Penroseovy obklady - Penrose tiling - Wikipedia

Obklad Penrose s kosočtverci vykazující pětinásobnou symetrii

A Penroseovy obklady je příkladem neperiodické obklady. Tady, a obklady je krytí letadlo nepřekrývajícími se polygony nebo jinými tvary a neperiodické znamená, že posunutí jakéhokoli obkladu s těmito tvary o jakoukoli konečnou vzdálenost bez rotace nemůže vyprodukovat stejný obklad. Navzdory jejich nedostatku translační symetrie, Penroseovy obklady mohou mít obojí reflexní symetrie a pětinásobně rotační symetrie. Penroseovy obklady jsou pojmenovány po matematikovi a fyzikovi Roger Penrose, který je vyšetřoval v 70. letech.

Existuje několik různých variant obkladů Penrose s různými tvary dlaždic. Původní forma obkladu Penrose používala dlaždice čtyř různých tvarů, ale toto bylo později redukováno pouze na dva tvary: buď dva různé kosočtverec nebo dva různé čtyřúhelníky volala draci a šipky. Penroseovy obklady se získají omezením způsobů, kterými je dovoleno, aby tyto tvary do sebe zapadaly. To lze provést několika různými způsoby, včetně pravidel párování, substituční obklady nebo konečná pravidla dělení, schémata řezů a projektů a krytiny. Dokonce i tímto způsobem omezené, každá variace přináší nekonečně mnoho různých Penroseových obkladů.

Roger Penrose ve foyer Mitchellova institutu pro základní fyziku a astronomii, Texas A&M University, stojící na podlaze s Penroseovým obkladem

Penroseovy obklady jsou podobný: mohou být převedeny na ekvivalentní Penroseovy obklady s různými velikostmi dlaždic pomocí tzv. procesů inflace a deflace. Vzor představovaný každou konečnou záplatou dlaždic v Penrosově obkladu se v průběhu obkladu vyskytuje nekonečně mnohokrát. Oni jsou kvazikrystaly: implementováno jako fyzická struktura, kterou vytvoří Penroseova dlažba difrakční vzory s Bragg vrcholí a pětinásobnou symetrii, která odhaluje opakované vzory a pevnou orientaci jejích dlaždic.^[1] Studium těchto obkladů bylo důležité pro pochopení fyzikálních materiálů, které také tvoří kvazikrystaly.^[2] Penroseovy obklady byly také použity v architektuře a dekoraci, jak je znázorněno na podlahových obkladech.

Pozadí a historie

Periodické a neperiodické obklady

Obrázek 1. Část periodického obkladu se dvěma prototily

Zakrytí rovného povrchu („roviny“) nějakým vzorem geometrických tvarů („dlaždic“) bez překrytí nebo mezer se nazývá obklady. Mezi příklady patří nejznámější obklady, například pokrytí podlahy čtverci, které se setkávají od okraje k okraji periodické obklady. Pokud je čtvercový obklad posunut o šířku dlaždice, rovnoběžně se stranami dlaždice, výsledkem je stejný vzor dlaždic jako před posunem. Posun (formálně, a překlad ), který zachovává obklady tímto způsobem, se nazývá a doba obkladů. Obklady se nazývají periodické, když mají periody, které posunují obklady ve dvou různých směrech.^[3]

Dlaždice ve čtvercovém obkladu mají pouze jeden tvar a je běžné, že ostatní obklady mají pouze a konečný počet tvarů. Tyto tvary se nazývají prototily, a sada prototilů se říká připustit obklady nebo dlaždice letadlo pokud existuje obložení roviny pouze pomocí těchto tvarů. To znamená, že každá dlaždice v obkladu musí být shodný k jednomu z těchto prototilů.^[4]

Obklad, který nemá žádná období, je neperiodické. Sada prototilů se říká, že je neperiodické pokud jsou všechny jeho obklady neperiodické, a v tomto případě se také nazývají jeho obklady neperiodické obklady.^[5] Penroseovy obklady patří mezi nejjednodušší známé příklady neperiodických náklonů roviny pomocí konečných sad prototilů.^[3]

Nejstarší neperiodické obklady

An neperiodická sada z Wang domino.^[6]

Téma neperiodických obkladů získalo nový zájem v 60. letech, kdy logik Hao Wang zaznamenala spojení mezi rozhodovací problémy a obklady.^[7] Zejména zavedl obklady čtvercovými deskami s barevnými okraji, nyní známými jako Wang domino nebo dlaždicea položil „Domino problém „: k určení, zda by daná sada Wangových domino mohla obkládat letadlo odpovídajícími barvami na sousedních hranách domina. nerozhodnutelný, pak by musela existovat neperiodická sada Wangových domino. V té době se to zdálo nepravděpodobné, takže Wang předpokládal, že žádná taková sada nemůže existovat.

