Jednotný 5-mnohostěn - Uniform 5-polytope - Wikipedia

Grafy pravidelný a jednotné polytopy.

5-simplexní	Rektifikovaný 5-simplex		Zkrácený 5-simplex
Cantellated 5-simplex	Runcinated 5-simplex		Sterilovaný 5-simplex
5-orthoplex	Zkrácený 5-orthoplex		Rektifikovaný 5-orthoplex
Cantellated 5-orthoplex		Runcinated 5-orthoplex
Kanylovaná 5 kostka	Runcinated 5-cube		Sterilizovaná 5 kostka
5 kostek	Zkrácená 5 kostka		Rektifikovaná 5 kostka
5-demicube		Zkrácená 5-demicube
Cantellated 5-demicube		Runcinated 5-demicube

v geometrie, a jednotný 5-mnohostěn je pětidimenzionální jednotný polytop. Podle definice je jednotný 5-mnohostěn vrchol-tranzitivní a postavena z jednotný 4-polytop fazety.

Kompletní sada konvexní uniformní 5-polytopes nebyl stanoven, ale mnoho z nich může být vyrobeno jako Wythoffovy konstrukce z malé sady skupiny symetrie. Tyto stavební operace jsou reprezentovány permutacemi prstenců Coxeterovy diagramy.

Historie objevů

Pravidelné polytopy: (konvexní tváře)
- 1852: Ludwig Schläfli prokázal ve svém rukopisu Theorie der vielfachen Kontinuität že existují přesně 3 běžné polytopy z 5 nebo více rozměry.
Konvexní semiregular polytopes: (Různé definice před Coxeterem jednotný kategorie)
- 1900: Thorold Gosset vyjmenoval seznam neprismatických semiregulárních konvexních polytopů s pravidelnými fazetami (konvexní pravidelné 4-polytopy ) ve své publikaci Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí.^[1]
Konvexní jednotné polytopy:
- 1940-1988: Hledání bylo systematicky rozšířeno o H.S.M. Coxeter ve své publikaci Pravidelné a polořadovky Polytopes I, II a III.
- 1966: Norman W. Johnson dokončil Ph.D. Disertační práce pod Coxeterem, Teorie jednotných polytopů a voštin, University of Toronto

Pravidelné 5-polytopes

Běžné 5-polytopes může být reprezentován Schläfliho symbol {p, q, r, s}, s s {p, q, r} 4-mnohostěn fazety kolem každého tvář. Existují přesně tři takové pravidelné polytopy, všechny konvexní:

{3,3,3,3} - 5-simplexní
{4,3,3,3} - 5 kostek
{3,3,3,4} - 5-orthoplex

Neexistují žádné nekonvexní pravidelné polytopy v rozměrech 5,6,7,8,9,10,11 a 12.

Konvexní uniformní 5-polytopes

Nevyřešený problém v matematice:

Co je to úplná sada jednotných 5-polytopů?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Existuje 104 známých konvexních uniformních 5-polytopů plus řada nekonečných rodin duoprism hranoly a duoprismy polygon-polyhedron. Všichni kromě velký antiprism hranol jsou založeny na Wythoffovy konstrukce, reflexní symetrie generovaná pomocí Skupiny coxeterů.^{[Citace je zapotřebí ]}

Symetrie uniformních 5-polytopů ve čtyřech rozměrech

The 5-simplexní je běžný formulář v A₅ rodina. The 5 kostek a 5-orthoplex jsou pravidelné formuláře v B.₅ rodina. Rozvětvující se graf D₅ rodina obsahuje 5-orthoplex, stejně jako a 5-demicube což je střídal 5 kostek.

Každý reflexní uniformní 5-polytop může být sestaven v jedné nebo více reflexních bodových skupinách v 5 rozměrech pomocí a Wythoffova konstrukce, představovaný kruhy kolem permutací uzlů v a Coxeterův diagram. Zrcadlo hyperplanes mohou být seskupeny, jak je vidět barevnými uzly, oddělené sudými větvemi. Skupiny symetrie ve tvaru [a, b, b, a] mají rozšířenou symetrii, [[a, b, b, a]], jako [3,3,3,3], čímž zdvojnásobují pořadí symetrie. Jednotné polytopy v těchto skupinách se symetrickými kruhy obsahují tuto rozšířenou symetrii.

Pokud jsou všechna zrcadla dané barvy v daném jednotném polytopu neokrouhlá (neaktivní), bude mít nižší konstrukci symetrie odstraněním všech neaktivních zrcadel. Pokud jsou všechny uzly dané barvy vyzváněny (aktivní), an střídání operace může vygenerovat nový 5-mnohostěn s chirální symetrií, zobrazený jako „prázdné“ zakroužkované uzly, ale geometrie není obecně nastavitelná pro vytvoření jednotných řešení.

Coxeterovy diagramové korespondence mezi rodinami a vyšší symetrie v diagramech. Uzly stejné barvy v každém řádku představují identická zrcadla. Černé uzly nejsou v korespondenci aktivní.

Základní rodiny^[2]

Skupina symbol	Objednat	Závorka notace	Komutátor podskupina	Coxeter číslo (h)	Úvahy m=5/2 h^[3]
A₅	720	[3,3,3,3]	[3,3,3,3]⁺	6		15
D₅	1920	[3,3,3^1,1]	[3,3,3^1,1]⁺	8		20
B₅	3840	[4,3,3,3]	[3,3,3^1,1]⁺	10	5	20

Jednotné hranoly

Existuje 5 konečných kategorií jednotný hranolové rodiny polytopů založené na nonprismatic jednotné 4-polytopes. Existuje jedna nekonečná rodina 5-polytopů na základě hranolů uniformy duoprismy {p} × {q} × {}.

