Jednotné obklady - Uniform tiling - Wikipedia

v geometrie, a jednotné obklady je mozaikování letadla o pravidelný mnohoúhelník tváří s omezením bytí vrchol-tranzitivní.

Jednotné obklady mohou existovat v obou Euklidovské letadlo a hyperbolická rovina. Jednotné tilings souvisí s konečným jednotná mnohostěna což lze považovat za jednotné naklánění koule.

Většinu stejnoměrných obkladů lze vyrobit z a Wythoffova konstrukce počínaje a skupina symetrie a singulární generátorový bod uvnitř základní doména. Skupina rovinné symetrie má mnohoúhelník základní doména a mohou být reprezentovány názvem skupiny představovaným pořadí zrcadel v postupných vrcholech.

Základní trojúhelník domény je (str q r) a pravý trojúhelník (str q 2), kde str, q, r jsou celá čísla větší než 1. Trojúhelník může existovat jako a sférický trojúhelník, trojúhelník euklidovské roviny nebo trojúhelník hyperbolické roviny, v závislosti na hodnotách str, q a r.

Existuje celá řada symbolických schémat pro pojmenování těchto postav, z upraveného Schläfliho symbol pro domény pravoúhlého trojúhelníku: (str q 2) → {str, q}. The Coxeter-Dynkinův diagram je trojúhelníkový graf s str, q, r označené na okrajích. Li r = 2, graf je lineární, protože uzly domény řádu 2 negenerují žádné odrazy. The Wythoffův symbol vezme 3 celá čísla a oddělí je svislou čarou (|). Pokud je bod generátoru mimo zrcadlo naproti uzlu domény, je uveden před pruhem.

Nakonec lze obklady popsat podle jejich konfigurace vrcholů posloupnost polygonů kolem každého vrcholu.

Všechny rovnoměrné obklady lze sestavit z různých operací pravidelné obklady. Tyto operace pojmenované Norman Johnson jsou nazývány zkrácení (řezání vrcholů), náprava (řezání vrcholů, dokud hrany nezmizí), a cantellation (ostří). Omnitruncation je operace, která kombinuje zkrácení a cantellaci. Snubbing je operace alternativní zkrácení všudypřítomné formy. (Vidět Jednotný mnohostěn # operátoři stavby Wythoff Více podrobností.)

Skupiny coxeterů

Skupiny coxeterů pro rovinu definujte Wythoffovu konstrukci a lze ji reprezentovat Coxeter-Dynkinovy diagramy:

Pro skupiny s celým počtem objednávek, včetně:

Euklidovské letadlo
Orbifold symetrie	Skupina coxeterů			poznámky
Kompaktní
*333	(3 3 3)	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	[3^[3]]	3 reflexní formy, 1 tlumení
*442	(4 4 2)	${ displaystyle { tilde {B}} _ {2}}$	[4,4]	5 reflexních forem, 1 tlumení
*632	(6 3 2)	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	[6,3]	7 reflexních forem, 1 tlumení
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ × ${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[∞,2,∞]	3 reflexní formy, 1 tlumení
Nekompaktní (vlys )
*∞∞	(∞)	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$ × ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	[∞,2]	2 reflexní formy, 1 tlumení

Hyperbolické letadlo
Orbifold symetrie	Skupina coxeterů		poznámky
Kompaktní
* pq2	(p q 2)	[p, q]	2 (p + q)
* PQR	(p q r)	[(p, q, r)]	pq + pr + qr
Paracompact
* ∞p2	(str. 2)	[p, ∞]	p> = 3
* ∞pq	(p q ∞)	[(p, q, ∞)]	p, q> = 3, p + q> 6
* ∞∞p	(p ∞ ∞)	[(p, ∞, ∞)]	p> = 3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

Rovnoměrné naklánění euklidovské roviny

Na euklidovské rovině jsou skupiny symetrie vytvořené ze základních trojúhelníků: (4 4 2), (6 3 2) a (3 3 3). Každý z nich je reprezentován sadou odrazových čar, které rozdělují rovinu na základní trojúhelníky.

Tyto skupiny symetrie vytvářejí 3 pravidelné obklady a 7 semiregulárních. Řada semiregulárních naklonění se opakuje od různých konstruktorů symetrie.

Prizmatická skupina symetrie představovaná (2 2 2 2) představuje dvě sady paralelních zrcadel, které obecně mohou mít obdélníkovou základní doménu. Nevytváří žádné nové obklady.