Robinsonových šest prototilů

Wangův student Robert Berger ve své diplomové práci z roku 1964 dokázal, že problém Domino je nerozhodnutelný (takže Wangova domněnka byla nesprávná),^[8] a získal neperiodickou sadu 20426 Wangových domino.^[9] Také popsal snížení na 104 takových prototilů; ten se ve své publikované monografii neobjevil,^[10] ale v roce 1968, Donald Knuth podrobně popsal modifikaci Bergerovy sady vyžadující pouze 92 domino.^[11]

Sladění barev vyžadované u obkladů dominy Wang lze snadno dosáhnout úpravou okrajů dlaždic skládačka kusy tak, aby se do sebe vešly, pouze jak je předepsáno barvením hran.^[12] Raphael Robinson, v dokumentu z roku 1971^[13] který zjednodušil Bergerovy techniky a důkaz nerozhodnutelnosti, použil tuto techniku ​​k získání neperiodické sady pouhých šesti prototilů.^[14]

Vývoj Penroseových obkladů

První Penrosův obklad (obklad P1 níže) je neperiodická sada šesti prototilů, kterou zavedl Roger Penrose v příspěvku z roku 1974,^[16] založeno spíše na pětiúhelnících než na čtvercích. Jakýkoli pokus o obložení letadla pravidelnými pětiúhelníky nutně zanechává mezery, ale Johannes Kepler ukázal ve své práci 1619 Harmonices Mundi, že tyto mezery lze vyplnit pomocí pentagramy (hvězdné polygony ), desetiúhelníky a související tvary.^[17] Stopy těchto myšlenek lze nalézt také v práci Albrecht Dürer.^[18] Penrose, který uznával inspiraci od Keplera, našel odpovídající pravidla pro tyto tvary a získal neperiodickou množinu. Tato pravidla shody lze vynutit dekoracemi hran, jako u dlaždic Wang. Penroseovy obklady lze považovat za dokončení Keplerovy konečnosti Aa vzor.^[19]

Non-Penrose obklady pětiúhelníky a tenkých kosočtverců na počátku 18. století Poutní kostel svatého Jana Nepomuckého na Zelené hoře, Česká republika

Penrose následně snížil počet prototilů na dva, objevil obklady draka a šipek (obklady P2 níže) a kosočtverečné obklady (obklady P3 níže).^[20] Obklady kosočtverce byly nezávisle objeveny Robert Ammann v roce 1976.^[21] Penrose a John H. Conway prozkoumal vlastnosti Penroseových obkladů a zjistil, že substituční vlastnost vysvětluje jejich hierarchickou povahu; jejich nálezy zveřejnil Martin Gardner v jeho lednu 1977 “Matematické hry "sloupec v Scientific American.^[22]

V roce 1981 N. G. De Bruijn poskytl dvě různé metody pro konstrukci Penroseových obkladů. De Bruijnova „multigridní metoda“ získává Penroseovy obklady jako duální grafy z ujednání pěti rodin paralelních linií. Ve své „metodě řezu a projektu“ jsou Penroseovy obklady získány jako dvourozměrné projekce z pětidimenzionální kubické struktury. V těchto přístupech je Penroseova dlažba považována za sadu bodů, jejích vrcholů, zatímco dlaždice jsou geometrické tvary získané spojením vrcholů s hranami.^[23]

Penroseovy obklady

Obklad P1 s použitím Penroseovy původní sady šesti prototilů

Níže jsou jednotlivě popsány tři typy Penrosových obkladů, P1 – P3.^[24] Mají mnoho společných rysů: v každém případě jsou dlaždice konstruovány z tvarů souvisejících s pětiúhelníkem (a tedy s Zlatý řez ), ale základní tvary dlaždic je třeba doplnit o odpovídající pravidla za účelem pravidelného obkládání. Tato pravidla lze popsat pomocí označených vrcholů nebo hran nebo vzorů na plochách dlaždic; alternativně lze okrajový profil upravit (např. prohlubněmi a výčnělky), aby se získala neperiodická sada prototilů.^[9][25]

Originální pětiúhelníkový obklad Penrose (P1)

První obklad Penrose používá pětiúhelníky a tři další tvary: pěticípou „hvězdu“ (pentagram), „loď“ (zhruba 3/5 hvězdy) a „diamant“ (tenký kosočtverec).^[26] Aby bylo zajištěno, že všechny obklady nejsou periodické, existují pravidla shody, která určují, jak se dlaždice mohou navzájem setkávat, a pro pětiúhelníkové dlaždice existují tři různé typy pravidel shody. Léčba těchto tří typů jako různých prototilů dává celkově sadu šesti prototilů. Je běžné označovat tři různé typy pětiúhelníkových dlaždic pomocí tří různých barev, jako na obrázku výše vpravo.^[27]

Kite a šipky obklady (P2)

Část letadla pokrytá Penrosem obklady typu P2 (drak a šipka). Vytvořeno použitím několika deflací, viz část níže.

