Konvexní jednotný plástev - Convex uniform honeycomb

The střídaný kubický plástev je jedním z 28 rovnoměrných mozaik vyplňujících prostor v euklidovském 3prostoru složených ze střídavě žluté čtyřstěn a červená oktaedra.

v geometrie, a konvexní jednotný plástev je jednotný mozaikování který vyplňuje trojrozměrný Euklidovský prostor nepřekrývající se konvexní jednotný mnohostěn buňky.

Je známo dvacet osm takových voštin:

známý kubický plástev a 7 jejich zkrácení;
the střídaný kubický plástev a 4 jejich zkrácení;
10 hranolové formy založené na rovnoměrné naklonění roviny (11, pokud zahrnuje kubický plástev);
5 modifikací některého z výše uvedeného prodloužením a / nebo kroucením.

Mohou být považovány za trojrozměrný analog k rovnoměrné naklonění roviny.

The Voronoiho diagram ze všech mříž tvoří konvexní jednotný plástev, ve kterém jsou buňky zonohedra.

Dějiny

1900: Thorold Gosset vyjmenoval seznam semiregulárních konvexních polytopů s pravidelnými buňkami (Platonické pevné látky ) ve své publikaci Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí, včetně jedné pravidelné kubické voštiny a dvou semiregulárních forem se čtyřstěnem a osmistěnem.
1905: Alfredo Andreini vyjmenováno 25 z těchto mozaikování.
1991: Norman Johnson rukopis Jednotné Polytopes identifikoval seznam 28.^[1]
1994: Branko Grünbaum, ve svém příspěvku Rovnoměrné obklady 3prostoru, také samostatně vyjmenoval všech 28, poté, co objevil chyby v Andreiniho publikaci. Zjistil, že papír z roku 1905, který uváděl 25, měl 1 špatně a 4 chybí. Grünbaum v tomto příspěvku uvádí, že Norman Johnson si zaslouží prioritu pro dosažení stejného výčtu v roce 1991. Rovněž zmiňuje, že I. Alexejev Ruska ho kontaktovalo ohledně domnělého výčtu těchto forem, ale Grünbaum to v té době nemohl ověřit.
2006: George Olshevsky, ve svém rukopisu Jednotné panoploidní tetrakomby, spolu s opakováním odvozeného seznamu 11 konvexních uniformních obkladů a 28 konvexních uniformních voštin, rozšiřuje další odvozený seznam 143 konvexních uniformních tetracombů (voštiny jednotné 4-polytopes ve 4-prostoru).^[2]

Pouze 14 konvexních uniformních mnohostěnů se objevuje v těchto vzorcích:

tři z pěti Platonické pevné látky,
šest ze třinácti Archimédovy pevné látky, a
pět z nekonečné rodiny hranoly.

Jména

Tuto sadu lze nazvat pravidelné a semiregulární voštiny. Říká se tomu Archimedovy voštiny analogicky s konvexní uniformní (nepravidelnou) mnohostěnou, běžně nazývanou Archimédovy pevné látky. Nedávno Conway navrhl pojmenovat soubor jako Architektonické mozaiky a duální voštiny jako Catoptric mozaikování.

Jednotlivé voštiny jsou uvedeny se jmény, která jim byla přidělena Norman Johnson. (Některé termíny použité níže jsou definovány v Uniform 4-polytop # Geometrické derivace pro 46 neprismatických wythoffovských uniformních 4-polytopů )

Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy z Andreini (1-22), ŽIlliams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21–25, 31–34, 41–49, 51–52, 61–65) a Grünbaum (1-28). Coxeter používá δ₄ pro kubický plástev, hδ₄ pro střídaný kubický plástev, qδ₄ pro čtvrt kubický plástev, s indexy pro jiné formy založené na vzorcích zvonění Coxeterova diagramu.

Kompaktní euklidovské jednotné mozaikování (podle jejich nekonečných skupin skupin Coxeterů)

Základní domény v kubickém prvku ze tří skupin.