Další prizmatická skupina symetrie představovaná (∞ 2 2), která má nekonečnou základní doménu. Konstruuje dva jednotné obklady, apeirogonal hranol a apeirogonal antiprism.

Stohování konečných ploch těchto dvou hranolových obkladů vytváří jednu ne-wythoffian rovnoměrné obložení letadla. Říká se tomu podlouhlé trojúhelníkové obklady, složený ze střídajících se vrstev čtverců a trojúhelníků.

Pravoúhlé základní trojúhelníky: (str q 2)

(str q 2)	Fond. trojúhelníky	Rodič	Zkráceno	Opraveno	Bitruncated	Usměrněný (dvojí)	Cantellated	Omnitruncated (Cantitruncated)	Snub
Wythoffův symbol		q \| str 2	2 q \| str	2 \| str q	2 str \| q	str \| q 2	str q \| 2	str q 2 \|	\| str q 2
Schläfliho symbol		{str,q}	t{str,q}	r {p, q}	2t {p, q} = t {q, p}	2r {p, q} = {q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
Coxeterův diagram
Konfigurace vrcholů		str^q	q.2p. 2p	(p.q)²	p. 2q. 2q	q^str	p. 4.q.4	4,2 s. 2q	3.3.p. 3.q
Čtvercové obklady (4 4 2)	0	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Šestihranný obklad (6 3 2)	0	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Obecné základní trojúhelníky: (p q r)

Wythoffův symbol (p q r)	Fond. trojúhelníky	q \| p r	r q \| str	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Coxeterův diagram
Konfigurace vrcholů		(p.q)^r	r.2p.q.2p	(p.r)^q	q.2r.p. 2r	(qr)^str	q.2r.p. 2r	r. 2q.p. 2q	3.r.3.q.3.p
Trojúhelníkový (3 3 3)	0	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Nejjednodušší základní domény

Jedinou možnou základní doménou v euklidovském 2-prostoru, která není a simplexní je obdélník (∞ 2 ∞ 2), s Coxeterův diagram: . Všechny formy z něj vygenerované se stávají a čtvercové obklady.

Rovnoměrné sklony hyperbolické roviny

Existuje nekonečně mnoho rovnoměrných naklonění konvexních pravidelných mnohoúhelníků na hyperbolická rovina, každá na základě jiné skupiny reflexní symetrie (p q r).

Zde je ukázka vzorkování s a Poincaré disk projekce.

The Coxeter-Dynkinův diagram je dán v lineární formě, i když je to vlastně trojúhelník, s koncovým segmentem r připojeným k prvnímu uzlu.

Další skupiny symetrie existují v hyperbolické rovině se čtyřstrannými základními doménami počínaje (2 2 2 3) atd., Které mohou generovat nové formy. Rovněž existují základní domény, které umisťují vrcholy na nekonečno, například (∞ 2 3) atd.

Pravoúhlé základní trojúhelníky: (str q 2)

(p q 2)	Fond. trojúhelníky	Rodič	Zkráceno	Opraveno	Bitruncated	Usměrněný (dvojí)	Cantellated	Omnitruncated (Cantitruncated)	Snub
Wythoffův symbol		q \| p 2	2 q \| str	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläfliho symbol		t {p, q}	t {p, q}	r {p, q}	2t {p, q} = t {q, p}	2r {p, q} = {q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
Coxeterův diagram
Vrcholová postava		str^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(str. 2q. 2q)	q^str	(str. 4.q.4)	(4,2p. 2q)	(3.3.p. 3.q)
(5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Obecné základní trojúhelníky (p q r)

Wythoffův symbol (p q r)	Fond. trojúhelníky	q \| p r	r q \| str	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Coxeterův diagram
Vrcholová postava		(p.r)^q	(r.2p.q.2p)	(p.q)^r	(q.2r.p. 2r)	(qr)^str	(r. 2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
(4 3 3)	V6.6.8	(3.4)³	3.8.3.8	(3.4)³	3.6.4.6	(3.3)⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	V6.8.8	(3.4)⁴	3.8.4.8	(4.4)³	3.6.4.6	(3.4)⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	V8.8.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Rozšířené seznamy uniformních obkladů

Seznam uniformních obkladů lze rozšířit několika způsoby:

Čísla vrcholů mohou mít retrográdní tváře a mohou se vrchol obracet vícekrát.
Hvězda mnohoúhelník dlaždice mohou být zahrnuty.
Apeirogony, {∞}, lze použít jako obklady ploch.
Omezení, že dlaždice splňují od okraje k okraji, lze uvolnit, což umožňuje další obklady, jako například Pythagorovy obklady.