Penroseův druhý obklad používá čtyřúhelníky zvané „drak“ a „šíp“, které lze kombinovat a vytvořit kosočtverec. Pravidla párování však takovou kombinaci zakazují.^[28] Drak i šipka jsou složeny ze dvou trojúhelníků, tzv Robinsonovy trojúhelníky, po 1975 poznámkách Robinsona.^[29]

Kite a šipky (nahoře) a sedm možných vrcholové postavy v obkladu P2.

• The papírový drak je čtyřúhelník, jehož čtyři vnitřní úhly jsou 72, 72, 72 a 144 stupňů. Drak může být rozdělen podél své osy symetrie za vzniku dvojice akutních Robinsonových trojúhelníků (s úhly 36, 72 a 72 stupňů).
• The šipka je nekonvexní čtyřúhelník, jehož čtyři vnitřní úhly jsou 36, 72, 36 a 216 stupňů. Šipka může být rozdělena podél své osy symetrie za vzniku dvojice tupých Robinsonových trojúhelníků (s úhly 36, 36 a 108 stupňů), které jsou menší než ostré trojúhelníky.

Pravidla párování lze popsat několika způsoby. Jedním z přístupů je vybarvení vrcholů (dvěma barvami, např. Černé a bílé) a požadavek, aby sousední dlaždice měly shodné vrcholy.^[30] Další možností je použít vzor kruhových oblouků (jak je znázorněno vlevo nahoře zeleně a červeně) k omezení umístění dlaždic: když dvě dlaždice sdílejí hranu v obkladu, musí se vzory shodovat na těchto okrajích.^[20]

Tato pravidla často nutí umístění určitých dlaždic: například konkávní vrchol jakékoli šipky je nutně vyplněn dvěma draky. Odpovídající postava (střed horní řady na dolním obrázku vlevo) nazývá Conway jako „eso“; i když to vypadá jako zvětšený drak, nerozkládá se stejným způsobem.^[31] Podobně konkávní vrchol vytvořený, když se dva draci setkají podél krátké hrany, je nutně vyplněn dvěma šipkami (vpravo dole). Ve skutečnosti existuje jen sedm možných způsobů, jak se dlaždice setkají na vrcholu; dvě z těchto postav - konkrétně „hvězda“ (vlevo nahoře) a „slunce“ (vpravo nahoře) - mají pětinásobek dihedrální symetrie (rotacemi a odrazy), zatímco zbytek má jednu osu odrazu (svislou v obraze).^[32] Kromě esa a slunce všechny tyto vrcholové figury nutí umisťovat další kameny.^[33]

Obklady kosočtverce (P3)

Odpovídající pravidlo pro Penroseovy kosočtverce pomocí kruhových oblouků nebo úprav hran k vynucení pravidel skládání

Odpovídající pravidlo pro Penroseovy kosočtverce pomocí parabolických hran k vynucení pravidel skládání

Obklady Penrose pomocí Penrose Rhombuses s parabolickými hranami

Třetí obklad používá dvojici kosočtverce (často označované jako „kosočtverce „v této souvislosti) se stejnými stranami, ale různými úhly.^[9] K pravidelnému obkládání roviny lze použít obyčejné dlaždice ve tvaru kosočtverce, takže je třeba učinit omezení týkající se způsobu sestavování dlaždic: žádné dvě dlaždice nemohou tvořit rovnoběžník, protože by to umožňovalo pravidelné obkládání, ale toto omezení nestačí k vynucení aperiodicita, as obrázek 1 výše ukazuje.

Existují dva druhy dlaždic, které lze rozložit na Robinsonovy trojúhelníky.^[29]

• Tenký kosočtverec t má čtyři rohy s úhly 36, 144, 36 a 144 stupňů. The t kosočtverec lze rozdělit podél jeho krátké úhlopříčky a vytvořit tak dvojici akutních Robinsonových trojúhelníků.
• Tlustý kosočtverec T má úhly 72, 108, 72 a 108 stupňů. The T kosočtverec lze rozdělit podél jeho dlouhé úhlopříčky a vytvořit tak dvojici tupých Robinsonových trojúhelníků; na rozdíl od obkladů P2 jsou tyto větší než akutní trojúhelníky.

Pravidla shody rozlišují strany dlaždic a znamenají, že dlaždice mohou být vedle sebe umístěny určitými konkrétními způsoby, ale ne jinými. Na obrázku vpravo jsou uvedeny dva způsoby, jak popsat tato pravidla shody. V jedné formě musí být dlaždice sestaveny tak, aby se křivky na tvářích shodovaly v barvě a poloze přes hranu. Na druhé straně musí být dlaždice sestaveny tak, aby hrboly na jejich okrajích do sebe zapadly.^[9]

Existuje 54 cyklicky seřazených kombinací takových úhlů, které se sčítají až 360 stupňů na vrcholu, ale pravidla obkladů umožňují, aby se objevilo pouze sedm z těchto kombinací (ačkoli jedna z nich vzniká dvěma způsoby).^[34]

Různé kombinace úhlů a zakřivení obličeje umožňují konstrukci libovolně složitých dlaždic, například Penrose kuřata.^[35]

Vlastnosti a konstrukce

Zlatý řez a lokální pětiúhelníková symetrie

Několik vlastností a společných rysů Penroseových obkladů zahrnuje Zlatý řez φ = (1+√5) / 2 (přibližně 1 618).^[29][30] To je poměr akord délky na boční délky v a pravidelný pětiúhelník, a uspokojuje φ = 1 + 1/φ.

