Diracova delta funkce - Dirac delta function

Schematické znázornění delta funkce Dirac čarou převyšovanou šipkou. Výška šipky je obvykle určena k určení hodnoty jakékoli multiplikativní konstanty, která poskytne oblasti pod funkcí. Druhou konvencí je psaní oblasti vedle šipky.

Diracova delta funguje jako limit (ve smyslu distribuce ) posloupnosti s nulovým středem normální distribuce ${displaystyle delta _ {a} (x) = {frac {1} {left | aight | {sqrt {pi}}}} mathrm {e} ^ {- (x / a) ^ {2}}}$ tak jako ${displaystyle aightarrow 0}$.

v matematika, Diracova delta funkce (δ funkce) je zobecněná funkce nebo rozdělení představil fyzik Paul Dirac. Používá se k modelování hustoty idealizovaného bodová hmotnost nebo bodový náboj jako funkce rovný nule všude kromě nuly a jehož integrální přes celou skutečnou linii se rovná jedné.^[1][2][3] Jelikož neexistuje žádná funkce, která by měla tyto vlastnosti, výpočty provedené teoretickými fyziky se matematikům zdály nesmyslné až do zavedení distribucí Laurent Schwartz formalizovat a ověřit výpočty. Jako distribuce je delta funkce Dirac a lineární funkční který mapuje každou funkci na její hodnotu na nulu.^[4][5] The Kroneckerova delta funkce, která je obvykle definována na diskrétní doméně a má hodnoty 0 a 1, je diskrétním analogem delta funkce Dirac.

Ve strojírenství a zpracování signálu, funkce delta, známá také jako jednotkový impuls symbol,^[6] lze považovat za jeho Laplaceova transformace, protože pochází z hraničních hodnot a komplexní analytické funkce komplexní proměnné. Formální pravidla, jimiž se tato funkce řídí, jsou součástí provozní počet, standardní sada nástrojů fyziky a techniky. V mnoha aplikacích je delta Dirac považována za určitý druh limitu (a slabý limit ) a sekvence funkcí, které mají na počátku vysoký bodec (v teorii distribucí je to skutečný limit). Aproximační funkce posloupnosti jsou tedy „přibližné“ nebo „rodící se“ delta funkce.

Motivace a přehled

The graf delta funkce je obvykle myšlenka jak následovat celek X-osa a kladné y-osa.^[7]:174 Delta Dirac se používá k modelování funkce vysokého úzkého hrotu (an impuls) a další podobné abstrakce jako a bodový náboj, bodová hmotnost nebo elektron směřovat. Například pro výpočet dynamika a kulečníková koule být udeřen, jeden může se přiblížit platnost dopadu funkcí delta. Přitom člověk nejen zjednodušuje rovnice, ale je také schopen vypočítat pohyb míče tím, že vezmeme v úvahu pouze celkový impuls srážky bez podrobného modelu veškerého přenosu elastické energie na subatomárních úrovních (například).

Konkrétně předpokládejme, že kulečníková koule je v klidu. V čase ${displaystyle t = 0}$ je zasažen jiným míčem a uděluje mu a hybnost P, v ${displaystyle {ext {kg m}} / {ext {s}}}$. Výměna hybnosti není ve skutečnosti okamžitá, je zprostředkována elastickými procesy na molekulární a subatomární úrovni, ale pro praktické účely je vhodné považovat tento přenos energie za efektivně okamžitý. The platnost proto je ${displaystyle Pdelta (t)}$. (Jednotky ${displaystyle delta (t)}$ jsou ${displaystyle s ^ {- 1}}$.)

Pro důslednější modelování této situace předpokládejme, že síla je místo toho rovnoměrně rozložena v malém časovém intervalu ${displaystyle Delta t}$. To znamená,

${displaystyle F_ {Delta t} (t) = {egin {cases} P / Delta t & 0$

Pak hybnost kdykoli t je nalezen integrací:

${displaystyle p (t) = int _ {0} ^ {t} F_ {Delta t} (au), d au = {egin {cases} P & t> Delta t Pt / Delta t & 0$

Nyní modelová situace okamžitého přenosu hybnosti vyžaduje vzít limit jako ${displaystyle Delta t o 0}$dávat

${displaystyle p (t) = {egin {cases} P & t> 0 0 & tleq 0.end {cases}}}$

Zde jsou funkce ${displaystyle F_ {Delta t}}$ jsou považovány za užitečné přiblížení k myšlence okamžitého přenosu hybnosti.

Funkce delta nám umožňuje konstruovat idealizovaný limit těchto aproximací. Skutečný limit funkcí bohužel (ve smyslu bodová konvergence ) ${displaystyle lim _ {Delta t o 0} F_ {Delta t}}$ je nula všude kromě jediného bodu, kde je nekonečný. Abychom správně pochopili funkci delta, měli bychom místo toho trvat na tom, že vlastnost

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} F_ {Delta t} (t), dt = P,}$

který platí pro všechny ${displaystyle Delta t> 0}$, by měl i nadále držet limit. Takže v rovnici ${displaystyle F (t) = Pdelta (t) = lim _ {Delta t o 0} F_ {Delta t} (t)}$, rozumí se, že limit je vždy brán mimo integrál.

V aplikované matematice, jak jsme to udělali zde, je funkce delta často manipulována jako druh limitu (a slabý limit ) a sekvence funkcí, z nichž každý člen má vysoký bodec v počátku: například posloupnost Gaussovy distribuce soustředěný na počátek s rozptyl inklinující k nule.

Navzdory svému názvu není funkce delta skutečně funkcí, alespoň ne obvyklou funkcí s rozsahem v reálná čísla. Například objekty F(X) = δ(X) a G(X) = 0 jsou si rovni všude kromě X = 0 přesto mají různé integrály. Podle Lebesgueova integrační teorie, pokud F a G jsou funkce takové, že F = G téměř všude, pak F je integrovatelný kdyby a jen kdyby G je integrovatelný a integrály F a G jsou identické. Důsledný přístup k pohledu na delta funkci Dirac jako matematický objekt samo o sobě vyžaduje teorie míry nebo teorie distribuce.