Rodinné korespondence

Základní nekonečno Skupiny coxeterů pro 3-prostor jsou:

The ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4], kubický, (8 jedinečných formulářů plus jedna alternace)
The ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ , [4,3^1,1], střídaný kubický, (11 formulářů, 3 nové)
The ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ cyklická skupina, [(3,3,3,3)] nebo [3^[4]], (5 formulářů, jeden nový)

Mezi všemi třemi rodinami existuje korespondence. Odstranění jednoho zrcadla z ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ vyrábí ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ a vyjmutí jednoho zrcadla z ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ vyrábí ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ . To umožňuje více konstrukcí stejných voštin. Pokud jsou buňky vybarveny na základě jedinečných pozic v každé konstrukci Wythoff, lze tyto různé symetrie zobrazit.

Kromě toho existuje 5 speciálních voštin, které nemají čistou reflexní symetrii a jsou vyrobeny z reflexních forem s prodloužení a kroužení operace.

Celkem výše uvedených jedinečných voštin je 18.

Prizmatické komíny z nekonečných skupin Coxeteru pro 3prostor jsou:

The ${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ , [4,4,2, ∞] hranolová skupina, (2 nové formuláře)
The ${ displaystyle { tilde {H}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ , [6,3,2, ∞] hranolová skupina, (7 jedinečných formulářů)
The ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ , [(3,3,3), 2, ∞] hranolová skupina, (Žádné nové formuláře)
The ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ , [∞, 2, ∞, 2, ∞] hranolová skupina, (Všichni se stávají kubický plástev)

Kromě toho existuje jeden speciální protáhlý forma trojúhelníkového prizmatického plástve.

Celkový počet jedinečných prizmatických plástů výše (kromě dříve počítaných kubických) je 10.

Kombinace těchto počtů nám 18 a 10 dává celkem 28 jednotných voštin.

C.^~₃, [4,3,4] skupina (krychlová)

Pravidelný kubický plástev, představovaný Schläfliho symbolem {4,3,4}, nabízí sedm jedinečných odvozených jednotných plástů prostřednictvím operací zkrácení. (Jedna nadbytečná forma, runcinated kubický plástev, je zahrnut pro úplnost, přestože je totožný s kubickým plástem.) Reflexní symetrie je afinní Skupina coxeterů [4,3,4]. Existují čtyři podskupiny indexu 2, které generují střídání: [1⁺,4,3,4], [(4,3,4,2⁺)], [4,3⁺, 4] a [4,3,4]⁺, s prvními dvěma generovanými opakovanými formami a poslední dva jsou nejednotné.

C3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Polovina	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
Já43 m (217)	4^Ó:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Polovina × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Čtvrtletí × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^Ó:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

[4,3,4], vesmírná skupina Odpoledne3m (221)
Odkaz Indexy	Název plástve Coxeterův diagram a Schläfliho symbol	Počty buněk / vrchol a pozice v kubickém plástve						Rámečky (Perspektivní)	Vrcholová postava	Duální buňka
Odkaz Indexy	Název plástve Coxeterův diagram a Schläfliho symbol	(0)	(1)	(2)	(3)	Alt	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	Vrcholová postava	Duální buňka
J_11,15 A₁ Ž₁ G₂₂ δ₄	krychlový (chon) t₀{4,3,4} {4,3,4}				(8) (4.4.4)				osmistěn	Krychle,
J_12,32 A₁₅ Ž₁₄ G₇ Ó₁	rektifikovaný kubický (bohatý) t₁{4,3,4} r {4,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.4.3.4)				kvádr	Čtvercový bipyramid
J₁₃ A₁₄ Ž₁₅ G₈ t₁δ₄ Ó₁₅	zkrácený kubický (tich) t_0,1{4,3,4} t {4,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.8.8)				čtvercová pyramida	Rovnoramenný čtvercová pyramida
J₁₄ A₁₇ Ž₁₂ G₉ t_0,2δ₄ Ó₁₄	kanylovaný kubický (srich) t_0,2{4,3,4} rr {4,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.4.4)				šikmý trojúhelníkový hranol	Trojúhelníkový bipyramid
J₁₇ A₁₈ Ž₁₃ G₂₅ t_0,1,2δ₄ Ó₁₇	cantitruncated cubic (grich) t_0,1,2{4,3,4} tr {4,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.8)				nepravidelný čtyřstěn	Trojúhelníkový pyramidille
J₁₈ A₁₉ Ž₁₉ G₂₀ t_0,1,3δ₄ Ó₁₉	runcitruncated kubický (prich) t_0,1,3{4,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.8)	(1) (3.8.8)				šikmá lichoběžníková pyramida	Čtverec čtvercový pyramidille
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₁	střídal kubický (oktet) h {4,3,4}				(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			cuboctahedron	Dodecahedrille
J_22,34 A₂₁ Ž₁₇ G₁₀ h₂δ₄ Ó₂₅	Kantický kubický (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)				obdélníková pyramida	Napůl zploštělý osmistěn
J₂₃ A₁₆ Ž₁₁ G₅ h₃δ₄ Ó₂₆	Runcic kubický (ratoh) ↔	(1) krychle		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)				zúžený trojúhelníkový hranol	Čtvrtletí
J₂₄ A₂₀ Ž₁₆ G₂₁ h_2,3δ₄ Ó₂₈	Runcicantic kubický (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)				Nepravidelný čtyřstěn	Poloviční pyramidille
Nejednotný_b	usměrnit kubický sr {4,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)		(2) (3.3.3.3.4)	(4) (3.3.3)			Irr. tridiminated icosahedron
Nejednotný	Trirectified bisnub cubic 2 s₀{4,3,4}	(3.3.3.3.3)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.4.4.4)
Nejednotný	Runcic cantitruncated cubic sr₃{4,3,4}	(3.4.4.4)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.3.3.3.4)