Pentagon s vepsaným tlustým kosočtvercem (světlým), ostrými Robinsonovými trojúhelníky (lehce zastíněnými) a malým tupým Robinsonovým trojúhelníkem (tmavším). Tečkované čáry poskytují další okraje pro vepsané draky a šipky.

V důsledku toho je poměr délek dlouhých stran ke krátkým stranám v (rovnoramenný ) Robinsonovy trojúhelníky jsou φ: 1. Z toho vyplývá, že poměr délek dlouhých stran ke krátkým v dlaždicích draka i šipek je také φ: 1, stejně jako délkové poměry stran k krátké úhlopříčce v tenkém kosočtverci ta dlouhé diagonály do stran v tlustém kosočtverci T. U obkladů P2 a P3 je poměr plocha většího Robinsonova trojúhelníku k menšímu je φ: 1, tedy také jsou poměry oblastí draka k šipce a silného kosočtverce k tenkému kosočtverci. (Větší i menší tupé Robinsonovy trojúhelníky najdete v pětiúhelníku nalevo: větší trojúhelníky nahoře - poloviny tlustého kosočtverce - mají lineární rozměry zvětšené o φ ve srovnání s malým stínovaným trojúhelníkem na základně, a tak je poměr oblastí φ²:1.)

Libovolný obklad Penrose má místní pětiúhelníkovou symetrii v tom smyslu, že v obkladu jsou body obklopené symetrickou konfigurací dlaždic: takové konfigurace mají pětinásobek rotační symetrie o středovém bodu, stejně jako pět zrcadlových linií reflexní symetrie procházející bodem, a vzepětí symetrie skupina.^[9] Tato symetrie obecně zachová pouze záplatu dlaždic kolem středového bodu, ale záplata může být velmi velká: Conway a Penrose dokázali, že kdykoli se barevné křivky na obkladech P2 nebo P3 uzavírají ve smyčce, oblast uvnitř smyčky má pětiúhelník symetrie a navíc v každém obkladu jsou maximálně dvě takové křivky každé barvy, které se nezavírají.^[36]

Může existovat nanejvýš jeden střed globální pětinásobné symetrie: pokud by jich bylo více než jeden, pak by rotace každého kolem druhého vedla ke vzniku dvou bližších středů pětinásobné symetrie, což by vedlo k matematickému rozporu.^[37] Existují pouze dva Penroseovy obklady (každého typu) s globální pětiúhelníkovou symetrií: pro obklady P2 pomocí draků a šipek je středovým bodem buď vrchol „slunce“ nebo „hvězda“.^[38]

Inflace a deflace

Pětiúhelník rozložený na šest menších pětiúhelníků (polovina dodekahedrální sítě) s mezerami

Mnoho společných rysů Penroseových obkladů vyplývá z hierarchické pětiúhelníkové struktury dané pravidla střídání: toto se často označuje jako inflace a deflacenebo složení a rozklad, obkladů nebo (sbírek) dlaždic.^[9][22][39] Substituční pravidla rozkládají každou dlaždici na menší dlaždice stejného tvaru, jaké se používají při obkladech (a umožňují tak skládat větší dlaždice z menších). To ukazuje, že obklady Penrose mají škálovatelnou podobnost, takže ji lze považovat za fraktální.^[40]

Penrose původně objevil obklad P1 tímto způsobem rozložením pětiúhelníku na šest menších pětiúhelníků (jedna polovina síť a dvanáctistěn ) a pět polo diamantů; poté si všiml, že když tento proces zopakoval, všechny mezery mezi pětiúhelníky mohly být vyplněny hvězdami, diamanty, čluny a dalšími pětiúhelníky.^[26] Opakovaným opakováním tohoto procesu získal jeden ze dvou P1 naklonění s pětiúhelníkovou symetrií.^[9][19]

Robinsonovy trojúhelníkové rozklady

Robinsonovy trojúhelníky a jejich rozklady

Substituční metodu pro obklady P2 i P3 lze popsat pomocí Robinsonových trojúhelníků různých velikostí. Robinsonovy trojúhelníky vznikající v obkladech P2 (rozdělováním draků a šipek) se nazývají A-dlaždice, zatímco ty, které vznikají v P3 obkladech (rozdělováním kosočtverců) se nazývají B-dlaždice.^[29] Menší taška A, označená A_S, je tupý Robinsonův trojúhelník, zatímco větší A-taška, A_L, je akutní; na rozdíl od toho menší B-taška, označená B_S, je akutní Robinsonův trojúhelník, zatímco větší B-taška, B_L, je tupý.

