Eliptické rozdělení - Elliptical distribution

v pravděpodobnost a statistika, an eliptické rozdělení je jakýkoli člen široké rodiny rozdělení pravděpodobnosti které zobecňují vícerozměrné normální rozdělení. Intuitivně ve zjednodušeném dvourozměrném případě tvoří společné rozdělení elipsu a elipsoid v grafech izo-hustoty.

Ve statistikách se normální rozdělení používá v klasický vícerozměrná analýza, zatímco eliptické distribuce se používají v zobecněný vícerozměrná analýza pro studium symetrických distribucí s ocasy, které jsou těžký, jako vícerozměrná t-distribuce, nebo světlo (ve srovnání s normálním rozdělením). Některé statistické metody, které byly původně motivovány studiem normálního rozdělení, mají dobrý výkon pro obecné eliptické distribuce (s konečnou odchylkou), zejména pro sférické distribuce (které jsou definovány níže). Eliptické distribuce se také používají v robustní statistiky vyhodnotit navrhované vícerozměrné statistické postupy.

Definice

Eliptické distribuce jsou definovány v podmínkách charakteristická funkce teorie pravděpodobnosti. Náhodný vektor ${ displaystyle X}$ na Euklidovský prostor má eliptické rozdělení pokud je jeho charakteristická funkce ${ displaystyle phi}$ splňuje následující funkční rovnice (pro každý sloupcový vektor ${ displaystyle t}$)

${ displaystyle phi _ {X- mu} (t) = psi (t ' Sigma t)}$

pro některé parametr umístění ${ displaystyle mu}$, někteří nezáporně definitivní matice ${ displaystyle Sigma}$ a některé skalární funkce ${ displaystyle psi}$.^[1] Definice eliptických distribucí pro nemovitý náhodné vektory byly rozšířeny tak, aby vyhovovaly náhodným vektorům v euklidovských prostorech nad pole z komplexní čísla, což usnadňuje aplikace ve Windows analýza časových řad.^[2] Pro generování jsou k dispozici výpočetní metody pseudonáhodné vektory z eliptických distribucí, pro použití v Monte Carlo simulace například.^[3]

Některá eliptická rozdělení jsou alternativně definována z hlediska jejich hustotní funkce. Eliptické rozdělení s funkcí hustoty F má formu:

${ displaystyle f (x) = k cdot g ((x- mu) ' Sigma ^ {- 1} (x- mu))}$

kde ${ displaystyle k}$ je normalizační konstanta, ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle n}$-dimenzionální náhodný vektor s střední vektor ${ displaystyle mu}$ (což je také střední vektor, pokud druhý existuje) a ${ displaystyle Sigma}$ je pozitivní určitá matice což je úměrné kovarianční matice pokud existuje.^[4]

Příklady

Mezi příklady patří následující rozdělení vícerozměrných pravděpodobností:

• Vícerozměrné normální rozdělení
• Vícerozměrný t-rozdělení
• Symetrická vícerozměrná stabilní distribuce^[5]
• Symetrická vícerozměrná Laplaceova distribuce^[6]
• Vícerozměrná logistická distribuce^[7]
• Vícerozměrný symetrický generál hyperbolická distribuce^[7]

Vlastnosti

V 2-dimenzionálním případě, pokud existuje hustota, každý lokus izo-hustoty (množina X₁,X₂ páry, které dávají určitou hodnotu ${ displaystyle f (x)}$) je elipsa nebo sjednocení elips (odtud název eliptické rozdělení). Obecněji, pro libovolné n, lokusy iso-hustoty jsou svazky elipsoidy. Všechny tyto elipsoidy nebo elipsy mají společný střed μ a jsou navzájem zmenšenými kopiemi (homothety).