Dějiny

Joseph Fourier představil to, co se nyní nazývá Fourierova integrální věta v jeho pojednání Théorie analytique de la chaleur ve formě:^[8]

${displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} dalpha, f (alpha) int _ {- infty} ^ {infty} dp cos (px-palpha), }$

což se rovná zavedení δ-funkce ve formě:^[9]

${displaystyle delta (x-alpha) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} dp cos (px-palpha).}$

Později, Augustin Cauchy vyjádřil teorém pomocí exponenciálů:^[10][11]

${displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} vlevo (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- ipalpha} f (alfa) dalpha ight) dp.}$

Cauchy poukázal na to, že za určitých okolností objednat integrace je v tomto výsledku značná (kontrast Fubiniho věta ).^[12][13]

Důvodem je použití teorie distribucí, Cauchyho rovnice může být přeskupena tak, aby připomínala Fourierovu původní formulaci a odhalila δ-funkce jako

${displaystyle {egin {aligned} f (x) & = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} left (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- ipalpha} f (alfa) dalpha ight) dp [4pt] & = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} vlevo (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} e ^ {- ipalpha} dpight) f (alfa) dalpha = int _ {- infty} ^ {infty} delta (x-alpha) f (alpha) dalpha, konec {zarovnáno}}}$

Kde δ-funkce je vyjádřena jako

${displaystyle delta (x-alpha) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ip (x-alpha)} dp.}$

Důkladná interpretace exponenciální formy a různých omezení funkce F nezbytné pro jeho aplikaci, rozšířilo několik století. Problémy s klasickou interpretací jsou vysvětleny následovně:^[14]

Největší nevýhodou klasické Fourierovy transformace je poměrně úzká třída funkcí (originálů), pro kterou ji lze efektivně vypočítat. Jmenovitě je nutné, aby tyto funkce dostatečně rychle klesat na nulu (v sousedství nekonečna), aby byla zajištěna existence Fourierova integrálu. Například Fourierova transformace takových jednoduchých funkcí, jako jsou polynomy, neexistuje v klasickém smyslu. Rozšíření klasické Fourierovy transformace na distribuce značně rozšířilo třídu funkcí, které bylo možné transformovat, a to odstranilo mnoho překážek.

Další vývoj zahrnoval zobecnění Fourierova integrálu, "počínaje Plancherel průkopnický L²-teorie (1910), pokračování s Wienerova a Bochnerova prací (kolem roku 1930) a které vyvrcholily sloučením do L. Schwartze teorie distribuce (1945) ...",^[15] a vedoucí k formálnímu rozvoji delta funkce Dirac.

An infinitezimální vzorec pro nekonečně vysokou, jednotkovou impulsní delta funkci (nekonečně malá verze Cauchyovo rozdělení ) se výslovně objevuje v textu z roku 1827 Augustin Louis Cauchy.^[16] Siméon Denis Poisson za otázku v souvislosti se studiem šíření vln Gustav Kirchhoff o něco později. Kirchhoff a Hermann von Helmholtz také zavedl jednotkový impuls jako limit Gaussové, což také odpovídalo Lord Kelvin Pojem bodového zdroje tepla. Na konci 19. století Oliver Heaviside použitý formální Fourierova řada manipulovat s jednotkovým impulsem.^[17] Diracova delta funkce jako taková byla zavedena jako „pohodlná notace“ od Paul Dirac ve své vlivné knize z roku 1930 Principy kvantové mechaniky.^[18] Nazval ji „delta funkcí“, protože ji používal jako spojitý analog diskrétního Kroneckerova delta.

Definice

Diracova delta může být volně považována za funkci na reálné linii, která je všude nulová, s výjimkou počátku, kde je nekonečná,

${displaystyle delta (x) = {egin {cases} + infty, & x = 0 0, & xeq 0end {cases}}}$

a který je také omezen k uspokojení identity

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (x), dx = 1.}$^[19]

Toto je pouze a heuristický charakterizace. Diracova delta není funkcí v tradičním smyslu, protože žádná funkce definovaná na reálných číslech tyto vlastnosti nemá.^[18] Funkci Dirac delta lze přesně definovat jako a rozdělení nebo jako opatření.

Jako opatření

Jedním ze způsobů, jak důsledně zachytit pojem delta funkce Dirac, je definovat a opatření, volala Diracova míra, který přijímá podmnožinu A skutečné linie R jako argument a vrátí se δ(A) = 1 -li 0 ∈ A, a δ(A) = 0 v opačném případě.^[20] Pokud je funkce delta koncipována jako modelování idealizované bodové hmoty při 0, pak δ(A) představuje hmotnost obsaženou v sadě A. Jeden může pak definovat integrál proti δ jako integrál funkce proti tomuto rozdělení hmoty. Formálně Lebesgueův integrál poskytuje potřebné analytické zařízení. Lebesgueův integrál s ohledem na opatření δ splňuje

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x), delta {dx} = f (0)}$

pro všechny nepřetržitě kompaktně podporované funkce F. Měření δ není absolutně kontinuální s respektem k Lebesgueovo opatření - ve skutečnosti je to singulární míra. Opatření delta tedy nemá Derivát Radon – Nikodym (s ohledem na Lebesgueovo opatření) - žádná skutečná funkce, pro kterou je vlastnost

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x) delta (x), dx = f (0)}$

drží.^[21] Výsledkem je, že druhá notace je vhodná zneužití notace, a ne standard (Riemann nebo Lebesgue ) integrální.

Jako míra pravděpodobnosti na R, delta opatření je charakterizováno jeho kumulativní distribuční funkce, který je funkce jednotky^[22]

${displaystyle H (x) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} xgeq 0 0 & {ext {if}} x <0.end {cases}}}$

Tohle znamená tamto H(X) je integrál kumulativní funkce indikátoru 1_{(−∞, X]} s ohledem na opatření δ; vtipu,

${displaystyle H (x) = int _ {mathbf {R}} mathbf {1} _ {(- infty, x]} (t), delta {dt} = delta (-infty, x],}$

druhý je měřítkem tohoto intervalu; více formálně, ${displaystyle delta {ig (} (- infty, x] {ig)}.}$Tedy zejména integrál delta funkce proti spojité funkci lze správně chápat jako a Riemann – Stieltjesův integrál:^[23]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x) delta {dx} = int _ {- infty} ^ {infty} f (x), dH (x).}$

Všechny vyšší momenty z δ jsou nula. Zejména, charakteristická funkce a funkce generování momentů jsou rovny jedné.

Jako distribuce

V teorii distribuce, zobecněná funkce není považována za funkci sama o sobě, ale pouze ve vztahu k tomu, jak ovlivňuje ostatní funkce, když je proti nim „integrována“.^[24]:41 V souladu s touto filozofií, abychom správně definovali delta funkci, stačí říci, co je „integrál“ delta funkce proti dostatečně „dobré“ testovací funkce φ. Testovací funkce jsou také známé jako bump funkce. Pokud je delta funkce již chápána jako míra, pak Lebesgueův integrál testovací funkce proti tomuto opatření dodává nezbytný integrál.

Typický prostor testovacích funkcí se skládá ze všech plynulé funkce na R s kompaktní podpora které mají tolik derivátů, kolik je požadováno. Jako distribuce je delta Dirac a lineární funkční na prostoru zkušebních funkcí a je definován^[25]

${displaystyle delta [varphi] = varphi (0)}$

(1)

pro každou testovací funkci ${displaystyle varphi}$.

