Distribuce inverzní gama - Inverse-gamma distribution

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Inverzní gama distribuce“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Října 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Inverzní gama

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle alpha> 0}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle beta> 0}$ měřítko (nemovitý )
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (0, infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} x ^ {- alpha -1} exp left (- { frac { beta} {x}} že jo)}$
CDF	${ displaystyle { frac { Gamma ( alfa, beta / x)} { gama ( alfa)}} !}$
Znamenat	${ displaystyle { frac { beta} { alfa -1}} !}$ pro ${ displaystyle alpha> 1}$
Režim	${ displaystyle { frac { beta} { alfa +1}} !}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac { beta ^ {2}} {( alpha -1) ^ {2} ( alpha -2)}} !}$ pro ${ displaystyle alpha> 2}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {4 { sqrt { alpha -2}}} { alpha -3}} !}$ pro ${ displaystyle alpha> 3}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {6 (5 , alfa -11)} {( alfa -3) ( alfa -4)}} !}$ pro ${ displaystyle alpha> 4}$
Entropie	${ displaystyle alpha ! + ! ln ( beta gama ( alpha)) ! - ! (1 ! + ! alpha) psi ( alpha)}$ (vidět funkce digamma )
MGF	Neexistuje.
CF	${ displaystyle { frac {2 left (-i beta t right) ^ {! ! { frac { alpha} {2}}}} { Gamma ( alpha)}} K _ { alpha} left ({ sqrt {-4i beta t}} right)}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, inverzní rozdělení gama je dvojparametrová rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti na pozitivní skutečná linie, což je distribuce reciproční proměnné distribuované podle gama distribuce. Možná je hlavní využití inverzní gama distribuce Bayesovské statistiky, kde distribuce vzniká jako marginální zadní distribuce pro neznámé rozptyl a normální distribuce, pokud neinformativní předchozí se používá a je analyticky zpracovatelný před konjugátem, pokud je vyžadován informativní předchozí.

U Bayesianů je však běžné uvažovat o alternativě parametrizace z normální distribuce z hlediska přesnost, definovaný jako převrácená hodnota rozptylu, která umožňuje přímé použití gama distribuce jako konjugátu před. Jiní Bayesians preferují parametrizovat inverzní gama distribuci jinak, jak a škálované inverzní rozdělení chí-kvadrát.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Inverzní rozdělení gama funkce hustoty pravděpodobnosti je definována přes Podpěra, podpora ${ displaystyle x> 0}$

${ displaystyle f (x; alpha, beta) = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} (1 / x) ^ { alpha +1} exp vlevo (- beta / x vpravo)}$

s parametr tvaru ${ displaystyle alpha}$ a parametr měřítka ${ displaystyle beta}$.^[1] Tady ${ displaystyle gama ( cdot)}$ označuje funkce gama.

Na rozdíl od Distribuce gama, který obsahuje poněkud podobný exponenciální člen, ${ displaystyle beta}$ je parametr měřítka, protože distribuční funkce splňuje:

${ displaystyle f (x; alfa, beta) = { frac {f (x / beta; alfa, 1)} { beta}}}$

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama

${ displaystyle F (x; alpha, beta) = { frac { gama vlevo ( alpha, { frac { beta} {x}} vpravo)} { gama ( alfa)}} = Q left ( alpha, { frac { beta} {x}} right) !}$

kde čitatel je horní neúplná funkce gama a jmenovatelem je funkce gama. Mnoho matematických balíčků umožňuje přímý výpočet ${ displaystyle Q}$, legalizovaná funkce gama.

Okamžiky

The n-tý okamžik inverzní distribuce gama je dán vztahem^[2]

${ displaystyle mathrm {E} [X ^ {n}] = { frac { beta ^ {n}} {( alpha -1) cdots ( alpha -n)}}}$

Charakteristická funkce

${ displaystyle K _ { alpha} ( cdot)}$ ve výrazu charakteristická funkce je upravený Besselova funkce druhého druhu.

Vlastnosti

Pro ${ displaystyle alpha> 0}$ a ${ displaystyle beta> 0}$,

${ displaystyle mathbb {E} [ ln (X)] = ln ( beta) - psi ( alpha) ,}$

a

${ displaystyle mathbb {E} [X ^ {- 1}] = { frac { alpha} { beta}}, ,}$

The informační entropie je

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {H} (X) & = operatorname {E} [- ln (p (X))] & = operatorname {E} left [- alpha ln ( beta) + ln ( Gamma ( alpha)) + ( alpha +1) ln (X) + { frac { beta} {X}} vpravo] & = - alpha ln ( beta) + ln ( Gamma ( alpha)) + ( alpha +1) ln ( beta) - ( alpha +1) psi ( alpha) + alpha & = alpha + ln ( beta gama ( alpha)) - ( alpha +1) psi ( alpha). end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle psi ( alpha)}$ je funkce digamma.