Coxeter skupina	Objednat	Coxeter notace	Komutátor podskupina	Úvahy
A₄A₁	120	[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ]	[3,3,3]⁺			10		1
D₄A₁	384	[3^1,1,1,2] = [3^1,1,1]×[ ]	[3^1,1,1]⁺			12		1
B₄A₁	768	[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]	[3^1,1,1]⁺		4	12		1
F₄A₁	2304	[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[3⁺,4,3⁺]		12	12		1
H₄A₁	28800	[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[5,3,3]⁺			60		1
Duoprismatic (pro vyrovnání použijte 2p a 2q)
Já₂(str) Já₂(q)A₁	8pq	[p, 2, q, 2] = [p] × [q] × []	[str⁺, 2, q⁺]		str	q		1
Já₂(2str) Já₂(q)A₁	16pq	[2p, 2, q, 2] = [2p] × [q] × []		str	str	q		1
Já₂(2str) Já₂(2q)A₁	32pq	[2p, 2,2q, 2] = [2p] × [2q] × []		str	str	q	q	1

Jednotné duoprismy

K dispozici jsou 3 kategorické jednotný duoprismatic rodiny polytopů založené na Kartézské výrobky z jednotná mnohostěna a pravidelné mnohoúhelníky: {q,r}×{str}.

Coxeter skupina	Objednat	Coxeter notace	Komutátor podskupina	Úvahy
Prizmatické skupiny (pro sudé použití 2p)
A₃Já₂(str)	48str	[3,3,2,str] = [3,3]×[str]	[(3,3)⁺,2,str⁺]		6	str
A₃Já₂(2 s)	96str	[3,3,2,2str] = [3,3]×[2str]			6	str	str
B₃Já₂(str)	96str	[4,3,2,str] = [4,3]×[str]		3	6	str
B₃Já₂(2 s)	192str	[4,3,2,2str] = [4,3]×[2str]		3	6	str	str
H₃Já₂(str)	240str	[5,3,2,str] = [5,3]×[str]	[(5,3)⁺,2,str⁺]		15	str
H₃Já₂(2 s)	480str	[5,3,2,2str] = [5,3]×[2str]	[(5,3)⁺,2,str⁺]		15	str	str

Výčet konvexních uniformních 5-polytopů

Simplexní rodina: A₅ [3⁴]
- 19 uniformních 5-polytopů
Hypercube /Orthoplex rodina: BC₅ [4,3³]
- 31 uniformních 5-polytopů
Demihypercube D₅/E₅ rodina: [3^2,1,1]
- 23 uniformních 5-polytopů (8 jedinečných)
Hranoly a duoprismy:
- 56 uniformních 5-polytopových (45 jedinečných) konstrukcí založených na prizmatických rodinách: [3,3,3] × [], [4,3,3] × [], [5,3,3] × [], [3^1,1,1]×[ ].
- Jeden ne Wythoffian - The velký antiprism hranol je jediný známý non-wythoffovský konvexní uniformní 5-polytop, konstruovaný ze dvou velké antiprismy spojeny polyedrickými hranoly.

Výsledkem je: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104

Kromě toho existují:

Nekonečně mnoho uniformních 5-polytopových konstrukcí založených na duoprismových hranolových rodinách: [p] × [q] × [].
Nekonečně mnoho jednotných konstrukcí 5-polytopů založených na duoprismatických rodinách: [3,3] × [p], [4,3] × [p], [5,3] × [p].

A₅ rodina

Existuje 19 formulářů založených na všech permutacích Coxeterovy diagramy s jedním nebo více kroužky. (16 + 4-1 případů)

Jsou pojmenováni Norman Johnson z Wythoffových stavebních operací po běžném 5-simplexu (hexateronu).

The A₅ rodina má symetrii řádu 720 (6 faktoriál ). 7 z 19 obrázků se symetricky prstencovými Coxeterovými diagramy mají zdvojenou symetrii, řád 1440.

Souřadnice jednotných 5-polytopů se symetrií 5 simplexů lze generovat jako permutace jednoduchých celých čísel v 6-prostoru, vše v hyperplanech s normálním vektorem (1,1,1,1,1,1).