Konkrétně, pokud A_S má boční délky (1, 1, φ), pak_L má boční délky (φ, φ, 1). B-dlaždice mohou být spojeny s takovými A-dlaždicemi dvěma způsoby:

• Pokud B_S má stejnou velikost jako A_L pak B_L je zvětšená verze φA_S A._S, s bočními délkami (φ, φ, φ² = 1 + φ) - rozkládá se na A._L dlaždice a A_S dlaždice spojená podél společné strany délky 1.
• Pokud místo toho B_L je označen A_S, pak B_S je zmenšená verze (1 /φ)A_L A._L s bočními délkami (1 /φ,1/φ, 1) - připojení k B_S dlaždice a B_L taška podél společné strany délky 1 pak získá (rozklad) A_L dlaždice.

V těchto rozkladech se jeví nejednoznačnost: Robinsonovy trojúhelníky mohou být rozloženy dvěma způsoby, což jsou vzájemné zrcadlové obrazy v (rovnoramenné) ose symetrie trojúhelníku. U Penrosových obkladů je tato volba stanovena pravidly shody. Dále pravidla párování taky určit, jak se skládají menší trojúhelníky v obkladu, aby dávaly větší.^[29]

Částečné nafouknutí hvězd za vzniku kosočtverců a sbírky kosočtverců za získání esa.

Z toho vyplývá, že obklady P2 a P3 jsou vzájemně lokálně odvozitelné: obklad jedné sady dlaždic lze použít k vygenerování obkladu jinou. Například obklady pomocí draků a šipek lze rozdělit na dlaždice A a ty lze kanonicky skládat tak, aby tvořily dlaždice B a tedy kosočtverce.^[15] Obklady P2 a P3 jsou také vzájemně lokálně odvozitelné od obkladů P1 (viz obrázek 2 výše ).^[41]

Může být napsán rozklad B-dlaždic na A-dlaždice

B_S = A_L, B_L = A_L + A_S

(za předpokladu konvence větší velikosti pro B-dlaždice), kterou lze shrnout do a substituce matice rovnice:^[42]

${ displaystyle { begin {pmatrix} B_ {L} B_ {S} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A_ { L} A_ {S} end {pmatrix}} ,.}$

V kombinaci s rozkladem zvětšeného φA-dlaždice do B-dlaždic poskytují náhradu

${ displaystyle { begin {pmatrix} varphi A_ {L} varphi A_ {S} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} { begin { pmatrix} B_ {L} B_ {S} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A_ {L} A_ {S } end {pmatrix}} ,,}$

takže zvětšená dlaždice φA_L rozkládá se na dvě A._L dlaždice a jeden A_S dlaždice. Pravidla shody vynucují konkrétní střídání: dva A_L dlaždice v a φA_L taška musí tvořit draka, a tak se drak rozloží na dva draky a dvě půlšipky a šipka se rozloží na draka a dvě půlšipky.^[43][44] Zvětšený φB-dlaždice se rozkládají na B-dlaždice podobným způsobem (přes φA-dlaždice).

Složení a rozklad lze iterovat, takže například

${ displaystyle varphi ^ {n} { begin {pmatrix} A_ {L} A_ {S} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 1 end {pmatrix}} ^ { n} { begin {pmatrix} A_ {L} A_ {S} end {pmatrix}} ,.}$

Počet draků a šipek v niterace stavby je stanovena nsíla substituční matice:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 1 end {pmatrix}} ^ {n} = { begin {pmatrix} F_ {2n + 1} & F_ {2n} F_ {2n} & F_ {2n- 1} end {pmatrix}} ,,}$

kde F_n je nth Fibonacciho číslo. Poměr počtu draků k šipkám v jakémkoli dostatečně velkém vzorci obkladů P2 Penrose se tedy blíží zlatému řezu φ.^[45] Podobný výsledek platí pro poměr počtu tlustých kosočtverců k tenkým kosočtvercům v obkladu P3 Penrose.^[43]

Deflace u obkladů P2 a P3

Postupné deflace „slunečního“ vrcholu v Penrose obklady typu P2

Následné deflace sady dlaždic v Penrose obklady typu P3

8. deflace „slunečního“ vrcholu v Penrose obklady typu P2

Počínaje kolekcí dlaždic z daného obkladu (což může být jedna dlaždice, obklad roviny nebo jakákoli jiná kolekce), deflace pokračuje sekvencí kroků nazývaných generace. V jedné generaci deflace je každá dlaždice nahrazena dvěma nebo více novými dlaždicemi, které jsou zmenšenými verzemi dlaždic použitých v původních dlaždicích. The pravidla střídání zaručit, že nové dlaždice budou uspořádány v souladu s pravidly párování.^[43] Opakované generace deflace vytvářejí obklady původního tvaru axiomu s menšími a menšími dlaždicemi.