The vícerozměrné normální rozdělení je zvláštní případ, kdy ${ displaystyle g (z) = e ^ {- z / 2}}$. Zatímco vícerozměrný normál je neomezený (každý prvek z ${ displaystyle x}$ může nabrat libovolně velké kladné nebo záporné hodnoty s nenulovou pravděpodobností, protože ${ displaystyle e ^ {- z / 2}> 0}$ pro všechny nezáporné ${ displaystyle z}$), obecně eliptické rozdělení může být ohraničené nebo neohraničené - takové rozdělení je ohraničené, pokud ${ displaystyle g (z) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle z}$ větší než nějaká hodnota.

Existují eliptická rozdělení, která nejsou definována znamenat, tak jako Cauchyovo rozdělení (i v případě jednorozměrného). Protože proměnná X zadá funkci hustoty kvadraticky, všechna eliptická rozdělení jsou symetrický o ${ displaystyle mu.}$

Pokud jsou dvě podmnožiny společně eliptického náhodného vektoru nesouvisí, pak pokud jejich prostředky existují, jsou znamenat nezávislý navzájem (průměr každého subvektoru podmíněný hodnotou druhého subvektoru se rovná bezpodmínečnému průměru).^{[8]:str. 748}

Pokud náhodný vektor X je elipticky distribuován, pak je také DX pro jakoukoli matici D s plnou řada. Tedy jakákoli lineární kombinace složek X je eliptický (i když ne nutně se stejným eliptickým rozdělením) a jakákoli podmnožina X je eliptický.^{[8]:str. 748}

Aplikace

Eliptické rozdělení se používá ve statistikách a v ekonomii.

V matematické ekonomii se k popisu používá eliptické rozdělení portfolia v matematické finance.^[9][10]

Statistika: Zobecněná analýza s více proměnnými

Ve statistikách vícerozměrný normální rozdělení (of Gauss) se používá v klasický vícerozměrná analýza, ve kterém je většina metod pro odhad a testování hypotéz motivována pro normální rozdělení. Na rozdíl od klasické vícerozměrné analýzy zobecněný multivariační analýza se týká výzkumu eliptických distribucí bez omezení normality.

Pro vhodné eliptické rozdělení mají některé klasické metody i nadále dobré vlastnosti.^[11][12] Podle předpokladů konečné odchylky rozšíření o Cochranova věta (o distribuci kvadratických forem) platí.^[13]

Sférická distribuce

Eliptické rozdělení s nulovým průměrem a rozptylem ve formě ${ displaystyle alpha I}$ kde ${ displaystyle I}$ je matice identity se nazývá a sférická distribuce.^[14] U sférických distribucí byly rozšířeny klasické výsledky odhadu parametrů a testování hypotéz.^[15][16] Podobné výsledky platí pro lineární modely,^[17] a samozřejmě také pro komplikované modely (zejména pro růstová křivka Modelka). Využívá se analýza vícerozměrných modelů multilineární algebra (zejména Výrobky Kronecker a vektorizace ) a maticový počet.^[12][18][19]

Robustní statistiky: Asymptotika

Další použití eliptických distribucí je v robustní statistiky, ve kterém vědci zkoumají, jak statistické postupy fungují na třídě eliptických distribucí, aby získali přehled o výkonu těchto postupů u ještě obecnějších problémů,^[20] například pomocí omezující teorie statistiky („asymptotika“).^[21]

Ekonomika a finance

Eliptické distribuce jsou důležité v teorie portfolia protože pokud jsou výnosy všech aktiv dostupných pro tvorbu portfolia společně elipticky rozděleny, pak lze všechna portfolia charakterizovat zcela podle jejich umístění a rozsahu - to znamená, že všechna dvě portfolia se stejným umístěním a rozsahem výnosu portfolia mají identické rozdělení výnosu portfolia .^[22][8] Různé funkce analýzy portfolia, včetně věty o oddělení podílových fondů a Model oceňování kapitálových aktiv, podržte pro všechny eliptické distribuce.^{[8]:str. 748}

Reference