#	Základní bod	Johnson systém pojmenování Bowersovo jméno a (zkratka) Coxeterův diagram	Počítá se prvek k-face					Vrchol postava	Počty fazet podle umístění: [3,3,3,3]
#	Základní bod		4	3	2	1	0	Vrchol postava	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
1	(0,0,0,0,0,1) nebo (0,1,1,1,1,1)	5-simplexní hexateron (hix)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	(5) {3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) nebo (0,0,1,1,1,1)	Rektifikovaný 5-simplex rektifikovaný hexateron (rix)	12	45	80	60	15	t {3,3} × {}	(4) r {3,3,3}	-	-	-	(2) {3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) nebo (0,1,2,2,2,2)	Zkrácený 5-simplex zkrácený hexateron (tix)	12	45	80	75	30	Tetrah.pyr	(4) t {3,3,3}	-	-	-	(1) {3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) nebo (0,1,1,2,2,2)	Cantellated 5-simplex malý kosočtverečný hexateron (sarx)	27	135	290	240	60	hranol-klín	(3) rr {3,3,3}	-	-	(1) × { }×{3,3}	(1) r {3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) nebo (0,0,1,2,2,2)	Bitruncated 5-simplex bitruncated hexateron (bittix)	12	60	140	150	60		(3) 2t {3,3,3}	-	-	-	(2) t {3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) nebo (0,1,2,3,3,3)	Cantitruncated 5-simplex velký kosočtverečný hexateron (garx)	27	135	290	300	120		tr {3,3,3}	-	-	× { }×{3,3}	t {3,3,3}
7	(0,0,1,1,1,2) nebo (0,1,1,1,2,2)	Runcinated 5-simplex malý prizmatický hexateron (spix)	47	255	420	270	60		(2) t_0,3{3,3,3}	-	(3) {3}×{3}	(3) × {} × r {3,3}	(1) r {3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) nebo (0,1,2,2,3,3)	Runcitruncated 5-simplex prismatotruncated hexateron (pattix)	47	315	720	630	180		t_0,1,3{3,3,3}	-	× {6}×{3}	× {} × r {3,3}	rr {3,3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) nebo (0,1,1,2,3,3)	Runcicantellated 5-simplex prismatorhombated hexateron (pirx)	47	255	570	540	180		t_0,1,3{3,3,3}	-	{3}×{3}	× {} × t {3,3}	2t {3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) nebo (0,1,2,3,4,4)	Runcicantitruncated 5-simplex velký prizmatický hexateron (gippix)	47	315	810	900	360	Irr.5článková	t_0,1,2,3{3,3,3}	-	× {3}×{6}	× {} × t {3,3}	rr {3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) nebo (0,1,2,2,2,3)	Steritruncated 5-simplex celliprismated hexateron (cappix)	62	330	570	420	120		t {3,3,3}	× {} × t {3,3}	× {3}×{6}	× { }×{3,3}	t_0,3{3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) nebo (0,1,2,3,3,4)	Stericantitruncated 5-simplex celligreatorhombated hexateron (cograx)	62	480	1140	1080	360		tr {3,3,3}	× {} × tr {3,3}	× {3}×{6}	× {} × rr {3,3}	t_0,1,3{3,3,3}

#	Základní bod	Johnson systém pojmenování Bowersovo jméno a (zkratka) Coxeterův diagram	Počítá se prvek k-face					Vrchol postava	Počty fazet podle umístění: [3,3,3,3]
#	Základní bod		4	3	2	1	0	Vrchol postava	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
13	(0,0,0,1,1,1)	Birectified 5-simplex dodecateron (tečka)	12	60	120	90	20	{3}×{3}	(3) r {3,3,3}	-	-	-	(3) r {3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	Bicantellated 5-simplex malý birhombated dodecateron (sibrid)	32	180	420	360	90		(2) rr {3,3,3}	-	(8) {3}×{3}	-	(2) rr {3,3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	Bicantitruncated 5-simplex velký birhombated dodecateron (gibrid)	32	180	420	450	180		tr {3,3,3}	-	{3}×{3}	-	tr {3,3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	Sterilovaný 5-simplex malý celulární dodecateron (scad)	62	180	210	120	30	Irr.16 buněk	(1) {3,3,3}	(4) × { }×{3,3}	(6) {3}×{3}	(4) × { }×{3,3}	(1) {3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	Stericantellated 5-simplex malý celulární kosočtverec dodecateron (karta)	62	420	900	720	180		rr {3,3,3}	× {} × rr {3,3}	{3}×{3}	× {} × rr {3,3}	rr {3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Steriruncitrunited 5-simplex celliprismatotruncated dodecateron (captid)	62	450	1110	1080	360		t_0,1,3{3,3,3}	× {} × t {3,3}	{6}×{6}	× {} × t {3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Omnitruncated 5-simplex velký celulární dodecateron (gocad)	62	540	1560	1800	720	Irr. {3,3,3}	(1) t_0,1,2,3{3,3,3}	(1) × {} × tr {3,3}	(1) {6}×{6}	(1) × {} × tr {3,3}	(1) t_0,1,2,3{3,3,3}

B₅ rodina

The B₅ rodina má symetrii řádu 3840 (5! × 2⁵).

Tato rodina má 2⁵−1 = 31 Wythoffianské jednotné polytopy generované označením jednoho nebo více uzlů Coxeterův diagram.

Pro zjednodušení je rozdělena do dvou podskupin, každá s 12 formami a 7 „středních“ forem, které do obou stejně patří.

Rodina 5 krychlí 5-polytopů je dána konvexními trupy základních bodů uvedených v následující tabulce se všemi permutacemi souřadnic a znaménkem. Každý základní bod generuje zřetelný jednotný 5-mnohostěn. Všechny souřadnice odpovídají jednotným 5-polytopům o délce hrany 2.