[[4,3,4]] voštiny, vesmírná skupina Im3m (229)
Odkaz Indexy	Název plástve Coxeterův diagram a Schläfliho symbol	Počty buněk / vrchol a pozice v kubickém plástve			Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	Vrcholová postava	Duální buňka
Odkaz Indexy	Název plástve Coxeterův diagram a Schläfliho symbol	(0,3)	(1,2)	Alt	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	Vrcholová postava	Duální buňka
J_11,15 A₁ Ž₁ G₂₂ δ₄ Ó₁	runcinovaný krychlový (stejné jako běžné krychlový ) (chon) t_0,3{4,3,4}	(2) (4.4.4)	(6) (4.4.4)				osmistěn	Krychle
J₁₆ A₃ Ž₂ G₂₈ t_1,2δ₄ Ó₁₆	bitruncated kubický (dávka) t_1,2{4,3,4} 2t {4,3,4}	(4) (4.6.6)					(disphenoid )	Oblátový čtyřstěn
J₁₉ A₂₂ Ž₁₈ G₂₇ t_0,1,2,3δ₄ Ó₂₀	všestranný kubický (otch) t_0,1,2,3{4,3,4}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.8)				nepravidelný čtyřstěn	Osmá pyramidille
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₇	Čtvrtletní kubický plástev ht₀ht₃{4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)				protáhlý trojúhelníkový antiprism	Oblátská kubila
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₁	Střídavě runcinovaný kubický (stejné jako střídané kubické) ht_0,3{4,3,4}	(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			cuboctahedron
Nejednotný	2 s_0,3{(4,2,4,3)}
Nejednotný_A	Střídavě bitrunková kubická ht {4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)		(4) (3.3.3)
Nejednotný	2 s_0,3{4,3,4}
Nejednotný_C	Střídavě všudypřítomný kubický ht_0,1,2,3{4,3,4}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.4)	(4) (3.3.3)

B^~₃, [4,3^1,1] skupina

The ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ Skupina [4,3] nabízí 11 odvozených forem prostřednictvím operací zkrácení, přičemž čtyři jsou jedinečné jednotné voštiny. Existují 3 podskupiny indexu 2, které generují střídání: [1⁺,4,3^1,1], [4,(3^1,1)⁺] a [4,3^1,1]⁺. První generuje opakovaný plástev a poslední dva jsou nejednotné, ale jsou zahrnuty pro úplnost.

Voštiny z této skupiny se nazývají střídal kubický protože první formu lze chápat jako a kubický plástev s odstraněnými alternativními vrcholy, redukcí kubických buněk na čtyřstěn a vytvářením osmistěnných buněk v mezerách.

Uzly jsou indexovány zleva doprava jako 0,1,0',3 s 0 'pod a zaměnitelný s 0. The střídat kubický uvedená jména jsou založena na tomto pořadí.

