Obdélníková funkce - Rectangular function

Obdélníková funkce

The obdélníková funkce (také známý jako funkce obdélník, přímá funkce, Funkce pí, funkce brány, jednotkový puls, nebo normalizováno funkce vagónu) je definován jako^[1]

{ displaystyle operatorname {rect} (t) = Pi (t) = left {{ begin {pole} {rl} 0, & { text {if}} | t |> { frac {1 } {2}} { frac {1} {2}}, & { text {if}} | t | = { frac {1} {2}} 1, & { text {pokud }} | t | <{ frac {1} {2}}. end {pole}} vpravo.}

Alternativní definice funkce definují ${ displaystyle operatorname {rect} doleva ( pm { frac {1} {2}} doprava)}$ být 0,^[2] 1,^[3]^[4] nebo nedefinováno.

Vztah k funkci vagónu

Obdélníková funkce je speciální případ obecnější funkce vagónu:

{ displaystyle operatorname {rect} left ({ frac {tX} {Y}} right) = u (t- (XY / 2)) - u (t- (X + Y / 2)) = u (t-X + Y / 2) -u (tXY / 2)}

kde ${ displaystyle u}$ je Funkce Heaviside; funkce je vystředěna na ${ displaystyle X}$ a má trvání ${ displaystyle Y}$ , z ${ displaystyle X-Y / 2}$ na ${ displaystyle X + Y / 2}$ .

Fourierova transformace obdélníkové funkce

The unitární Fourierovy transformace obdélníkové funkce jsou^[1]

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} mathrm {rect} (t) cdot e ^ {- i2 pi ft} , dt = { frac { sin ( pi f) } { pi f}} = mathrm {sinc} {( pi f)}, ,}

pomocí běžné frekvence F, a

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} mathrm {rect} (t) cdot e ^ {- i omega t } , dt = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} cdot { frac { mathrm {sin} left ( omega / 2 right)} { omega / 2}} = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} mathrm {sinc} left ( omega / 2 right), ,}

Graf funkce sinc (x) s jejími frekvenčními spektrálními složkami.

pomocí úhlové frekvence ω, kde ${ displaystyle mathrm {sinc}}$ je nenormalizovaná forma funkce sinc.

Všimněte si, že pokud je definice pulzní funkce motivována pouze jejím chováním v prožitku v časové oblasti, není důvod se domnívat, že oscilační interpretace (tj. Funkce Fourierovy transformace) by měla být intuitivní nebo člověku přímo srozumitelná . Některé aspekty teoretického výsledku však lze chápat intuitivně, protože konečnost v časové oblasti odpovídá nekonečné frekvenční odezvě. (Naopak, konečná Fourierova transformace bude odpovídat odezvě nekonečné časové domény.)

Vztah k trojúhelníkové funkci

Můžeme definovat trojúhelníková funkce jako konvoluce dvou obdélníkových funkcí:

{ displaystyle mathrm {tri} = mathrm {rect} * mathrm {rect}. ,}

Pravděpodobné použití

Zobrazení obdélníkové funkce jako a funkce hustoty pravděpodobnosti, je to speciální případ kontinuální rovnoměrné rozdělení s ${ displaystyle a = -1 / 2, b = 1/2}$ . The charakteristická funkce je

{ displaystyle varphi (k) = { frac { sin (k / 2)} {k / 2}},}

a jeho funkce generující momenty je

{ displaystyle M (k) = { frac { sinh (k / 2)} {k / 2}},}

kde ${ displaystyle sinh (t)}$ je hyperbolický sinus funkce.

Racionální aproximace

Pulzní funkci lze také vyjádřit jako limit a racionální funkce:

{ displaystyle Pi (t) = lim _ {n rightarrow infty, n in mathbb {(} Z)} { frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}}}

Demonstrace platnosti

Nejprve uvažujeme případ, kdy ${ displaystyle | t | <{ frac {1} {2}}}$ . Všimněte si, že termín ${ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ je vždy kladné pro celé číslo ${ displaystyle n}$ . Nicméně, ${ displaystyle 2t <1}$ a tudíž ${ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ se blíží nule pro velké ${ displaystyle n}$ .

Z toho vyplývá, že:

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty, n in mathbb {(} Z)} { frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = { frac {1} { 0 + 1}} = 1, | t | <{ frac {1} {2}}}

Zadruhé, uvažujeme případ, kdy ${ displaystyle | t |> { frac {1} {2}}}$ . Všimněte si, že termín ${ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ je vždy kladné pro celé číslo ${ displaystyle n}$ . Nicméně, ${ displaystyle 2t> 1}$ a tudíž ${ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ roste velmi velký pro velký ${ displaystyle n}$ .