Pro δ aby byla správně distribucí, musí být spojitá ve vhodné topologii prostoru testovacích funkcí. Obecně platí, že pro lineární funkční S v prostoru testovacích funkcí k definování rozdělení je nutné a dostatečné, že pro každé kladné celé číslo N existuje celé číslo M_N a konstanta C_N takové, že pro každou testovací funkci φ, jeden má nerovnost^[26]

${displaystyle | S [varphi] | leq C_ {N} součet _ {k = 0} ^ {M_ {N}} sup _ {xin [-N, N]} | varphi ^ {(k)} (x) | .}$

S δ rozdělení, jeden má takovou nerovnost (s C_N = 1) s M_N = 0 pro všechny N. Tím pádem δ je rozdělení řádu nula. Jedná se dále o distribuci s kompaktní podporou (dále jen Podpěra, podpora je {0}).

Distribuci delta lze také definovat mnoha ekvivalentními způsoby. Například je to distribuční derivát z Funkce Heaviside step. To znamená, že pro každou testovací funkci φ, jeden má

${displaystyle delta [varphi] = - int _ {- infty} ^ {infty} varphi '(x) H (x), dx.}$

Intuitivně, pokud integrace po částech byly povoleny, pak by se druhý integrál měl zjednodušit na

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x) H '(x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x) delta (x), dx,}$

a pro Stieltjesův integrál je skutečně povolena forma integrace po částech, a v tom případě ano

${displaystyle -int _ {- infty} ^ {infty} varphi '(x) H (x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x), dH (x).}$

V kontextu teorie míry vede Diracova míra k distribuci integrací. Naopak, rovnice (1) definuje a Daniellův integrál v prostoru všech kompaktně podporovaných nepřetržitých funkcí φ které podle Rieszova věta o reprezentaci, lze reprezentovat jako Lebesgueův integrál φ s ohledem na některé Radonová míra.

Obecně, když výraz „Diracova delta funkce"se používá, je to spíše ve smyslu distribucí než opatření," Diracova míra být mezi několika pojmy pro odpovídající pojem v teorii míry. Některé zdroje mohou tento výraz také používat Distribuce delta Dirac.

Zobecnění

Funkci delta lze definovat v n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ jako takové opatření

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} f (mathbf {x}) delta {dmathbf {x}} = f (mathbf {0})}$

pro každou kompaktně podporovanou nepřetržitou funkci F. Jako opatření n-dimenzionální delta funkce je míra produktu jednorozměrných delta funkcí v každé proměnné zvlášť. Formálně tedy s X = (X₁, X₂, ..., X_n), jeden má^[6]

${displaystyle delta (mathbf {x}) = delta (x_ {1}) delta (x_ {2}) cdots delta (x_ {n}).}$

(2)

Funkci delta lze také definovat ve smyslu rozdělení přesně tak, jak je uvedeno výše v jednorozměrném případě.^[27] Navzdory širokému použití v technických kontextech, (2) by se mělo manipulovat opatrně, protože produkt distribucí lze definovat pouze za poměrně úzkých okolností.^[28]

Pojem a Diracova míra dává smysl na jakékoli sadě.^[20] Tedy pokud X je sada, X₀ ∈ X je označený bod a Σ je libovolný sigma algebra podskupin X, pak míra definovaná na množinách A ∈ Σ podle

${displaystyle delta _ {x_ {0}} (A) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} x_ {0} in A 0 & {ext {if}} x_ {0} otin Aend {cases}} }$

je míra delta nebo jednotková hmotnost koncentrovaná v X₀.

Dalším běžným zobecněním funkce delta je a diferencovatelné potrubí kde lze většinu jeho vlastností jako distribuci také využít kvůli diferencovatelná struktura. Funkce delta na potrubí M na střed X₀ ∈ M je definována jako následující distribuce:

${displaystyle delta _ {x_ {0}} [varphi] = varphi (x_ {0})}$

(3)

pro všechny kompaktně podporované hladké funkce se skutečnou hodnotou φ na M.^[29] Běžným zvláštním případem této konstrukce je ten, ve kterém M je otevřená sada v euklidovském prostoru Rⁿ.

Na místně kompaktní Hausdorffův prostor X, míra Diracova delta se soustředila do bodu X je Radonová míra spojené s Daniellův integrál (3) na kompaktně podporovaných nepřetržitých funkcích φ.^[30] Na této úrovni obecnosti není počet jako takový již možný, je však k dispozici celá řada technik z abstraktní analýzy. Například mapování ${displaystyle x_ {0} mapsto delta _ {x_ {0}}}$ je nepřetržité vkládání X do prostoru konečného radonu měří dál X, vybavené jeho vágní topologie. Navíc konvexní obal obrazu X pod tímto vložením je hustý v prostoru pravděpodobnostních opatření dne X.^[31]

Vlastnosti

Škálování a symetrie

Funkce delta splňuje následující vlastnost měřítka pro nenulový skalární α:^[32]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (alpha x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} delta (u), {frac {du} {| alpha |}} = {frac { 1} {| alfa |}}}$

a tak

${displaystyle delta (alpha x) = {frac {delta (x)} {| alpha |}}.}$

(4)

Důkaz:

${displaystyle delta (alpha x) = lim _ {a o 0} {frac {1} {| a | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (alpha x / a) ^ {2}} qquad {ext {since}} a {ext {je fiktivní proměnná, nastavíme}} a = alpha b}$

${displaystyle = lim _ {b o 0} {frac {1} {| alpha b | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (alpha x / (alpha b)) ^ {2}}}$

${displaystyle = lim _ {b o 0} {frac {1} {| alpha |}} {frac {1} {| b | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (x / b) ^ {2 }} = {frac {1} {| alfa |}} delta (x)}$

Funkce delta je zejména dokonce distribuce v tom smyslu

${displaystyle delta (-x) = delta (x)}$

který je homogenní stupně -1.

Algebraické vlastnosti

The distribuční produkt z δ s X se rovná nule:

${displaystyle xdelta (x) = 0.}$

Naopak, pokud xf(X) = xg(X), kde F a G jsou tedy distribuce

${displaystyle f (x) = g (x) + cdelta (x)}$

pro nějakou konstantu C.^[33]

Překlad

Integrál časově zpožděné delty Dirac je^[34]:276

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (t) delta (t-T), dt = f (T).}$

Toto se někdy označuje jako prosívání majetku^[35] nebo vlastnost vzorkování.^[36]:15 Funkce delta údajně „vytřídí“ hodnotu na t = T.^[37]:40

Z toho vyplývá, že účinek konvoluční funkce F(t) s časově zpožděnou delta Dirac ${displaystyle delta _ {T} (t) = delta (t-T)}$je časové zpoždění F(t) o stejnou částku:

${displaystyle (f * delta _ {T}) (t)}$	${displaystyle {stackrel {mathrm {def}} {=}} int _ {- infty} ^ {infty} f (au) delta (t-T- au), d au}$
	${displaystyle = int limity _ {- infty} ^ {infty} f (au) delta (au - (t-T)), d au}$ (použitím (4): ${displaystyle delta (-x) = delta (x)}$)
	${displaystyle = f (t-T).}$