B3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

[4,3^1,1] jednotné voštiny, vesmírná skupina Fm3m (225)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)				Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy	(0)	(1)	(0')	(3)	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₁	Střídavě kubický (oktet) ↔			(6) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)			cuboctahedron
J_22,34 A₂₁ Ž₁₇ G₁₀ h₂δ₄ Ó₂₅	Kantický kubický (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)			obdélníková pyramida
J₂₃ A₁₆ Ž₁₁ G₅ h₃δ₄ Ó₂₆	Runcic kubický (ratoh) ↔	(1) krychle		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)			zúžený trojúhelníkový hranol
J₂₄ A₂₀ Ž₁₆ G₂₁ h_2,3δ₄ Ó₂₈	Runcicantic kubický (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)			Nepravidelný čtyřstěn

<[4,3^1,1]> jednotné voštiny, vesmírná skupina Odpoledne3m (221)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)				Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	(0,0')	(1)	(3)	Alt	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J_11,15 A₁ Ž₁ G₂₂ δ₄ Ó₁	Krychlový (chon) ↔	(8) (4.4.4)						osmistěn
J_12,32 A₁₅ Ž₁₄ G₇ t₁δ₄ Ó₁₅	Rektifikovaný kubický (bohatý) ↔	(4) (3.4.3.4)		(2) (3.3.3.3)				kvádr
J_12,32 A₁₅ Ž₁₄ G₇ t₁δ₄ Ó₁₅	Rektifikovaný kubický (bohatý) ↔	(2) (3.3.3.3)		(4) (3.4.3.4)				kvádr
J₁₃ A₁₄ Ž₁₅ G₈ t_0,1δ₄ Ó₁₄	Zkrácený kubický (tich) ↔	(4) (3.8.8)		(1) (3.3.3.3)				čtvercová pyramida
J₁₄ A₁₇ Ž₁₂ G₉ t_0,2δ₄ Ó₁₇	Kanylovaný kubický (srich) ↔	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)				obilique trojúhelníkový hranol
J₁₆ A₃ Ž₂ G₂₈ t_0,2δ₄ Ó₁₆	Bitrunková kubická (dávka) ↔	(2) (4.6.6)		(2) (4.6.6)				rovnoramenný čtyřstěn
J₁₇ A₁₈ Ž₁₃ G₂₅ t_0,1,2δ₄ Ó₁₈	Cantitruncated kubický (grich) ↔	(2) (4.6.8)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)				nepravidelný čtyřstěn
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₁	Střídavě kubický (oktet) ↔	(8) (3.3.3)			(6) (3.3.3.3)			cuboctahedron
J_22,34 A₂₁ Ž₁₇ G₁₀ h₂δ₄ Ó₂₅	Kantický kubický (tatoh) ↔	(2) (3.6.6)		(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			obdélníková pyramida
Nejednotný_A	Střídavě bitrunková kubická ↔	(2) (3.3.3.3.3)		(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)
Nejednotný_b	Alternativní kubatura zkrácená ↔	(2) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)			Irr. tridiminated icosahedron

A^~₃, [3^[4])] skupina

Existuje 5 formulářů^[3] postavena z ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ , [3^[4]] Skupina coxeterů, z nichž pouze čtvrt kubický plástev je jedinečný. Existuje jedna podskupina indexu 2 [3^[4]]⁺ který generuje tupý tvar, který není jednotný, ale je zahrnut pro úplnost.

A3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Náměstí symetrie	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštinové diagramy
F43 m (216)	1^Ó:2	a1	[3^[4]]		${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	(Žádný)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] nebo [2⁺[3^[4]]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₂	₃
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×4₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	₄
Já3 (204)	8^-O	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ½ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^Ó:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	₅

[[3^[4]]] jednotné voštiny, vesmírná skupina Fd3m (227)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)		Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy	(0,1)	(2,3)	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J_25,33 A₁₃ Ž₁₀ G₆ qδ₄ Ó₂₇	čtvrt kubický (batatoh) ↔ q {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)			trojúhelníkový antiprism