#	Základní bod	název Coxeterův diagram	Počty prvků					Vrchol postava	Počty fazet podle umístění: [4,3,3,3]
#	Základní bod	název Coxeterův diagram	4	3	2	1	0	Vrchol postava	[4,3,3] (10)	[4,3,2] (40)	[4,2,3] (80)	[2,3,3] (80)	[3,3,3] (32)
20	(0,0,0,0,1)√2	5-orthoplex (tac)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	{3,3,3}	-	-	-	-
21	(0,0,0,1,1)√2	Rektifikovaný 5-orthoplex (krysa)	42	240	400	240	40	{ }×{3,4}	{3,3,4}	-	-	-	r {3,3,3}
22	(0,0,0,1,2)√2	Zkrácený 5-orthoplex (tot)	42	240	400	280	80	(Octah.pyr)	t {3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-
23	(0,0,1,1,1)√2	Usměrněná 5 kostka (nit) (Birectified 5-orthoplex)	42	280	640	480	80	{4}×{3}	r {3,3,4}	-	-	-	r {3,3,3}
24	(0,0,1,1,2)√2	Cantellated 5-orthoplex (sart)	82	640	1520	1200	240	Hranolový klín	r {3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	rr {3,3,3}
25	(0,0,1,2,2)√2	Bitruncated 5-orthoplex (bittit)	42	280	720	720	240		t {3,3,4}	-	-	-	2t {3,3,3}
26	(0,0,1,2,3)√2	Cantitruncated 5-orthoplex (šíp)	82	640	1520	1440	480		rr {3,3,4}	{} × r {3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
27	(0,1,1,1,1)√2	Rektifikovaná 5 kostka (rin)	42	200	400	320	80	{3,3}×{ }	r {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28	(0,1,1,1,2)√2	Runcinated 5-orthoplex (plivl)	162	1200	2160	1440	320		r {4,3,3}	-	{3}×{4}		t_0,3{3,3,3}
29	(0,1,1,2,2)√2	Bicantellated 5-cube (sibrant) (Bicantellated 5-orthoplex)	122	840	2160	1920	480		rr {4,3,3}	-	{4}×{3}	-	rr {3,3,3}
30	(0,1,1,2,3)√2	Runcitruncated 5-orthoplex (pattit)	162	1440	3680	3360	960		rr {3,3,4}	{} × r {3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
31	(0,1,2,2,2)√2	Bitruncated 5-cube (opálení)	42	280	720	800	320		2t {4,3,3}	-	-	-	t {3,3,3}
32	(0,1,2,2,3)√2	Runcicantellated 5-orthoplex (sukně)	162	1200	2960	2880	960		{} × t {3,4}	2t {3,3,4}	{3}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
33	(0,1,2,3,3)√2	Bicantitruncated 5-cube (gibrant) (Bicantitruncated 5-orthoplex)	122	840	2160	2400	960		rr {4,3,3}	-	{4}×{3}	-	rr {3,3,3}
34	(0,1,2,3,4)√2	Runcicantitunikovaný 5-orthoplex (gippit)	162	1440	4160	4800	1920		tr {3,3,4}	{} × t {3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,2,3{3,3,3}
35	(1,1,1,1,1)	5 kostek (pent)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2	Sterilizovaná 5 kostka (málo) (Sterilizovaný 5-orthoplex)	242	800	1040	640	160	Tetr	{4,3,3}	{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2	Runcinated 5-cube (rozpětí)	202	1240	2160	1440	320		t_0,3{4,3,3}	-	{4}×{3}	{} × r {3,3}	{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2	Steritruncated 5-orthoplex (cappin)	242	1520	2880	2240	640		t_0,3{3,3,4}	{ }×{4,3}	-	-	t {3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√2	Kanylovaná 5 kostka (sirn)	122	680	1520	1280	320	Hranolový klín	rr {4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r {3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2	Stericantellated 5-kostka (carnit) (Stericantellated 5-orthoplex)	242	2080	4720	3840	960		rr {4,3,3}	rr {4,3} × {}	{4}×{3}	{} × rr {3,3}	rr {3,3,3}
41	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2	Runcicantellated 5-kostka (tisk)	202	1240	2960	2880	960		t_0,1,3{4,3,3}	-	{4}×{3}	{} × t {3,3}	2t {3,3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2	Stericantitruncated 5-orthoplex (cogart)	242	2320	5920	5760	1920		{} × rr {3,4}	t_0,1,3{3,3,4}	{6}×{4}	{} × t {3,3}	tr {3,3,3}
43	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2	Zkrácená 5 kostka (opálení)	42	200	400	400	160	Tetrah.pyr	t {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2	Steritunizovaná 5 kostka (capt)	242	1600	2960	2240	640		t {4,3,3}	t {4,3} × {}	{8}×{3}	{ }×{3,3}	t_0,3{3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2	Runcitruncated 5-cube (pattin)	202	1560	3760	3360	960		t_0,1,3{4,3,3}	{} × t {4,3}	{6}×{8}	{} × t {3,3}	t_0,1,3{3,3,3}]]
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2	Steriruncitruncated 5-cube (captint) (Steriruncitruncated 5-orthoplex)	242	2160	5760	5760	1920		t_0,1,3{4,3,3}	t {4,3} × {}	{8}×{6}	{} × t {3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√2	Cantitruncated 5-cube (holka)	122	680	1520	1600	640		tr {4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t {3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2	Stericantitruncated 5-cube (cogrin)	242	2400	6000	5760	1920		tr {4,3,3}	tr {4,3} × {}	{8}×{3}	{} × t_0,2{3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2	Runcicantitununková 5 kostka (gippin)	202	1560	4240	4800	1920		t_0,1,2,3{4,3,3}	-	{8}×{3}	{} × t {3,3}	tr {3,3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2	Omnitruncated 5-cube (gacnet) (všestranný 5-orthoplex)	242	2640	8160	9600	3840	Irr. {3,3,3}	tr {4,3} × {}	tr {4,3} × {}	{8}×{6}	{} × tr {3,3}	t_0,1,2,3{3,3,3}

D₅ rodina

The D₅ rodina má symetrii řádu 1920 (5! x 2⁴).