To platí za přesné podmínky, že F být temperované rozdělení (viz diskuze o Fourierově transformaci níže ). Jako zvláštní případ máme například identitu (chápanou v distribučním smyslu)

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (xi -x) delta (x-eta), dx = delta (eta -xi).}$

Složení s funkcí

Obecněji může být delta distribuce složen s hladkou funkcí G(X) takovým způsobem, že platí známá změna vzorce proměnných, že

${displaystyle int _ {mathbf {R}} delta {igl (} g (x) {igr)} f {igl (} g (x) {igr)} | g '(x) |, dx = int _ {g (mathbf {R})} delta (u) f (u), du}$

pokud G je průběžně diferencovatelné funkce s G„Nikde nula.^[38] To znamená, že existuje jedinečný způsob, jak distribuci přiřadit význam ${displaystyle delta circle g}$ takže tato identita platí pro všechny kompaktně podporované testovací funkce F. Proto je nutné doménu rozdělit, aby se vyloučila doména G′ = 0 bodů. Tato distribuce vyhovuje δ(G(X)) = 0 -li G není nikde nula, a jinak pokud G má skutečný vykořenit na X₀, pak

${displaystyle delta (g (x)) = {frac {delta (x-x_ {0})} {| g '(x_ {0}) |}}.}$

Je proto přirozené definovat kompozice δ(G(X)) pro spojitě diferencovatelné funkce G podle

${displaystyle delta (g (x)) = sum _ {i} {frac {delta (x-x_ {i})} {| g '(x_ {i}) |}}}$

kde součet přesahuje všechny kořeny G(X), o kterých se předpokládá, že jsou jednoduchý.^[38] Tak například

${displaystyle delta left (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) = {frac {1} {2 | alpha |}} {Big [} delta left (x + alpha ight) + delta left (x-alpha ight) {Big]}.}$

V integrální formě lze zobecněnou vlastnost měřítka zapsat jako

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x), delta (g (x)), dx = sum _ {i} {frac {f (x_ {i})} {| g '(x_ { i}) |}}.}$

Vlastnosti v n rozměry

Distribuce delta v n-dimenzionální prostor místo toho splňuje následující vlastnost měřítka,

${displaystyle delta (alpha mathbf {x}) = | alpha | ^ {- n} delta (mathbf {x}) ~,}$

aby δ je homogenní rozdělení stupně -n.

Pod jakýmkoli odraz nebo otáčení ρ, funkce delta je neměnná,

${displaystyle delta (ho mathbf {x}) = delta (mathbf {x}) ~.}$

Stejně jako v případě jedné proměnné je možné definovat složení δ s funkce bi-Lipschitz^[39] G: Rⁿ → Rⁿ jedinečně tak, aby totožnost

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} delta (g (mathbf {x})), f (g (mathbf {x})) left | det g '(mathbf {x}) ight |, dmathbf {x} = int _ {g (mathbf {R} ^ {n})} delta (mathbf {u}) f (mathbf {u}), dmathbf {u}}$

pro všechny kompaktně podporované funkce F.

Za použití coarea vzorec z teorie geometrických měr, lze také definovat složení funkce delta pomocí a ponoření z jednoho euklidovského prostoru do jiného jiného rozměru; výsledkem je typ proud. Ve zvláštním případě spojitě diferencovatelné funkce G: Rⁿ → R takové, že spád z G není nikde nula, platí následující identita^[40]

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} f (mathbf {x}), delta (g (mathbf {x})), dmathbf {x} = int _ {g ^ {- 1} (0) } {frac {f (mathbf {x})} {| mathbf {abla} g |}}, dsigma (mathbf {x})}$

kde integrál vpravo je u konce G⁻¹(0), (n − 1)-rozměrná plocha definovaná G(X) = 0 s respektem k Minkowského obsah opatření. Toto se nazývá a jednoduchá vrstva integrální.

Obecněji, pokud S je hladký nadpovrch Rⁿ, pak se můžeme spojit s S distribuce, která integruje jakoukoli kompaktně podporovanou hladkou funkci G přes S:

${displaystyle delta _ {S} [g] = int _ {S} g (mathbf {s}), dsigma (mathbf {s})}$

kde σ je hyperplošná míra spojená s S. Toto zobecnění je spojeno s teorie potenciálu z jednoduché potenciály vrstev na S. Li D je doména v Rⁿ s hladkou hranicí S, pak δ_S se rovná normální derivace z funkce indikátoru z D v distribučním smyslu,

${displaystyle -int _ {mathbf {R} ^ {n}} g (mathbf {x}), {frac {částečný 1_ {D} (mathbf {x})} {částečný n}}; dmathbf {x} = int _ {S}, g (mathbf {s}); dsigma (mathbf {s}),}$

kde n je navenek normální.^[41][42] Důkaz viz např. článek o funkce povrchové delty.

Fourierova transformace

Funkce delta je a temperované rozdělení, a proto má dobře definovaný Fourierova transformace. Formálně jeden najde^[43]

${displaystyle {widehat {delta}} (xi) = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- 2pi ixxi} delta (x), dx = 1.}$

Správně řečeno, Fourierova transformace distribuce je definována vnucením sebeobsluha Fourierovy transformace pod dvojicí duality ${displaystyle langle cdot, cdot angle}$ temperovaných distribucí s Schwartzovy funkce. Tím pádem ${displaystyle {widehat {delta}}}$ je definována jako jedinečná temperovaná distribuce uspokojující

${displaystyle langle {widehat {delta}}, varphi angle = delta langle, {widehat {varphi}} úhel}$

pro všechny funkce Schwartz ${displaystyle varphi}$. A z toho skutečně vyplývá ${displaystyle {widehat {delta}} = 1.}$

V důsledku této identity konvoluce funkce delta s jakýmkoli jiným temperovaným rozdělením S je prostě S:

${displaystyle S * delta = S.}$

To znamená δ je prvek identity pro konvoluci na temperovaných distribucích a ve skutečnosti je prostor kompaktně podporovaných distribucí v konvoluci asociativní algebra s identitou delta funkce. Tato vlastnost je zásadní v zpracování signálu, protože konvoluce s temperovaným rozdělením je a lineární časově invariantní systém a aplikace lineárního časově invariantního systému měří jeho impulsní odezva. Impulzní odezvu lze vypočítat na libovolný požadovaný stupeň přesnosti výběrem vhodné aproximace pro δ, a jakmile je známo, zcela charakterizuje systém. Vidět Teorie systému LTI § Impulzní reakce a konvoluce.

Inverzní Fourierova transformace temperovaného rozdělení F(ξ) = 1 je funkce delta. Formálně je to vyjádřeno

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} 1cdot e ^ {2pi ixxi}, dxi = delta (x)}$

a důsledněji vyplývá od té doby

${displaystyle langle 1, {widehat {f}} angle = f (0) = langle delta, fangle}$

pro všechny funkce Schwartz F.