Skupinové trojúhelníky symetrie s retrogradem zahrnují:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Skupinové trojúhelníky symetrie s nekonečnem zahrnují:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Branko Grünbaum, v knize z roku 1987 Obklady a vzory, v sekci 12.3 vyjmenovává seznam 25 jednotných tilings, včetně 11 konvexních forem, a přidává dalších 14, které volá duté obklady který zahrnoval první dvě rozšíření výše, plochy hvězdných polygonů a vrcholové postavy.

H.S.M. Coxeter et al., v článku z roku 1954 „Uniform polyhedra“, in Tabulka 8: Jednotné mozaikování, používá první tři expanze a vyjmenovává celkem 38 jednotných obkladů. Pokud se počítá také obklad ze 2 apeirogonů, lze celkový součet považovat za 39 jednotných obkladů.

The vrcholové postavy pro šest obkladů s konvexní pravidelné mnohoúhelníky a apeirogon tváře Wythoffův symbol je uveden červeně.)

Čísla vrcholů pro 21 stejnoměrných obkladů.

Kromě 11 konvexních řešení, 28 uniformních hvězdných naklonění uvedených společností Coxeter et al., seskupené podle sdílených okrajových grafů, jsou zobrazeny níže. Kvůli jasnosti nejsou apeirogony vybarveny v prvních sedmi vrstvách a poté jsou vybarveny pouze polygony kolem jednoho vrcholu.

Vlysová skupina symetrie
#^[1]	Vrchol Konfigurace	Wythoff	Symetrie	Poznámky
I1	∞.∞		p1m1	(Dvě poloroviny, order-2 apeirogonal obklady )
I2	4.4.∞	∞ 2 \| 2	p1m1	Apeirogonal hranol
I3	3.3.3.∞	\| 2 2 ∞	p11g	Apeirogonal antiprism

Skupina tapet symetrie
McNeill^[1]	Grünbaum^[2]	Okraj diagram	Pevný	Vrchol Konfigurace	Wythoff	Symetrie
I4				4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 \| ∞	p4m
I5				(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 \| 3 ∞	p6m
I6				6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 \| ∞
I7				∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 \| ∞
1	15			3/2.12.6.12 -3.12.6.12	3/2 6 \| 6	p6m
1	16			4.12.4/3.12/11 4.12.4/3.-12	2 6 (3/2 6/2) \|	p6m
2				8/3.4.8/3.∞	4 ∞ \| 4/3	p4m
	7			8/3.8.8/5.8/7 8/3.8.-8/3.-8	4/3 4 (4/2 ∞/2) \|
				8.4/3.8.∞ 8.-4.8.∞	4/3 ∞ \| 4
3				12/5.6.12/5.∞	6 ∞ \| 6/5	p6m
	21			12/5.12.12/7.12/11 12/5.12.-12/5.-12	6/5 6 (6/2 ∞/2) \|
				12.6/5.12.∞ 12.-6.12.∞	6/5 ∞ \| 6
4	18			12/5.3.12/5.6/5	3 6 \| 6/5	p6m
	19			12/5.4.12/7.4/3 12/5.4.-12/5.-4	2 6/5 (3/2 6/2) \|
	17			4.3/2.4.6/5 4.-3.4.-6	3/2 6 \| 2
5				8.8/3.∞	4/3 4 ∞ \|	p4m
6				12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|	p6m
7	6			8.4/3.8/5 4.8.-8/3	2 4/3 4 \|	p4m
8	13			6.4/3.12/7 -6.4.12/5	2 3 6/5 \|	p6m
9	12			12.6/5.12/7 -12.6.12/5	3 6/5 6 \|	p6m
10	8			4.8/5.8/5 -4.8/3.8/3	2 4 \| 4/3	p4m
11	22			12/5.12/5.3/2 12/5.12/5.-3	2 3 \| 6/5	p6m
12	2			4.4.3/2.3/2.3/2 4.4.-3.-3.-3	ne-wythoffian	cmm
13	4			4.3/2.4.3/2.3/2 4.-3.4.-3.-3	\| 2 4/3 4/3	p4g
14				3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞	\| 4/3 4 ∞	p4g

Self-dual obklady

Čtvercový obklad {4,4} (černý) s dvojitým (červený).

Obklady mohou být také self-dual. Čtvercový obklad, s Schläfliho symbol {4,4}, je samo-duální; zde jsou zobrazeny dva čtvercové obklady (červený a černý), vzájemně dvojí.

