Cuboctahedron - Cuboctahedron
Cuboctahedron | |
---|---|
![]() (Kliknutím sem zobrazíte rotující model) | |
Typ | Archimédův pevný Jednotný mnohostěn |
Elementy | F = 14, E = 24, PROTI = 12 (χ = 2) |
Tváře po stranách | 8{3}+6{4} |
Conwayova notace | AC aaT |
Schläfliho symboly | r {4,3} nebo rr {3,3} nebo |
t1{4,3} nebo t0,2{3,3} | |
Wythoffův symbol | 2 | 3 4 3 3 | 2 |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Skupina symetrie | Óh, B3, [4,3], (* 432), objednávka 48 Td, [3,3], (* 332), objednávka 24 |
Rotační skupina | Ó, [4,3]+, (432), objednávka 24 |
Dihedrální úhel | 125.26° arcsec (-√3) |
Reference | U07, C19, Ž11 |
Vlastnosti | Semiregular konvexní quasiregular |
![]() Barevné tváře | ![]() 3.4.3.4 (Vrcholová postava ) |
![]() Kosočtverečný dvanáctistěn (duální mnohostěn ) | ![]() Síť |

A cuboctahedron je mnohostěn s 8 trojúhelníkovými plochami a 6 čtvercovými plochami. Cuboctahedron má 12 identických vrcholy, se 2 trojúhelníky a 2 čtverci, které se setkávají u každého, a 24 identických hrany, přičemž každý odděluje trojúhelník od čtverce. Jako takový je to kvaziregulární mnohostěn, tj Archimédův pevný to není jen vrchol-tranzitivní ale také hrana tranzitivní. Je to jediný radiálně rovnostranný konvexní mnohostěn.
Své duální mnohostěn je kosočtverečný dvanáctistěn.
Cuboctahedron byl pravděpodobně známý Platón: Volavka je Definice citáty Archimedes když řekl, že Platón věděl o tělese složeném z 8 trojúhelníků a 6 čtverců.[1]
Ostatní jména
- Heptaparallelohedron (Buckminster Fuller )
- Fuller použil jméno „Dymaxion "do tohoto tvaru, který se používá v rané verzi Mapa Dymaxion. Nazval jej také „vektorovou rovnováhou“, protože má radiální rovnostrannou symetrii (jeho poloměr od středu k vrcholu se rovná délce jeho okraje).[2] Nazval cuboctahedron skládající se z tuhých vzpěr spojených pružnými vrcholy „jitterbug“ (tento tvar lze postupně deformovat na dvacetistěnu, osmistěn, a čtyřstěn složením jeho čtvercových stran).
- S O.h symetrie, řád 48, to je a opraveno krychle nebo usměrněný osmistěn (Norman Johnson )
- S Td symetrie, řád 24, to je a cantellated čtyřstěn nebo rhombitetratetrahedron.
- S D.3d symetrie, řád 12, to je a trojúhelníkový gyrobicupola.
Plocha a objem
Oblast A a objem PROTI cuboctahedron o délce hrany A jsou:
Ortogonální projekce
The cuboctahedron má čtyři speciální ortogonální projekce, se středem na vrcholu, hraně a dvou typech ploch, trojúhelníkovém a čtvercovém. Poslední dva odpovídají B2 a A.2 Coxeterovy roviny. Zkosené projekce ukazují čtverec a šestiúhelník procházející středem kuboctahedronu.
Náměstí Tvář | Trojúhelníkový Tvář | Vrchol | Okraj | Překroutit | |
---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
[4] | [6] | [2] | [2] | ||
Kosočtverečný dvanáctistěn (Duální mnohostěn) | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Sférické obklady
Cuboctahedron může být také reprezentován jako sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
pravopisná projekce | náměstí -centrovaný | trojúhelník -centrovaný | Vrchol na střed |
---|---|---|---|
Stereografická projekce |
Kartézské souřadnice
The Kartézské souřadnice pro vrcholy cuboctahedron (o délce hrany √2) zaměřené na počátek jsou:
- (±1,±1,0)
- (±1,0,±1)
- (0,±1,±1)
Alternativní sadu souřadnic lze vytvořit ve 4prostoru jako 12 permutací:
- (0,1,1,2)
Tato konstrukce existuje jako jedna z 16 orthant fazety z kanylovaný 16 buněk.