V těchto termínech poskytuje funkce delta sugestivní prohlášení o vlastnosti ortogonality jádra Fourier R. Formálně jeden má

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {i2pi xi _ {1} t} left [e ^ {i2pi xi _ {2} t} ight] ^ {*}, dt = int _ {- infty } ^ {infty} e ^ {- i2pi (xi _ {2} -xi _ {1}) t}, dt = delta (xi _ {2} -xi _ {1}).}$

To je samozřejmě zkratka pro tvrzení, že Fourierova transformace temperovaného rozdělení

${displaystyle f (t) = e ^ {i2pi xi _ {1} t}}$

je

${displaystyle {widehat {f}} (xi _ {2}) = delta (xi _ {1} -xi _ {2})}$

který opět následuje vnucením sebeurčení Fourierovy transformace.

Podle analytické pokračování Fourierovy transformace Laplaceova transformace se zjistí, že funkce delta je^[44]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} delta (t-a) e ^ {- st}, dt = e ^ {- sa}.}$

Distribuční deriváty

Distribuční derivát distribuce Dirac delta je distribuce δ′ Definované na kompaktně podporovaných funkcích hladkého testu φ podle^[45]

${displaystyle delta '[varphi] = - delta [varphi'] = - varphi '(0).}$

První rovnost zde je druh integrace po částech, pro if δ tehdy byly skutečnou funkcí

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta '(x) varphi (x), dx = -int _ {- infty} ^ {infty} delta (x) varphi' (x), dx.}$

The k-tý derivát δ je definována podobně jako rozdělení dané testovacími funkcemi pomocí

${displaystyle delta ^ {(k)} [varphi] = (- 1) ^ {k} varphi ^ {(k)} (0).}$

Zejména, δ je nekonečně diferencovatelná distribuce.

První derivací funkce delta je distribuční limit rozdílových kvocientů:^[46]

${displaystyle delta '(x) = lim _ {h o 0} {frac {delta (x + h) -delta (x)} {h}}.}$

Přesněji řečeno, jeden má

${displaystyle delta '= lim _ {h o 0} {frac {1} {h}} (au _ ​​{h} delta -delta)}$

kde τ_h je operátor překladu, definovaný pro funkce uživatelem τ_hφ(X) = φ(X + h)a na distribuci S podle

${displaystyle (au _ ​​{h} S) [varphi] = S [au _ {- h} varphi].}$

V teorii elektromagnetismus, představuje první derivace funkce delta magnetický bod dipól nachází se na počátku. Proto se označuje jako dipól nebo funkce dubletu.^[47]

Derivát delta funkce splňuje řadu základních vlastností, včetně:

${displaystyle {egin {aligned} & {frac {d} {dx}} delta (-x) = {frac {d} {dx}} delta (x) [8pt] & delta '(-x) = - delta' (x) [8pt] & xdelta '(x) = - delta (x) .end {zarovnáno}}}$^[48]

Poslední z těchto vlastností lze snadno demonstrovat použitím definice distribuční derivace, Liebnitzovy věty a linearity vnitřního produktu:

${extstyle langle xdelta ', varphi angle, =, langle delta', xvarphi angle, =, - langle delta, (xvarphi) 'angle, =, - langle delta, x'varphi + xvarphi' angle, =, - langle delta, x'varphi úhel - delta úhlu, xvarphi 'úhel, =, - x' (0) varphi (0) -x (0) varphi '(0)}$ ${extstyle =, - x '(0) delta langle, úhel varphi -x (0) delta langle, úhel varphi', =, - x '(0) delta langle, úhel varphi + x (0) delta langle, varphi úhel, =, jazyk x (0) delta '-x' (0) delta, úhel varphi}$${extstyle Longrightarrow x (t) delta '(t) = x (0) delta' (t) -x '(0) delta (t) = - x' (0) delta (t) = - delta (t)}$^[49]

Dále konvoluce δ′ S kompaktně podporovanou hladkou funkcí F je

${displaystyle delta '* f = delta * f' = f ',}$

který vyplývá z vlastností distribuční derivace konvoluce.

Vyšší rozměry

Obecněji řečeno, na otevřená sada U v n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ, Diracova delta distribuce se soustředila na jeden bod A ∈ U je definováno^[50]

${displaystyle delta _ {a} [varphi] = varphi (a)}$

pro všechny φ ∈ S(U), prostor všech plynulých kompaktně podporovaných funkcí na U. Li α = (α₁, ..., α_n) je jakýkoli multi-index a ∂^α označuje přidružené smíšené parciální derivace operátor, pak αth derivát ∂^αδ_A z δ_A darováno^[50]

${displaystyle leftlangle partial ^ {alpha} delta _ {a}, varphi ightangle = (- 1) ^ {| alpha |} leftlangle delta _ {a}, partial ^ {alpha} varphi ightangle = (- 1) ^ {| alpha |} částečné ^ {alfa} varphi (x) {velké |} _ {x = a} {ext {pro všechny}} varphi v S (U).}$

Toto je αth derivát δ_A je distribuce, jejíž hodnota na libovolné testovací funkci φ je αth derivát φ na A (s příslušným kladným nebo záporným znaménkem).

První parciální derivace funkce delta jsou považovány za dvojité vrstvy podél souřadnicových rovin. Obecněji, normální derivace jednoduché vrstvy nesené na povrchu je dvojitá vrstva nesená na tomto povrchu a představuje laminární magnetický monopol. Vyšší deriváty delta funkce jsou ve fyzice známé jako multipóly.

Vyšší deriváty vstupují do matematiky přirozeně jako stavební kameny pro úplnou strukturu distribucí s podporou bodů. Li S je jakákoli distribuce na U podporováno na setu {A} skládající se z jediného bodu, pak existuje celé číslo m a koeficienty C_α takhle^[51]

${displaystyle S = součet _ {| alpha | leq m} c_ {alpha} částečný ^ {alpha} delta _ {a}.}$

Reprezentace funkce delta

Na funkci delta lze pohlížet jako na limit posloupnosti funkcí

${displaystyle delta (x) = lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} eta _ {varepsilon} (x),}$

kde η_ε(X) se někdy nazývá a rodící se delta funkce. Tato hranice je míněna ve slabém smyslu: buď to

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ {infty} eta _ {varepsilon} (x) f (x), dx = f (0)}$

(5)

pro všechny kontinuální funkce F mít kompaktní podpora, nebo že tento limit platí pro všechny hladký funkce F s kompaktní podporou. Rozdíl mezi těmito dvěma mírně odlišnými způsoby slabé konvergence je často jemný: první je konvergence v EU vágní topologie opatření je konvergence ve smyslu distribuce.