Tato rodina má 23 wythoffovských uniformních mnohostěnů z 3x8-1 permutace D.₅ Coxeterův diagram s jedním nebo více kroužky. 15 (2x8-1) se opakuje od B₅ rodina a 8 jsou pro tuto rodinu jedinečné.

#	Coxeterův diagram Schläfliho symbol symboly Jména Johnsona a Bowerse	Počty prvků					Vrchol postava	Fazety podle umístění: [3^1,2,1]
#		4	3	2	1	0	Vrchol postava	[3,3,3] (16)	[3^1,1,1] (10)	[3,3]×[ ] (40)	[ ]×[3]×[ ] (80)	[3,3,3] (16)
51	= h {4,3,3,3}, 5-demicube Hemipenteract (hin)	26	120	160	80	16	t₁{3,3,3}	{3,3,3}	t₀(1₁₁)	-	-	-
52	= h₂{4,3,3,3}, cantic 5-cube Zkrácený hemipenterakt (tenký)	42	280	640	560	160
53	= h₃{4,3,3,3}, runcic 5 kostek Malý kosočtverečný hemipenteract (sirhin)	42	360	880	720	160
54	= h₄{4,3,3,3}, sterická 5 kostka Malý prizmatický hemipenteract (siphin)	82	480	720	400	80
55	= h_2,3{4,3,3,3}, runcicantická 5 kostka Velký rhombated hemipenteract (girhin)	42	360	1040	1200	480
56	= h_2,4{4,3,3,3}, stericantic 5-kostka Prismatotruncated hemipenteract (pithin)	82	720	1840	1680	480
57	= h_3,4{4,3,3,3}, steriruncic 5-kostka Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)	82	560	1280	1120	320
58	= h_2,3,4{4,3,3,3}, steriruncicantická 5 kostka Velký prizmatický hemipenteract (giphin)	82	720	2080	2400	960

Jednotné hranolové tvary

Existuje 5 konečných kategorií jednotný hranolové rodiny polytopů založené na neprismatické uniformě 4-polytopes:

A₄ × A₁

Tato hranolová rodina má 9 formulářů:

The A₁ x A₄ rodina má symetrii řádu 240 (2 * 5!).

#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Počty prvků
#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Fazety	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
59	= {3,3,3}×{ } 5článkový hranol	7	20	30	25	10
60	= r {3,3,3} × {} Rektifikovaný 5článkový hranol	12	50	90	70	20
61	= t {3,3,3} × {} Zkrácený 5článkový hranol	12	50	100	100	40
62	= rr {3,3,3} × {} Kanylovaný 5článkový hranol	22	120	250	210	60
63	= t_0,3{3,3,3}×{ } Runcinated 5-cell hranol	32	130	200	140	40
64	= 2t {3,3,3} × {} Bitrunkovaný 5článkový hranol	12	60	140	150	60
65	= tr {3,3,3} × {} Cantitruncated 5-cell hranol	22	120	280	300	120
66	= t_0,1,3{3,3,3}×{ } Runcitruncated 5-cell hranol	32	180	390	360	120
67	= t_0,1,2,3{3,3,3}×{ } Omnitruncated 5-cell hranol	32	210	540	600	240

B₄ × A₁

Tato hranolová rodina má 16 formulářů. (Tři jsou sdíleny s rodinou [3,4,3] × [])

The A₁× B.₄ rodina má symetrii řádu 768 (2⁵4!).

#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Počty prvků
#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Fazety	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
[16]	= {4,3,3}×{ } Tesseractic hranol (Stejný jako 5 kostek )	10	40	80	80	32
68	= r {4,3,3} × {} Rektifikovaný tesseractic hranol	26	136	272	224	64
69	= t {4,3,3} × {} Zkrácený tesseractic hranol	26	136	304	320	128
70	= rr {4,3,3} × {} Kanylovaný tesseractic hranol	58	360	784	672	192
71	= t_0,3{4,3,3}×{ } Runcinated tesseractic hranol	82	368	608	448	128
72	= 2t {4,3,3} × {} Bitrunkovaný tesseractic hranol	26	168	432	480	192
73	= tr {4,3,3} × {} Cantitruncated tesseractic hranol	58	360	880	960	384
74	= t_0,1,3{4,3,3}×{ } Runcitruncated tesseractic hranol	82	528	1216	1152	384
75	= t_0,1,2,3{4,3,3}×{ } Všesměrový tesseractic hranol	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4}×{ } 16článkový hranol	18	64	88	56	16
77	= r {3,3,4} × {} Rektifikovaný 16článkový hranol (Stejný jako 24článkový hranol)	26	144	288	216	48
78	= t {3,3,4} × {} Zkrácený 16článkový hranol	26	144	312	288	96
79	= rr {3,3,4} × {} Kanylovaný 16článkový hranol (Stejný jako usměrněný hranol 24 buněk)	50	336	768	672	192
80	= tr {3,3,4} × {} Cantitruncated 16-cell hranol (Stejný jako zkrácený hranol 24 buněk)	50	336	864	960	384
81	= t_0,1,3{3,3,4}×{ } Runcitruncated 16-cell hranol	82	528	1216	1152	384
82	= sr {3,3,4} × {} snub 24-hranol buňky	146	768	1392	960	192

F₄ × A₁

Tato hranolová rodina má 10 formulářů.

