Voigtův profil - Voigt profile

(Na střed) Voigt

Funkce hustoty pravděpodobnosti Děj centrovaného Voigtova profilu pro čtyři případy. Každý případ má plnou šířku na polovičním maximu téměř téměř 3,6. Černý a červený profil jsou limitujícími případy Gaussianových (γ = 0) a Lorentzianových (σ = 0) profilů.
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle gamma, sigma> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac { Re [w (z)]} { sigma { sqrt {2 pi}}}}, ~~~ z = { frac {x + i gamma} { sigma { sqrt {2}}}}}$
CDF	(komplikované - viz text)
Znamenat	(není definovaný)
Medián	${ displaystyle 0}$
Režim	${ displaystyle 0}$
Rozptyl	(není definovaný)
Šikmost	(není definovaný)
Př. špičatost	(není definovaný)
MGF	(není definovaný)
CF	${ displaystyle e ^ {- gamma | t | - sigma ^ {2} t ^ {2} / 2}}$

The Voigtův profil (pojmenoval podle Woldemar Voigt ) je rozdělení pravděpodobnosti dané a konvoluce a Cauchy-Lorentzovo rozdělení a a Gaussovo rozdělení. Často se používá při analýze dat z spektroskopie nebo difrakce.

Definice

Bez ztráty obecnosti můžeme uvažovat pouze vystředěné profily, jejichž vrchol je nulový. Profil Voigt je tedy

${ displaystyle V (x; sigma, gamma) ekviv int _ {- infty} ^ { infty} G (x '; sigma) L (x-x'; gamma) , dx ' ,}$

kde X je posun od středu čáry, ${ displaystyle G (x; sigma)}$ je centrovaný Gaussův profil:

${ displaystyle G (x; sigma) equiv { frac {e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}} { sigma { sqrt {2 pi}}} },}$

a ${ displaystyle L (x; gama)}$ je centrovaný Lorentzianův profil:

${ displaystyle L (x; gamma) equiv { frac { gamma} { pi (x ^ {2} + gamma ^ {2})}}}}$

Definující integrál lze vyhodnotit jako:

${ displaystyle V (x; sigma, gamma) = { frac { operatorname {Re} [w (z)]} { sigma { sqrt {2 pi}}}}}}$

kde Re [w(z)] je skutečnou součástí Faddeevova funkce hodnoceno pro

${ displaystyle z = { frac {x + i gamma} { sigma { sqrt {2}}}}.}$

V omezujících případech ${ displaystyle sigma = 0}$ a ${ displaystyle gamma = 0}$ pak ${ displaystyle V (x; sigma, gama)}$ zjednodušuje na ${ displaystyle L (x; gama)}$ a ${ displaystyle G (x; sigma)}$, resp.

Historie a aplikace

Ve spektroskopii je Voigtův profil výsledkem konvoluce dvou rozšiřujících mechanismů, z nichž jeden by sám vytvořil Gaussovský profil (obvykle jako výsledek Dopplerovo rozšíření ) a druhá by vytvořila Lorentzianův profil. Profily Voigt jsou běžné v mnoha odvětvích spektroskopie a difrakce. Z důvodu nákladů na výpočet Faddeevova funkce, Voigtův profil je často aproximován pomocí pseudo-Voigtova profilu.

Vlastnosti

Profil Voigt je normalizován:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} V (x; sigma, gamma) , dx = 1,}$

protože se jedná o konvoluci normalizovaných profilů. Lorentzianův profil nemá žádné momenty (jiné než nula), a tak funkce generující momenty pro Cauchyovo rozdělení není definován. Z toho vyplývá, že profil Voigt nebude mít ani funkci generující momenty, ale charakteristická funkce pro Cauchyovo rozdělení je dobře definována, stejně jako charakteristická funkce pro normální distribuce. The charakteristická funkce pro (centrovaný) profil Voigt bude potom produktem dvou:

${ displaystyle varphi _ {f} (t; sigma, gamma) = E (e ^ {ixt}) = e ^ {- sigma ^ {2} t ^ {2} / 2- gamma | t |}.}$

Protože normální rozdělení a Cauchyovo rozdělení jsou stabilní distribuce, jsou uzavřeny pod konvoluce (až po změnu měřítka) a z toho vyplývá, že distribuce Voigt jsou také uzavřeny konvolucí.