Toto pravidlo pro rozdělení dlaždic je a pravidlo dělení.

název	Počáteční dlaždice	Generace 1	Generace 2	Generace 3
Napůl drak
Napůl šíp
slunce
Hvězda

Výše uvedená tabulka by měla být používána s opatrností. Deflace napůl draka a napůl šipky jsou užitečné pouze v kontextu deflace většího vzoru, jak je znázorněno ve deflaci slunce a hvězdy. Poskytují nesprávné výsledky, pokud jsou použity na jednotlivé draky a šipky.

Pravidlo jednoduchého dělení navíc generuje díry poblíž okrajů obkladů, které jsou viditelné pouze na horním a dolním obrázku vpravo. Další pravidla vynucení jsou užitečná.

Důsledky a aplikace

Inflace a deflace poskytují metodu pro konstrukci obkladů draků a šipek (P2) nebo kosočtverců (P3), známých jako generace nahoru a dolů.^[31][43][44]

Penroseovy obklady, protože nejsou periodické, nemají translační symetrii - vzor nelze posunout tak, aby odpovídal celé rovině. Jakákoli ohraničená oblast, bez ohledu na to, jak velká, se však v rámci dlaždice bude opakovat nekonečně mnohokrát. Žádná konečná oprava tedy nemůže jednoznačně určit plný Penrosův obklad, ani dokonce určit, která pozice v obkladu se zobrazuje.^[46]

To zejména ukazuje, že počet odlišných Penroseových obkladů (jakéhokoli typu) je nespočetně nekonečný. Generace nahoru-dolů poskytuje jednu metodu pro parametrizaci naklonění, ale jiné metody používají Ammannovy tyče, pentagridy nebo schémata řezu a projektu.^[43]

Související obklady a témata

Desetihranné krytiny a kvazikrystaly

Gummeltův dekagon (vlevo) s rozkladem na draky a šipky vyznačený čárkovanými čarami; silnější tmavší čáry vázaly vepsané eso a tlustý kosočtverec; možné překryvy (vpravo) jsou o jedno nebo dvě červené esa.^[47]

V roce 1996 německá matematička Petra Gummelt demonstrovala, že krytinu (tzv. Odlišit ji od nepřekrývajícího se obkladu) ekvivalentní Penroseovu obkladu lze zkonstruovat pomocí jediné dekagonální dlaždice, pokud jsou povoleny dva druhy překrývajících se oblastí.^[48] Desetihranná dlaždice je zdobena barevnými skvrnami a krycí pravidlo povoluje pouze ty překryvy kompatibilní s barvením. Vhodný rozklad desetiúhelníkové dlaždice na draky a šipky transformuje takovou vrstvu na obklad Penrose (P2). Podobně lze obklad P3 získat zapsáním tlustého kosočtverce do každého dekagonu; zbývající prostor vyplňují tenké kosočtverce.

Tyto krytiny byly považovány za realistický model pro růst kvazikrystaly: překrývající se dekagony jsou „kvazijednotkové buňky“ analogické k jednotkové buňky ze kterých jsou konstruovány krystaly a odpovídající pravidla maximalizují hustotu určitých atomových shluků.^[47][49] Aperiodická povaha krytin může ztěžovat teoretické studium fyzikálních vlastností, jako je elektronová struktura, kvůli absenci Blochova věta. Spektra kvazikrystalů však lze stále počítat s kontrolou chyb.^[50]

Související obklady

Kravata a Navette obklady (červeně na pozadí Penrose)

Tři varianty obkladu Penrose jsou vzájemně lokálně odvozitelné. Výběr některých podmnožin z vrcholů obkladů P1 umožňuje vytvářet další neperiodické obklady. Pokud jsou rohy jednoho pětiúhelníku v P1 označeny za sebou 1,3,5,2,4 je zavedeno jednoznačné značkování ve všech pětiúhelnících, přičemž pořadí je ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Body se stejným štítkem definují obklad Robinsonovými trojúhelníky, zatímco body s čísly 3 a 4 na nich určují vrcholy obkladů Tie-and-Navette .^[51]

Varianta obkladu, která není kvazikrystalem. Nejedná se o obklad Penrose, protože nesplňuje pravidla zarovnání dlaždic.

Existují také další související nerovnoměrné sklony, jako je hvězda šestiúhelníku a lodi Mikulla – Roth. Například pokud jsou pravidla shody pro kosočtverečný obklad snížena na konkrétní omezení úhlů povolených pro každý vrchol, získá se binární obklad.^[52] Jeho základní symetrie je také pětinásobná, ale nejde o kvazikrystal. Lze jej získat buď zdobením kosočtverců původního obkladu menšími, nebo použitím substitučních pravidel, ale ne de Bruijnovou metodou cut-and-project.^[53]

Umění a architektura

• 

  Pětiboký a desetiboký Dlaždice Girih vzor na parapetu z Darb-i imám svatyně, Isfahan, Írán (1453 n. L.)