Kořenové vektory
12 vrcholů cuboctahedronu může představovat kořenové vektory jednoduchá Lieova skupina A3. S přidáním 6 vrcholů osmistěn, tyto vrcholy představují 18 kořenových vektorů jednoduchá Lieova skupina B3.
Pitva
The cuboctahedron lze rozdělit na dvě části trojúhelníkové kopule obyčejným šestiúhelníkem procházejícím středem cuboctahedronu. Pokud jsou tyto dvě trojúhelníkové kupoly zkroucené, takže trojúhelníky a čtverce se seřadí, Johnson solidní J27, trojúhelníková orthobicupola, je vytvořen.
Cuboctahedron lze také rozdělit na 6 čtvercové pyramidy a 8 čtyřstěn setkání v ústředním bodě. Tato pitva je vyjádřena v střídaný kubický plástev kde jsou kombinovány páry čtvercových pyramid oktaedra.
Geometrické vztahy

Symetrie

Cuboctahedron je jedinečný konvexní mnohostěn, ve kterém je dlouhý poloměr (střed k vrcholu) stejný jako délka hrany; tedy jeho dlouhý průměr (vrchol k opačnému vrcholu) je 2 délky hran. Tato radiální rovnostranná symetrie je vlastností jen několika uniforem polytopes, včetně dvourozměrného šestiúhelník, trojrozměrný cuboctahedron a čtyřrozměrný 24článková a 8článková (tesseract). Radiálně rovnostranný Polytopy jsou ty, které mohou být konstruovány se svými dlouhými poloměry z rovnostranných trojúhelníků, které se setkávají ve středu mnohostěnu, přičemž každý přispívá dvěma poloměry a hranou. Proto všechny vnitřní prvky, které se setkávají ve středu těchto polytopů, mají dovnitř rovnostranné trojúhelníkové plochy, jako při disekci kvádru na 6 čtvercových pyramid a 8 čtyřstěnů. Každý z těchto radiálně rovnostranných polytopů se také vyskytuje jako buňky charakteristické prostorové výplně mozaikování: obklady pravidelných šestiúhelníků, rektifikovaný kubický plástev (střídání cuboctahedra a octahedra), 24článkový plástev a tesseractic voštinový, resp. Každá mozaikování má a duální mozaikování; buněčná centra v mozaikování jsou vrcholy buněk v jeho duální mozaikování. Nejhustší známý pravidelný balení koule ve dvou, třech a čtyřech rozměrech používá středy buněk jedné z těchto mozaikování jako centra koulí.
Cuboctahedron má osmistěnnou symetrii. Je to první stellation je sloučenina a krychle a jeho dvojí osmistěn, s vrcholy cuboctahedron umístěné ve středech okrajů obou.
Stavby
Cuboctahedron lze získat pomocí rovníkového rovníku průřez čtyřrozměrného 24článková nebo 16 buněk. Šestiúhelník lze získat převzetím rovníkového průřezu cuboctahedron.
Cuboctahedron je a opraveno krychle a také opravený osmistěn.
Je to také a cantellated čtyřstěn. S touto konstrukcí je dána Wythoffův symbol: 3 3 | 2.
Šikmá cantellation čtyřstěnu produkuje těleso s plochami rovnoběžnými s těmi cuboctahedron, a to osm trojúhelníků dvou velikostí a šest obdélníků. I když jsou jeho hrany nerovné, zůstává tato pevná látka vrcholová uniforma: těleso má plnou čtyřbokou skupina symetrie a jeho vrcholy jsou v této skupině ekvivalentní.
Okraje cuboctahedron tvoří čtyři pravidelné šestiúhelníky. Pokud je cuboctahedron rozříznut v rovině jednoho z těchto šestiúhelníků, každá polovina je a trojúhelníková kopule, jeden z Johnson pevné látky; samotný cuboctahedron tedy lze také nazvat trojúhelníkový gyrobicupola, nejjednodušší ze série (kromě gyrobifastigium nebo „digonal gyrobicupola“). Jsou-li poloviny spojeny dohromady kroucením, takže trojúhelníky se setkávají s trojúhelníky a čtverce se čtverci, výsledkem je další Johnsonovo těleso, trojúhelníková orthobicupola, nazývaný také anticuktoctahedron.