Aproximace identity

Typicky vznikající delta funkce η_ε lze zkonstruovat následujícím způsobem. Nechat η být naprosto integrovatelnou funkcí R celkového integrálu 1 a definovat

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- 1} eta left ({frac {x} {varepsilon}} ight).}$

v n rozměry, místo toho se použije měřítko

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- n} eta left ({frac {x} {varepsilon}} ight).}$

Pak to ukazuje jednoduchá změna proměnných η_ε má také integrál 1. Lze ukázat, že (5) platí pro všechny nepřetržitě kompaktně podporované funkce F,^[52] a tak η_ε slabě konverguje k δ ve smyslu opatření.

The η_ε takto konstruované jsou známé jako aproximace identity.^[53] Tato terminologie je dána prostorem L¹(R) absolutně integrovatelných funkcí je uzavřen za provozu konvoluce funkcí: F ∗ G ∈ L¹(R) kdykoli F a G jsou v L¹(R). Ve službě však není žádná identita L¹(R) pro produkt konvoluce: žádný prvek h takhle F ∗ h = F pro všechny F. Přesto sekvence η_ε přibližuje takovou identitu v tom smyslu, že

${displaystyle f * eta _ {varepsilon} o fquad {ext {as}} varepsilon o 0.}$

Tento limit platí ve smyslu střední konvergence (konvergence v L¹). Další podmínky na η_ε, například že se jedná o mollifier spojený s kompaktně podporovanou funkcí,^[54] jsou potřebné k zajištění bodové konvergence téměř všude.

Pokud počáteční η = η₁ je sám o sobě hladký a kompaktně podporovaný, pak se sekvence nazývá a změkčovač. Standardní mollifier se získá výběrem η být vhodně normalizovaný bump funkce, například

${displaystyle eta (x) = {egin {cases} e ^ {- {frac {1} {1- | x | ^ {2}}}} & {ext {if}} | x | <1 0 & {ext {if}} | x | geq 1.end {cases}}}$

V některých situacích, jako je numerická analýza, a po částech lineární je žádoucí aproximace identity. Toho lze dosáhnout tím, že η₁ být a funkce klobouku. S touto volbou η₁, jeden má

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- 1} maximálně vlevo (1 vlevo | {frac {x} {varepsilon}} večer |, 0ight)}$

které jsou všechny spojité a kompaktně podepřeny, i když nejsou hladké, a proto nejsou mollifikátorem.

Pravděpodobnostní úvahy

V kontextu teorie pravděpodobnosti, je přirozené uložit další podmínku, že počáteční η₁ v přiblížení k identitě by mělo být kladné, protože taková funkce pak představuje a rozdělení pravděpodobnosti. Konvoluce s pravděpodobnostním rozdělením je někdy příznivá, protože nevede k přestřelení nebo podříznutí, protože výstup je a konvexní kombinace vstupních hodnot, a tak spadá mezi maximum a minimum vstupní funkce. Brát η₁ být vůbec jakékoli rozdělení pravděpodobnosti, a nechat η_ε(X) = η₁(X/ε)/ε jak je uvedeno výše, povede k aproximaci identity. Obecně to rychleji konverguje k funkci delta, pokud navíc η má průměr 0 a má malé vyšší momenty. Například pokud η₁ je rovnoměrné rozdělení na [−1/2, 1/2], také známý jako obdélníková funkce, pak:^[55]

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{varepsilon }}operatorname {rect} left({frac {x}{varepsilon }}ight)={ egin{cases}{frac {1}{varepsilon }},&-{frac {varepsilon }{2}}$

Another example is with the Wigner semicircle distribution

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={ egin{cases}{frac {2}{pi varepsilon ^{2}}}{sqrt {varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-varepsilon$

This is continuous and compactly supported, but not a mollifier because it is not smooth.

Semigroups

Nascent delta functions often arise as convolution poloskupiny.^[56]:748 This amounts to the further constraint that the convolution of η_ε s η_δ must satisfy

${displaystyle eta _{varepsilon }*eta _{delta }=eta _{varepsilon +delta }}$

pro všechny ε, δ > 0. Convolution semigroups in L¹ that form a nascent delta function are always an approximation to the identity in the above sense, however the semigroup condition is quite a strong restriction.

In practice, semigroups approximating the delta function arise as fundamental solutions nebo Green's functions to physically motivated eliptický nebo parabolický parciální diferenciální rovnice. V kontextu aplikovaná matematika, semigroups arise as the output of a linear time-invariant system. Abstractly, if A is a linear operator acting on functions of X, then a convolution semigroup arises by solving the initial value problem

${displaystyle { egin{cases}{dfrac {partial }{partial t}}eta (t,x)=Aeta (t,x),quad t>0[5pt]displaystyle lim _{t o 0^{+}}eta (t,x)=delta (x)end{cases}}}$

in which the limit is as usual understood in the weak sense. Nastavení η_ε(X) = η(ε, X) gives the associated nascent delta function.

Some examples of physically important convolution semigroups arising from such a fundamental solution include the following.

The heat kernel

The tepelné jádro, definován

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{sqrt {2pi varepsilon }}}mathrm {e} ^{-{frac {x^{2}}{2varepsilon }}}}$

represents the temperature in an infinite wire at time t > 0, if a unit of heat energy is stored at the origin of the wire at time t = 0. This semigroup evolves according to the one-dimensional rovnice tepla:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}={frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}.}$

v teorie pravděpodobnosti, η_ε(X) je normální distribuce z rozptyl ε and mean 0. It represents the hustota pravděpodobnosti at time t = ε of the position of a particle starting at the origin following a standard Brownův pohyb. In this context, the semigroup condition is then an expression of the Markov property of Brownian motion.

In higher-dimensional Euclidean space Rⁿ, the heat kernel is

${displaystyle eta _{varepsilon }={frac {1}{(2pi varepsilon )^{n/2}}}mathrm {e} ^{-{frac {xcdot x}{2varepsilon }}},}$

and has the same physical interpretation, mutatis mutandis. It also represents a nascent delta function in the sense that η_ε → δ in the distribution sense as ε → 0.