<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1] jednotné voštiny, vesmírná skupina Fm3m (225)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)			Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	0	(1,3)	2	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J_21,31,51 A₂ Ž₉ G₁ hδ₄ Ó₂₁	střídal kubický (oktet) ↔ ↔ h {4,3,4}		(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			cuboctahedron
J_22,34 A₂₁ Ž₁₇ G₁₀ h₂δ₄ Ó₂₅	kubický kubický (tatoh) ↔ ↔ h₂{4,3,4}	(2) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			Obdélníková pyramida

[2[3^[4]]] ↔ [4,3,4] jednotné voštiny, vesmírná skupina Odpoledne3m (221)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)		Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔	(0,2)	(1,3)	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J_12,32 A₁₅ Ž₁₄ G₇ t₁δ₄ Ó₁	rektifikovaný kubický (bohatý) ↔ ↔ ↔ r {4,3,4}	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.3.3.3)			kvádr

[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]] jednotné voštiny, vesmírná skupina Im3m (229)
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔ ↔	Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu)		Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
Odkazováno indexy	Název plástve Coxeterovy diagramy ↔ ↔	(0,1,2,3)	Alt	Pevné látky (Částečný)	Rámečky (Perspektivní)	vrchol obrázek
J₁₆ A₃ Ž₂ G₂₈ t_1,2δ₄ Ó₁₆	bitruncated kubický (dávka) ↔ ↔ 2t {4,3,4}	(4) (4.6.6)				rovnoramenný čtyřstěn
Nejednotný_A	Alternativní kubatura zkrácená ↔ ↔ ht {4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)

Nonwythoffian formy (kroucené a protáhlé)

Tři další rovnoměrné voštiny jsou generovány rozbitím jedné nebo druhé z výše uvedených voštin, kde její tváře tvoří spojitou rovinu, poté rotující alternativní vrstvy o 60 nebo 90 stupňůkroužení) a / nebo vložením vrstvy hranolů (prodloužení).

Podlouhlé a gyroelongální střídané kubické obklady mají stejnou vrcholnou postavu, ale nejsou si podobné. V protáhlý forma, každý hranol se setkává se čtyřstěnem na jednom trojúhelníkovém konci a osmistěnem na druhém. V gyroelongated forma, hranoly, které se setkávají se čtyřstěnem na obou koncích, se střídají s hranoly, které se setkávají s oktaedry na obou koncích.

Gyroelongovaný trojúhelníkový hranolový obklad má stejnou vrcholnou postavu jako jeden z prostých hranolových obkladů; dva mohou být odvozeny od kroucených a prostých trojúhelníkových hranolových naklonění, respektive vložením vrstev kostek.

Odkazováno indexy	symbol	Název plástve	typy buněk (# na každém vrcholu)	vrchol obrázek
J₅₂ A_2' G₂ Ó₂₂	h {4,3,4}: g	střídavě kubický (gytoh)	čtyřstěn (8) osmistěn (6)	trojúhelníková orthobicupola
J₆₁ A_? G₃ Ó₂₄	h {4,3,4}: ge	gyroelongated alternated cubic (gyetoh)	trojúhelníkový hranol (6) čtyřstěn (4) osmistěn (3)
J₆₂ A_? G₄ Ó₂₃	h {4,3,4}: e	prodloužený střídavý kubický (etoh)	trojúhelníkový hranol (6) čtyřstěn (4) osmistěn (3)
J₆₃ A_? G₁₂ Ó₁₂	{3,6}: g × {∞}	kroucený trojúhelníkový hranolový (gytoph)	trojúhelníkový hranol (12)
J₆₄ A_? G₁₅ Ó₁₃	{3,6}: ge × {∞}	gyroelongated trojúhelníkový hranolový (gyetaph)	trojúhelníkový hranol (6) krychle (4)

Hranolové hromádky

Jedenáct hranolové obklady se získají stohováním jedenácti rovnoměrné naklonění roviny, zobrazené níže, v paralelních vrstvách. (Jeden z těchto plástů je krychlový, zobrazený výše.) vrchol obrázek každý z nich je nepravidelný bipyramid jejichž tváře jsou rovnoramenné trojúhelníky.

C.^~₂× I^~₁(∞), [4,4,2, ∞], hranolová skupina

Ze čtvercových obkladů existují pouze 3 jedinečné voštiny, ale pro úplnost je níže uvedeno všech 6 zkrácení obkladů a obrázky obkladů jsou zobrazeny barvami odpovídajícími každému formuláři.