Funkce kumulativní distribuce

Pomocí výše uvedené definice pro z , funkci kumulativní distribuce (CDF) najdete následovně:

${ displaystyle F (x_ {0}; mu, sigma) = int _ {- infty} ^ {x_ {0}} { frac { operatorname {Re} (w (z))} { sigma { sqrt {2 pi}}}} , dx = operatorname {Re} left ({ frac {1} { sqrt { pi}}} int _ {z (- infty)} ^ {z (x_ {0})} w (z) , dz vpravo).}$

Nahrazení definice Faddeevova funkce (zmenšený komplex chybová funkce ) výnosy pro neurčitý integrál:

${ displaystyle { frac {1} { sqrt { pi}}} int w (z) , dz = { frac {1} { sqrt { pi}}} int e ^ {- z ^ {2}} left [1- operatorname {erf} (-iz) right] , dz,}$

který může být vyřešen tak, aby poskytl

${ displaystyle { frac {1} { sqrt { pi}}} int w (z) , dz = { frac { operatorname {erf} (z)} {2}} + { frac { iz ^ {2}} { pi}} , _ {2} F_ {2} left (1,1; { frac {3} {2}}, 2; -z ^ {2} right) ,}$

kde ${ displaystyle {} _ {2} F_ {2}}$ je hypergeometrická funkce. Aby se funkce přiblížila nule jako X blíží záporné nekonečno (jak to musí udělat CDF), musí být přidána integrační konstanta 1/2. To dává CDF společnosti Voigt:

${ displaystyle F (x; mu, sigma) = operatorname {Re} left [{ frac {1} {2}} + { frac { operatorname {erf} (z)} {2}} + { frac {iz ^ {2}} { pi}} , _ {2} F_ {2} left (1,1; { frac {3} {2}}, 2; -z ^ { 2} vpravo) vpravo].}$

Necentrovaný profil Voigt

Pokud je Gaussův profil vystředěn na ${ displaystyle mu _ {G}}$ a Lorentzianův profil je vystředěn na ${ displaystyle mu _ {L}}$, konvoluce je soustředěna na ${ displaystyle mu _ {G} + mu _ {L}}$ a charakteristická funkce je

${ displaystyle varphi _ {f} (t; sigma, gamma, mu _ { mathrm {G}}, mu _ { mathrm {L}}) = e ^ {i ( mu _ { mathrm {G}} + mu _ { mathrm {L}}) t- sigma ^ {2} t ^ {2} / 2- gamma | t |}.}$

Režim i medián jsou oba umístěny na ${ displaystyle mu _ {G} + mu _ {L}}$.

Derivační profil

První a druhý derivační profil lze vyjádřit pomocí Faddeevova funkce jak následuje:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} V (x; sigma, gamma) = - { frac { operatorname {Re} [z ~ w (z)]} { sigma ^ {2} { sqrt { pi}}}} = - { frac {x} { sigma ^ {2}}} { frac { operatorname {Re} [w (z)]} { sigma { sqrt {2 pi}}}} + { frac { gamma} { sigma ^ {2}}} { frac { operatorname {Im} [w (z)]} { sigma { sqrt { 2 pi}}}};}$

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} V (x; sigma, gamma) = { frac {x ^ {2} - gamma ^ {2 } - sigma ^ {2}} { sigma ^ {4}}} { frac { operatorname {Re} [w (z)]} { sigma { sqrt {2 pi}}}} - { frac {2x gamma} { sigma ^ {4}}} { frac { operatorname {Im} [w (z)]} { sigma { sqrt {2 pi}}}} + { frac { gamma} { sigma ^ {4}}} { frac {1} { pi}},}$

pomocí výše uvedené definice pro z.

Voigtovy funkce

The Voigtovy funkce^[1] U, PROTI, a H (někdy nazývaný funkce rozšíření linky) jsou definovány

${ displaystyle U (x, t) + iV (x, t) = { sqrt { frac { pi} {4t}}} e ^ {z ^ {2}} operatorname {erfc} (z) = { sqrt { frac { pi} {4t}}} w (iz),}$

${ displaystyle H (a, u) = { frac {U (u / a, 1 / 4a ^ {2})} {a { sqrt { pi}}}},}$

kde

${ displaystyle z = (1-ix) / 2 { sqrt {t}},}$

erfc je doplňková chybová funkce, a w(z) je Faddeevova funkce.

Vztah k profilu Voigt

${ displaystyle V (x; sigma, gamma) = H (a, u) / ({ sqrt {2}} { sqrt { pi}} sigma),}$

s

${ displaystyle a = gamma / ({ sqrt {2}} sigma)}$

a

${ displaystyle u = x / ({ sqrt {2}} sigma).}$

Numerické aproximace

Funkce Tepper-Garcia

The Funkce Tepper-García, pojmenovaný po německo-mexickém astrofyzikovi Thor Tepper-García, je kombinací exponenciálních a racionálních funkcí, která aproximuje funkci rozšíření řádku ${ displaystyle H (a, u)}$ v širokém rozsahu svých parametrů.^[2]Získává se z komolého rozšíření výkonové řady funkce přesného rozšíření linky.

