy obličeje	{3}, {6}
Vrcholová postava	(rovnoramenné trojúhelníkový antiprism )
Vesmírná skupina	Fd3m (227)
Skupina coxeterů	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2₂, [[3^[4]]]
Dvojí	zploštělá kubila Buňka: (1/4 kosočtverečného dvanáctistěnu)
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní

The čtvrt kubický plástev, čtvrtina kubické buněčné nebo bitruncated alternativní kubický plástev je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se z čtyřstěn a zkrácený čtyřstěn v poměru 1: 1. Jmenuje se to „čtvrtkubický“, protože jeho jednotka symetrie - minimální blok, ze kterého je vzor vytvořen odrazy - se skládá ze čtyř takových jednotek kubický plástev.

to je vrchol-tranzitivní s 6 zkrácený čtyřstěn a 2 čtyřstěn kolem každého vrcholu.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Je to jeden z 28 konvexní jednotné voštiny.

Tváře buněk této plástve tvoří čtyři rodiny rovnoběžných rovin, každá s a 3.6.3.6 obklady.

Své vrchol obrázek je rovnoramenný antiprism: dva rovnostranné trojúhelníky připojil se šest rovnoramenné trojúhelníky.

John Horton Conway nazývá tento plástev a zkrácený čtyřstěna jeho dvojí zploštělá kubila.

Vrcholy a hrany představují a Kagome mříž ve třech rozměrech,^[2] který je pyrochlore mříž.

Konstrukce

Čtvrtý kubický plástev může být konstruován v deskových vrstvách zkrácených čtyřstěnů a čtyřstěnných buněk, viděných jako dva trihexagonal tilings. Dva čtyřstěny jsou stohovány vrcholem a centrální inverze. V každém trihexagonal obklady, polovina trojúhelníků patří do čtyřstěnů a polovina do zkrácených čtyřstěnů. Tyto deskové vrstvy musí být stohovány čtyřstěnnými trojúhelníky na zkrácené čtyřstěnné trojúhelníky, aby se vytvořila uniforma čtvrt kubický plástev. Lze střídat deskové vrstvy šestihranných hranolů a trojúhelníkových hranolů protáhlý voštiny, ale také nejsou jednotné.

	trihexagonal obklady:

Symetrie

Buňky lze zobrazit ve dvou různých symetriích. Formulář generovaný odrazem reprezentovaný jeho Coxeter-Dynkinův diagram má dvě barvy zkrácený cuboctahedra. Symetrii lze zdvojnásobit vztahem dvojic prstencových a nezkroucených uzlů Coxeter-Dynkinova diagramu, které lze zobrazit pomocí jedné barevné čtyřboké a zkrácené čtyřboké buňky.

Dvě jednotná barviva
Symetrie	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ , [3^[4]]	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2, [[3^[4]]]
Vesmírná skupina	F43 m (216)	Fd3m (227)
Zbarvení
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	C_3v [3] (*33) objednávka 6	D_3d [2⁺,6] (2*3) objednávka 12

Související mnohostěn

Podmnožina šestihranných ploch tohoto plástu obsahuje a pravidelný zkosený apeirohedron {6,6\|3}.	Čtyři sady rovnoběžných rovin trihexagonal tilings existují v celé této plástve.

Tento plástev je jedním z pět odlišných jednotných voštin^[3] postavena ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Symetrii lze vynásobit symetrií prstenů v Coxeter – Dynkinovy diagramy:

A3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Náměstí symetrie	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštinové diagramy
F43 m (216)	1^Ó:2	a1	[3^[4]]		${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$	(Žádný)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2₁ ↔ ${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] nebo [2⁺[3^[4]]]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×2₂	₃
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×4₁ ↔ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$	₄
Já3 (204)	8^-O	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ½ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^Ó:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ ×2	₅

C3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Polovina	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
Já43 m (217)	4^Ó:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Polovina × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Čtvrtletí × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^Ó:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

Čtvrtletní kubický plástev souvisí s maticí trojrozměrných plástů: q {2p, 4,2q}

Euklidovský/hyperbolický(paracompact/nekompaktní) čtvrtiny voštin q {p, 3, q}
p q	4	6	8	... ∞
4	q {4,3,4} ↔ ↔	q {4,3,6} ↔ ↔	q {4,3,8} ↔	q {4,3, ∞} ↔
6	q {6,3,4} ↔ ↔	q {6,3,6} ↔	q {6,3,8} ↔	q {6,3, ∞} ↔
8	q {8,3,4} ↔	q {8,3,6} ↔	q {8,3,8} ↔	q {8,3, ∞} ↔
... ∞	q {∞, 3,4} ↔	q {∞, 3,6} ↔	q {∞, 3,8} ↔	q {∞, 3, ∞} ↔

Viz také

Reference

^ Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).
^ „Článek Fyzika dnes o tomto slově kagome".
^ [1], OEIS sekvence A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, Architectonic and Catoptric tessellations, s. 292-298, zahrnuje všechny neprismatické formy)
George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Úplný seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
Branko Grünbaum, Rovnoměrné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4(1994), 49 - 56.
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
Critchlow, Keith (1970). Order in Space: Design source book. Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
D. M. Y. Sommerville, Úvod do geometrie n Rozměry. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 stran (vydání Dover Publications, 1958) Kapitola X: Pravidelné polytopy
Klitzing, Richarde. „3D euklidovské voštiny x3x3o3o3 * a - batatoh - O27“.
Jednotné voštiny ve 3-prostoru: 15-Batatoh

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${displaystyle {ilde {A}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {C}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {B}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {D}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ / ${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ / ${displaystyle {ilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).

[2] „Článek Fyzika dnes o tomto slově kagome".

[3] [1], OEIS sekvence A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

[1]

[2]

[3]