Indexy	Coxeter-Dynkin a Schläfli symboly	Název plástve	Letadlo obklady
J_11,15 A₁ G₂₂	{4,4}×{∞}	Krychlový (Čtvercový hranolový) (chon)	(4.4.4.4)
	r {4,4} × {∞}
	rr {4,4} × {∞}
J₄₅ A₆ G₂₄	t {4,4} × {∞}	Čtvercový hranolový hranolový hranolový (tassiph)	(4.8.8)
J₄₅ A₆ G₂₄	tr {4,4} × {∞}	Čtvercový hranolový hranolový hranolový (tassiph)	(4.8.8)
J₄₄ A₁₁ G₁₄	sr {4,4} × {∞}	Úzký hranatý hranol (sassiph)	(3.3.4.3.4)
Nejednotný	ht_0,1,2,3{4,4,2,∞}

G^~₂xI^~₁(∞), [6,3,2, ∞] hranolová skupina

Indexy	Coxeter-Dynkin a Schläfli symboly	Název plástve	Letadlo obklady
J₄₁ A₄ G₁₁	{3,6} × {∞}	Trojúhelníkový hranolový (tiph)	(3⁶)
J₄₂ A₅ G₂₆	{6,3} × {∞}	Šestihranný hranolový (hiph)	(6³)
J₄₂ A₅ G₂₆	t {3,6} × {∞}	Šestihranný hranolový (hiph)	(6³)
J₄₃ A₈ G₁₈	r {6,3} × {∞}	Trihexagonal hranolový (thiph)	(3.6.3.6)
J₄₆ A₇ G₁₉	t {6,3} × {∞}	Zkrácená šestihranná hranolová (thaph)	(3.12.12)
J₄₇ A₉ G₁₆	rr {6,3} × {∞}	Rhombi-trihexagonal hranolový (rothaph)	(3.4.6.4)
J₄₈ A₁₂ G₁₇	sr {6,3} × {∞}	Utlumit šestihranný prizmatický (snathaph)	(3.3.3.3.6)
J₄₉ A₁₀ G₂₃	tr {6,3} × {∞}	zkrácený trihexagonal hranolový (otathaph)	(4.6.12)
J₆₅ A_11' G₁₃	{3,6}: e × {∞}	protáhlý trojúhelníkový hranolový (etoph)	(3.3.3.4.4)
J₅₂ A_2' G₂	h3t {3,6,2, ∞}	kroucený čtyřboká-oktaedrická (gyto)	(3⁶)
J₅₂ A_2' G₂	s2r {3,6,2, ∞}	kroucený čtyřboká-oktaedrická (gyto)	(3⁶)
Nejednotný	ht_0,1,2,3{3,6,2,∞}

Výčet Wythoffových forem

Všechny neprismatické Wythoffovy konstrukce skupinami Coxeter jsou uvedeny níže spolu s jejich střídání. Jednotná řešení jsou indexována pomocí Branko Grünbaum seznam. Zelené pozadí jsou zobrazeny na opakovaných voštinách, přičemž vztahy jsou vyjádřeny v rozšířených diagramech symetrie.

Skupina coxeterů	Rozšířené symetrie	Voštiny		Chirál prodloužena symetrie	Střídavé voštiny
[4,3,4]	[4,3,4]	6	₂₂ \| ₇ \| ₈ ₉ \| ₂₅ \| ₂₀	[1⁺,4,3⁺,4,1⁺]	(2)	₁ \| _b
	[2⁺[4,3,4]] =	(1)	₂₂	[2⁺[(4,3⁺,4,2⁺)]]	(1)	₁ \| ₆
	[2⁺[4,3,4]]	1	₂₈	[2⁺[(4,3⁺,4,2⁺)]]	(1)	_A
	[2⁺[4,3,4]]	2	₂₇	[2⁺[4,3,4]]⁺	(1)	_C
[4,3^1,1]	[4,3^1,1]	4	₁ \| ₇ \| ₁₀ \| ₂₈
	[1[4,3^1,1]]=[4,3,4] =	(7)	₂₂ \| ₇ \| ₂₂ \| ₇ \| ₉ \| ₂₈ \| ₂₅	[1[1⁺,4,3^1,1]]⁺	(2)	₁ \| ₆ \| _A
	[1[4,3^1,1]]=[4,3,4] =	(7)	₂₂ \| ₇ \| ₂₂ \| ₇ \| ₉ \| ₂₈ \| ₂₅	[1[4,3^1,1]]⁺ =[4,3,4]⁺	(1)	_b
[3^[4]]	[3^[4]]	(žádný)
	[2⁺[3^[4]]]	1	₆
	[1[3^[4]]]=[4,3^1,1] =	(2)	₁ \| ₁₀
	[2[3^[4]]]=[4,3,4] =	(1)	₇
	[(2⁺,4)[3^[4]]]=[2⁺[4,3,4]] =	(1)	₂₈	[(2⁺,4)[3^[4]]]⁺ = [2⁺[4,3,4]]⁺	(1)	_A