The A₁ x F₄ rodina má symetrii řádu 2304 (2 * 1152). Tři polytopy 85, 86 a 89 (zelené pozadí) mají dvojitou symetrii [[3,4,3], 2], řád 4608. Poslední, snub 24-hranol buňky, (modré pozadí) má [3⁺, 4,3,2] symetrie, řád 1152.

#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Počty prvků
#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Fazety	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
[77]	= {3,4,3}×{ } 24článkový hranol	26	144	288	216	48
[79]	= r {3,4,3} × {} usměrněný hranol 24 buněk	50	336	768	672	192
[80]	= t {3,4,3} × {} zkrácený hranol 24 buněk	50	336	864	960	384
83	= rr {3,4,3} × {} cantellated 24-cell hranol	146	1008	2304	2016	576
84	= t_0,3{3,4,3}×{ } runcinated 24-cell hranol	242	1152	1920	1296	288
85	= 2t {3,4,3} × {} bitrunkovaný 24článkový hranol	50	432	1248	1440	576
86	= tr {3,4,3} × {} cantitruncated 24-cell hranol	146	1008	2592	2880	1152
87	= t_0,1,3{3,4,3}×{ } runcitruncated 24-cell hranol	242	1584	3648	3456	1152
88	= t_0,1,2,3{3,4,3}×{ } omnitruncated 24-cell hranol	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= s {3,4,3} × {} snub 24-hranol buňky	146	768	1392	960	192

H₄ × A₁

Tato hranolová rodina má 15 formulářů:

The A₁ x H₄ rodina má symetrii řádu 28800 (2 * 14400).

#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Počty prvků
#	Coxeterův diagram a Schläfli symboly název	Fazety	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
89	= {5,3,3}×{ } Hranol 120 buněk	122	960	2640	3000	1200
90	= r {5,3,3} × {} Rektifikovaný hranol 120 buněk	722	4560	9840	8400	2400
91	= t {5,3,3} × {} Zkrácený hranol 120 buněk	722	4560	11040	12000	4800
92	= rr {5,3,3} × {} Kanylovaný hranol 120 buněk	1922	12960	29040	25200	7200
93	= t_0,3{5,3,3}×{ } Runcinated 120-cell hranol	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t {5,3,3} × {} Bitrunkovaný 120článkový hranol	722	5760	15840	18000	7200
95	= tr {5,3,3} × {} Cantitruncated 120-cell hranol	1922	12960	32640	36000	14400
96	= t_0,1,3{5,3,3}×{ } Runcitruncated 120-cell hranol	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t_0,1,2,3{5,3,3}×{ } Omnitruncated 120-cell hranol	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5}×{ } Hranol 600 buněk	602	2400	3120	1560	240
99	= r {3,3,5} × {} Rektifikovaný hranol 600 buněk	722	5040	10800	7920	1440
100	= t {3,3,5} × {} Zkrácený hranol 600 buněk	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr {3,3,5} × {} Kanylovaný hranol 600 buněk	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr {3,3,5} × {} Cantitruncated 600-cell hranol	1442	11520	31680	36000	14400
103	= t_0,1,3{3,3,5}×{ } Runcitruncated 600-cell hranol	2642	18720	44880	43200	14400

Velký antiprismový hranol

The velký antiprism hranol je jediný známý konvexní ne-wythoffovský uniformní 5-polytop. Má 200 vrcholů, 1100 hran, 1940 tváří (40 pětiúhelníků, 500 čtverců, 1400 trojúhelníků), 1360 buněk (600 čtyřstěn, 40 pětiúhelníkové antiprismy, 700 trojúhelníkové hranoly, 20 pětiúhelníkové hranoly ) a 322 hypercelulárů (2 velké antiprismy , 20 pětiúhelníkový antiprism hranoly a 300 čtyřboké hranoly ).

#	název	Počty prvků
#	název	Fazety	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
104	velký antiprism hranol Gappip	322	1360	1940	1100	200

Poznámky ke konstrukci Wythoff pro jednotné 5-polytopes

Konstrukce reflexního 5-dimenzionálního jednotné polytopy jsou prováděny prostřednictvím Wythoffova konstrukce proces, a zastoupeny prostřednictvím a Coxeterův diagram, kde každý uzel představuje zrcadlo. Uzly jsou vyzváněny, což naznačuje, která zrcadla jsou aktivní. Celá sada generovaných jednotných polytopů je založena na jedinečných permutacích prstencových uzlů. Jednotné 5-polytopes jsou pojmenovány ve vztahu k běžné polytopy v každé rodině. Některé rodiny mají dva pravidelné konstruktory, a proto mohou mít dva způsoby, jak je pojmenovat.

Zde jsou primární operátoři, kteří jsou k dispozici pro konstrukci a pojmenování jednotných 5-polytopů.

Poslední operace, snub a obecněji alternace, jsou operace, která může vytvářet nereflektivní formy. Ty jsou nakresleny „dutými kroužky“ v uzlech.

Prizmatické formy a rozdvojené grafy mohou používat stejnou notaci zkrácení indexování, ale kvůli jasnosti vyžadují v uzlech explicitní systém číslování.

