Atom (teorie míry) - Atom (measure theory)

v matematika, přesněji v teorie míry, an atom je měřitelná množina, která má kladnou míru a neobsahuje žádnou sadu menších kladných měr. Míra, která nemá žádné atomy, se nazývá ne-atomový nebo bez atomů.

Definice

Vzhledem k měřitelný prostor ${ displaystyle (X, Sigma)}$ a a opatření ${ displaystyle mu}$ v tom prostoru sada ${ displaystyle A podmnožina X}$ v ${ displaystyle Sigma}$ se nazývá atom -li

{ displaystyle mu (A)> 0}

a pro jakoukoli měřitelnou podmnožinu ${ displaystyle B podmnožina A}$ s

{ displaystyle mu (B) < mu (A)}

sada ${ displaystyle B}$ má míru nula.

Příklady

Zvažte sadu X= {1, 2, ..., 9, 10} a nechte sigma-algebra ${ displaystyle Sigma}$ být napájecí sada z X. Definujte míru ${ displaystyle mu}$ množiny, která má být mohutnost, tj. počet prvků v sadě. Pak každý z singletons {i}, pro i= 1,2, ..., 9, 10 je atom.
Zvažte Lebesgueovo opatření na skutečná linie. Toto opatření nemá žádné atomy.

Atomová opatření

Opatření se nazývá atomový nebo čistě atomová pokud každá měřitelná sada kladné míry obsahuje atom. (Omezené, pozitivní) měřítko ${ displaystyle mu}$ na měřitelný prostor ${ displaystyle (X, Sigma)}$ je atomová, když a jen je to vážený součet spočetně mnoha Diracových měr, tj. existuje posloupnost ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ...}$ bodů v ${ displaystyle X}$ a sekvence ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ...}$ kladných reálných čísel (váhy) takové, že ${ displaystyle mu = součet _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} delta _ {x_ {k}}}$ , což znamená, že

{ displaystyle mu (A) = součet _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} delta _ {x_ {k}} (A)}

pro každého ${ displaystyle A in Sigma}$ .

Neanomová opatření

Míra, která nemá žádné atomy, se nazývá ne-atomový nebo difúzní. Jinými slovy, opatření ${ displaystyle mu}$ není atomový, pokud jde o jakoukoli měřitelnou množinu ${ displaystyle A}$ s ${ displaystyle mu (A)> 0}$ existuje měřitelná podmnožina B z A takhle

{ displaystyle mu (A)> mu (B)> 0. ,}

Neanomová míra s alespoň jednou kladnou hodnotou má nekonečný počet odlišných hodnot, počínaje množinou A s ${ displaystyle mu (A)> 0}$ lze sestrojit klesající posloupnost měřitelných množin

{ displaystyle A = A_ {1} supset A_ {2} supset A_ {3} supset cdots}

takhle

{ displaystyle mu (A) = mu (A_ {1})> mu (A_ {2})> mu (A_ {3})> cdots> 0.}

To nemusí platit pro opatření s atomy; viz první příklad výše.

Ukazuje se, že jiná než atomová opatření ve skutečnosti mají a kontinuum hodnot. Lze prokázat, že pokud μ je ne-atomová míra a A je měřitelná množina s ${ displaystyle mu (A)> 0,}$ pak pro jakékoli reálné číslo b uspokojující

{ displaystyle mu (A) geq b geq 0 ,}

existuje měřitelná podmnožina B z A takhle

{ displaystyle mu (B) = b. ,}

Tato věta je způsobena Wacław Sierpiński.^[1]^[2]Připomíná to věta o střední hodnotě pro spojité funkce.

Náčrt důkazu Sierpińského věty o jiných než atomových opatřeních. Trochu silnější tvrzení, které však usnadňuje důkaz, je, že pokud ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ je neatomový měrný prostor a ${ displaystyle mu (X) = c}$ , existuje funkce ${ displaystyle S: [0, c] to Sigma}$ to je monotónní s ohledem na inkluzi a inverzní doprava ${ displaystyle mu: Sigma až [0, , c]}$ . To znamená, že existuje rodina jednoho parametru měřitelných množin S (t) taková, že pro všechny ${ displaystyle 0 leq t leq t ' leq c}$

{ displaystyle S (t) podmnožina S (t '),}

{ displaystyle mu left (S (t) right) = t.}

Důkaz snadno vyplývá z Zornovo lemma aplikován na sadu všech monotónních dílčích sekcí na ${ displaystyle mu}$ :

{ displaystyle Gamma: = {S: D až Sigma ;: ; D podmnožina [0, , c], , S ; mathrm {monotónní}, forall t in D ; ( mu left (S (t) right) = t) },}

seřazeno zahrnutím grafů, ${ displaystyle mathrm {graph} (S) podmnožina mathrm {graph} (S ').}$ Pak je standardní ukázat, že do každého řetězce ${ displaystyle Gamma}$ má horní mez v ${ displaystyle Gamma}$ , a že jakýkoli maximální prvek ${ displaystyle Gamma}$ má doménu ${ displaystyle [0, c],}$ prokazující nárok.

Viz také

Atom (teorie objednávek) - analogický koncept v teorii řádu
Diracova delta funkce
Základní událost, také známý jako atomová událost

Poznámky

^ Sierpinski, W. (1922). „Sur les fonctions d'ensemble addresses etc.“ (PDF). Fundamenta Mathematicae (francouzsky). 3: 240–246.
^ Fryszkowski, Andrzej (2005). Teorie pevného bodu pro rozložitelné sady (topologická teorie pevného bodu a její aplikace). New York: Springer. str. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

Reference

Bruckner, Andrew M .; Bruckner, Judith B .; Thomson, Brian S. (1997). Skutečná analýza. Upper Saddle River, N.J .: Prentice-Hall. str.108. ISBN 0-13-458886-X.
Butnariu, Dan; Klement, E. P. (1993). Trojúhelníková normová opatření a hry s fuzzy koalicemi. Dordrecht: Kluwer Academic. str. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

externí odkazy

Atom v Encyklopedii matematiky

[1] Sierpinski, W. (1922). „Sur les fonctions d'ensemble addresses etc.“ (PDF). Fundamenta Mathematicae (francouzsky). 3: 240–246.

[2] Fryszkowski, Andrzej (2005). Teorie pevného bodu pro rozložitelné sady (topologická teorie pevného bodu a její aplikace). New York: Springer. str. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

[1]

[2]