Rovnoměrné obklady pomocí hvězdných polygonů

Tento příklad, 4.8^*
_{π / 8}.4^**
_{π / 4}.8^*
_{π / 4} je považován za ne od okraje k okraji kvůli velkému čtverci, ačkoli to může být interpretováno jako hvězdicový polygon s dvojicemi kolineárních hran.

Vidět a hvězdný polygon jako nekonvexní polygon s dvojnásobným počtem stran umožňuje hvězdicové polygony a jejich počítání jako pravidelných mnohoúhelníků umožňuje jejich použití v jednotné obklady. Tyto polygony jsou označeny jako {N_α} pro isotoxální nekonvexní 2N-gon s vnějším úhlem α Jeho vnější vrcholy jsou označeny jako N^*
_αa interní N^**
_α. Toto rozšíření definice vyžaduje, aby rohy s pouhými 2 polygony nebyly považovány za vrcholy. Obklad je definován jeho konfigurace vrcholů jako cyklická posloupnost konvexních a nekonvexních polygonů kolem každého vrcholu. K dispozici jsou 4 takové rovnoměrné naklonění s nastavitelnými úhly α a 17 stejnoměrných naklonění, které fungují pouze se specifickými úhly.^[3]

Všechny tyto obklady jsou topologicky spojeny s obyčejnými stejnoměrnými obklady s konvexními pravidelnými polygony, s 2-valenčními vrcholy ignorovanými a čtvercovými plochami jako digony, redukovanými na jednu hranu.

4 rovnoměrné naklonění s hvězdicovými polygony, úhel α
3.6^* _α.6^** _α Topologické 3.12.12	4.4^* _α.4^** _α Topologické 4.8.8	6.3^* _α.3^** _α Topologické 6.6.6	3.3^* _α.3.3^** _α Topologické 3.6.3.6

17 stejnoměrných obkladů s hvězdnými polygony
4.6.4^* _{π / 6}.6 Topologické 4.4.4.4	(8.4^* _{π / 4})² Topologické 4.4.4.4	12.12.4^* _{π / 3} Topologické 4.8.8	3.3.8^* _{π / 12}.4^** _{π / 3}.8^* _{π / 12} Topologické 4.8.8	3.3.8^* _{π / 12}.3.4.3.8^* _{π / 12} Topologické 4.8.8	3.4.8.3.8^* _{π / 12} Topologické 4.8.8
5.5.4^* _{4π / 10}.5.4^* _{π / 10} Topologické 3.3.4.3.4	4.6^* _{π / 6}.6^** _{π / 2}.6^* _{π / 6} Topologické 6.6.6	(4.6^* _{π / 6})³ Topologické 6.6.6	9.9.6^* _{4π / 9} Topologické 6.6.6	(6.6^* _{π / 3})² Topologické 3.6.3.6	(12.3^* _{π / 6})² Topologické 3.6.3.6
3.4.6.3.12^* _{π / 6} Topologické 4.6.12	3.3.3.12^* _{π / 6}.3.3.12^* _{π / 6} Topologické 3.12.12	18.18.3^* _{2π / 9} Topologické 3.12.12	3.6.6^* _{π / 3}.6 Topologické 3.4.6.4	8.3^* _{π / 12}.8.6^* _{5π / 12} Topologické 3.4.6.4

Rovnoměrné obklady pomocí střídavých polygonů

Hvězdné polygony ve tvaru {str_α} může také představovat konvexní 2str-gony střídající dva úhly, nejjednodušší je kosočtverec {2_α}. Pokud je povolíte jako pravidelné polygony, vytvoříte rovnoměrnější obklady, s níže uvedeným příkladem.

Příklady
3.2.6.2* Topologické 3.4.6.4	4.4.4.4 Topologické 4.4.4.4	(2^* _{π / 6}.2^** _{π / 3})² Topologické 4.4.4.4	2^* _{π / 6}.2^* _{π / 6}.2^ _{π / 3}.2^ _{π / 3} Topologické 4.4.4.4	4.2^* _{π / 6}.4.2^** _{π / 3} Topologické 4.4.4.4

Viz také

Reference

^ ^A ^b Jim McNeill
^ Dlaždice a vzory, tabulka 12.3.1 s. 640
^ Obklady a vzory Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, str. 82-85.

Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (Obklady hvězd, část 12.3)
H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Jednotná mnohostěna, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532 (Tabulka 8)

externí odkazy

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[mcneill-1] A ^b Jim McNeill

[2] Dlaždice a vzory, tabulka 12.3.1 s. 640

[3] Obklady a vzory Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, str. 82-85.

[1]

[2]

[3]