Křížový mnohostěn - Cross-polytope
![]() | ![]() |
2 rozměry náměstí | 3 rozměry osmistěn |
![]() | ![]() |
4 rozměry 16 buněk | 5 rozměrů 5-orthoplex |
v geometrie, a křížový mnohostěn,[1] hyperoktaedron, orthoplex,[2] nebo kokube je pravidelný, konvexní mnohostěn který existuje v n-rozměry. Dvourozměrný křížový mnohostěn je čtverec, trojrozměrný křížový mnohostěn je pravidelný osmistěn, a 4-dimenzionální křížový polytop je a 16 buněk. Jeho aspekty jsou simplexes předchozí dimenze, zatímco křížový mnohostěn vrchol obrázek je další křížový mnohostěn z předchozí dimenze.
Vrcholy křížového polytopu lze zvolit jako jednotkové vektory směřující podél každé osy souřadnic - tj. Všechny permutace (±1, 0, 0, …, 0). Křížový polytop je konvexní obal jeho vrcholů. The n-rozměrný křížový polytop lze také definovat jako uzavřený jednotková koule (nebo, podle některých autorů, jeho hranice) v ℓ1-norma na Rn:
V 1 dimenzi je křížový polytop jednoduše úsečka [−1, +1], ve 2 rozměrech je to a náměstí (nebo kosočtverec) s vrcholy {(± 1, 0), (0, ± 1)}. Ve 3 rozměrech je to osmistěn —Jeden z pěti konvexních pravidelných mnohostěn známý jako Platonické pevné látky. To lze zobecnit na vyšší dimenze s n-orthoplexem konstruovaným jako a bipyramid s bází (n-1) -orthoplexu.
Křížový polytop je duální polytop z hyperkrychle. 1-kostra a n-dimenzionální křížový polytop je a Turánův graf T(2n,n).
4 rozměry
4-dimenzionální křížový polytop se také jmenuje hexadekachoron nebo 16 buněk. Je to jeden ze šesti konvexní pravidelné 4-polytopy. Tyto 4-polytopes byly poprvé popsány švýcarským matematikem Ludwig Schläfli v polovině 19. století.
Vyšší rozměry
The křížový mnohostěn rodina je jednou ze tří běžný mnohostěn rodiny, označené Coxeter tak jako βn, další dva jsou hyperkrychle rodina, označená jako yna jednoduchosti, označené jako αn. Čtvrtá rodina, nekonečné mozaikování hyperkrychlí, označil jako δn.[3]
The n-dimenzionální křížový polytop má 2n vrcholy a 2n fazety (n−1 rozměrné komponenty), z nichž všechny jsou n−1 jednoduchosti. The vrcholové postavy všichni jsou n - 1 křížové polytopy. The Schläfliho symbol křížového polytopu je {3,3, ..., 3,4}.
The vzepětí úhel z n-dimenzionální křížový polytop je . To dává: δ2 = arccos (0/2) = 90 °, 83 = arccos (-1/3) = 109,47 °, 54 = arccos (-2/4) = 120 °, 85 = arccos (-3/5) = 126,87 °, ... δ∞ = arccos (-1) = 180 °.
Hypervolume n-dimenzionální křížový polytop je
Pro každou dvojici protilehlých vrcholů je spojena hrana. Obecněji řečeno, každá sada k + 1 ortogonální vrcholy odpovídají zřetelnému k-dimenzionální komponenta, která je obsahuje. Počet k-dimenzionální komponenty (vrcholy, hrany, plochy, ..., fazety) v an n-dimenzionální křížový polytop je tedy dán vztahem (viz binomický koeficient ):
Existuje mnoho možných pravopisné projekce které mohou zobrazovat křížové polytopy jako dvourozměrné grafy. Petrie polygon projekce mapují body do pravidelných 2n-gon nebo nižší řádové pravidelné polygony. Druhá projekce trvá 2 (n-1)-gon Petrie polygon nižší dimenze, viděný jako a bipyramid, promítané dolů po ose, se 2 vrcholy mapovanými do středu.
n | βn k11 | Jména Graf | Graf 2n-gon | Schläfli | Coxeter-Dynkin diagramy | Vrcholy | Hrany | Tváře | Buňky | 4- tváře | 5- tváře | 6- tváře | 7- tváře | 8- tváře | 9- tváře | 10- tváře |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | β0 | Směřovat 0-orthoplex | . | ( ) | ![]() | 1 | ||||||||||
1 | β1 | Úsečka 1-orthoplex | ![]() | { } | ![]() ![]() | 2 | 1 | |||||||||
2 | β2 −111 | náměstí 2-orthoplex Bikros | ![]() | {4} 2{ } = { }+{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | β3 011 | osmistěn 3-orthoplex Tricross | ![]() | {3,4} {31,1} 3{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 6 | 12 | 8 | 1 | |||||||
4 | β4 111 | 16 buněk 4-orthoplex Tetracross | ![]() | {3,3,4} {3,31,1} 4{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 8 | 24 | 32 | 16 | 1 | ||||||
5 | β5 211 | 5-orthoplex Pentacross | ![]() | {33,4} {3,3,31,1} 5{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | 1 | |||||
6 | β6 311 | 6-orthoplex Hexacross | ![]() | {34,4} {33,31,1} 6{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 1 | ||||
7 | β7 411 | 7-orthoplex Heptacross | ![]() | {35,4} {34,31,1} 7{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 1 | |||
8 | β8 511 | 8-orthoplex Octacross | ![]() | {36,4} {35,31,1} 8{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 1 | ||
9 | β9 611 | 9-orthoplex Enneacross | ![]() | {37,4} {36,31,1} 9{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 1 | |
10 | β10 711 | 10-orthoplex Decacross | ![]() | {38,4} {37,31,1} 10{ } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 1 |
... | ||||||||||||||||
n | βn k11 | n-orthoplex n-přejít | {3n − 2,4} {3n − 3,31,1} n {} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2n 0 tváří, ... k- tváře ..., 2n (n-1) -tvory |
Vrcholy křížového mnohoúhelníku zarovnaného s osou jsou ve stejné vzdálenosti od sebe Vzdálenost na Manhattanu (L1 norma ). Kusnerova domněnka uvádí, že tato sada 2d bodů je největší možný ekvidistantní sada pro tuto vzdálenost.[5]
Zobecněný orthoplex
Pravidelný složité polytopy lze definovat v komplex Hilbertův prostor volala generalizované ortoplexy (nebo křížené polytopy), βp
n = 2{3}2{3}...2{4}pnebo ..