Úkon	Rozšířené Schläfliho symbol		Popis
Rodič	t₀{p, q, r, s}	{p, q, r, s}	Jakýkoli běžný 5-mnohostěn
Opraveno	t₁{p, q, r, s}	r {p, q, r, s}	Okraje jsou plně zkráceny na jednotlivé body. 5-mnohostěn má nyní kombinované plochy mateřské a duální.
Usměrněný	t₂{p, q, r, s}	2r {p, q, r, s}	Birectifikace redukuje tváře na body, buňky jejich duální.
Trirectified	t₃{p, q, r, s}	3r {p, q, r, s}	Trirektifikace redukuje buňky na body. (Duální oprava)
Quadrirectified	t₄{p, q, r, s}	4r {p, q, r, s}	Quadrirectification redukuje 4 tváře na body. (Dvojí)
Zkráceno	t_0,1{p, q, r, s}	t {p, q, r, s}	Každý původní vrchol je odříznut a mezera vyplňuje nový obličej. Zkrácení má stupeň volnosti, který má jedno řešení, které vytváří jednotný zkrácený 5-polytop. 5-mnohostěn má své původní tváře zdvojnásobené po stranách a obsahuje tváře duálního.
Cantellated	t_0,2{p, q, r, s}	rr {p, q, r, s}	Kromě zkrácení vrcholů je každá původní hrana zkosený na jejich místě se objeví nové obdélníkové tváře.
Runcinated	t_0,3{p, q, r, s}		Runcination redukuje buňky a vytváří nové buňky na vrcholech a okrajích.
Sterikované	t_0,4{p, q, r, s}	2r2r {p, q, r, s}	Sterikace redukuje fazety a vytváří nové fazety (hypercell) na vrcholech a hranách mezer. (Stejný jako expanze provoz pro 5-polytopů.)
Omnitruncated	t_0,1,2,3,4{p, q, r, s}		Použijí se všichni čtyři operátoři, zkrácení, cantellace, runcinace a sterilizace.
Polovina	h {2p, 3, q, r}		Střídání, stejný jako
Kantický	h₂{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Runcic	h₃{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Runcicantic	h_2,3{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Steric	h₄{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Runcisteric	h_3,4{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Stericantic	h_2,4{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Steriruncicantic	h_2,3,4{2p, 3, q, r}		Stejný jako
Snub	s {p, 2q, r, s}		Střídané zkrácení
Snub opravil	sr {p, q, 2r, s}		Střídaná zkrácená náprava
	ht_0,1,2,3{p, q, r, s}		Alternativní runcicantitruncation
Plný útlum	ht_0,1,2,3,4{p, q, r, s}		Alternativní omnitruncation

Pravidelné a jednotné voštiny

Coxeterovy diagramové korespondence mezi rodinami a vyšší symetrie v diagramech. Uzly stejné barvy v každém řádku představují identická zrcadla. Černé uzly nejsou v korespondenci aktivní.

Existuje pět základních afinit Skupiny coxeterů a 13 prizmatických skupin, které generují pravidelné a jednotné mozaikování v euklidovském 4-prostoru.^[4]^[5]

Základní skupiny
#	Skupina coxeterů			Coxeterův diagram	formuláře
1	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$	[3^[5]]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${ displaystyle { tilde {C}} _ {4}}$	[4,3,3,4]			19
3	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$	[4,3,3^1,1]	[4,3,3,4,1⁺]	=	23 (8 nových)
4	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$	[3^1,1,1,1]	[1⁺,4,3,3,4,1⁺]	=	9 (0 nových)
5	${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$	[3,4,3,3]			31 (21 nových)

Tam jsou tři pravidelné voštiny euklidovského 4-prostoru:

tesseractic voštinový, se symboly {4,3,3,4}, = . V této rodině je 19 jednotných voštin.
24článkový plástev, se symboly {3,4,3,3}, . V této rodině je 31 reflexních uniformních voštin a jedna alternativní forma.
- Zkrácený 24článkový plástev se symboly t {3,4,3,3},
- Utlumit 24článkový plástev, se symboly s {3,4,3,3}, a postavena čtyřmi potlačit 24 buněk, jeden 16 buněk a pět 5 buněk na každém vrcholu.
16článkový plástev, se symboly {3,3,4,3},

Další rodiny, které generují jednotné voštiny:

K dispozici je 23 jedinečně kroužkovaných formulářů, 8 nových v 16článkový plástev rodina. Se symboly h {4,3², 4} je geometricky identický s 16článkový plástev, =
Existuje 7 jedinečně kroužkovaných formulářů z ${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$ ${{ tilde {A}}} _ {4}$ , rodina, vše nové, včetně:
V souboru je 9 jedinečně kroužkovaných formulářů ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ : [3^1,1,1,1] rodina, dva nové, včetně čtvrtina tesseractic plástev, = a bitunovaný tesseractic voštinový, = .

Non-Wythoffian uniformní mozaikování ve 4-prostoru také existují prodloužením (vložením vrstev) a gyrací (rotující vrstvy) z těchto reflexních forem.