Příklady

Všech 28 těchto mozaik se nachází v krystal ujednání.^{[Citace je zapotřebí ]}

The střídaný kubický plástev má zvláštní význam, protože jeho vrcholy tvoří kubický těsné balení koulí. Vyplňování prostoru krov zabaleného osmistěnu a čtyřstěnů zjevně poprvé objevil Alexander Graham Bell a nezávisle znovu objeven uživatelem Buckminster Fuller (kdo to nazval oktet krov a patentován ve 40. letech 20. století).[3][4][5][6]. Oktetové vazníky jsou nyní jedním z nejběžnějších typů vazníků používaných ve stavebnictví.

Vlysové formy

Li buňky je dovoleno být jednotné obklady, lze definovat jednotnější voštiny:

Rodiny:

${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ : [4,4,2] Voštinové desky z krychlové desky (3 formuláře)
${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ : [6,3,2] Tri-šestihranné voštinové desky (8 formulářů)
${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ : [(3,3,3),2] Trojúhelníkové voštinové desky (Žádné nové formuláře)
${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ : [∞,2,2] = Kubické sloupové voštiny (1 formulář)
${ displaystyle I_ {2} (p)}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ : [p, 2, ∞] Polygonální sloupové voštiny
${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$ X ${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$ X ${ displaystyle A_ {1}}$ : [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - = (Stejné jako včelí plástová rodina)

Příklady (částečně nakreslené)
Kubický plást plástev	Střídavý plást s šestihrannou deskou	Trihexagonal deska plástev

(4) 4³: krychle (1) 4⁴: čtvercové obklady	(4) 3³: čtyřstěn (3) 3⁴: osmistěn (1) 3⁶: šestihranný obklad	(2) 3.4.4: trojúhelníkový hranol (2) 4.4.6: šestihranný hranol (1) (3.6)²: trihexagonal obklady

Včelí plástev

A skaliform plástev je vrchol-tranzitivní, jako jednotný plástev, s pravidelnými polygonálními plochami, zatímco buňky a vyšší prvky musí být pouze orbiformy, rovnostranný, s jejich vrcholy ležícími na hypersférách. U 3D voštin to umožňuje podmnožinu Johnson pevné látky spolu s jednotnou mnohostěnou. Některé scaliformy mohou být generovány střídavým procesem, takže například pyramida a kopule mezery.^[4]

Euklidovské voštinové hřebenatky
Vlysové desky			Hranolové hromádky
s₃{2,6,3},	s₃{2,4,4},	s {2,4,4},	3 s₄{4,4,2,∞},


(1) 3.4.3.4: trojúhelníková kopule (2) 3.4.6: trojúhelníková kupole (1) 3.3.3.3: osmistěn (1) 3.6.3.6: trihexagonal obklady	(1) 3.4.4.4: čtvercová kopule (2) 3.4.8: čtvercová kopule (1) 3.3.3: čtyřstěn (1) 4.8.8: zkrácený čtvercový obklad	(1) 3.3.3.3: čtvercová pyramida (4) 3.3.4: čtvercová pyramida (4) 3.3.3: čtyřstěn (1) 4.4.4.4: čtvercové obklady	(1) 3.3.3.3: čtvercová pyramida (4) 3.3.4: čtvercová pyramida (4) 3.3.3: čtyřstěn (4) 4.4.4: krychle

Hyperbolické formy

The řád-4 dodekahedrální plástev, {5,3,4} v perspektivě

Parakompakt šestihranný obkladový plástev, {6,3,3}, v perspektivě

Existuje 9 Skupina coxeterů rodiny kompaktních jednotných voštin v hyperbolický 3-prostor, generováno jako Wythoffovy konstrukce, a reprezentované kruhovými permutacemi Coxeter-Dynkinovy diagramy pro každou rodinu.

