Šestihranný obkladový plástev - Hexagonal tiling honeycomb
Šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Perspektivní projekce Pohled v rámci Poincaré model disku | |
Typ | Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symboly | {6,3,3} t {3,6,3} 2t {6,3,6} 2t {6,3[3]} t {3[3,3]} |
Coxeterovy diagramy | ↔ ↔ ↔ ↔ |
Buňky | {6,3} |
Tváře | šestiúhelník {6} |
Postava hrany | trojúhelník {3} |
Vrcholová postava | čtyřstěn {3,3} |
Dvojí | Objednávka 6 čtyřstěnný plástev |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] , [3,6,3] , [6,3,6] , [6,3[3]] , [3[3,3]] |
Vlastnosti | Pravidelný |
V oblasti hyperbolická geometrie, šestihranný obkladový plástev je jedním z 11 pravidelné paracompaktní voštiny v trojrozměrném hyperbolický prostor. to je paracompact protože má buňky složený z nekonečného počtu tváří. Každá buňka je a šestihranný obklad jehož vrcholy leží na a horosféra, povrch v hyperbolickém prostoru, který se blíží jedinému ideální bod v nekonečnu.
The Schläfliho symbol šestihranného obkladového pláství je {6,3,3}. Od té doby šestihranný obklad je {6,3}, tento plást má tři takové šestiúhelníkové sklony, které se setkávají na každém okraji. Od Schläfliho symbolu čtyřstěn je {3,3} vrchol obrázek tohoto plástve je čtyřstěn. U každého vrcholu této voštiny se tedy setkávají čtyři šestihranné obklady, u každého vrcholu šest šestihranů a u každého vrcholu čtyři hrany.[1]
snímky
Při pohledu v perspektivě mimo a Poincaré model disku, obrázek výše ukazuje jeden šestihranný obklad buňka v plástve a její střední poloměr horosféra (dopad horosféry se středovými okraji). V této projekci rostou šestiúhelníky nekonečně malé směrem k nekonečné hranici, asymptoting k jedinému ideálnímu bodu. Lze to považovat za podobné objednávka 3 apeirogonal obklady, {∞, 3} z H2, s horocykly ohraničující vrcholy apeirogonal tváře.
{6,3,3} | {∞,3} |
---|---|
Jedna šestihranná obkladová buňka šestihranného obkladového plástve | An objednávka 3 apeirogonal obklady se zeleným apeirogonem a jeho horocyklem |
Konstrukce symetrie
Má celkem pět reflexních konstrukcí z pěti souvisejících Coxeterových skupin, všechny se čtyřmi zrcadly a pouze první je pravidelné: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3[3]] a [3[3,3]] , 1, 4, 6, 12 a 24krát větších základních domén. v Coxeterova notace značky podskupin, jsou příbuzné jako: [6, (3,3)*] (odstranit 3 zrcadla, podskupina index 24); [3,6,3*] nebo [3*, 6,3] (odebrat 2 zrcadla, podskupina index 6); [1+,6,3,6,1+] (odstranit dvě ortogonální zrcadla, podskupina index 4); všechny tyto jsou izomorfní s [3[3,3]]. Kruhové Coxeterovy diagramy jsou , , , a , představující různé typy (barvy) šestihranných obkladů v Wythoffova konstrukce.
Související polytopy a voštiny
Šestihranný obkladový plást je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jeden z 11, které jsou paracompact.
11 paracompact pravidelných voštin | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
to je jeden z 15 uniformních paracompaktních voštin ve skupině [6,3,3] Coxeter spolu s jeho dvojí, objednávka 6 čtyřstěnný plástev.
[6,3,3] rodinné voštiny | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | r {6,3,3} | t {6,3,3} | rr {6,3,3} | t0,3{6,3,3} | tr {6,3,3} | t0,1,3{6,3,3} | t0,1,2,3{6,3,3} | ||||
{3,3,6} | r {3,3,6} | t {3,3,6} | rr {3,3,6} | 2t {3,3,6} | tr {3,3,6} | t0,1,3{3,3,6} | t0,1,2,3{3,3,6} |
Je součástí posloupnosti běžná polychora, které zahrnují 5článková {3,3,3}, tesseract {4,3,3} a 120 buněk {5,3,3} euklidovského 4 prostoru, spolu s dalšími hyperbolickými voštinami obsahujícími čtyřboká vrcholové postavy.
{p, 3,3} voštiny | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | S3 | H3 | ||||||
Formulář | Konečný | Paracompact | Nekompaktní | |||||
název | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3} | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞,3,3} | |
obraz | ||||||||
Coxeterovy diagramy | 1 | |||||||
4 | ||||||||
6 | ||||||||
12 | ||||||||
24 | ||||||||
Buňky {p, 3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} |
Je také součástí posloupnosti pravidelných voštin ve tvaru {6,3, p}, z nichž každý je složen šestihranný obklad buňky:
{6,3, p} voštiny | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | H3 | ||||||||||
Formulář | Paracompact | Nekompaktní | |||||||||
název | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3,∞} | ||||
Coxeter | |||||||||||
obraz | |||||||||||
Vrchol postava {3, str} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3,∞} |
Rektifikovaný šestihranný obkladový plástev
Rektifikovaný šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symboly | r {6,3,3} nebo t1{6,3,3} |
Coxeterovy diagramy | ↔ |
Buňky | {3,3} r {6,3} nebo |
Tváře | trojúhelník {3} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | trojúhelníkový hranol |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] , [3,3[3]] |
Vlastnosti | Vertex-transitive, edge-transitive |
The usměrněný šestihranný obkladový plástev, t1{6,3,3}, má čtyřboká a trihexagonal obklady fazety, s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek. The konstrukce polosymetrie střídá dva typy čtyřstěnů.