The Poisson kernel

The Poisson kernel

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{pi }}mathrm {Im} left{{frac {1}{x-mathrm {i} varepsilon }}ight}={frac {1}{pi }}{frac {varepsilon }{varepsilon ^{2}+x^{2}}}={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }mathrm {e} ^{mathrm {i} xi x-|varepsilon xi |};dxi }$

is the fundamental solution of the Laplace equation in the upper half-plane.^[57] It represents the electrostatic potential in a semi-infinite plate whose potential along the edge is held at fixed at the delta function. The Poisson kernel is also closely related to the Cauchy distribution a Epanechnikov and Gaussian kernel funkce.^[58]:81 This semigroup evolves according to the equation

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=-left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}u(t,x)}$

where the operator is rigorously defined as the Fourier multiplier

${displaystyle {mathcal {F}}left[left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}fight](xi )=|2pi xi |{mathcal {F}}f(xi ).}$

Oscillatory integrals

In areas of physics such as wave propagation a wave mechanics, the equations involved are hyperbolický and so may have more singular solutions. As a result, the nascent delta functions that arise as fundamental solutions of the associated Cauchy problems are generally oscillatory integrals. An example, which comes from a solution of the Euler–Tricomi equation z transonic gas dynamics,^[59] is the rescaled Airy function

${displaystyle varepsilon ^{-1/3}operatorname {Ai} left(xvarepsilon ^{-1/3}ight).}$

Although using the Fourier transform, it is easy to see that this generates a semigroup in some sense—it is not absolutely integrable and so cannot define a semigroup in the above strong sense. Many nascent delta functions constructed as oscillatory integrals only converge in the sense of distributions (an example is the Dirichlet kernel below), rather than in the sense of measures.

Another example is the Cauchy problem for the wave equation v R¹⁺¹:^[60]

${displaystyle { egin{aligned}c^{-2}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}-Delta u&=0u=0,quad {frac {partial u}{partial t}}=delta &qquad { ext{for }}t=0.end{aligned}}}$

Řešení u represents the displacement from equilibrium of an infinite elastic string, with an initial disturbance at the origin.

Other approximations to the identity of this kind include the sinc function (used widely in electronics and telecommunications)

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{pi x}}sin left({frac {x}{varepsilon }}ight)={frac {1}{2pi }}int _{-{frac {1}{varepsilon }}}^{frac {1}{varepsilon }}cos(kx);dk}$

a Bessel function

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{varepsilon }}J_{frac {1}{varepsilon }}left({frac {x+1}{varepsilon }}ight).}$

Plane wave decomposition

One approach to the study of a linear partial differential equation

${displaystyle L[u]=f,}$

kde L je differential operator na Rⁿ, is to seek first a fundamental solution, which is a solution of the equation

${displaystyle L[u]=delta .}$

Když L is particularly simple, this problem can often be resolved using the Fourier transform directly (as in the case of the Poisson kernel and heat kernel already mentioned). For more complicated operators, it is sometimes easier first to consider an equation of the form

${displaystyle L[u]=h}$

kde h je plane wave function, meaning that it has the form

${displaystyle h=h(xcdot xi )}$

for some vector ξ. Such an equation can be resolved (if the coefficients of L jsou analytic functions ) podle Cauchy–Kovalevskaya theorem or (if the coefficients of L are constant) by quadrature. So, if the delta function can be decomposed into plane waves, then one can in principle solve linear partial differential equations.

Such a decomposition of the delta function into plane waves was part of a general technique first introduced essentially by Johann Radon, and then developed in this form by Fritz John (1955 ).^[61] Choose k aby n + k is an even integer, and for a real number s, put

${displaystyle g(s)=operatorname {Re} left[{frac {-s^{k}log(-is)}{k!(2pi i)^{n}}}ight]={ egin{cases}{frac {|s|^{k}}{4k!(2pi i)^{n-1}}}&n{ ext{ odd}}[5pt]-{frac {|s|^{k}log |s|}{k!(2pi i)^{n}}}&n{ ext{ even.}}end{cases}}}$

Pak δ is obtained by applying a power of the Laplacian to the integral with respect to the unit sphere measure dω of G(X · ξ) pro ξ v unit sphere Sⁿ⁻¹:

${displaystyle delta (x)=Delta _{x}^{(n+k)/2}int _{S^{n-1}}g(xcdot xi ),domega _{xi }.}$

The Laplacian here is interpreted as a weak derivative, so that this equation is taken to mean that, for any test function φ,

${displaystyle varphi (x)=int _{mathbf {R} ^{n}}varphi (y),dy,Delta _{x}^{frac {n+k}{2}}int _{S^{n-1}}g((x-y)cdot xi ),domega _{xi }.}$

The result follows from the formula for the Newtonian potential (the fundamental solution of Poisson's equation). This is essentially a form of the inversion formula for the Radon transform, because it recovers the value of φ(X) from its integrals over hyperplanes. Například pokud n is odd and k = 1, then the integral on the right hand side is

${displaystyle { egin{aligned}&c_{n}Delta _{x}^{frac {n+1}{2}}int int _{S^{n-1}}varphi (y)|(y-x)cdot xi |,domega _{xi },dy[5pt]={}&c_{n}Delta _{x}^{(n+1)/2}int _{S^{n-1}},domega _{xi }int _{-infty }^{infty }|p|Rvarphi (xi ,p+xcdot xi ),dpend{aligned}}}$

kde Rφ(ξ, p) is the Radon transform of φ:

${displaystyle Rvarphi (xi ,p)=int _{xcdot xi =p}f(x),d^{n-1}x.}$

An alternative equivalent expression of the plane wave decomposition, from Gelfand & Shilov (1966–1968, I, §3.10), is

${displaystyle delta (x)={frac {(n-1)!}{(2pi i)^{n}}}int _{S^{n-1}}(xcdot xi )^{-n},domega _{xi }}$

pro n even, and

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2(2pi i)^{n-1}}}int _{S^{n-1}}delta ^{(n-1)}(xcdot xi ),domega _{xi }}$

pro n zvláštní.

Fourier kernels

Ve studii o Fourierova řada, a major question consists of determining whether and in what sense the Fourier series associated with a periodic function converges to the function. The nth partial sum of the Fourier series of a function F of period 2π is defined by convolution (on the interval [−π,π]) with the Dirichlet kernel:

${displaystyle D_{N}(x)=sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={frac {sin left((N+{ frac {1}{2}})xight)}{sin(x/2)}}.}$

Tím pádem,

${displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

kde

${displaystyle a_{n}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }f(y)e^{-iny},dy.}$

A fundamental result of elementary Fourier series states that the Dirichlet kernel tends to the a multiple of the delta function as N → ∞. This is interpreted in the distribution sense, that

${displaystyle s_{N}(f)(0)=int _{mathbf {R} }D_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

for every compactly supported smooth funkce F. Thus, formally one has

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2pi }}sum _{n=-infty }^{infty }e^{inx}}$

on the interval [−π,π].

In spite of this, the result does not hold for all compactly supported kontinuální functions: that is D_N does not converge weakly in the sense of measures. The lack of convergence of the Fourier series has led to the introduction of a variety of summability methods in order to produce convergence. Metoda Cesàro summation vede k Fejér kernel^[62]

${displaystyle F_{N}(x)={frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={frac {1}{N}}left({frac {sin {frac {Nx}{2}}}{sin {frac {x}{2}}}}ight)^{2}.}$

The Fejér kernels tend to the delta function in a stronger sense that^[63]

${displaystyle int _{mathbf {R} }F_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

for every compactly supported kontinuální funkce F. The implication is that the Fourier series of any continuous function is Cesàro summable to the value of the function at every point.