. Skutečná řešení existují s p= 2, tj. Β2
n = βn = 2{3}2{3}...2{4}2 = {3,3, .., 4}. Pro p> 2, existují v . A p-obecně n-orthoplex má pn vrcholy. Zobecněné ortoplexy mít pravidelné simplexes (skutečné) jako fazety.[6] Zobecněné ortoplexy vytvářejí kompletní multipartitní grafy, βp
2 udělat K.p,p pro kompletní bipartitní graf, βp
3 udělat K.p,p,p pro kompletní trojstranné grafy. βp
n vytváří K.pn. An ortogonální projekce lze definovat, že mapuje všechny vrcholy rovnoměrně rozmístěné na kružnici, se spojenými všemi dvojicemi vrcholů, kromě násobků n. The pravidelný mnohoúhelník obvod v těchto ortogonálních projekcích se nazývá a Petrie polygon.
p=2 | p=3 | p=4 | p=5 | p=6 | p=7 | p=8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() 2{4}2 = {4} = ![]() ![]() ![]() K.2,2 | ![]() 2{4}3 = ![]() ![]() ![]() K.3,3 | ![]() 2{4}4 = ![]() ![]() ![]() K.4,4 | ![]() 2{4}5 = ![]() ![]() ![]() K.5,5 | ![]() 2{4}6 = ![]() ![]() ![]() K.6,6 | ![]() 2{4}7 = ![]() ![]() ![]() K.7,7 | ![]() 2{4}8 = ![]() ![]() ![]() K.8,8 | ||
![]() 2{3}2{4}2 = {3,4} = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.2,2,2 | ![]() 2{3}2{4}3 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.3,3,3 | ![]() 2{3}2{4}4 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.4,4,4 | ![]() 2{3}2{4}5 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.5,5,5 | ![]() 2{3}2{4}6 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.6,6,6 | ![]() 2{3}2{4}7 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.7,7,7 | ![]() 2{3}2{4}8 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.8,8,8 | ||
![]() 2{3}2{3}2 {3,3,4} = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.2,2,2,2 | ![]() 2{3}2{3}2{4}3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.3,3,3,3 | ![]() 2{3}2{3}2{4}4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.4,4,4,4 | ![]() 2{3}2{3}2{4}5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.5,5,5,5 | ![]() 2{3}2{3}2{4}6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.6,6,6,6 | ![]() 2{3}2{3}2{4}7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.7,7,7,7 | ![]() 2{3}2{3}2{4}8 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.8,8,8,8 | ||
![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.2,2,2,2,2 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.3,3,3,3,3 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.4,4,4,4,4 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.5,5,5,5,5 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.6,6,6,6,6 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.7,7,7,7,7 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{4}8 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.8,8,8,8,8 | ||
![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,3,4} = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.2,2,2,2,2,2 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.3,3,3,3,3,3 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.4,4,4,4,4,4 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.5,5,5,5,5,5 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.6,6,6,6,6,6 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.7,7,7,7,7,7 | ![]() 2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() K.8,8,8,8,8,8 |
Související rodiny polytopů
Křížové polytopy lze kombinovat s jejich duálními kostkami za vzniku složených polytopů:
- Ve dvou rozměrech získáme octagrammic hvězdná postava {8⁄2},
- Ve třech rozměrech získáme sloučenina krychle a osmistěnu,
- Ve čtyřech rozměrech získáme sloučenina tesseractu a 16 buněk.
Viz také
- Seznam běžných polytopů
- Hyperoktaedrická skupina, skupina symetrie křížového polytopu
Citace
- ^ Coxeter 1973, s. 121-122, §7.21. ilustrace Obr. 7-2B.
- ^ Conway nazývá to n-orthoplex pro orthant komplex.
- ^ Coxeter 1973, str. 120–124, § 7.2.
- ^ Coxeter 1973, str. 121, § 7.2.2 ..
- ^ Guy, Richard K. (1983), „Olla-podrida otevřených problémů, často zvláštně posedlých“, Americký matematický měsíčník, 90 (3): 196–200, doi:10.2307/2975549, JSTOR 2975549.
- ^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, str. 108
Reference
- Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). New York: Dover.
- 121-122, §7.21. viz obrázek Obr. 7.2B
- str. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopes, tři pravidelné Polytopes v n-dimenzích (n≥5)