The Kullback-Leiblerova divergence inverzní gama (α_p, β_p) z inverzní gama (α_q, β_q) je stejná jako divergence KL gama (α_p, β_p) z Gamma (α_q, β_q):

${ displaystyle D _ { mathrm {KL}} ( alpha _ {p}, beta _ {p}; alpha _ {q}, beta _ {q}) = mathbb {E} vlevo [ log { frac { rho (X)} { pi (X)}} right] = mathbb {E} left [ log { frac { rho (1 / Y)} { pi (1 / Y)}} right] = mathbb {E} left [ log { frac { rho _ {G} (Y)} { pi _ {G} (Y)}} right],}$

kde ${ displaystyle rho, pi}$ jsou soubory PDF distribucí inverzní gama a ${ displaystyle rho _ {G}, pi _ {G}}$ jsou soubory PDF distribucí gama, ${ displaystyle Y}$ je Gamma (α_p, β_p) distribuován.

${ displaystyle { begin {aligned} D _ { mathrm {KL}} ( alpha _ {p}, beta _ {p}; alpha _ {q}, beta _ {q}) = {} & ( alpha _ {p} - alpha _ {q}) psi ( alpha _ {p}) - log Gamma ( alpha _ {p}) + log Gamma ( alpha _ {q}) ) + alpha _ {q} ( log beta _ {p} - log beta _ {q}) + alpha _ {p} { frac { beta _ {q} - beta _ {p }} { beta _ {p}}}. end {zarovnáno}}}$

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X sim { mbox {Inv-gama}} ( alfa, beta)}$ pak ${ displaystyle kX sim { mbox {Inv-gama}} ( alpha, k beta) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { mbox {Inv-gama}} ( alpha, { tfrac {1} {2}})}$ pak ${ displaystyle X sim { mbox {Inv -}} chi ^ {2} (2 alpha) ,}$ (inverzní-chi-kvadrát distribuce )
• Li ${ displaystyle X sim { mbox {Inv-Gamma}} ({ tfrac { alpha} {2}}, { tfrac {1} {2}})}$ pak ${ displaystyle X sim { mbox {Scaled Inv -}} chi ^ {2} ( alpha, { tfrac {1} { alpha}}) ,}$ (distribuce v měřítku-inverze-chi-kvadrát )
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Inv-Gamma}} ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {c} {2}})}$ pak ${ displaystyle X sim { textrm {Levy}} (0, c) ,}$ (Lévyho distribuce )
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Inv-gama}} (1, c)}$ pak ${ displaystyle { tfrac {1} {X}} sim { textrm {Exp}} (c) ,}$ (Exponenciální rozdělení )
• Li ${ displaystyle X sim { mbox {Gamma}} ( alfa, beta) ,}$ (Distribuce gama s hodnotit parametr ${ displaystyle beta}$) pak ${ displaystyle { tfrac {1} {X}} sim { mbox {Inv-gama}} ( alpha, beta) ,}$ (podrobnosti viz odvození v dalším odstavci)
• Všimněte si, že pokud X ~ Gamma (k, θ) (Distribuce gama s parametrem měřítka θ ) pak 1 /X ~ Inv-gama (k, θ⁻¹)
• Inverzní gama distribuce je speciální případ typu 5 Pearsonova distribuce
• A vícerozměrný zobecnění inverzní gama distribuce je inverzní Wishartova distribuce.
• Rozdělení součtu nezávislých invertovaných gama proměnných viz Witkovsky (2001)

Odvození od gama distribuce

Nechat ${ displaystyle X sim { mbox {Gamma}} ( alfa, beta)}$a připomenout, že pdf souboru gama distribuce je

${ displaystyle f_ {X} (x) = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} x ^ { alpha -1} e ^ {- beta x}}$, ${ displaystyle x> 0}$.

Všimněte si, že ${ displaystyle beta}$ je parametr rychlosti z hlediska rozdělení gama.

Definujte transformaci ${ displaystyle Y = g (X) = { tfrac {1} {X}}}$. Pak pdf ${ displaystyle Y}$ je

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {Y} (y) & = f_ {X} left (g ^ {- 1} (y) right) left | { frac {d} {dy}} g ^ {- 1} (y) right | [6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left ({ frac {1} { y}} right) ^ { alpha -1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) { frac {1} {y ^ {2}}} [ 6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left ({ frac {1} {y}} right) ^ { alpha +1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) [6pt] & = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} left (y right) ^ {- alpha -1} exp left ({ frac {- beta} {y}} right) [6pt] end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že ${ displaystyle beta}$ je parametr měřítka z hlediska inverzní distribuce gama.

Výskyt

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Ledna 2015)

Viz také

• Distribuce gama
• Inverzní-chi-kvadrát distribuce
• Normální distribuce

Reference

• Hoff, P. (2009). "První kurz bayesovských statistických metod". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). "Výpočet distribuce lineární kombinace invertovaných gama proměnných". Kybernetika. 37 (1): 79–90. PAN  1825758. Zbl  1263.62022.