Hilbert space theory

The Dirac delta distribution is a densely defined unbounded linear functional na Hilbertův prostor L² z square-integrable functions. Indeed, smooth compactly support functions are hustý v L², and the action of the delta distribution on such functions is well-defined. In many applications, it is possible to identify subspaces of L² and to give a stronger topologie on which the delta function defines a bounded linear functional.

Sobolev spaces

The Sobolev embedding theorem pro Sobolev spaces on the real line R implies that any square-integrable function F takhle

${displaystyle |f|_{H^{1}}^{2}=int _{-infty }^{infty }|{widehat {f}}(xi )|^{2}(1+|xi |^{2}),dxi$

is automatically continuous, and satisfies in particular

${displaystyle delta [f]=|f(0)|$

Tím pádem δ is a bounded linear functional on the Sobolev space H¹. Equivalently δ is an element of the continuous dual space H⁻¹ z H¹. More generally, in n dimensions, one has δ ∈ H^−s(Rⁿ) pokuds > n / 2.

Spaces of holomorphic functions

v complex analysis, the delta function enters via Cauchy's integral formula, which asserts that if D is a domain in the complex plane with smooth boundary, then

${displaystyle f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}},quad zin D}$

pro všechny holomorphic functions F v D that are continuous on the closure of D. As a result, the delta function δ_z is represented in this class of holomorphic functions by the Cauchy integral:

${displaystyle delta _{z}[f]=f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}}.}$

Moreover, let H²(∂D) be the Hardy prostor consisting of the closure in L²(∂D) of all holomorphic functions in D continuous up to the boundary of D. Then functions in H²(∂D) uniquely extend to holomorphic functions in D, and the Cauchy integral formula continues to hold. In particular for z ∈ D, the delta function δ_z is a continuous linear functional on H²(∂D). This is a special case of the situation in several complex variables in which, for smooth domains D, Szegő kernel plays the role of the Cauchy integral.^[64]:357

Resolutions of the identity

Given a complete orthonormal basis set of functions {φ_n} in a separable Hilbert space, for example, the normalized vlastní vektory a compact self-adjoint operator, any vector F lze vyjádřit jako

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }alpha _{n}varphi _{n}.}$

The coefficients {α_n} are found as

${displaystyle alpha _{n}=langle varphi _{n},fangle ,}$

which may be represented by the notation:

${displaystyle alpha _{n}=varphi _{n}^{dagger }f,}$

a form of the bra–ket notation of Dirac.^[65] Adopting this notation, the expansion of F bere dyadic formulář:^[66]

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}left(varphi _{n}^{dagger }fight).}$

Pronájem Já denote the identity operator on the Hilbert space, the expression

${displaystyle I=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

se nazývá a resolution of the identity. When the Hilbert space is the space L²(D) of square-integrable functions on a domain D, the quantity:

${displaystyle varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

is an integral operator, and the expression for F can be rewritten

${displaystyle f(x)=sum _{n=1}^{infty }int _{D},left(varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi )ight)f(xi ),dxi .}$

The right-hand side converges to F v L² smysl. It need not hold in a pointwise sense, even when F is a continuous function. Nevertheless, it is common to abuse notation and write

${displaystyle f(x)=int ,delta (x-xi )f(xi ),dxi ,}$

resulting in the representation of the delta function:^[67]

${displaystyle delta (x-xi )=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi ).}$

With a suitable rigged Hilbert space (Φ, L²(D), Φ*) kde Φ ⊂ L²(D) contains all compactly supported smooth functions, this summation may converge in Φ*, depending on the properties of the basis φ_n. In most cases of practical interest, the orthonormal basis comes from an integral or differential operator, in which case the series converges in the rozdělení smysl.^[68]

Infinitesimal delta functions

Cauchy used an infinitesimal α to write down a unit impulse, infinitely tall and narrow Dirac-type delta function δ_α uspokojující ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ in a number of articles in 1827.^[69] Cauchy defined an infinitesimal in Cours d'Analyse (1827) in terms of a sequence tending to zero. Namely, such a null sequence becomes an infinitesimal in Cauchy's and Lazare Carnot 's terminology.

Nestandardní analýza allows one to rigorously treat infinitesimals. The article by Yamashita (2007) contains a bibliography on modern Dirac delta functions in the context of an infinitesimal-enriched continuum provided by the hyperreals. Here the Dirac delta can be given by an actual function, having the property that for every real function F jeden má ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ as anticipated by Fourier and Cauchy.

Dirac comb

A Dirac comb is an infinite series of Dirac delta functions spaced at intervals of T

A so-called uniform "pulse train" of Dirac delta measures, which is known as a Dirac comb, or as the Shah distribution, creates a vzorkování function, often used in digital signal processing (DSP) and discrete time signal analysis. The Dirac comb is given as the infinite sum, whose limit is understood in the distribution sense,

${displaystyle operatorname {III} (x)=sum _{n=-infty }^{infty }delta (x-n),}$

which is a sequence of point masses at each of the integers.

Up to an overall normalizing constant, the Dirac comb is equal to its own Fourier transform. This is significant because if ${displaystyle f}$ is any Schwartz function, pak periodizace z ${displaystyle f}$ is given by the convolution

${displaystyle (f*operatorname {III} )(x)=sum _{n=-infty }^{infty }f(x-n).}$

Zejména,

${displaystyle (f*operatorname {III} )^{wedge }={widehat {f}}{widehat {operatorname {III} }}={widehat {f}}operatorname {III} }$

is precisely the Poisson summation formula.^[70]More generally, this formula remains to be true if ${displaystyle f}$ is a tempered distribution of rapid descent or, equivalently, if ${displaystyle {widehat {f}}}$ is a slowly growing, ordinary function within the space of tempered distributions.

Sokhotski–Plemelj theorem

The Sokhotski–Plemelj theorem, important in quantum mechanics, relates the delta function to the distribution p.v. 1/X, Cauchy principal value of the function 1/X, definován

${displaystyle leftlangle operatorname {p.v.} {frac {1}{x}},varphi ightangle =lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {varphi (x)}{x}},dx.}$

Sokhotsky's formula states that^[71]

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}{frac {1}{xpm ivarepsilon }}=operatorname {p.v.} {frac {1}{x}}mp ipi delta (x),}$

Here the limit is understood in the distribution sense, that for all compactly supported smooth functions F,

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi f(0)+lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {f(x)}{x}},dx.}$

Relationship to the Kronecker delta

The Kronecker delta δ_ij is the quantity defined by

${displaystyle delta _{ij}={ egin{cases}1&i=j�&iot =jend{cases}}}$

for all integers i, j. This function then satisfies the following analog of the sifting property: if ${displaystyle (a_{i})_{iin mathbf {Z} }}$ is any doubly infinite sequence, pak

${displaystyle sum _{i=-infty }^{infty }a_{i}delta _{ik}=a_{k}.}$