• 

  Transit Center Salesforce v San Francisku. Vnější „kůže“, vyrobená z bílého hliníku, je perforovaná ve vzoru Penroseových obkladů.

Estetická hodnota obkladů byla dlouho oceňována a zůstává o ně zdrojem zájmu; proto vizuální vzhled (spíše než formální definující vlastnosti) Penroseových obkladů přitahoval pozornost. Podobnost s určité dekorativní vzory bylo uvedeno v severní Africe a na Středním východě;^[54][55] fyzici Peter J. Lu a Paul Steinhardt předložili důkazy, že obklady Penrose jsou základem příkladů středověku Islámské geometrické vzory, tak jako girih (strapwork) obklady na Darb-e imám svatyně v Isfahan.^[56]

Drop City umělec Clark Richert použil v uměleckých dílech Penroseovy kosočtverce v roce 1970, odvozené od promítnutí kosočtverečného stínu triacontahedronu do roviny pozorující vložené „tlusté“ kosočtverce a „hubené“ kosočtverce, které společně vytvářejí neperiodickou mozaikování. Historik umění Martin Kemp to pozoroval Albrecht Dürer nakreslil podobné motivy kosočtvercového obkladu.^[57]

Nová 2,2 miliardy dolarů v San Francisku Transbay Transit Center je vybaven perforací zvlněné bílé kovové kůže v exteriéru ve vzoru Penrose.^[58]

Podlaha atria domu Bayliss Budova na University of Western Australia je obložena dlaždicemi Penrose.^[59]

V roce 1979 Miami University použil obklad Penrose provedený v terazzo vyzdobit nádvoří bakalářského sálu na jejich katedře matematiky a statistiky.^[60]

The Andrew Wiles Budova, umístění katedry matematiky na University of Oxford od října 2013,^[61] zahrnuje část Penrosových obkladů jako dlažbu jejího vchodu.^[62]Pěší část ulice Keskuskatu v centru Helsinek je vydlážděna formou Penrosových obkladů. Práce byly dokončeny v roce 2014.^[63]

Viz také

• Girih obklady
• Seznam neperiodických sad dlaždic
• Obklady větrník
• Pětiúhelníkové obklady
• Quaquaversal obklady

Poznámky

Reference

Primární zdroje

• Berger, R. (1966), Nerozhodnutelnost domino problému Memoáry Americké matematické společnosti 66, ISBN  9780821812662.
• de Bruijn, N. G. (1981), „Algebraická teorie Penrosových neperiodických naklonění roviny, I, II“ (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66, doi:10.1016/1385-7258(81)90017-2.
• Gummelt, Petra (1996), „Penroseovy obklady jako krytiny shodných desítek“, Geometriae Dedicata, 62 (1), doi:10.1007 / BF00239998, S2CID  120127686.
• Penrose, Rogere (1974), „Role estetiky v čistém a aplikovaném matematickém výzkumu“, Věstník Matematického ústavu a jeho aplikací, 10: 266ff.
• USA 4133152, Penrose, Rogere „Sada dlaždic pro zakrytí povrchu“, vydáno 9. 1. 1979 .
• Robinson, R.M. (1971), „Nerozhodnutelnost a neperiodicita pro naklánění letadla“, Inventiones Mathematicae, 12 (3): 177–190, Bibcode:1971InMat..12..177R, doi:10.1007 / BF01418780, S2CID  14259496.
• Schechtman, D .; Blech, I .; Gratias, D .; Cahn, J.W. (1984), „Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symetry“, Dopisy o fyzické kontrole, 53 (20): 1951–1953, Bibcode:1984PhRvL..53.1951S, doi:10.1103 / PhysRevLett.53.1951
• Wang, H. (1961), „Proving theorems by pattern recognition II“, Technický deník Bell System, 40: 1–42, doi:10.1002 / j.1538-7305.1961.tb03975.x.

