Order-3 apeirogonal obklady - Order-3 apeirogonal tiling

Order-3 apeirogonal obklady
Poincaré model disku z hyperbolická rovina
Typ	Hyperbolické pravidelné obklady
Konfigurace vrcholů	∞³
Schläfliho symbol	{∞,3} t {∞, ∞} t (∞, ∞, ∞)
Wythoffův symbol	3 \| ∞ 2 2 ∞ \| ∞ ∞ ∞ ∞ \|
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	[∞,3], (∞32) [∞,∞], (∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)
Dvojí	Nekonečné pořadí trojúhelníkové obklady
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, tvář-tranzitivní

v geometrie, objednávka 3 apeirogonal obklady je pravidelné obklady z hyperbolická rovina. To je reprezentováno Schläfliho symbol {∞, 3}, tři pravidelné apeirogony kolem každého vrcholu. Každý apeirogon je napsaný v horocykl.

The order-2 apeirogonal obklady představuje nekonečno dihedron v euklidovské rovině jako {∞, 2}.

snímky

Každý apeirogon tvář je vymezený podle a horocykl, který vypadá jako kruh v a Poincaré model disku, vnitřně tečna k hranici projektivní kružnice.

Jednotná barviva

Jako euklidovský šestihranný obklad, existují 3 jednotná barviva objednávka 3 apeirogonal obklady, každý z různých reflexních skupina trojúhelníků domény:

Pravidelný	Zkrácení
{∞,3}	t_0,1{∞,∞}	t_1,2{∞,∞}	t {∞^[3]}
Hyperbolický trojúhelníkové skupiny
[∞,3]	[∞,∞]		[(∞,∞,∞)]

Symetrie

Duál tohoto obkladu představuje základní domény symetrie [(∞, ∞, ∞)] (* ∞∞∞). Existuje 15 malých podskupin indexů (7 jedinečných) vytvořených z [(∞, ∞, ∞)] odstraněním zrcadla a střídáním. Zrcadla mohou být odstraněna, pokud jsou řádové řádky všechny sudé, a rozdělí sousední řádky na polovinu. Odstranění dvou zrcadel ponechává poloměrný bod otáčení, kde se setkala odstraněná zrcátka. Na těchto obrázcích jsou základní domény střídavě barevně černé a bílé a na hranicích mezi barvami existují zrcadla. Symetrii lze zdvojnásobit jako ∞∞2 symetrie přidáním zrcadlení půlícího základní doménu. Rozdělení základní domény 3 zrcadly vytvoří a ∞32 symetrie.

Je vytvořena větší podskupina [(∞, ∞, ∞^*)], index 8, as (∞ * ∞^∞) s odstraněnými body gyrace se stane (* ∞^∞).

Podskupiny [(∞, ∞, ∞)] (* ∞∞∞)
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[(∞,∞,∞)]	[(1⁺,∞,∞,∞)] =	[(∞,1⁺,∞,∞)] =	[(∞,∞,1⁺,∞)] =	[(1⁺,∞,1⁺,∞,∞)]	[(∞⁺,∞⁺,∞)]
Orbifold	*∞∞∞	*∞∞∞∞			∞*∞∞∞	∞∞∞×
Diagram
Coxeter		[(∞,∞⁺,∞)]	[(∞,∞,∞⁺)]	[(∞⁺,∞,∞)]	[(∞,1⁺,∞,1⁺,∞)]	[(1⁺,∞,∞,1⁺,∞)] =
Orbifold		∞*∞			∞*∞∞∞
Přímé podskupiny
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[(∞,∞,∞)]⁺	[(∞,∞⁺,∞)]⁺ =	[(∞,∞,∞⁺)]⁺ =	[(∞⁺,∞,∞)]⁺ =	[(∞,1⁺,∞,1⁺,∞)]⁺ =
Orbifold	∞∞∞	∞∞∞∞			∞∞∞∞∞∞
Radikální podskupiny
Index	∞			∞
Diagram
Coxeter	[(∞,∞*,∞)]	[(∞,∞,∞*)]	[(∞*,∞,∞)]	[(∞,∞*,∞)]⁺	[(∞,∞,∞*)]⁺	[(∞*,∞,∞)]⁺
Orbifold	∞*∞^∞			∞^∞

Související mnohostěny a obklady

Tento obklad je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti pravidelných mnohostěnů s Schläfliho symbol {n, 3}.

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {n,3} proti t E
Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Paracompact uniformní obklady v rodině [∞, 3] proti t E
Symetrie: [∞,3], (*∞32)							[∞,3]⁺ (∞32)	[1⁺,∞,3] (*∞33)		[∞,3⁺] (3*∞)

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

{∞,3}	t {∞, 3}	r {∞, 3}	t {3, ∞}	{3,∞}	rr {∞, 3}	tr {∞, 3}	sr {∞, 3}	h {∞, 3}	h₂{∞,3}	s {3, ∞}
Jednotné duály


V∞³	V3.∞.∞	V (3.∞)²	V6.6.∞	V3^∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V (3.∞)³		V3.3.3.3.3.∞

Paracompact uniformní obklady v rodině [∞, ∞] proti t E
= =	= =	= =	= =	= =	=	=

{∞,∞}	t {∞, ∞}	r {∞, ∞}	2t {∞, ∞} = t {∞, ∞}	2r {∞, ∞} = {∞, ∞}	rr {∞, ∞}	tr {∞, ∞}
Dvojité obklady


V∞^∞	V∞.∞.∞	V (∞.∞)²	V∞.∞.∞	V∞^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Střídání
[1⁺,∞,∞] (*∞∞2)	[∞⁺,∞] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺] (∞*∞)	[∞,∞,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,∞,2⁺)] (2*∞∞)	[∞,∞]⁺ (2∞∞)


h {∞, ∞}	s {∞, ∞}	hr {∞, ∞}	s {∞, ∞}	h₂{∞,∞}	hrr {∞, ∞}	sr {∞, ∞}
Alternační duály


V (∞.∞)^∞	V (3.∞)³	V (∞.4)⁴	V (3.∞)³	V∞^∞	V (4.∞.4)²	V3.3.∞.3.∞

Paracompact uniformní obklady v rodině [(∞, ∞, ∞)] proti t E



(∞,∞,∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) r {∞, ∞}	t (∞, ∞, ∞) t {∞, ∞}
Dvojité obklady

V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Střídání
[(1⁺,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞⁺,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1⁺)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞⁺)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]⁺ (∞∞∞)


Alternační duály

V (∞.∞)^∞	V (∞.4)⁴	V (∞.∞)^∞	V (∞.4)⁴	V (∞.∞)^∞	V (∞.4)⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

Viz také

Obklady pravidelných polygonů
Seznam jednotných rovinných obkladů
Seznam běžných polytopů
Šestihranný obkladový plástev, podobný {6,3,3} plástev v H³.

Reference

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 19, Hyperbolické archimédovské mozaiky)
"Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru". Krása geometrie: Dvanáct esejů. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.