Šestihranný obkladový plástev | Rektifikovaný šestihranný obkladový plástev nebo |
---|---|
Související H2 obklady | |
Order-3 apeirogonal obklady | Triapeirogonal obklady nebo |
Zkrácený šestihranný obkladový plástev
Zkrácený šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t {6,3,3} nebo t0,1{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | {3,3} t {6,3} |
Tváře | trojúhelník {3} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | trojúhelníková pyramida |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The zkrácený šestihranný obkladový plástev, t0,1{6,3,3}, má čtyřboká a komolý šestihranný obklad fazety, s a trojúhelníková pyramida vrchol obrázek.
Je to podobné jako u 2D hyperboliku zkrácený apeirogonální obklad řádu 3, t {∞, 3} s apeirogonálními a trojúhelníkovými plochami:
Bitmunovaný šestihranný obkladový plástev
Bitmunovaný šestihranný obkladový plástev Bitrunkovaný čtyřboký plást řádu 6 | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | 2t {6,3,3} nebo t1,2{6,3,3} |
Coxeterův diagram | ↔ |
Buňky | t {3,3} t {3,6} |
Tváře | trojúhelník {3} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | digonal disphenoid |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] , [3,3[3]] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The bitunovaný šestihranný obkladový plástev nebo bitruncated objednávka-6 čtyřstěnný plástev, t1,2{6,3,3}, má zkrácený čtyřstěn a šestihranný obklad buňky, s a digonal disphenoid vrchol obrázek.
Kanylovaný šestihranný obkladový plástev
Kanylovaný šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | rr {6,3,3} nebo t0,2{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | r {3,3} rr {6,3} {}×{3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | klín |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantellated hexagonal tiling honeycomb, t0,2{6,3,3}, má osmistěn, rhombitrihexagonal obklady, a trojúhelníkový hranol buňky s a klín vrchol obrázek.
Cantitruncated šestihranný obkladový plástev
Cantitruncated šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | tr {6,3,3} nebo t0,1,2{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | t {3,3} tr {6,3} {}×{3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | zrcadlový sfénoid |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The cantitruncated hexagonal tiling honeycomb, t0,1,2{6,3,3}, má zkrácený čtyřstěn, zkrácené trihexagonální obklady, a trojúhelníkový hranol buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.
Runcinated hexagonal tiling honeycomb
Runcinated hexagonal tiling honeycomb | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,3{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | {3,3} {6,3} {}×{6} {}×{3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | nepravidelný trojúhelníkový antiprism |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcinated hexagonal tiling honeycomb, t0,3{6,3,3}, má čtyřstěn, šestihranný obklad, šestihranný hranol, a trojúhelníkový hranol buňky, s nepravidelným trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.
Runcitruncated šestihranný obkladový plástev
Runcitruncated šestihranný obkladový plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,1,3{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | rr {3,3} {} x {3} {} x {12} t {6,3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcitruncated šestihranný obkladový plástev, t0,1,3{6,3,3}, má cuboctahedron, trojúhelníkový hranol, dodecagonal hranol, a komolý šestihranný obklad buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.
Runcicantellated hexagonální obkladový plástev
Runcicantellated hexagonální obkladový plástev runcitruncated objednávka-6 čtyřstěnný plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,2,3{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | t {3,3} {} x {6} rr {6,3} |
Tváře | trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} |
Vrcholová postava | rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The runcicantellated hexagonální obkladový plástev nebo runcitruncated objednávka-6 čtyřstěnný plástev, t0,2,3{6,3,3}, má zkrácený čtyřstěn, šestihranný hranol, a rhombitrihexagonal obklady buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.
Omnitruncated šestihranný obkladový plástev
Omnitruncated šestihranný obkladový plástev Omnitruncated objednávka-6 čtyřstěnný plástev | |
---|---|
Typ | Paracompact jednotný plástev |
Schläfliho symbol | t0,1,2,3{6,3,3} |
Coxeterův diagram | |
Buňky | tr {3,3} {} x {6} {} x {12} tr {6,3} |
Tváře | náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12} |
Vrcholová postava | nepravidelný čtyřstěn |
Skupiny coxeterů | , [3,3,6] |
Vlastnosti | Vrchol-tranzitivní |
The všestranný šestihranný obkladový plástev nebo omnitruncated order-6 čtyřboký plástev, t0,1,2,3{6,3,3}, má zkrácený osmistěn, šestihranný hranol, dodecagonal hranol, a zkrácené trihexagonální obklady buňky, s nepravidelným čtyřstěn vrchol obrázek.
Viz také
- Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
- Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
- Paracompact jednotné voštiny
- Střídavý šestihranný obkladový plástev
Reference
- ^ Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
- Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
- Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitoly 16–17: Geometrie na třech varietách I, II)
- N. W. Johnson, R. Kellerhals J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Velikost hyperbolického Coxeterova simplexu, Transformation Groups (1999), svazek 4, číslo 4, str. 329–353 [1] [2]
- N. W. Johnson, R. Kellerhals J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Třídy srovnatelnosti hyperbolických Coxeterových skupin(2002) H3: p130. [3]
externí odkazy
- John Baez, Vizuální přehled: {6,3,3} Plástev (2014/03/15)
- John Baez, Vizuální přehled: {6,3,3} Plástev v horní polovině prostoru (2013/09/15)
- John Baez, Vizuální přehled: Zkrácený {6,3,3} plástev (2016/12/01)