Obě trojúhelníkové bicupoly jsou důležité v koule balení. Vzdálenost od středu tělesa k jeho vrcholům se rovná délce jeho okraje. Každý centrální koule může mít až dvanáct sousedů a v kubické mřížce se středem tváře zaujímají polohy vrcholů cuboctahedronu. V šestihranný těsně zabalená mřížka odpovídají rohům trojúhelníkové ortobicupoly. V obou případech zaujímá centrální koule polohu středu tělesa.
Cuboctahedra se objevují jako buňky ve třech z konvexní jednotné voštiny a v devíti konvexních jednotné 4-polytopes.
Objem cuboctahedron je 5/6 té přiložené krychle a 5/8 toho přiloženého osmistěnu.
Uspořádání vrcholů
Vzhledem k tomu, že je radiálně rovnostranný, je možné se středem kvádru setřít jako s 13 kanonický vrcholový vrchol, jedna délka hrany vzdálená od 12 běžných vrcholů, jako vrchol a kanonická pyramida je jedna délka hrany ve stejné vzdálenosti od ostatních vrcholů.
Cuboctahedron sdílí jeho okraje a uspořádání vrcholů se dvěma nekonvexní uniformní mnohostěn: cubohemioctahedron (společné čtvercové plochy) a octahemioctahedron (společné trojúhelníkové plochy). Slouží také jako cantellated čtyřstěn jako opravený tetratetrahedron.
![]() Cuboctahedron | ![]() Cubohemioctahedron | ![]() Octahemioctahedron |
Cuboctahedron 2 kryty the tetrahemihexahedron,[3] který má tedy stejné abstraktní vrchol obrázek (dva trojúhelníky a dva čtverce: 3.4.3.4) a polovinu vrcholů, hran a ploch. (Skutečná vrcholná postava tetrahemihexahedronu je 3,4.3/2.4, s A/2 faktor v důsledku kříže.)
![]() Cuboctahedron | ![]() Tetrahemihexahedron |
Související mnohostěn
Cuboctahedron je jednou z rodiny jednotných mnohostěnů souvisejících s krychlí a pravidelným osmistěnem.
Jednotná oktaedrická mnohostěna | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie: [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) | [1+,4,3] = [3,3] (*332) | [3+,4] (3*2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {31,1} | t {3,4} t {31,1} | {3,4} {31,1} | rr {4,3} s2{3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h2{4,3} t {3,3} | s {3,4} s {31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Duals na uniformní mnohostěn | ||||||||||
V43 | V3.82 | V (3,4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Cuboctahedron má také čtyřboká symetrie se dvěma barvami trojúhelníků.
Rodina uniformních čtyřstěnných mnohostěnů | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{3,3} | t {3,3} | r {3,3} | t {3,3} | {3,3} | rr {3,3} | tr {3,3} | sr {3,3} |
Duals na uniformní mnohostěn | |||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Související kvaziregulární mnohostěny a obklady
Cuboctahedron existuje v posloupnosti symetrií kvaziregulárního mnohostěnu a obkladů s konfigurace vrcholů (3.n)2, postupující z naklonění koule do euklidovské roviny a do hyperbolické roviny. S orbifold notace symetrie *n32 všechny tyto obklady jsou konstrukce wythoff v rámci základní doména symetrie, s body generátoru v pravém úhlu rohu domény.[4][5]
*n32 oboustranných symetrií kvaziregulárních naklonění: (3.n)2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() Konstrukce | Sférické | Euklidovský | Hyperbolický | ||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |
Quasiregular čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Vrchol | (3.3)2 | (3.4)2 | (3.5)2 | (3.6)2 | (3.7)2 | (3.8)2 | (3.∞)2 |
*n42 mutací symetrie quasiregular tilings: (4.n)2 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie *4n2 [n, 4] | Sférické | Euklidovský | Kompaktní hyperbolický | Paracompact | Nekompaktní | |||
*342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | *∞42 [∞,4] | [ni, 4] | |
Čísla | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
Konfigurace | (4.3)2 | (4.4)2 | (4.5)2 | (4.6)2 | (4.7)2 | (4.8)2 | (4.∞)2 | (4.ni)2 |
Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence cantellated mnohostěn s vrcholem (3.4.n.4) a pokračuje jako obklady hyperbolická rovina. Tyto vrchol-tranzitivní čísla mají (*n32) reflexní symetrie.