Z těchto 9 rodin je generováno celkem 76 jedinečných voštin:

[3,5,3] : - 9 formulářů
[5,3,4] : - 15 formulářů
[5,3,5] : - 9 formulářů
[5,3^1,1] : - 11 formulářů (7 se překrývá s rodinou [5,3,4], 4 jsou jedinečné)
[(4,3,3,3)] : - 9 formulářů
[(4,3,4,3)] : - 6 formulářů
[(5,3,3,3)] : - 9 formulářů
[(5,3,4,3)] : - 9 formulářů
[(5,3,5,3)] : - 6 formulářů

Úplný seznam hyperbolických jednotných plástů nebyl prokázán a neznámý počet ne Wythoffian formy existují. Jeden známý příklad je v rodině {3,5,3}.

Parakompaktní hyperbolické formy

Existuje také 23 paracompaktních Coxeterových skupin 4. úrovně. Tyto rodiny mohou vytvářet jednotné voštiny s neomezenými fazetami nebo vrcholnou postavou, včetně ideálních vrcholů v nekonečnu:

Souhrnné shrnutí simplektické hyperbolické paracompaktní skupiny
Typ	Skupiny coxeterů	Unikátní počet plástů
Lineární grafy	\| \| \| \| \| \|	4×15+6+8+8 = 82
Tridentální grafy	\| \|	4+4+0 = 8
Cyklické grafy	\| \| \| \| \| \| \| \|	4×9+5+1+4+1+0 = 47
Smyčkové grafy	\| \| \|	4+4+4+2 = 14

Reference

^ "A242941 - OEIS". oeis.org. Citováno 2019-02-03.
^ George Olshevsky, (2006, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb) [1]
^ [2], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami
^ http://bendwavy.org/klitzing/explain/polytope-tree.htm#scaliform

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, Architectonic and Catoptric tessellations, s. 292–298, zahrnuje všechny neprismatické formy)
Branko Grünbaum, (1994) Jednotné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4, 49 - 56.
Norman Johnson (1991) Jednotné Polytopes, Rukopis
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Kapitola 5: Balení mnohostěnů a vyplňování prostoru)
Critchlow, Keith (1970). Order in Space: Design source book. Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [7]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
A. Andreini, (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, ser. 3, 14 75–129. PDF [8]
D. M. Y. Sommerville, (1930) Úvod do geometrie n Rozměry. New York, E. P. Dutton,. 196 stran (vydání Dover Publications, 1958) Kapitola X: Pravidelné polytopy
Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Kapitola 5. Spojování mnohostěnů
Krystalografie kvazikrystalů: koncepty, metody a struktury autor: Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), s. 54-55. 12 balení 2 nebo více uniformních mnohostěnů s kubickou symetrií

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Plástev". MathWorld.
Jednotné voštiny ve 3 prostoru VRML modely
Základní voštiny Vrcholný přechodný prostor vyplňující voštiny s nejednotnými buňkami.
Jednotné oddíly 3-prostoru, jejich příbuzní a vkládání, 1999
Jednotná mnohostěna
Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
oktet krovu animace
Recenze: A. F. Wells, Trojrozměrné sítě a mnohostěny, H. S. M. Coxeter (Zdroj: Bull. Amer. Math. Soc. Volume 84, Number 3 (1978), 466-470.)
Klitzing, Richarde. „3D euklidovské mozaiky“.
(sekvence A242941 v OEIS )

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] "A242941 - OEIS". oeis.org. Citováno 2019-02-03.

[2] George Olshevsky, (2006, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb) [1]

[3] [2], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

[4] ttp://bendwavy.org/klitzing/explain/polytope-tree.htm#scaliform

[1]

[2]

[3]

[4]