Ve své výpočetně nejefektivnější podobě Funkce Tepper-García lze vyjádřit jako

${ displaystyle T (a, u) = R- doleva (a / { sqrt { pi}} P doprava) ~ doleva [R ^ {2} ~ (4P ^ {2} + 7P + 4 + Q) -Q-1 vpravo] ,,}$

kde ${ displaystyle P equiv u ^ {2}}$, ${ displaystyle Q equiv 3 / 2P}$, a ${ displaystyle R equiv exp (-P)}$.

Na funkci rozšíření linky lze tedy v prvním řádu pohlížet jako na čistou Gaussovu funkci plus korekční faktor, který lineárně závisí na vlastnostech absorpčního média, tj. ${ displaystyle H (a, u) přibližně T (a, u) + { mathcal {O}} (a ^ {2})}$. Tato aproximace má relativní přesnost

${ displaystyle epsilon equiv { frac { vert H (a, u) -T (a, u) vert} {H (a, u)}} lesssim 10 ^ {- 4}}$

v celém rozsahu vlnových délek ${ displaystyle H (a, u)}$, za předpokladu, že ${ displaystyle a lesssim 10 ^ {- 4}}$Kromě své přesnosti i funkce ${ displaystyle T (a, u)}$ je snadno implementovatelný a výpočetně rychlý. Je široce používán v oblasti analýzy kvazarové absorpční linie.^[3]

Pseudo-Voigtova aproximace

The profil pseudo-Voigt (nebo funkce pseudo-Voigt) je přiblížení profilu Voigt PROTI(X) používat lineární kombinace a Gaussova křivka G(X) a a Lorentzianova křivka L(X) místo jejich konvoluce.

Funkce pseudo-Voigt se často používá pro výpočty experimentálních tvary spektrálních čar.

Matematická definice normalizovaného pseudo-Voigtova profilu je dána vztahem

${ displaystyle V_ {p} (x, f) = eta cdot L (x, f) + (1- eta) cdot G (x, f)}$ s ${ displaystyle 0 < eta <1}$.

${ displaystyle eta}$ je funkce plná šířka na polovinu maxima (FWHM) parametr.

Existuje několik možných možností pro ${ displaystyle eta}$ parametr.^[4][5][6][7] Jednoduchý vzorec s přesností na 1% je^[8][9]

${ displaystyle eta = 1,36603 (f_ {L} / f) -0,47719 (f_ {L} / f) ^ {2} +0,111116 (f_ {L} / f) ^ {3},}$

kam teď, ${ displaystyle eta}$ je funkcí Lorentze (${ displaystyle f_ {L}}$), Gaussian (${ displaystyle f_ {G}}$) a celkem (${ displaystyle f}$) Plná šířka na polovinu maxima (FWHM) parametry. Celkový FWHM (${ displaystyle f}$) parametr je popsán:

${ displaystyle f = [f_ {G} ^ {5} + 2,69269f_ {G} ^ {4} f_ {L} + 2,42843f_ {G} ^ {3} f_ {L} ^ {2} + 4,47163f_ { G} ^ {2} f_ {L} ^ {3} + 0,07842f_ {G} f_ {L} ^ {4} + f_ {L} ^ {5}] ^ {1/5}.}$

Šířka profilu Voigt

The plná šířka na polovinu maxima (FWHM) Voigtova profilu lze nalézt z šířek přidružených Gaussian a Lorentzian šířek. FWHM Gaussova profilu je

${ displaystyle f _ { mathrm {G}} = 2 sigma { sqrt {2 ln (2)}}.}$

FWHM Lorentzianova profilu je

${ displaystyle f _ { mathrm {L}} = 2 gama.}$

Hrubé přiblížení vztahu mezi šířkami Voigtova, Gaussova a Lorentzianova profilu je:

${ displaystyle f _ { mathrm {V}} přibližně f _ { mathrm {L}} / 2 + { sqrt {f _ { mathrm {L}} ^ {2} / 4 + f _ { mathrm {G} } ^ {2}}}.}$

Tato aproximace je přesně správná pro čistého Gaussiana.

Lepší aproximace s přesností 0,02% je dána vztahem^[10]

${ displaystyle f _ { mathrm {V}} přibližně 0,5346f _ { mathrm {L}} + { sqrt {0,2166f _ { mathrm {L}} ^ {2} + f _ { mathrm {G}} ^ {2}}}.}$

Tato aproximace je přesně správná pro čistý Gaussian, ale má chybu přibližně 0,000305% pro čistý Lorentzianův profil.

Reference

externí odkazy

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, numerická knihovna C pro komplexní chybové funkce, poskytuje funkci voigt (x, sigma, gama) s přesností přibližně 13–14 číslic.
• Původní článek je: Voigt, Woldemar, 1912, „Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums“, Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (viz také: http://publikationen.badw.de/de / 003395768)