Hranolové skupiny
#	Skupina coxeterů
1	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2,∞]
2	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[4,3^1,1,2,∞]
3	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[3^[4],2,∞]
4	${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,∞,2,∞]
5	${ displaystyle { tilde {H}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,∞,2,∞]
6	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[3^[3],2,∞,2,∞]
7	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ X ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ X ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	[3^[3],2,3^[3]]
9	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {B}} _ {2}}$	[3^[3],2,4,4]
10	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	[3^[3],2,6,3]
11	${ displaystyle { tilde {B}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {B}} _ {2}}$	[4,4,2,4,4]
12	${ displaystyle { tilde {B}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	[4,4,2,6,3]
13	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ × ${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	[6,3,2,6,3]

Kompaktní pravidelné mozaikování hyperbolického 4 prostoru

Existuje pět druhů konvexních pravidelných voštiny a čtyři druhy hvězdných plástů v H⁴ prostor:^[6]

Název plástve	Schläfli Symbol {p, q, r, s}	Aspekt typ {p, q, r}	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Tvář postava {s}	Okraj postava {r, s}	Vrchol postava {q, r, s}	Dvojí
Objednávka 5 5 buněk	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Objednávka-3 120 buněk	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Order-5 tesseractic	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Objednávka 4 120 buněk	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Objednávka-5 120 buněk	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Self-dual

V H jsou čtyři pravidelné hvězdné voštiny⁴ prostor:

Název plástve	Schläfli Symbol {p, q, r, s}	Aspekt typ {p, q, r}	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Tvář postava {s}	Okraj postava {r, s}	Vrchol postava {q, r, s}	Dvojí
Objednávka - 3 malé hvězdicovité 120článkové články	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}
Objednávka-5/2 600 buněk	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}
Order-5 icosahedral 120-cell	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}
Objednávka-3 skvělých 120 buněk	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}

Pravidelné a jednotné hyperbolické voštiny

Existuje 5 kompaktní hyperbolické skupiny Coxeteru 5. úrovně, z nichž každá generuje jednotné voštiny v hyperbolickém 4 prostoru jako permutace prstenců Coxeterových diagramů. K dispozici je také 9 paracompact hyperbolické coxeterové skupiny 5. úrovně, z nichž každý generuje jednotné voštiny ve 4-prostoru jako permutace prstenců Coxeterových diagramů. Skupiny Paracompact generují voštiny s nekonečným množstvím fazety nebo vrcholové postavy.

Kompaktní hyperbolické skupiny
${ displaystyle { widehat {AF}} _ {4}}$ = [(3,3,3,3,4)]:	${ displaystyle { bar {DH}} _ {4}}$ = [5,3,3^1,1]:	${ displaystyle { bar {H}} _ {4}}$ = [3,3,3,5]: ${ displaystyle { bar {BH}} _ {4}}$ = [4,3,3,5]: ${ displaystyle { bar {K}} _ {4}}$ = [5,3,3,5]:

Parakompaktní hyperbolické skupiny
${ displaystyle { bar {P}} _ {4}}$ = [3,3^[4]]: ${ displaystyle { bar {BP}} _ {4}}$ = [4,3^[4]]: ${ displaystyle { bar {FR}} _ {4}}$ = [(3,3,4,3,4)]: ${ displaystyle { bar {DP}} _ {4}}$ = [3^[3]×[]]:	${ displaystyle { bar {N}} _ {4}}$ = [4,/3\,3,4]: ${ displaystyle { bar {O}} _ {4}}$ = [3,4,3^1,1]: ${ displaystyle { bar {S}} _ {4}}$ = [4,3^2,1]: ${ displaystyle { bar {M}} _ {4}}$ = [4,3^1,1,1]:	${ displaystyle { bar {R}} _ {4}}$ = [3,4,3,4]:

Poznámky

^ T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900
^ Pravidelné a polopravidelné polytopy III, s. 315 Tři konečné 5-dimenzionální skupiny
^ Coxeter, Pravidelné polytopy, §12.6 Počet odrazů, rovnice 12,61
^ Pravidelné polytopy, str.297. Tabulka IV, Základní oblasti pro neredukovatelné skupiny generované odrazy.
^ Pravidelné a semiregulární polytopy, II, s. 298-302 Čtyřrozměrné voštiny
^ Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejí, Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, Souhrnné tabulky IV p213

Reference

T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí, Posel matematiky, Macmillan, 1900 (3 běžné a jeden semiregulární 4-mnohostěn)
A. Boole Stott: Geometrický dedukce semiregular z pravidelných polytopů a prostorových výplní, Verhandelingen z Koninklijke akademie van Wetenschappen šířka jednotky Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973 (str. 297 Základní oblasti pro neredukovatelné skupiny generované odrazy, sférické a euklidovské)
- H.S.M. Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů (Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, Souhrnné tabulky IV p213)
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (str. 287 5D euklidovské skupiny, str. 298 čtyřrozměrné voštiny)
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
James E. Humphreys, Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge Studies in Advanced Mathematic, 29 (1990) (Strana 141, 6.9 Seznam hyperbolických Coxeterových skupin, obrázek 2) [2]

externí odkazy

Klitzing, Richarde. „5D uniformní polytopes (polytera)“.

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900

[2] Pravidelné a polopravidelné polytopy III, s. 315 Tři konečné 5-dimenzionální skupiny

[3] Coxeter, Pravidelné polytopy, §12.6 Počet odrazů, rovnice 12,61

[4] Pravidelné polytopy, str.297. Tabulka IV, Základní oblasti pro neredukovatelné skupiny generované odrazy.

[5] Pravidelné a semiregulární polytopy, II, s. 298-302 Čtyřrozměrné voštiny

[6] Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejí, Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, Souhrnné tabulky IV p213

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]