Sekundární zdroje

• Austin, David (2005a), „Penroseovy dlaždice mluví napříč kilometry“, Sloupec funkcí„Providence: American Mathematical Society.
• Austin, David (2005b), „Penrose Tilings svázaný ve stužkách“, Sloupec funkcí„Providence: American Mathematical Society.
• Colbrook, Matthew; Roman, Bogdan; Hansen, Anders (2019), "Jak vypočítat Spectra s kontrolou chyb", Dopisy o fyzické kontrole, 122 (25): 250201, Bibcode:2019PhRvL.122y0201C, doi:10.1103 / PhysRevLett.122.250201, PMID  31347861
• Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997), „O neperiodických sadách Wangových dlaždic“, Základy informatiky, Přednášky v informatice, 1337, str. 153–162, doi:10.1007 / BFb0052084, ISBN  978-3-540-63746-2
• Gardner, Martin (1997), Penroseovy dlaždice na šifry padacích dveří, Cambridge University Press, ISBN  978-0-88385-521-8. (Poprvé publikováno W. H. Freemanem, New York (1989), ISBN  978-0-7167-1986-1.)
  • Kapitola 1 (str. 1–18) je dotisk z Gardner, Martin (leden 1977), „Mimořádné neperiodické obklady, které obohacují teorii dlaždic“, Scientific American, 236 (1): 110–121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, doi:10.1038 / scientificamerican0177-110.
• Godrèche, C; Lançon, F. (1992), "Jednoduchý příklad non-pisotského obkladu s pětinásobnou symetrií" (PDF), Journal de Physique I, 2 (2): 207–220, Bibcode:1992JPhy1 ... 2..207G, doi:10.1051 / jp1: 1992134.
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987), Obklady a vzory, New York: W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-1193-3.
• Kemp, Martin (2005), „Věda v kultuře: trik dlaždic“, Příroda, 436 (7049): 332, Bibcode:2005 Natur.436..332K, doi:10.1038 / 436332a.
• Lançon, Frédéric; Billard, Luc (1988), „Dvojrozměrný systém s kvazikrystalickým základním stavem“ (PDF), Journal de Physique, 49 (2): 249–256, CiteSeerX  10.1.1.700.3611, doi:10.1051 / jphys: 01988004902024900.
• Lord, E.A .; Ranganathan, S. (2001), „Gummeltův desetiúhelník jako kvazi jednotková buňka'" (PDF), Acta Crystallographica, A57 (5): 531–539, CiteSeerX  10.1.1.614.3786, doi:10.1107 / S0108767301007504, PMID  11526302
• Lu, Peter J .; Steinhardt, Paul J. (2007), „Desetihranné a kvazikrystalické obklady ve středověké islámské architektuře“ (PDF), Věda, 315 (5815): 1106–1110, Bibcode:2007Sci ... 315.1106L, doi:10.1126 / science.1135491, PMID  17322056.
• Luck, R. (2000), „Dürer-Kepler-Penrose: vývoj pětiúhelníkových obkladů“, Věda o materiálech a inženýrství, 294 (6): 263–267, doi:10.1016 / S0921-5093 (00) 01302-2.
• Makovicky, E. (1992), „800 let starý pětiúhelníkový obklad z Maraghy ​​v Íránu a nové odrůdy neperiodických obkladů, které ho inspirovaly“ Hargittai (ed.), Pětinásobná symetrie, Singapur – Londýn: World Scientific, s. 67–86, ISBN  9789810206000.
• Penrose, Rogere (1978), "Pentaplexity", Heuréka, 39: 16–22. (Zde uvedená čísla stránek jsou z reprodukce jako Penrose, R. (1979–1980), „Pentaplexita: třída neperiodických naklonění roviny“, Matematický zpravodaj, 2: 32–37, doi:10.1007 / BF03024384, S2CID  120305260.)
• Radin, Charles (Duben 1996), „Recenze knihy: Kvazikrystaly a geometrie“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 43 (4): 416–421
• Senechal, Marjorie (1996), Kvazikrystaly a geometrie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-57541-6.
• Steinhardt, Paul J .; Jeong, Hyeong-Chai (1996), „Jednodušší přístup k Penrosovým obkladům s důsledky pro tvorbu kvazikrystalů“, Příroda, 382 (1. srpna): 431–433, Bibcode:1996 Natur.382..431S, doi:10.1038 / 382431a0, S2CID  4354819.
• Zaslavskiĭ, G.M .; Sagdeev, Roal'd Z .; Usikov, D.A .; Černikov, A.A. (1988), „Minimální chaos, stochastická pavučina a struktury kvazikrystalické symetrie“, Sovětská fyzika Uspekhi, 31 (10): 887–915, Bibcode:1988SvPhU..31..887Z, doi:10.1070/PU1988v031n10ABEH005632.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Penrose Tiles". MathWorld.
• John Savard, Penrose Tilings, quadibloc.com, vyvoláno 28. listopadu 2009
• Eric Hwang, Penrose Tiling, intendo.net, vyvoláno 28. listopadu 2009
• F. Gähler; E. Harriss & D. Frettlöh, "Penrose Rhomb", Tilings Encyclopedia, Department of Mathematics, University of Bielefeld, vyvoláno 28. listopadu 2009
• Kevin Brown, On de Bruijn Grids and Tilings, mathpages.com, vyvoláno 28. listopadu 2009
• David Eppstein, "Penrose Tiles", The Geometry Junkyard, ics.uci.edu/~eppstein, vyvoláno 28. listopadu 2009 This has a list of additional resources.
• William Chow, Penrose tile in architecture, vyvoláno 28. prosince 2009
• Penrose's tiles viewer