*n32 mutace symetrie rozšířených obkladů: 3.4.n.4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie *n32 [n, 3] | Sférické | Euklid. | Kompaktní hyperb. | Paracomp. | ||||
*232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]... | *∞32 [∞,3] | |
Postava | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Konfigurace | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Související polytopy

Cuboctahedron lze rozložit na pravidelný osmistěn a osm nepravidelných, ale stejných osmistěn ve tvaru konvexního trupu krychle se dvěma protilehlými vrcholy odstraněnými. Tento rozklad cuboctahedron odpovídá buňce první paralelní projekce 24článková do tří dimenzí. V rámci této projekce tvoří cuboctahedron projekční obálku, kterou lze rozložit na šest čtvercových ploch, pravidelný osmistěn a osm nepravidelných osmistěn. Tyto prvky odpovídají obrazům šesti oktaedrických buněk ve 24 buňkách, nejbližší a nejvzdálenější buňky z pohledu 4D a zbývajících osm párů buněk.
Kulturní události

- V Star Trek epizoda "Jakýmkoli jiným jménem ", mimozemšťané se zmocnili Podnik transformací členů posádky na neživou cuboctahedru.
- Fidget hračka „Geo Twister“ [1] je flexibilní cuboctahedron.
- Coriolisovy vesmírné stanice v sérii počítačových her Elita jsou ve tvaru cuboctahedron.
- Vesak Kuudu, tradiční lucerny vyrobené na Srí Lance každoročně na oslavu dne Vesak Poya, jsou obvykle cuboctahedral.
- „Moonsnakes“ od Super Mario Odyssey.[6]
- InfluxData společnost za InfluxDB databáze časových řad, používá cuboctahedron ve svém logu.
Cuboctahedral graf
Cuboctahedral graf | |
---|---|
![]() Čtyřnásobná symetrie | |
Vrcholy | 12 |
Hrany | 24 |
Automorfismy | 48 |
Vlastnosti | |
Tabulka grafů a parametrů |
V matematický pole teorie grafů, a cuboctahedral graf je graf vrcholů a hran z cuboctahedron, jeden z Archimédovy pevné látky. Lze jej také zkonstruovat jako hranový graf kostky. Má 12 vrcholy a 24 hran, je lokálně lineární, a je kvartální Archimédův graf.[7]
![]() 6násobná symetrie |
Viz také
Reference
- ^ Heath, Thomas L. (1931), Manuál řecké matematiky, Clarendon, s. 176
- ^ Vektorová rovnováha: R. Buckminster Fuller
- ^ Richter, David A., Dva modely skutečné projektivní roviny, archivovány z originál dne 03.03.2016, vyvoláno 2010-04-15
- ^ Coxeter, H. S. M. (1973), Pravidelné Polytopes (3. vyd.), Dover, Kapitola V: Kaleidoskop, Sekce: 5.7 Wythoffova konstrukce, ISBN 0-486-61480-8
- ^ Mutace dvou dimenzionální symetrie Daniel Huson
- ^ "File: Moonsnake Icon SMO.png - Super Mario Wiki, Mario encyclopedia". www.mariowiki.com. Citováno 2018-11-05.
- ^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269
Další čtení
- Ghyka, Matila (1977). Geometrie umění a života ([Nachdr.] Ed.). New York: Dover Publications. str.51–56, 81–84. ISBN 9780486235424.
- Weisstein, Eric W. (2002). „Cuboctahedron“. CRC Stručná encyklopedie matematiky (2. vyd.). Hoboken: CRC Press. str. 620–621. ISBN 9781420035223.
- Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
- Cromwell, P. Mnohostěn, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Kapitola 2 str. 79-86 Archimédovy pevné látky
externí odkazy
- Jednotná mnohostěna
- Mnohostěn virtuální reality Encyklopedie mnohostěnů
- Eric W. Weisstein, Cuboctahedron (Archimédův pevný ) na MathWorld.
- Cuboctahedron na Hexnet web věnovaný matematice šestiúhelníku.
- Klitzing, Richarde. "3D konvexní uniformní mnohostěn o3x4o - co".
- Upravitelná tisknutelná síť Cuboctahedron s interaktivním 3D zobrazením